D-ITET, D-MATL Numerische Methoden SS 2006 Prof. R. Jeltsch. Musterlösung 6. x A 1 b. A 1 b A 1. x A ( A. gestört: x A 1 =

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1 D-ITET, D-MATL Numerische Methoden SS 2006 Prof. R. Jeltsch Musterlösung 6 1. a b exakt: x = c Die Inverse von A lautet x = A 1 b x = A 1 b x A 1 b x A 1 b x A 1 b A x b x κ A b x b 3 1 A 1 = gestört: x In der Unendlich-Norm für Matritzen werden zeilenweise die Beträge der Elemente zusammengerechnet und das Maximum dieser Summen betrachtet. κ A = A A 1 = 2 2 = 4 Zu verifizieren ist x x κ A 1 κ A A A A A + b b mit x = 3, x , A = b = 10 4, b = 2 also = Bitte wenden!

2 AE + BG AF + BH 2. a 1 = CC 1 = BE + AG BF + AH. AE + BG = 1 1 AF + BH = 0 2 BE + AG = 0 3 BF + AH = F = A 1 BH, H = B 1 AF. Einsetzen von *, bzw. ** in 4 ergeben H = A BA 1 B 1 und F = B AB 1 A 1. Die beiden anderen Gleichungen analog via 3 und 1. b Zu zeigen: Die durch diesen Algorithmus erhaltene Lösung x = [x 1 x 2 ] T löst Cx = b. Ax1 + Bx 1 Cx = 2 = Ay Ay By 2 1 1Ay Bx 1 + Ax 2 By By Ay Ay 2 2 b1 +b 2 + b 1 b 2 b1 = 2 2 =. b 1 +b 2 + b 2 b b 2 c Algorithmenvergleich gemittelt über 10 Zeitmesssungen, dima = 2 n : t1=[]; t2=[]; nmax=150; for n = [1:nmax] dim = 2*n; A =... ; B =... ; b1=randdim,1; b2=randdim,1; C=[A B; B A]; tic x=c\[b1;b2]; t1=[t1,toc]; tic y1=a+b\b1+b2; y2=a-b\b1-b2; x=[y1+y2;y1-y2]/2; t2=[t2,toc]; end plot[1:nmax],t1, :,[1:nmax],t2, b ; legend direkt, unterteilt Siehe nächstes Blatt!

3 direkt unterteilt Zeit [s] n 3. a MATLAB: function y = gaussseidela, b, x % Funktion berechnet einen Gauss-Seidel-Schritt mit der Matrix A, % der rechten Seite b und dem Startwert x. % % Aufruf: y = gaussseidela, b, x % A Matrix vollbesetzt oder sparse % b Vektor der rechten Seite % x Startwert % y Resultat M = diagdiaga+trila,-1; % Diagonale + untere Dreiecksmatrix von N = M - A; y = M\N*x+b; function y = jacobia, b, x % Funktion berechnet einen Jacobi-Schritt mit der Matrix A, Bitte wenden!

4 % der rechten Seite b und dem Startwert x. % % Aufruf: y = jacobia, b, x % A Matrix vollbesetzt oder sparse % b Vektor der rechten Seite % x Startwert % y Resultat M = diagdiaga; % Diagonale von A N = M-A; y = M\N*x+b; function y = sora, b, x, omega % Funktion berechnet einen Successive-Over-Relaxation-Schritt % mit der Matrix A, der rechten Seite b und dem Startwert x. % % Aufruf: y = sora, b, x, omega % A Matrix vollbesetzt oder sparse % b Vektor der rechten Seite % x Startwert % omega Relaxationsparameter % y Resultat M = diagdiaga/omega+trila,-1; % Diagonale + untere Dreiecksmat N = M - A; y = M\N*x+b; I 0 b L = u T R 1 1 MATLAB: R v, U = 0 T u T R 1 v N = 20; % Anzahl der Stuetzstellen iter = 15; % Anzahl der Iterationen bitte testen [A,b,x] = heat quelle2,n; T = zerosn,1; Tex=A\b; % Ich nehme an Matlab loest es mit "exackt" plotx,t,x,tex, g ; title Quelle 3 ; xlabel x ; ylabel Tx ; Siehe nächstes Blatt!

5 hold on; for i=1:iter T =...; plotx,t; hold on; hold off; % Hier verschiedene Verfahren einfuegen c A ist singulär, falls L oder U singulär. L ist untere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen regulär. Da R reguläre obere Dreiecksmatrix ist, ist U genau dann singulär, wenn das unterste Diagonalelement Null ist u T R 1 v = 0. d Drei Löser-Varianten: Für sizer = 500,500, n = 1000: t1= , t2= , t3= MATLAB: N = [10,20,40,80,160,320]; iter = 100; convrate = zeroslengthn,1; for k=1:lengthn [A,b,x] = heat quelle3,nk; Tex = A\b; T = zerosnk,1; for i=1:iter erralt = norm...,inf; T =... ; % hier Gauss-Seidel, Jacobi, oder SOR-Ve errneu = norm...,inf; convratek =... ; convratek = convratek/iter; [N,convRate] e MATLAB: N = 20; omega = [0.2:0.02:2.0]; iter = 100; convrate = zeroslengthomega,1; for k=1:lengthomega [A,b,x] = heat quelle3,n; Tex = A\b; Bitte wenden!

6 T = zerosn,1; for i=1:iter erralt = norm...,inf; T =... ; % hier Gauss-Seidel, Jacobi, oder SOR-Verfahren errneu = norm...,inf; convratek =... ; convratek = convratek/iter; figure2; plotomega,convrate; 4. a Das Jacobi-Verfahren Gesamtschrittverfahren ist durch à = D definiert. Wegen A = L + D + R und M = à und N = à A bekommen wir für M = D und N = R L. Wir berechnen die Unendlich-Norm der Iterationsmatrix B G = D 1 L R unter der Voraussetzung, dass A strikt diagonal dominant ist. B G = D 1 L R n = max a ij i=1,2,...n a ii = max 1 n a ij < 1 i=1,2,...n a ii b Der Beweis ist für das Gauss-Seidel-Verfahren Einzelschrittverfahren nicht so einfach. Das Gauss-Seidel-Verfahren ist durch M = D + L und N = R definiert. Für die Iterationsmatrix B E = M 1 N = D + L 1 R gilt zunächst B E = D + L 1 R = DI + D 1 L 1 R = I + D 1 L 1 D 1 R = mit L = D 1 L und R = D 1 R. Der Beweis benutzt den komponentenweisen Betrag A IR n n von Matritzen. Für diesen gilt komponentenweise j=1 j i A + B A + B, sowie AB A B Desweiteren brauchen wir zum Abschätzen der Inversen einer Matrix C mit C < 1 die sogennante Neumannsche Reihe j=1 j i I L 1 R I C 1 = C k = I + C + C k=0 und die -Norm der Matrix B ist durch B = B e Siehe nächstes Blatt!

7 mit e = 1, 1,...1 T gegeben. Mit den Beziehungen für den Betrag folgt dann zunächst auch komponentenweise B E e = L 1 I R I L 1 e R e. Für die Inverse haben wir L 1 I = L n L wobei die Reihe wegen L < 1 Argument wie unter a konvergiert. Ausser- dem gilt wegen L + R < 1 Argument wie unter a R + L e < e womit sich B E e L 1 I R e < n R e < I L e L n I L e = L n L n e = e n=1 also ergibt. B E = B E e < e = 1 Bemerkung: Heuristisch betrachtet sollte das Gauss-Seidel-Verfahren besser konvergieren, da M = D + L eine nähere Approximation an A darstellt als M = D im Falle des Jacobi-Verfahrens. Das ist allgemein aber nicht immer richtig. Es gibt Linearsysteme, für welche dieses Behauptung nicht stimmt. Eine mögliche Bedingung für diese Aussage lautet ϱ B E < ϱ H G mit ϱ als Spektralradius. Jedoch ist diese Bedingung nicht eindeutig.