Analysen von Volatilitätssmiles für Aktien-, Index- und Währungsoptionen

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1 Zeljko Komazec Analysen von Volatilitätssmiles für Aktien-, Index- und Währungsoptionen Von konstanter Volatilität zur impliziten Volatilität Diplomica Verlag

2 Zeljko Komazec Analysen von Volatilitätssmiles für Aktien-, Index- und Währungsoptionen Von konstanter Volatilität zur impliziten Volatilität ISBN: Herstellung: Diplomica Verlag GmbH, Hamburg, 2009 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Die Informationen in diesem Werk wurden mit Sorgfalt erarbeitet. Dennoch können Fehler nicht vollständig ausgeschlossen werden und der Verlag, die Autoren oder Übersetzer übernehmen keine juristische Verantwortung oder irgendeine Haftung für evtl. verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen. Diplomica Verlag GmbH Hamburg 2009

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... I Abbildungsverzeichnis... III Tabellenverzeichnis... IV Abkürzungsverzeichnis... VI Notationsverzeichnis/Symbolverzeichnis... IX 1 Einleitung Problemstellung Vorgehensweise Ausgangspunkt Put-Call-Parität Zusammenhänge zwischen Kauf- und Verkaufsoptionen Vergleich zwischen den Werten des Black-Scholes-Modells und den Marktwerten Black-Scholes-Modell Grundannahmen des Modells Optionspreisformeln nach Black-Scholes Risikoneutrale Bewertung Volatilität als Risikomaß Zukünftige Volatilität Historische Volatilität Implizite Volatilität Implizite Volatilität und die Smile-Effekte Gültigkeit des Black-Scholes-Modells Implizite Volatilitäten in Abhängigkeit von Basispreisen Volatility Smile in Bezug auf Currency-Options (Währungsoptionen) Vergleich der impliziten Verteilung mit der Log- Normalverteilung...33 I

4 Erklärung für die Existenz eines Smiles bei Currency- Options Volatility Smile in Bezug auf Equity-Options (Aktien- und Indexoptionen) Vergleich der impliziten Verteilung mit der Log- Normalverteilung Erklärung für die Existenz eines Smiles bei Equity- Options Zusammenfassung der Smile-Effekte und Ansätze über die implizite risikoneutrale Verteilung und Zustandpreisdichte Implizite risikoneutrale Verteilung und Zustandspreisdichte Eigenschaften einer risikoneutralen Dichtefunktion Zustandspreise im diskreten Modell Zustandspreise im stetigen Modell Berechnung der Zustandspreisdichte Prüfung von Arbitragemöglichkeiten auf dem Deutschen Aktienindex Erweiterung durch alternative Volatilitätsstrukturen Volatility Term Structure Volatility Surface und die Modellerweiterung Schlussbemerkung...75 Literaturverzeichnis/Quellenverzeichnis...77 Anhang 1: Berechnung der impliziten Volatilität...85 Anhang 2: Risikoneutrale Dichtefunktion...88 Anhang 3: Berechnung der Zustandpreisdichten durch fiktive Daten...90 Anhang 4: Arbitragemöglichkeiten auf dem Deutschen Aktienindex II

5 Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Abbildung 2: Abbildung 3: Abbildung 4: Abbildung 5: Abbildung 6: Abbildung 7: Abbildung 8: Abbildung 9: Aktienrendite und Aktienkurs hinsichtlich ihrer Verteilung...11 Moneyness anhand des Volatility Smiles...31 Implizite Verteilung und Log-Normalverteilung für Currency-Options...33 Voltatility Smile für Equity-Options...40 Implizite Verteilung und Log-Normalverteilung für Equity- Options Die Ausprägungen der Smile-Effekte Butterfly-Spread Gegenüberstellung der Volatilitätsverläufe in Abhängigkeit zum Basispreis...61 Zustandspreisdichten im Vergleich zw. impliziter und konstanter Volatilität Abbildung 10: Vergleich der konstanten Volatilität mit impliziter Volatilität durch Vorgabe des DAX Abbildung 11: Verlauf der Zustandspreisdichten mit impliziter und konstanter Volatilität (Intervall zwischen 5.650,00 bis 6.700,00 )...66 Abbildung 12: Volatility Term Structure...67 Abbildung 13: Voltatility Surface auf dem S&P 500 Mid-Market vom Abbildung 14: Vergleich zwischen Black-Scholes-Baum und impliziten Baum...72 Abbildung 15: Vergleich der Zustandspreisdichten zwischen konstanter und impliziter Volatilität durch DAX-Werte Abbildung 16: Verlauf der Zustandpreisdichten mit impliziter und konstanter Volatilität (Intervall zwischen 5.650,00 bis 6.200,00 ) Abbildung 17: Vergrößerte Darstellung der Zustandspreisdichten im Intervall zwischen (5.650,00 bis 6.200,00 ) III

6 Tabellenverzeichnis Tabelle 1: Tabelle 2: Tabelle 3: Tabelle 4: Tabelle 5: Tabelle 6: Tabelle 7: Tabelle 8: Tabelle 9: Tabelle 10: Tabelle 11: Tabelle 12: Tabelle 13: Tabelle 14: Tabelle 15: Tabelle 16: Berechnung der impliziten Volatilität mittels Newton-Raphson- Methode Gegenüberstellung der Basispreise und Preise der Call-Optionen.59 Berechnung der impliziten Volatilitäten und Zustandspreisdichten...60 Basispreise und implizite Volatilitäten anhand des DAX...63 Berechnung der Call-Preise und Zustandspreisdichten anhand von DAX-Werten...65 Volatilitätsmatrix für z. B. Currency-Options ,35 und Basispreis von 2.000, ,33 und Basispreis von 2.200, ,23 und Basispreis von 2.400, ,85 und Basispreis von 2.600, ,46 und Basispreis von 2.800, ,14 und Basispreis von 2.900, ,05 und Basispreis von 3.000, ,49 und Basispreis von 3.100, ,67 und Basispreis von 3.200, ,98 und Basispreis von 3.250, IV

7 Tabelle 17: Tabelle 18: Tabelle 19: Tabelle 20: Tabelle 21: Tabelle 22: Tabelle 23: Tabelle 24: Tabelle 25: Tabelle 26: 767,13 und Basispreis von 3.300, ,54 und Basispreis von 3.350, ,79 und Basispreis von 3.400, ,07 und Basispreis von 3.450, ,68 und Basispreis von 3.500, ,87 und Basispreis von 3.550, ,48 und Basispreis von 3.600, ,56 und Basispreis von 3.650, ,00 und Basispreis von 3.700, ,69 und Basispreis von 3.800, Tabelle 27: ,34 und Basispreis von 3.900, Tabelle 28: Tabelle 29: Tabelle 30: Tabelle 31: 167,35 und Basispreis von 4.000, Handelsstrategien bei Verletzung der Konvexitätseigenschaft...98 Ausführliche Darstellung der approximierten Zustandspreisdichten...99 Bestimmung der Optionspreise und Zustandspreisdichten durch DAX-Werte V

8 Abkürzungsverzeichnis Abl. AD ARCH Ableitung Arrow-Debreu Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity BS BSM bzgl. bzw. Black-Scholes-Modell Black-Scholes-Merton bezüglich beziehungsweise cand. rer. oec. CBOE CEV candidatus rerum oeconomicarum Chicago Board Options Exchange Constant Elasticity of Variance DAX Deutscher Aktienindex d. h. das heisst Dr. DTB Doktor Deutsche Terminbörse etc. EWMA EURIBOR et cetera Exponentially Weighted Moving Average Euro Interbank Offered Rate f. folgende GARCH VI Generalized Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity

9 geo. geometrische Hrsg. http Herausgeber Hyper-Text-Transfer-Protocol i. d. R. in der Regel imp. implizite Jg. Jahrgang konst. konstante Nr. Nummer o. g. oben genannte Prof. pdf Professor Portable-Document-Format sog. S&P sogenannte Standard & Poor`s u. a. unter anderem UK URL USA usw. United Kingdom Uniform Resource Locator United States of America und so weiter VII

10 VDAX vgl. Vol. Vola Volatilitätsindex auf dem DAX vergleiche Volume Volatilität z. B. zum Beispiel zit. zitiert z. T. zum Teil zw. zwischen VIII

11 Notationsverzeichnis/Symbolverzeichnis c cbs Wert einer europäischen Kaufoption oder auch als Call- Option bezeichnet. Wert einer europäischen Kaufoption nach dem Black- Scholes-Modell. c mkt Marktwert einer europäischen Kaufoption. d Proportionalitätsfaktor für Abwärtsbewegungen. Es wird u. a. auch als Wertänderung einer Variable in stetiger (kontinuierlichen Ablauf) Zeit dargestellt, z. B. als Wertänderung eines Derivats, ds bzw. ds als Wertänderung eines Aktienkurses oder ändert. d bei dem sich der Wert des Portfolios df dx dz Riemann`sche Intergralmaß. Wiener-Prozess der z. T. auch als Synonym für die Brownsche Bewegung benutzt wird. d1, d2 Parameter der Bewertungsformel für Optionen, z. B. die Gleichungen (13)-(16). ( x) e Basis des natürlichen Logarithmus (Euler`sche Zahl 2, ). E f Erwartungswert einer Variablen in einer risikoneutralen Welt. Funktion bzw. Wert einer Call-Option. f x Allgemeine Funktion. F 0 Forward-Kontrakt zum Zeitpunkt null. * g x Dichtefunktion bzgl. der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit. G x Verteilungsfunktion. IX

12 K ln M Basispreis einer Option. Gelegentlich wird es auch als Ausübungspreis oder als Strike bezeichnet. Natürlicher Logarithmus. Anzahl der Zustände. n Gibt die Anzahl der Tage pro Jahr an, sodass t / n ein Intervall als Bruchstück eines Jahres vorgibt. N x Gewichtung durch die Standardnormalverteilung für die Parameter der Bewertungsformel für Optionen, z. B. die Gleichungen (13) und (14). p Wert einer europäischen Verkaufsoption oder auch als Put- Option bezeichnet. pbs Wert einer europäischen Verkaufsoption nach dem Black- Scholes-Modell. p mkt Marktwert einer europäischen Verkaufsoption. * p x Wahrscheinlichkeitsverteilung unter dem Martingalmaß. Es wird auch als Wahrscheinlichkeitsmaß durch P bezeichnet. q r r f Dividendenrendite. Risikoloser Zinssatz. Innerhalb der Bewertung von Currency-Options entspricht r dem inländischen risikolosen Zinssatz. Risikoloser Zinssatz des Auslandes. R s S S 0 Konstanter risikoloser Zinssatz in diskreter Zeit, der durch 1 eine Abzinsung im diskreten Fall darstellt. R T Realisation des Aktienkurses. Preis eines Vermögensgegenstandes, z. B. Währung, Aktie, oder Aktienindex zum Zeitpunkt t. Wert von S zum Zeitpunkt null. T S Wert von S zum Zeitpunkt T. X

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