Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität

Transkript

1 Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität Mathias Weigler Universität zu Köln 1. Mai 2014 Ziel dieses Vortrags: Modellierung und Einführung in die Theorie der Optionspreisbewertung Verwendete Literatur: [HoKu] M. Holtz; A. Kunoth, B-spline based monotone multigrid methods, Siam J. Numer. Anal. 45(3), S , 2007 [Sau] M. Sauerland, Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität: Mehrgittermethoden basierend auf B-Splines höherer Ordnung, Institut für Mathematik, Universität Paderborn, Masterarbeit, 2013 [Sch] C. Schneider, Multiskalenmethoden zur Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität, Institut für Angewandte Mathematik, Universität Bonn, Diplomarbeit, 2008 [Sey] R. Seydel, Tools for Computational Finance, 5. Auflage, Springer Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 1

2 Was ist eine Option? Definition: Recht (nicht die Verpflichtung), ein Underlying (z.b. Aktie) zu einem bestimmten Zeitpunkt T zu einem festen Preis K zu kaufen (Call) oder verkaufen (Put) Wozu? Versicherung: Absicherung gegen Kursänderung des Underlying Spekulationszwecke Wesentliche Unterschiede: Amerikanisch Europäisch Ausübung in 0 t T möglich Ausübung nur zum Stichtag T möglich Auszahlung bei Ausüben: S ist der (zeitabhängige) Wert des Underlyings Call Put H(S) := (S K) + := max{s K, 0} H(S) := (K S) + := max{k S, 0} Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 2

3 Einige wichtige Eigenschaften Abgrenzung zur Zeitreihenanalyse: Option ist Derivat (abgeleitetes Finanzprodukt) Bewertung viel schwieriger, da abhängig vom Verlauf des Kurses der Aktie Zentrale Frage: heutiger fairer Wert V(0, S 0) fairer Preis = aus Käufer- und Verkäufersicht akzeptabler Preis Eigenschaften: V := V(t, S): Wert der Option (Optionspreis) abhängig von S und t V(t, S) 0 ist offensichtlich (da Auszahlungsfunktion nie negativ) Intuitiv klar: V Am V Eur, da Amerikanische Option europäische beinhaltet Vorzeitiges Ausüben eines Amer. Call auf eine Aktie, die keine Dividende (= Gewinnausschüttung an den Halter) ausschüttet in [0, T], nie sinnvoll V Eur Call = V Am Call Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 3

4 Vorzeitiges Ausüben Vermutung: vorzeitiges Ausüben einer Amerikanischen Option kann sinnvoll sein (betrachte hier Put) V(t, S) = { (K S) + S S f? S > S f [Sey] Aufgabe: sinnvolle Modellierung im Haltebereich, da Wert im Stoppbereich durch Payoff klar ist Problem: Rand S f der Bereiche ist a priori unbekannt numerische Approximation notwendig Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 4

5 Modellierung Das Black-Scholes-Modell Zentrale Annahmen: konstante Volatilität σ > 0 (Standardabweichung, misst die Schwankungsbreite) konstanter Zinssatz r... Aktienkurs kann durch Brownsche Bewegung modelliert werden ds t = µs t dt + σs t dw t (Brownsche Bewegung) Kann gezeigt werden, dass somit für Optionspreis folgende Partielle Differentialgleichung (PDGL) gilt (V = V(t, S)) V t σ2 S 2 2 V S 2 V + rs S rv = 0 (klassische Black-Scholes-Gleichung) Europäische Optionen: analytisch bestimmbare Lösung existiert (klassisches Randwertproblem) Amerikanische Optionen: wegen freiem Rand (unbekannt) keine analytische Lösung zu erwarten Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 5

6 Herleitung der Black-Scholes-Gleichung Itô-Lemma: Sei Y(t) R stoch. Prozess und f : R + R R Funktion, die in der ersten Komponente einmal und in der zweiten Komponente zweimal stetig differenzierbar ist. Dann ist auch Z(t) := f(t, Y(t)) Itô-Prozess mit ( ) f(t, Y(t)) f(t, Y(t)) dz(t) = + a(t, Y(t)) f(t, Y(t)) b 2 (t, Y(t)) dt t Y 2 Y 2 ( V dv = t ) + µs V S 2 σ2 S 2 V dt + σs V S 2 S dw f(t, Y(t)) + b(t, Y(t))dW(t) Y (Prozess nach Itô-Lemma) Idee: Konstruiere Portfolio Π := V + S ( ) V dπ = + µs V t S 2 σ2 S 2 V dt + σs V dw + µsdt + σsdw (1) S 2 S Wähle = V Risiko eliminiert S aber: für risikolose Anlage gilt ( ) dπ = rπdt = r V S V dt (2) S Gleichsetzen von (1) und (2) liefert Ergebnis Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 6

7 Problematik Finanzwirtschaftlich großes Interesse: partielle Ableitungen des Optionspreises, sog. Griechen Delta= V S Gamma= 2 V S 2 Theta= V t... geben Aufschluss über Sensitivität der Option bzgl. Änderung der Variablen können für bestimmte Anlagestrategien (zb. Hedging=Risikoabsicherung) genutzt werden Wesentlicher Kritikpunkt des klassischen Black-Scholes-Modells: konstante Volatilität [Sau] Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 7

8 CIR-Prozess Ziel: Wert der Option näherungsweise als Funktion V(t, S, v) (v ist Volatilität) Ab jetzt: Amerikanische Put-Option mit stoch. Volatilität Cox, Ingersoll und Ross (1985): stoch. Volatilität kann beschrieben werden durch: dv t = κ(γ v t)dt }{{} Drift + ξ v t dw t }{{} Diffusion (CIR-Prozess) κ =Rückfallgeschwindigkeit γ =Gleichgewichtsniveau ξ =Prozessvolatilität Euler-Maruyama [Sey], Parameter: κ = 3, γ = 0.05, ξ = 0.1, Schritte= 400, Startwert= 0.08 Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 8

9 Wesentliche Problemformulierung 1 Feller-Bedingung 2κγ ξ 2 verletzt v hat Nullstelle in endl. Zeit } Black-Scholes-Modell Umformungen Heston-Gleichung CIR-Prozess Korrelation ρ LV := V + 1 t 2 (S2 v 2 V + S 2ρξvS 2 V 2 + S v ξ2 v 2 V v 2 )+rs V S +κ(γ v) V v rv = 0 Problemstellung LV = 0 S > S f, v 0, t [0, T) V(t, S, v) = H(S) S S f, v 0, t [0, T) lim S 0 V = lim H(S) = K, S 0 lim V = lim H(S) = 0, lim S S lim V = H(S) v 0 V = v v 0 Besonderheit: Endbedingung V(T, S, v) = H(S) Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 9

10 Wesentliche Problemformulierung 2 Freier Rand in der Formulierung taucht explizit auf als Variationsungleichung umformulieren LV = 0 S > S f, v 0, t [0, T) V = H(S) S S f, v 0, t [0, T) Liefert zusammengefasst LV (V H(S)) = 0 S 0 LV 0 V H(S) 0 Gebiet Ω t,s,v := (0, T) (0, ) (0, ) Diskretisierung kann problematisch werden (Konvektionsterm) neue Variable ( S ) x := ln, x (, ) K Damit wird g(x) := H(S) und y(t, x, v) := V(t, S, v) Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 10

11 Diskretisierung 1 Jetzt: Variationsformulierung herleiten Diskretisierung Numerische Lösung Also: Gitter erstellen/gebiet beschränken Ω t,x,v := Ω := (0, T) (x min, x max) (v min, v max) (x min, x max) (v min, v max) In der Zeit diskretisieren wir den Differentialoperator x min = x max 0 =: t 0 < < t M := T, τ := t k+1 t k y t t k y k+1 y k τ Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 11

12 Diskretisierung 2 Schrittweiten von x und v haben unterschiedliche Feinheit Dirichlet-Rand Γ: y = g (entspricht dem Payoff) Neumann-Rand: y = 0 (bei sehr hoher Volatilität wirken sich kleine Abweichungen kaum aus) v Nutze Finite Elemente, B-Spline-Basis [HoKu]: prinzipiell auf höhere Ordnung und nicht-gleichmäßige Gitter verallgemeinerbar dazu: erweiterte Knotenfolgen für obiges Gebiet durch u := y g erhalten wir Nullränder (vereinfacht Integration über Rand) Lösungsraum: K := {ϕ H 1 (Ω) : ϕ 0, ϕ = 0 auf Γ} Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 12

13 B-Splines Wegen 0-Randbedingung: N T K ohne extreme B-Splines [Sau] Einigen Umformungen Ungleichungssystem der B-Spline-Entwicklungskoeffizienten Lösung mittels PSOR (Abwandlung des SOR Verfahren wegen Nebenbedingungen) Beschleunigung: Mehrgitterverfahren abwechselnd auf Gittern unterschiedlicher Feinheit rechnen Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 13

14 ( S K Darstellung einer Lösung Numerische Lösung für den Optionspreis in t = 0 abhängig von Volatilität und transformiertem ) Aktienkurs x = ln, K = 10 y(t, x, v) = 10 (Aktienkurs gegen 0), lim y(t, x, v) = 0 (Aktienkurs gegen ) lim x 5 x 5 Modell empfindlicher für Aktienkursschwankungen als für Volatilitätsschwankungen Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 14 [Sau]

15 Ausblick CIR-Prozess kann theoretisch Wert 0 liefern (siehe Feller-Bedingung): in der Praxis fragwürdig eventuell anderen Prozess verwenden Methode auf allgemeinere Optionen übertragen: durch Tensorprodukt B-Splines auf beliebige Dimension erweiterbar Implementierung kubischer Splines: glatte Lösung (C 2 ), Griechen können direkt berechnet werden (Ableitung durch Neville-Schema) mittels Griechen ein optimales Portfolio erstellen (Risikominimierung) Mathias Weigler Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität 15