D-MAVT NUMERISCHE MATHEMATIK FS 14 K. Nipp, A. Hiltebrand Lösung vom Test 2

Transkript

1 D-MAVT NUMERISCHE MATHEMATIK FS 4 K Nipp, A Hiltebrand Lösung vom Test Sei A ( 3 3 ) a) Bestimmen Sie κ(a), die Kondition von A (in der -Norm): κ(a) b) Berechnen Sie den Spektralradius von A: ρ(a) 4 c) A ist positiv definit: Richtig / Falsch d) Die Matrix A erfüllt die Voraussetzungen für das CG-Verfahren: Richtig / Falsch a) Die Matrix A ist offensichtlich symmetrisch Berechnen der Eigenwerte:! (3 λ) 9 6λ + λ) 8 6λ + λ) (4 λ)( λ) Also sind diese und 4 Die Kondition berechnet sich als (siehe S4) κ(a) λ max λ min 4, wobei λ max der betragsmässig grösste und λ min der betragsmässig kleinste Eigenwert ist b) Der Spektralradius ist der Betrag des betragsgrössten Eigenwerts (siehe Definition S 7) wobei λ i die Eigenwerte von A sind ϱ(a) max i λ i 4, c) Da die Matrix A symmetrisch ist, gilt: A ist positiv definit, genau dann wenn alle Eigenwerte von A positiv sind (siehe S 7) Dies ist hier gegeben und damit ist A symmetrisch positiv definit d) Die Matrix A ist gemäss c) symmetrisch positiv definit und damit sind die Voraussetzungen für das CG-Verfahren erfüllt Bitte wenden!

2 Sei A eine quadratische, bereits in MATLAB eingegebene Matrix Man möchte den Spektralradius der Iterationsmatrix T des Gauss-Seidelverfahrens mit MATLAB berechnen Ergänzen Sie den untenstehenden MATLAB-Code, indem Sie für jede der drei Zeilen den richtigen Befehl (entweder a) oder b)) einfügen (dh ersetzen Sie auf jeder Zeile durch a) oder b)) Ddiag(diag(A)); b) a) Rtriu(A); b) Rtriu(A)-D; a) a) T-tril(A)\R; b) T-tril(A-D)\R; b) a) rhoabs(max(eig(t))); b) rhomax(abs(eig(t))); R soll hier nur den strikt oberen Dreiecksteil erfassen, deswegen ist bei der ersten Zeile b) korrekt Die Iterationsmatrix T beim Gauss-Seidelverfahren ist gegeben als T (D + L) R (siehe S 9) und damit ist in der zweiten Zeile a) korrekt Der Spektralradius ist definiert als der Betrag des betragmässig grössten Eigenwerts (siehe S 7) Daher ist in der letzten Zeile b) richtig 3 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax b mit 3 A 4 5 Dann konvergiert das Jacobi-Verfahren in der -Norm für das gegebene System das Gauss-Seidel-Verfahren in der -Norm für das gegebene System Richtig / Falsch Richtig / Falsch Die Matrix A ist strikt diagonal dominant und somit konvergiert sowohl das Jacobi als auch das Gauss-Seidel-Verfahren (siehe S 9) Alternativ kann man auch den Spektralradius der Iterationsmatrix bestimmen und zeigen, dass dieser strikt kleiner als ist (vergleiche den Satz auf S 8) 4 Gegeben sei eine symmetrisch positiv definite Matrix A mit der Kondition κ(a) 5 Desweiteren habe man eine Matrix H, so dass die vorkonditionierte Matrix à H AH T die Kondition κ(ã) hat Bestimmen Sie je eine obere Schranke der Anzahl Schritte des CG-Verfahrens, so dass der Fehler um den Faktor 6 verkleinert wird: a) für das ursprüngliche System mit der Matrix A, b) für das vorkonditionierte System mit der Matrix à a) Für den Fehler im j-ten Schritt e j gilt (siehe S 37) e j A α j e A, α κ(a) κ(a) + Siehe nächstes Blatt!

3 Um den Fehler um einen Faktor 6 zu reduzieren, muss also gelten Umformen ergibt α j 6 ( ) 6 j log(α) log und weiter (man beachte die Umkehrung der Ungleichung, da α < und damit log(α) < ) ( ) log 6 j 384, log(α) wobei mit der gegebenen Konditionszahl α 9568 gilt Also sollte man im schlechtesten Fall 39 Iterationen benötigen b) Anlog gilt für den Fehler mit Vorkonditionierung e j à α j e Ã, α κ(ã) κ(ã) + Mit α 55 führt dies auf j ( log ) 6 log(α) 44 Also sollten 5 Iterationen genügen, was einer deutlichen Reduktion der Anzahl Schritte entspricht 5 Gegeben sei f(x) mit f(x) ( x, x + x + ) Berechnen Sie einen Schritt des Newton-Verfahrens mit Startwert x (, ) Antwort: x Wir berechnen zuerst die Jacobimatrix J von f: f x ( ), f x Der erste Newton-Schritt lautet (siehe S 49) ( ) x ( 3/ J x x +, J(x ) f(x ) ) ( ) x Mit x ( ) f(x ) ( ) /, J(x ) 3/ ( ) Bitte wenden!

4 und J(x ) f(x ) : / 3/ 3/ / ( ) / erhalten wir x x + ( ) + ( ) / ( ) 3/ 6 Die Funktion newt(x, f, df) berechnet die Nullstelle einer reellen Funktion f mit Ableitung df Ergänzen Sie den folgenden Matlab-Code: function xnewt(x,f,df) max_iter; Tole-8; xx; for iter:max_iter xn x - f(x)/df(x); end if abs(xn-x) < Tol*norm(xn) + Tol x xn; return; end; x xn; Siehe S 4 bzw S 49 im Skript 7 Gegeben sei A R m n, c R m Der folgende MATLAB-Code soll die Lösung der Fehlergleichungen Ax c r mit minimaler -Norm nach der Methode der kleinsten Quadrate mit Hilfe der Singulärwertzerlegung berechnen Ergänzen Sie den MATLAB-Code function [xstar]min_lsg_swz(a,c) [u,s,v] svd(a); k rank(a); yzeros(k,); for i:k y(i) u(:,i) *c/s(i,i); end xstar v(:,:k)*y; end Siehe S 63 im Skript Siehe nächstes Blatt!

5 8 Gegeben seien die Wertepaare (, 5), (, ) Berechnen Sie den Wert des Interpolationspolynoms P (x) an der Stelle x 5 Antwort: P (5) 5 In der Lagrange-Darstellung ist P (x) f i l i (x) i ( 5) x + x 5 (x ) + x Damit erhalten wir ( ) 3 P 5 ( ) Alternativ können wir den Algorithmus von Aitken-Neville (S 69) verwenden: x : f 5 : P x : f : P P P + x x (P P ) + 5 x x ( 5 ), wobei P der Wert des Interpolationspolynoms an der Stelle x 5 ist 9 Von einer Funktion f seien die Funktionswerte f i sowie die Ableitungen f i an den Stützstellen x i, i,, 3, bekannt: x i 9 3 f i f i Berechnen Sie die Hermite-Interpolationsfunktion g von f an der Stelle x 3 : g( 3 ) 4 Wir benutzen den Algorithmus auf S 73 im Skript: Das Differenzenschema ist: i, dann ist x i x 3 < x i+ h i 3 /3 /3, t 3 /3 α f i α f i+ β h i f i ( 3) 3 β α α β h i f i+ 3 γ β β 3 γ β β δ γ γ 4 Bitte wenden!

6 Q i (t) α + (β + (γ + δ t)(t ))t Also gilt: g ( ) ( ) Q i 3 4 Es soll eine periodische Spline-Interpolationsfunktion (mit Periode 5/3) durch die Daten gelegt werden Bestimmen Sie f i, i,, Antwort: i x i /3 /3 4/3 5/3 f i - /3 f f f 3 f 4 f Wir haben die folgende Bedingung (S 74) für die inneren Stützstellen x,,x 5 : Dabei gilt folgendes Für die erste Stützstelle muss gelten: b i f i + a i f i+ + b i+ f i+ d i+, i,, 4 h i 3, i,, 5 b i h i 3, i,, 5 a i (b i + b i+ ), i,, 4 c i f i+ f i, h i i,, 5 d i 3(c i + c i ), i, 5 Q 5 () Q () h 5 h Wir erhalten unter Ausnutzung der periodischen Randbedingungen wobei wir definieren Wir erhalten die folgenden Werte b 5 f 5 + a 5 f + b f d, a 5 (b 5 + b ), d 3(c 5 + c ) Siehe nächstes Blatt!

7 i c i d i Das Gleichungssystem ist dann Af d mit a 5 b b b a b 3 3 A b a b 3 3 3, d b 3 a 3 b b 5 b 4 a Lösen des Gleichungssystem führt zu f f f f 3 f 4 f d d d 3 d 4 d , f f f f 3 f 4 f 5 Sei I f(x) dx Wird das Integral exakt berechnet mit (x(x ) (x + 3) + 5 x ) dx der Simpson-Methode? der 3-Punkt-Gaussquadraturformel? Richtig / Falsch Richtig / Falsch Als erstes stellen wir fest, dass der Integrand ein Polynom vom Grad 4 ist Die Simpson-Methode integriert im Allgemeinen nur Polynome vom Grad 3 exakt (siehe S ); nachrechnen ergibt, dass I 679 gilt, während wir mit der Simpson-Quadratur S 7 erhalten Die Gaussquadraturformeln haben den Genauigkeitsgrad n, wobei n die Anzahl Quadraturknoten sind (siehe S ) Die 3-Punkt-Gaussquadraturformel integriert also Polynome vom Grad 5 exakt und insbesondere wird I exakt berechnet Von einer π-periodischen Funktion f seien die Funktionswerte f i an den Stützstellen x i, i,,, 3, 4, bekannt: x i π π 3π π f i Bitte wenden!

8 Bestimmen Sie das trigonometrische Interpolationspolynom von f: p(x) a N/ + j [a j cos(jx) + b j sin(jx)] + a N/ cos ( ) N x Benutzen Sie den MATLAB-Befehl fft, um die unbekannten Koeffizienten zu berechnen Antwort: p(x) + sin(x) Wir haben N 4 und führen die Analyse gemäss S 86 wie folgt durch: ( ) c ( N) fft N f (N), wobei Der Code fft(/4*[;;;]) führt zu ans + i - 5i + i + 5i f (N) (f, f, f, f 3 ) T (,,, ) T und damit zu den folgenden Fourierkoeffizienten c c (N) c c i/ c 3 i/ Die reellen Koeffizienten erhalten wir für j,, N/ mit (siehe S 8) a j c j + c j, b j i c j i c j Konkret ergibt sich für j mit c c c 3 a i/ + i/, b i( i/) i(i/) Für die verbleibenden zwei Koeffizienten gilt: a a N/ c N/ c, a c Einsetzen in das trigonometrische Polynom ergibt schliesslich p(x) a N/ + j + sin(x) [a j cos(jx) + b j sin(jx)] + a N/ cos ( ) N x