Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015

Transkript

1 Vorlesung Hochschule Rhein-Main Sommersemester 2015 Dr. Roland Stamm 13. April 2015

2 Übersicht 1 Zinsen 1 Zinsberechnung 2 2 Darlehen und Wertpapiere 1 Qutotierung 2 Rendite 3 Lineare Zinsderivate 1 Futures 2 Forward Rate Agreements 3 Swaps 4 Herleitung der Diskontkurve

3 Übersicht II 5 Marktrisiko 1 Sensitivitäten 2 Hedging 3 Risikomessung 6 Nichtlineare Zinsderivate 1 Optionen auf Futures 2 Swaptions 3 Caps und Floors 7 Kreditrisiko 1 Zero Spread 2 Asset Swap Spread 3 CDS Spread 4 Kreditrisiko von Derivaten 8 Fremdwährungsgeschäfte

4 Fragen über Fragen... Für wieviel Prozent pro Jahr würden Sie den folgenden Personen/Firmen/Institutionen Geld leihen? Eltern Bank EZB Sitznachbar Startup Griechenland Irland BRD Stadt Mainz 1 Jahr 5 Jahre 10 Jahre Was glauben Sie, wieviel Zinsen pro Jahr Sie derzeit für eine sichere Geldanlage über fünf Jahre bekommen? Wer oder was bestimmt, wieviel Zinsen Sie für verschiedene Produkte bekommen? Wofür gibt es Finanzderivate? Was ist der Bund-Future? Was hat er mit den langfridstigen Zinsen zu tun?

5 Worum geht es? Was für Finanzprodukte haben Sie selbst schon genutzt? Was für Finanzprodukte kennen Sie noch? Was benötigt man, um solche und andere Finanzprodukte zu bewerten?

6 Anlageprodukte Girokonto Tagesgeldkonto Sparbuch Festgeld Schuldschein Wertpapier Lebensversicherung, Rentenversicherung, Riester-Sparplan Zinsproduktbersicht Arten von Verbindlichkeiten Kontoüberziehung Konsumkredit Leasingvertrag Hypothek Derivate Zinsfutures, Optionen auf Zinsfutures Wertpapierfutures, Optionen auf Wertpapierfutures Forwarddarlehen Forward Rate Agreement (FRA) Zinsswaps Cross-Currency Swaps Caps und Floors Swaptions

7 Verschiedene Wertpapiere

8 Verschiedene Wertpapiere

9 Verschiedene Wertpapiere

10 Zeit Wir nehmen immer an, dass Zeit stetig vergeht. Das ist nicht immer korrekt, aber oft eine gute Näherung. Für hochliquide Produkte sind die kleinsten Zeitschritte kleiner als Millisekunden. Der Handel mit Finanzprodukten findet in verschiedenen Lokationen statt z.b. in Tokio, Frankfurt, London, New York. Die Preise fluktuieren dabei ständig wir beobachten sie zu jedem möglichen Zeitpunkt t. Finanzinstitute müssen ihre Handelspositionen mindestens einmal täglich zum Marktwert bewerten ( mark-to-market ). Den Bewertungszeitpunkt am i-ten Tag bezeichnen wir mit t i. Andere wichtige Zeitpunkte sind z.b. Fixingtermine wie etwa 11 Uhr vormittags Londoner Zeit, wo LIBOR-Raten gefixt werden (dazu später mehr). Wenn der Unterschied klar ist, wird dafür oft ebenfalls t i für das Fixing am Tag i benutzt.

11 Kalender und Business-Tage Der Handel an einem Standort findet nur statt, wenn dort kein Feiertag (beinhaltet Wochenenden) ist, wenn also ein Business-Tag vorliegt. Für langlaufende Geschäfte müssen deshalb die Feiertage lange Zeit im Voraus bekannt sein. Beispiele: Der TARGET-Kalender ist für die Eurozone relevant. Feiertage sind: Wochenenden, Neujahr, Karfreitag, Ostermontag, 1. Mai, 25. und 26. Dezember. Der Londoner Kalender (für Geschäfte in Pfund und solche, die sich auf LIBOR beziehen) beinhaltet die folgenden Feuertage: Wochenenden, Neujahr, Karfreitag, Ostermontag, Early May bank holiday (erster Montag im Mai), Spring bank holiday (erster Montag im Juni), Summer bank holiday (erster Montag im August), 25. und 26. Dezember, allerdings immer auf einen Nicht-Wochenendtag gerollt. Zusätzlich gibt es zahlreiche sporadische zusätzliche Feiertage wie z.b. köngliche Jubiläen. Wenn Geschäfte von mehreren Standorten abhängen, werden typischerweise alle Feiertage vereinigt. So wird beim USD-LIBOR-Fixing der New Yorker mit dem Londoner Kalender vereinigt, etc.

12 Day Count Conventions Zinsen werden immer annualisiert angegeben (p.a.). Um den tatsächlichen Zins für eine von einem Jahr abweichende Periode zu berechnen, muss man den Anteil eines Jahres, auf den sich der Zins bezieht, berechnen: δ = (Anzahl Tage in der Periode)/(Anzahl der Tage in einem Jahr) = Tage(t 1, t 2 ). Basis Die häufigsten Zählweisen sind Actual 360: Basis= 360, Tage(t 1, t 2 ) ist die Anzahl der Kalendertage zwischen t 1 und t 2. 30/360 oder Bond Basis: Basis= 360. Jeder volle Monat hat 30 Tage (US, europäische und italienische Ausprägungen variieren leicht in der Behandlung der Monatsenden) Actual 365: Basis= 365, Tage(t 1, t 2 ) ist die Anzahl der Kalendertage zwischen t 1 und t 2. ActualActual(ISDA): Periode t 1 bis t 2 wird in drei Komponenten zerlegt: t 1 bis Jahresende, eine Periode von n vollen Jahren, Jahresbeginn des letzten Jahres bis t 2. Die Basis für die erste (letzte) Komponente ist 366 t 1 (t 2 ) in einem Schaltjahr liegt, sonst 365. Die gesamte Year Fraction ist dementsprechend gegeben durch Tage/Basis = Tage 1 /Basis 1 + n + Tage 2 /Basis 2. Zu dieser Zählweise gibt es leicht abweichende Varianten (gemäß ISMA, AFB), siehe

13 Day Count Conventions Beispiele Beispielrechnung für die Periode vom 12. September 2011 zum 14. März 2012: 30/360: Die Zahl der Tage pro Monat beträgt 30 Tage (inkl. Februar), die in einem Jahr 360. Diese Regel wird typischerweise für Wertpapiere verwendet. Die Year Fraction ist 182/360 = ACT/360: Die tatsächliche Zahl der Tage in der Periode wird durch 360 geteilt. Typischerweise im Geldmarkt für EUR und USD verwendet. Die Year Fraction ist 184/360 = ACT/365: Die tatsächliche Zahl der Tage in der Periode wird durch 360 geteilt. Typischerweise im Geldmarkt für GBP verwendet. Die Year Fraction ist 184/365 = ACT/ACT (ISDA): Die Zahl der tatsächlichen Tage der Periode, die außerhalb eines Schaltjahres liegen, wird durch 365 geteilt. Die Zahl der tatsächlichen Tage der Periode, die innerhalb eines Schaltjahres liegen, wird durch 366 geteilt. Die Year Fraction ist darum 110/ /366 =

14 Einfacher Zins Einfacher Zins ( Simple Compounding ) wird gezahlt, es in der Schule lernt, allerdings unter Berücksichtigung der Year Fraction. Am Ende der Periode t 1 bis t 2 erhält man auf das Nominal N bei Zinsen r den Betrag A = N r δ(t 1, t 2 ), δ(t 1, t 2 ) = Tage(t 1, t 2 ). (1) Basis Man spricht auch von linearer. Werden Zinsen nicht periodisch ausgezahlt, sondern erst am Ende der Vertragslaufzeit, so erhält man auf die zwischenzeitlich angefallenen Zinsen den Zinseszins. Der Rückzahlungsbetrag ist dann gegeben durch N n (1 + r δ(t i, t i+1 )). i=1 Sind die Perioden gleich lang, δ(t i, t i+1 ) δ = 1/k, so ergibt sich die Rückzahlung einfach als ( N 1 + r ) n. k

15 Stetige Ist n = k, und lässt man n gehen, so erhält man als stetige für ein Jahr ( N lim 1 + r ) n = N e r. n n Allgemeiner gilt für Periodenlängen δ unter stetiger die Rückzahlung N e r δ. In diesem Zusammenhang heißt r auch die Zero-Rate. In der Finanzmathematik wird typischerweise mit Zero-Raten gerechnet, weil sie viele Rechnungen vereinfachen. Der Grund für den Namen Zero-Rate werden wir noch kennenlernen.

16 und Replikation In einem effizienten Markt erwarten wir nicht, dass es etwas umsonst gibt ( There is no such thing as a free lunch ). Mit anderen Worten, man kann heute kein Portfolio zusammenstellen, das bereits aus heutiger Sicht einen Profit erzeugt, ohne dass man dafür ein Risiko eingehen muss. Formal besagt das Prinzip der freiheit, dass es kein Portfolio gibt, das heute den Wert 0 hat; in der Zukunft fast sicher keinen Verlust macht; mit positiver Wahrscheinlichkeit einen Gewinn macht. Daraus können wir folgern, dass zwei Portfolien, die unter allen Umständen dieselben Zahlungsströme haben, denselben Wert haben müssen. Die Darstellung eines Portfolios durch andere, simplere Komponenten zu Bewertungszwecken nennt man Replikation.

17 Die wichtigste Frage in der Finanzmathematik ist Was ist der heutige Wert (Zeitpunkt t) einer Zahlung in der Zukunft (Zeitpunkt T )? Wie wir eingangs gesehen haben, hängt dieser Wert vom Zahler ab. Bis auf weiteres beschränken wir uns auf eine Klasse von Zahlern, für die wir zu jeder Laufzeit liquide Werte für die zu zahlenden (kontinuierlichen) Zinsen am Markt bekommen. Für solch einen Zahler Z konstruieren wir folgendes Portfolio: Z erhält heute N; Z zahlt in T den Betrag N e r(t,t )T zurück. Wenn r(t, T ) fair ist, muss das Portfolio den Wert 0 haben. Wegen der freiheit muss die Zahlung von N in T also heute den Wert N haben. Der heutige Wert einer Einheit, die in T gezahlt wird, muss also r(t,t )T P (t, T ) = e sein. Dies ist der Diskontfaktor zur Laufzeit T. Wir werden noch sehen, dass es gar nicht schwierig ist, sich für bestimmte Risikoklassen Diskontfaktoren zu beschaffen. Unterschiedliche Zahler haben unterschiedliche Diskontfaktoren!

18 1 Berechnen Sie die Zinszahlung der Wertpapiere GR , IE00B6X95T99 und DE am nächsten Zinstermin in 2016 für die Zählweisen 30/360, Act360, Act365 und Act/Act, für ein Nominal von EUR. 2 Wie erklären Sie sich die unterschiedlichen Geld-Brief-Spannen der drei Wertpapiere? 3 Rechnen Sie eine Zero-Rate von 2% für ein Jahr Laufzeit in einfache um. 4 Japan hat eine Verschuldungsquote von über 200% des BIP, mehr als z.b. Griechenland. Warum, glauben Sie, sind die Renditen für japanische Staatsanleihen trotzdem deutlich niedriger als die für griechische?