Kalibrierung eines ökonomischen Szenariengenerators. Albert Meeser und Wiebke Burdag

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1 Kalibrierung eines ökonomischen Szenariengenerators Albert Meeser und Wiebke Burdag

2 Übersicht Einführung Vasicek Modell Black Scholes mit Vasicek Optimierungsalgorithmen Implementierung Ergebnisse der Kalibrierung

3 Ziel der Kalibrierung ist die Anpassung der Modelldaten an Marktdaten unter Verwendung geeigneter Optimierungsalgorithmen. Minimierungsproblem θ = min θ n (P Modell (t i, T i ) P Markt (t i, T i )) 2 j=1 θ = (θ 1,..., θ k ) T Parametervektor T = (T 1,..., T n ) T, t = (t 1,..., t n ) T

4 Das Vasicek-Modell Die Short-Rate r genügt der Differentialgleichung: dr(t) = (b + β r(t))dt + σdw b, σ R +, β R Explizit folgt daraus sowie r(t) = r(0)e βt + b t β (eβt 1) + σe βt e βt dw E[r(t)] = r(0)e βt + b β (eβt 1) 0

5 Die Preisformel des Vasicek-Modells liefert eine affinen Laufzeitstruktur P(t, T ) = exp( A(t, T ) B(t, T )r) wobei B(t, T ) = 1 b ( ) e β(t t) 1 A(t, T ) = σ2 (4e β(t t) e 2β(T t) 2β(T t) 3) 4β 3 + beβ(t t) 1 β(t t) β 2

6 Black Scholes mit Vasicek Der Aktienkurs S erfüllt die Differentialgleichung: ds (t) = S (t) r (t) dt + S (t) σ 1 W 1 Dynamik der Short-Rate nach dem Vasicekmodell: dr (t) = (b + βr (t))dt + σdw σ, σ 1 > 0 Die Preisformel einer europäischen Call Option X = [S(T ) K] + zum Zeitpunkt t = 0 ist gegeben durch: [ T ] Θ(0, X ) = E exp( r(s)ds) X 0

7 [ T ] [ T = E exp( r(s)ds)s (T ) 1 {S(T ) K} E exp( 0 0 = S(0)E S [ S(T )1{S(T ) K} S(T ) ] P(0, T )E T [ K1 {S(T ) K} ] Führen wir nun den normierten Preisprozess Z(t) = lässt sich der zweite Term umformen und wir erhalten Q T (S(T ) K) = Q T (Z(T ) K) Z(t) genügt der Differentialgleichung Z(T ) = Z(0) exp( 1 2 dz(t) = Z(t)σ z (t)dw T T 0 r(s)ds)k1 {S(T ) K S(t) P(t,T ) T σ z 2 dt + σ z (t)dw T ) 0 ein, so

8 Die Dynamik kann explizit beschrieben werden durch ( ) ( S(t) 1 1 dz(t) = d = ds(t) P(t, T ) P(t, T ) +S(t)d P(t, T ) ) +d S, Anwenden der Ito-Formel auf die Vasicek Preisformel ergibt: dp(t, T ) = P(t, T ) [r(t)dt B(t, T )σdw ] Und erhalten mit der Ito-Formel für die Dynamik von 1 P(t,T ) d ( ) 1 = P(t, T ) Einsetzen ergibt: 1 [( B 2 (t, T )σ 2 r(t) ) dt + B(t, T )σdw ] P(t, T ) dz(t) = Z(t) [ B 2 (t, T )σ 2 dt + σ 1 dw 1 + B(t, T )σdw ] 1 P(t, T )

9 Wir erhalten für die Varianz von Z(T ): Var(T ) = T 0 σ z 2 dt = T σ1 2 + (βt σ2 β e2βT + 12 ) e2βt Analog für den ersten Term der Preisformel durch einführen des normierten Preisprozess Y (t) = P(t,T ) S(t) Wir erhalten insgesamt: Θ(0, X ) = S(0)Q S (S(T ) K) KP(0, T )Q T (S(T ) K) = S(0)N(d 1 ) KP(0, T )N(d 2 ) mit d 2 = ( log S(0) KP(0,t) ) 1 2 Var(T ) Var(T ) d 1 = d 2 + Var(T )

10 Optimierungsalgorithmen für die Kalibrierung 1. Newtonverfahren 2. Gedämpftes Gauß-Newtonverfahren 3. Verfahren der konjugierten Gradienten

11 Newtonverfahren Gesucht ist die Nullstelle x einer nichtlinearen Funktion f : G R n R n Ist f stetig diffbar ergibt die Taylorentwicklung in einer Umgebung von x 0 : f (x) = f (x 0 ) + Df (x 0 ) (x x 0 ) + O ( x x 0 ) Unter der Annahme, dass x 0 nahe genug an der Nullstelle liegt, erhalten wir die Näherung Df (x 0 ) (x x 0 ) = f (x ) f (x 0 ) = f (x 0 ) Die Näherung von x 1 an x 0 wählt man als Lösung des GS und erhält die Iterationsvorschrift: x k+1 = x k (Df (x k )) 1 f (x k ), k 0

12 Gedämpftes Newtonverfahren Das Residuum r (x, t, T ) 2 2 = PModell (t, T ) P Markt (t, T ) wird minimiert min x g (x) mit g (x) := 1 2 r (x)t r (x) Voraussetzung r ist zwei mal stetig differenzierbar. Es gilt: g (x) = r (x) T r (x) und g (x) = r (x) T r (x) + n i=1 r i (x) r i (x) Für g (x) positiv definit folgt die Iterationsvorschrift: x k+1 = x k α k (r (x k ) T r (x k )) 1 r (x k ) T r (x k ) Die Schrittweite α k wird iterativ durch Halbierung so bestimmt, dass: r (x k+1 ) < r (x k )

13 Algorithmus: 1. Wähle Startvektor x 0 R n. Bestimme r und r 2. Berechne r(x k ) und r (x k ). 3. Berechne die Newtonkorrektur s k nach der Vorschrift: r (x) T r (x) s k = r (x) T r (x k ) 4. Falls s k tol STOP. 5. Setze x k+1 = x k + α k s k.

14 Conjugierte Gradientenverfahren CG steht für Conjugate Gradient und die Methode wird genutzt, um lineare Gleichungssysteme Ax = b zu lösen. Die Idee basiert darauf, die Richtungen h k in jeder Iteration A-konjugiert zu wählen. Das Verfahren liefert nach spätestens m Schritten (A R m m ) die exakte Lösung. Wir betrachten die Funktion f (x) = r(x, t, T ).

15 Algorithmus: 1. Wähle Startvektor x 0 R n und tol Setze f 0 = f (x 0 ), h 0 = f 0, k = Falls f k tol STOP. 4. Bestimme α k durch Line-Search. 5. Setze x k+1 = x k + α k h k. 6. Berechne f k+1 = f (x k+1 ) und β k+1 = f k+1 2 f k Setze h k+1 = f k+1 + β k+1 h k. 8. Setze k k + 1 und GOTO 2.

16 Anmerkungen Line-Search kann für den nicht-linearen Fall nicht exakt durchgeführt werden f (x k + α min h k ) = min α f (x k + αh k ) Wir verwenden die effiziente Armijo-Bedingung als inexakten Line Search: f (x k + α k h k ) f k + α k γ f T k h k, wobei 0 < γ < 1 ein zu wählender Parameter ist. Da der Line-Search nicht exakt ist, wird über β ein Korrekturversuch unternommen { f T } β k+1 = max k ( f k+1 f k ) f k 2, 0.

17 Input Kalibrierung Vasicek Modell Fünf Zero Bonds der Bundesrepublik Deutschland. Restlaufzeiten zwischen 3 und 15 Monaten. Zinssatz r 0 mit Hilfe des ersten Zero Bonds bestimmt: ( Zinsbetrag = Basisbetrag e r Tage ) 0 Basistage 1. Table 1: Input der Kalibrierung des Vasicek-Modells. T y

18 Ergebnisse Kalibrierung Vasicek Modell Table 2: Parameter des kalibrierten Vasicek-Modells. σ β b Norm GN CG lsqnonlin fminunc

19 Table 3: Zero Bond Preise des kalibrierten Vasicek-Modells und Marktpreise. T P Vasicek P Markt ɛ abs ɛ rel % % % % % Die Norm der Fehler beträgt

20 Anmerkungen Kalibrierung Vasicek Modell Kalibrierung mit zufällig gewählten Startwerten. Norm stets mindestens Kalibrierung des Black-Scholes-Modells mit den Parametern σ = , β = , b =

21 Input Kalibrierung Black Scholes Matrix von insgesamt 30 Calls auf den DAX. DAX in t = 0 bei Laufzeiten von 1, 2, 3, 6, 9, 12 Monaten. Strike von 8300, 8800, 9300, 9800, Restlicher Input vom Vasicek-Modell. Kalibrierung mit Hilfe des mittleren Eintrags: Laufzeit 6 Monate & Strike 9300.

22 Kalibrierung des Black-Scholes-Modells: Ergebnisse Table 4: Parameter des kalibrierten Black-Scholes-Modells. σ BS Norm GN e 06 CG e 13 lsqnonlin e 13 fminunc e 08 Table 5: Call Preis des kalibrierten Black-Scholes-Modells und Marktpreis. P BS P Markt ɛ abs ɛ rel %

23 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 1: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Strike von 8300.

24 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 2: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Strike von 8800.

25 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 3: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Strike von 9300.

26 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 4: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Strike von 9800.

27 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 5: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Strike von

28 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 6: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Laufzeit von 1 Monat.

29 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 7: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Laufzeit von 2 Monaten.

30 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 8: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Laufzeit von 3 Monaten.

31 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 9: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Laufzeit von 6 Monaten.

32 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 10: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Laufzeit von 9 Monaten.

33 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 11: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Laufzeit von 12 Monaten.

34 Kalibrierung des Black-Scholes-Modells: Ergebnisse bei Verwendung sämtlicher gegebener Daten Table 6: Parameter des kalibrierten Black-Scholes-Modells. σ BS Norm GN e + 02 CG e + 02 lsqnonlin e + 02 fminunc e + 02 Der Parameter bei der Kalibrierung anhand des mittleren Eintrags hatte den Wert σ BS =

35 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 12: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Strike von 9300.

36 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 13: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Laufzeit von 6 Monaten.

37 Anwenden des kalibrierten Black-Scholes-Modells Figure 14: Vergleich Call Preis nach Black-Scholes und Marktpreis für Strike von 9300.

38 Implizite Volatilität der gegebenen Daten Figure 15: Implizite Volatilität in Abhängigkeit von der Laufzeit für Strike von 9300.

39 Implizite Volatilität der gegebenen Daten Figure 16: Implizite Volatilität in Abhängigkeit vom Strike bei einer Laufzeit von 6 Monaten.

40 Zur Kalibrierung des Black-Scholes-Modells Bei Verwendung eines deterministischen Zinses beträgt die implizite Volatilität des Black-Scholes-Modells σ BS = Die damit berechneten Call Preise liegen sehr nahe bei den mit stochastischem Zins bestimmten Preisen.

41 Fazit Die Kalibrierung bestimmt die Modellparameter so, dass das Modell möglichst gut die zur Kalibrierung verwendeten Marktdaten beschreibt. Die Güte des Modells hängt u.a. von der Anzahl der Parameter, den zur Kalibrierung verwendeten Marktdaten und der Kalibrierung selbst ab. In der Praxis werden komplexere Modelle eingesetzt und eine aufwendigere Kalibrierung betrieben.