Aufgabe 2: Anzahl Erdbeben als Funktion der Zeit

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1 Übung 2 Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik 1 Aufgabe 2: Anzahl Erdbeben als Funktion der Zeit In dieser Übung wollen wir der Frage nachgehen, was war die Anzahl Erdbeben mit M>1 pro Jahr in der Schweiz seit 1984? Gleichzeitig wollen wir verschiedene Matlab Hilfsmittel kennenlernen, mit denen Daten graphisch dargestellt werden können. Als Daten stehen uns ein File (eb8408.txt) von Erdbeben-Lokalisierungen mit Datum, Uhrzeit, Epizentren, Herdtiefe, Magnitude, usw. für jedes Beben ab 1. Januar 1984 bis 31. Dezember 2008 zur Verfügung. Da in diesem ASCII-File die Daten schon als reine Zahlen-Arrays vorhanden sind, können sie sehr einfach mit dem MATLAB Befehl load in Matrix-Form eingelesen werden. Die Erdbebendaten stellen je eine Einzelbeobachtung dar. Als solche sind sie eine Folge von Ereignissen, die einer Zeitreihe mit unregelmässigen Zeitabständen entspricht. Diese Daten können auf vielfältiger Weise dargestellt werden als Folge von Magnituden in Funktion der Zeit, als kumulative Anzahl Ereignisse oder als Ereignisse pro Zeiteinheit. Zur Berechnung der Anzahl Ereignisse pro Jahr stehen Ihnen die Routinen decyear sowie njahr zur Verfügung. Stellen Sie also sicher, dass das Datenfile eb8408.txt sowie die M-Files decyear2.m und njahr.m (verfügbar auf der Webpage zur Vorlesung) in ihrem Arbeitsverzeichnis vorhanden sind. Schauen Sie sich die entsprechenden M-Files genau an und versuchen Sie nachzuvollziehen, wie sie funktionieren. Format des Files eb8408.txt mit den Erdbebendaten (Zeiten entsprechen UTC): Datum Zeit Breite Laenge X Y Z M rms gap dm no Dabei bedeuten: rms: Wurzel des mittleren Quadrates der Laufzeitresiduen gap: Grösster Winkel zwischen Epizentrum und zwei benachbarten Stationen (bei gap > 180 liegt das Epizentrum ausserhalb des Stationsnetzes) dm: Entfernung zur nächsten Station (km) no: Anzahl Bebachtungen, die für die Lokalisierung verwendet wurden Was war die Anzahl Erdbeben mit M 1 pro Jahr in der Schweiz? Ein mögliches Vorgehen wird im folgenden beschrieben. Zunächst alle Variablen löschen: >> clear Daten einlesen: >> data = load ( eb8408.txt ); Wahl einer Magnituden-Schwelle:

2 Übung 2 Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik 2 >> magnitude = data(:,12); >> p = find(magnitude > 0.9); Find schreibt einen Vektor mit allen Indizes derjeniger Beben, die eine Magnitude grösser als 0.9 haben. Um Datum und Zeit in ein Dezimaljahr umzuwandeln wir die Funktion decyear aus der Aerospace Toolbox verwendet. (Falls diese nicht installiert ist, kann stattdessen die Funktion decyear2.m benutzt werden). >> help decyear >> zeit = decyear(data(p,1:6)); Das M-file decyear ist ein sogenanntes M-function file, dessen interne Variablen nicht für den Aufrufenden verfügbar sind. Der Befehl >> who zeigt die vorhandenen Variablen an. Mit den Befehlen size und length lassen sich die Dimensionen einer Matrix, bzw. die Länge eines Vektors, anzeigen oder in neue Variablen speichern: >> size(data) >> size(p) >> size(zeit) >> anzahl_erdbeben = length(zeit) Die nachfolgenden Befehle zeichnen die Magnitude jedes Ereignisses als Funktion der Zeit: >> figure(1) >> plot(zeit,magnitude(p), r+ ) >> axis([1983,2010,0,6]) >> xlabel( Jahr ) >> ylabel( Magnitude ) Wir wollen jetzt die kumulative Anzahl Beben als Funktion der Zeit zeichnen. Dazu generieren wir einen Vektor mit der kumulativen Anzahl Ereignisse >> ncum = 1:1:anzahl_erdbeben; Die Form des vorhergehenden Befehls ist vektor = erster Wert:Schritt:letzter Wert. Als Alternative wäre auch möglich: >> ncum = linspace(1,length(zeit),length(zeit)) Dieser Befehl hat die Form vektor = linspace(erster wert, letzter wert, anzahl werte). >> figure(2) >> plot(zeit, ncum, r ) >> xlabel( Jahr ) >> ylabel( Kumulative Anzahl Erdbeben )

3 Übung 2 Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik 3 Betrachten wir einen kleinen Ausschnitt aus der unteren linken Ecke dieser Figur (1:40 sind die ersten 40 Werte in den zwei Vektoren). >> figure(3) >> plot(zeit(1:40), ncum(1:40), r ) Die Kurve macht den Anschein, als ob es zwischen zwei Beben Bruchteile von Beben gibt, was zumindest unschön ist. Will man nicht einzelne Punkte zeichnen, sollte man diese Graphen in Form von Treppenstufen zeichnen. Dies geschieht mit dem Befehl stairs: >> clf(3) >> stairs(zeit(1:40), ncum(1:40), r ) >> figure(2); clf >> stairs(zeit, ncum, r ) Der Befehl clf löscht dabei zuvor das angegebene Fenster. Wir wollen jetzt die Anzahl Beben pro Jahr berechnen. Die Funktion njahr.m berechnet die Anzahl Beben pro Jahr und hat zwei Optionen, um die Jahreszahl zu runden. >> help njahr >> [jahr,nprojahr] = njahr(zeit,0); % Mit Option 0 Mit dem Befehl subplot können beliebig viele Bilder in einem einzigen Fenster gezeichnet werden. Der Befehl help subplot gibt Ihnen die genaue Syntax. Die Matlab Funktion bar zeichnet Histogramme. >> figure(4) >> subplot(2,1,1) >> bar(jahr,nprojahr, b ) >> [jahr,nprojahr] = njahr(zeit,1); % Mit Option 1 >> subplot(2,1,2) >> bar(jahr,nprojahr, c ) Warum sehen die Histogramme so unterschiedlich aus? Und was für eine allgemeine Schlussfolgerung ziehen Sie daraus? Das gleiche erhält man auch mit der Matlab Funktion n = hist(y,x). Sie berechnet die Anzahl n einer Variable y in Klassen, die an den Werten des Vektors x zentriert sind. help hist gibt ihnen noch weitere Optionen. >> figure(5) >> subplot(2,1,1) >> x = :1:2008.5; >> nprojahr = hist(zeit,x); >> bar(x,nprojahr, b )

4 Übung 2 Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik 4 Abbildung 1: Gutenberg-Richter Gesetz für b=1. >> subplot(2,1,2) >> x = 1984:1:2009; >> nprojahr = hist(zeit,x); >> bar(x,nprojahr, c ) Gesetz von Gutenberg-Richter Als nächstes betrachten wir Magnitudenverteilung der registrierten Erdbeben. Generieren Sie dazu zunächst einen Vektor, welcher die Anzahl Erdbeben mit einer bestimmten Magnitude enthält, in Schritten von 0.1 Magnituden-Einheiten (fehlende Elemente einsetzen): >> mbins= >> npromag=hist() >> bar(mbins, npromag) >> ylabel( Anzahl Erdbeben pro Magnitude ) Das Gesetz von Gutenberg-Richter (Abb. 1) beschreibt die Anzahl Beben N, welche innerhalb einer Region und Periode mindestens die Magnitude M erreicht haben: log 10 N = a bm Um dieses Gesetz zu veranschaulichen brauchen wir also einen Vektor, dessen Elemente die Anzahl Beben mit M den Magnituden im Vektor mbins darstellen. Versuchen Sie, einen Gutenberg-Richter Plot aus den vorhandenen Daten zu erstellen. Hinweis: Sie können die Funktion cumsum auf den Vektor npromag anwenden. Die Funktion fliplr spiegelt einen Vektor von links nach rechts. Sie können aber auch eine kurze Funktion schreiben. Optional: Versuchen Sie, aus diesem Plot den Wert von b (b-value) aus der obigen Gleichung zu bestimmen. (Dies wird durch eine logarithmische Darstellung der Y-Achse (semilogy) vereinfacht. Mit Befehl ginput lassen sich beliebige Punkte auf dem Plot anklicken und die Koordinaten in Variablen speichern.)

5 Übung 2 Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik 5 1 function x = decyear ( y) 2 % x = d e c y e a r ( y ) ; 3 % c o n v e r t s d a t e and time from year, month, day, hour, minute, second 4 % i n t o u n i t s o f d e c i m a l y e a r s. 5 % i n p u t i s an array y w i t h d a t e and time in t h e f i r s t 6 columns, 6 % o u t p u t i s v e c t o r x w i t h number o f e l e m e n t s e q u a l t o t h e 7 % number o f rows in y. 8 % This f u n c t i o n u s e s t h e MatLab s d a t e and time f u n c t i o n s. 9 % datenum ( d a t e v e c ) c o n v e r t s a d a t e v e c t o r i n t o s e r i a l time. 10 % s e r i a l time i s t h e time in seconds s i n c e Januar 1, % a d a t e v e c t o r i s a 1 by 6 numeric v e c t o r c o n t a i n i n g t h e 12 % year, month, day, hour, minute and second 13 % N. Deichmann 14 n= length (y); 15 x= zeros (1,n); 16 for i =1: n 17 atime = datenum ([y(i,1), y(i,2), y(i,3), y(i,4), y(i,5), y(i,6)]); 18 year0 = datenum ([ y(i,1), 1, 1, 0, 0, 0.0]); 19 year1 = datenum ([ y(i,1)+1, 1, 1, 0, 0, 0.0]); 20 fract =( atime - year0 )/( year1 - year0 ); 21 x(i)=y(i,1) + fract ; 22 end 23 return 1 function [jahr, nprojahr ] = njahr (zeit, option ) 2 % 3 % [ jahr, n p r o j a h r ] = n j a h r ( z e i t, o p t i o n ) ; 4 % 5 % I n p u t : Vektor z e i t mit Datum und Z e i t a l s D e z i m a l j a h r 6 % 7 % Output : Matrix mit Jahr und Anzahl Beben pro Jahr 8 % 9 % o p t i o n = 0 : d i e D e z i m a l s t e l l e n von z e i t werden a b g e s c h n i t t e n ohne zu runden ( f i x ) 10 % o p t i o n = 1 : das D e z i m a l j a h r wird nach unten und oben g e r u n d e t ( round ) 11 % anzahl_ erdbeben = length ( zeit ); i f option == 1 16 jahr1 = round ( zeit (1)); 17 k1 = jahr1-1; 18 jahr2 = round ( zeit ( anzahl_ erdbeben )); 19 % 20 for j= jahr1 : jahr2 % Matrix n p r o j a h r i n i t i a l i s i e r e n 21 k = j-k1 ; 22 jahr ( k) = j ; 23 nprojahr ( k) = 0 ; 24 end 25 % 26 for i =1: anzahl_erdbeben % S c h l a u f e ueber a l l e Erdbeben

6 Übung 2 Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik 6 27 j = round ( zeit (i)) ; 28 k = j-k1 ; 29 nprojahr ( k) = nprojahr ( k) + 1 ; 30 end 31 e l s e 32 % 33 % Option s o n s t : das D e z i m a l j a h r wird nach unten g e r u n d e t ( f i x ). 34 % 35 jahr1 = fix ( zeit (1)); 36 k1 = jahr1-1; 37 jahr2 = fix ( zeit ( anzahl_ erdbeben )); 38 % 39 for j= jahr1 : jahr2 % Matrix n p r o j a h r i n i t i a l i s i e r e n 40 k = j-k1 ; 41 jahr ( k) = j ; 42 nprojahr ( k) = 0 ; 43 end 44 % 45 for i =1: anzahl_erdbeben % S c h l a u f e ueber a l l e Erdbeben 46 j = fix ( zeit (i)) ; 47 k = j-k1 ; 48 nprojahr ( k) = nprojahr ( k) + 1 ; 49 end 50 end

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