Einführung in die Numerik: Rechnerübungen mit MATLAB

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1 Einführung in die Numerik: Rechnerübungen mit MATLAB Das vorrangige Ziel der Numerischen Mathematik besteht darin, effiziente und robuste Verfahren zur Lösung mathematischer Probleme mit Hilfe des Rechners anzugeben. Deshalb bilden Übungsaufgaben, die am Rechner mit dem Programmpaket MATLAB zu bearbeiten sind, einen wesentlichen Bestandteil dieser Veranstaltung. MATLAB ist das in Industrie und Forschung gegenwärtig weitestverbreitete Programmpaket für numerische Rechnungen und Simulationen. Es läßt sich leicht bedienen und operiert insbesondere selbständig mit Matrizen. Man braucht sich daher meist keine Gedanken über die speziellen Datenstrukturen zu machen, sondern kann sich auf den Kern der numerischen Algorithmen konzentrieren. Die folge kurze Einführung ist zum Selbststudium am Rechner gedacht. Alle Befehle in den eingerückten Zeilen sollen direkt (in der Kommandozeile) eingegeben werden. Operationen mit Zahlen und Matrizen Das Programmpaket MATLAB ist grob gesagt ein programmierbarer Taschenrechner für (komplexe) Matrizen, wobei auch Zahlen und Vektoren als Matrizen behandelt werden. Es ist z.b. auf den Rechnern des Braunschweiger Rechenzentrums installiert. Ist man dort eingeloggt, kann man MATLAB durch die Eingabe matlab starten. Zum ersten Eingewöhnen sind im folgen einige Fingerübungen beschrieben. Den Wert von kann man z.b. ausrechnen, indem man eingibt Als Ausgabe erhält man dann ans = Analog kann man die Werte von ( ) 200, und (1 + 2i)/(2 i) ausrechnen mit 3.6e-20 * 200 sqrt(abs(-3)) + 5^2 (1 + 2i) / (2 - i) (Hier ist i die komplexe Zahl 1.) Man kann auch mit Variablen arbeiten, z.b. belegt das Kommando u = die Variable u mit dem Wert 9, was durch die Meldung u = 9 bestätigt wird. Zur Unterdrückung solcher Meldungen ist das Kommando mit ; abzuschließen: v = 3; erzeugt keine Ausgabe. Will man den Wert von v dann doch wissen, gibt man v ein. Alle bisher belegten Variablen kann man sich mit whos ansehen. (Dabei erscheinen vorbelegte Variablen wie pi und eps (Maschinengenauigkeit) nicht.) Löschen kann man die Variable v mit clear v. Man kann den Wert von v allerdings auch überschreiben, etwa v = v + sqrt(u) - 2 1

2 MATLAB verwet noch zwei spezielle Symbole als Zahlwerte, nämlich Inf und NaN. Die Bedeutung von Inf (= ) erschließt sich leicht: Inf ist größer als jede in MATLAB darstellbare Zahl. Zum Beispiel liefert die Eingabe 1/0 den Wert Inf. Entsprech gelten die Regeln 1/0 =, 1/ = 0, + = usw. Für Fälle, in denen die Auswertung nicht eindeutig ist wie =..., gibt es das Symbol NaN (Not a Number). Zum Beispiel liefert die Eingabe 0/0 den Wert NaN. Genauso für arithmetische Ausdrücke der Form /, 0 usw. Eine Stärke von MATLAB ist Matrizenrechnung. Will man z.b. das Gleichungssystem x 1 + x 2 = 2 4x 1 9x 2 = 5 lösen, so gibt man die Koeffizientenmatrix ein mit A = [1 1; 4-9] und die rechte Seite des Systems mit b = [2; -5] und erhält den Lösungsvektor [x 1, x 2 ] T mit A \ b oder inv(a) * b Die Eingabe der Matrix kann auch zeilenweise erfolgen, sowie unter Verwung von Variablen und arithmetischen Ausdrücken, die aber keine Leerzeichen enthalten dürfen. Beispiel: B = [v v sqrt(v)] Dabei ist sogar die Verwung von Matrizen möglich: C = [A b] Matrizen lassen sich nun in der bekannten Weise addieren, subtrahieren und multiplizieren, etwa C = A + B - A * B Ferner kann man eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren, einen Skalar zu (von) jeder Komponente addieren (subtrahieren) oder eine Matrix transponieren. Man erprobe dazu 2 * A A + 3 A Außerdem gibt es die Punktoperationen : C = A.* B erzeugt eine Matrix mit c ij = a ij b ij. C = A./ B erzeugt eine Matrix mit c ij = a ij /b ij. 1./ A invertiert die Elemente von A. A.^ 2 quadriert die Elemente von A. Ebenso komponentenweise wirken die mathematischen Funkionen, etwa sqrt(a) Die Elemente einer Matrix können auch einzeln angesprochen werden. So ersetzt A(1,1) = A(1,2) + 2 das Element a 11 in A durch den Wert von a Ferner gibt es einige Matrizenfunktionen, etwa 2

3 inv(a) (A invertieren) det(a) (Determinante von A) eig(a) (Eigenwerte von A) [L,R]=lu(A) (LR-Zerlegung A = LR) size(a,1) (Anzahl der Zeilen von A) size(a,2) (Anzahl der Spalten von A) sum(a) (Spaltensummen von A) max(a) (maximale Elemente in den Spalten von A) und spezielle Konstruktionsmöglichkeiten für Matrizen wie zeros(2,3) (2 3-Nullmatrix) eye(3) (3 3-Einheitsmatrix) rand(2,3) 2 3-Zufallsmatrix (Einträge in [0, 1] gleichverteilt) randn(2,3) 2 3-Zufallsmatrix (Einträge normalverteilt mit Mittelwert 0, Varianz 1) Weitere Funktionen finden sich hinten in der Kurzübersicht. Vektoren mit konstantem Abstand der Einträge kann man so konstruieren: x = 0.3 : 0.1 : 0.6 (liefert [ ]) y = 1 : 3 (liefert [1 2 3], d.h. Abstand 1) z = 4 : -1 : 1 (liefert [ ]) Außer dem einfachen Zugriff auf Elemente (z.b. x(1) = y(2) + 1) gibt es auch folge Möglichkeiten: x([3 1 4]) liefert [ ], also die Elemente von x mit den angegebenen Indizes. Entsprech kehrt x(z) (bzw. x(4 : -1 : 1)) die Reihenfolge der Elemente um. Auch Matrixen lassen sich so behandeln: A([2 1], :) = A([1 2], :) vertauscht in A Zeile 1 und 2. (Der Doppelpunkt ist hier Abkürzung für 1 : size(a,2).) Nützlich (u.u. aber auch problematisch) ist die automatische Größenanpassung. Man teste A = 1 A(2,3) = 7 Interessant zur Konstruktion von Matrizen und zum Zugriff auf gewisse Einträge sind auch die Funktionen diag, tril, triu. Ist A eine n n-matrix so liefert x = diag(a) den n-zeiligen Vektor der Diagonalelemente x = (a 11,..., a nn ). Ist umgekehrt x ein n-zeiliger Vektor, so liefert A = diag(x) die n n Diagonalmatrix, deren Diagonaleinträge die Einträge von x sind. Entsprech kann man mit den Befehlen x = diag(a,3) A = diag(x,3) die dritte (oder jede andere) Diagonale ansprechen. Ausprobieren! Die Funktionenen tril und triu bilden untere und obere (lower and upper) Dreiecksmatrizen. Weitere Informationen erhält man mit help, z.b. help inv help help (oder über das Demo-Programm demo: Aufruf mit demo; neu erscheine Fenster evtl. vom Arbeitsfenster herunterschieben). Bevor man nun MATLAB verläßt, kann man die Variablen mit save speichern und dann beim nächsten Mal mit load wieder laden. Ferner kann man auch 3

4 ein Ablaufprotokoll erstellen: Nach dem Befehl diary on werden alle Ein- und Ausgaben auch in die ASCII-Datei diary geschrieben, bis der Befehl diary off erfolgt. (Die Datei kann dann von MATLAB aus mit unix( lpr diary ) ausgedruckt werden. Man beachte aber die speziellen Druckereinstellungen.) Mit quit wird MATLAB schließlich verlassen. M-Files MATLAB kann auch ausführen, die in eine ASCII-Datei geschrieben wurden. Als Beispiel schreibe man folge Datei mit Namen fak.m (Wegen der Endung.m spricht man von M-File. Der Text hinter ist Kommentar.): Berechnung von n! (Fakultaet) n = input( n eingeben: ); n von Tastatur einlesen fakultaet = n; Produkt rueckwaerts akkumulieren while n > 2 n = n - 1; fakultaet = fakultaet * n; disp( Ergebnis: ); Ergebnis auf Bildschirm ausgeben disp(fakultaet); Dann ruft man MATLAB (mit matlab) auf und gibt fak ein. Dadurch werden die in fak.m so ausgeführt, als wären sie direkt eingegeben worden. Insbesondere existieren danach die Variablen n und fakultaet mit entsprechen Werten. Ein return im M-File bewirkt ein vorzeitiges Ende. (Man kann n! aber auch kürzer durch prod(1:n) berechnen.) Wie im Beispiel schon gesehen, gibt es in MATLAB auch Steueranweisungen (schachtelbar; beachte Abschluß mit ): for-schleife mit +1-Inkrement if-anweisung (hier i=1, 2,..., 8) if Bedingung for i = 1:8 elseif Bedingung for-schleife mit beliebigem Inkrement (hier i=2, 1.5, 1) for i = 2:-0.5:1 while-schleife while Bedingung. else und Kurzformen wie if Bedingung 4

5 Mit break kann man eine Schleife vorzeitig been. Als Konstruktionselemente für Bedingungen hat man <, <=, >, >=, == ( Gleichheit ), ~= ( Ungleichheit ) & ( and ), ( or ), ~ ( not ) Auch Funktionen lassen sich mit M-Files selbst definieren. Beispiel: Zur Berechnung des Binomialkoeffizienten ( n k) schreibe man folge Datei binom.m: function b = binom(n,k) b = 1; for j = 1 : k b = b * (n / j); n = n - 1; Von MATLAB aus kann man dann z.b. eingeben lottozahlen = 49; gewinnchance = 1 / binom(lottozahlen, 6) Beim Aufruf von binom werden die konkreten Werte an n und k übergeben und dann der Wert von b zurückgegeben, den b nach Ausführung aller angenommen hat. Bei einem Funktions-M-File sind alle Variablen lokal. Obiger Aufruf verändert daher die Variable lottozahlen nicht und erzeugt keine Variable j. Funktionen können auch mehrere Rückgabewerte haben: Für eine m n-matrix A berechnet function [m,n] = dim(a) m = size(a,1); n = size(a,2); die Größen m und n. Aufruf z.b. [x,y] = dim(eye(2)). Für eine Funktion mit Namen fkt berechnet function y = add(fkt) y = feval(fkt,0) + feval(fkt,1); die Summe der Funktionswerte an den Stellen 0 und 1. Aufruf z.b. add( sin ) oder add( f ), falls f eine in f.m definierte Funktion ist. M-Files dürfen auch andere M-Files aufrufen. ctrl-c von der Tastatur bricht eine laufe MATLAB-Berechnung sofort ab. Graphik Sind x und y Vektoren mit je n Komponenten, so verbindet plot(x,y) die Punkte mit den Koordinaten (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) durch einen Streckenzug, wobei normalerweise automatisch ein geeignetes Koordinatensystem gewählt und ggf. eine alte Graphik gelöscht wird. Mit plot lassen sich insbesondere Funktionen darstellen, z.b. f(x) = x(x 1) in [ 0.5, 1.5]: axis([ ]) (festes Koordinatensystem (Grenzen) definieren) hold on (plot-automatismen ausschalten) x = -0.5:0.1:1.5; (Stellen, an denen f ausgewertet werden soll) y = x.* (x-1) + 0.5; (f komponentenweise auf x anwen (Punktoperation!)) plot(x,y) (Funktionswerte durch Streckenzug verbinden) title( Parabel ) (Graphik beschriften) xlabel( x-werte ) ylabel( y-werte ) grid hold off (Automatismen wieder einschalten) clf (Graphik löschen) 5

6 Eine andere Möglichkeit wäre, f als Funktion in einem M-File f.m zu definieren (auf Punktoperationen achten!) und dann fplot( f, [ ]) einzugeben. Auch Funktionen mit zwei Argumenten lassen sich darstellen, z.b. f(x, y) = 1/(x 2 + y 2 + 1) in [ 1, 1] [ 3, 2] mit [x,y] = meshgrid(-1 : 0.2 : 1, -3 : 0.2 : 2); mesh(1./ (x.^ 2 + y.^ 2 + 1)); Beispiel Programmierung des Gaußschen Eliminationsverfahrens ohne Pivotisierung zur Lösung des Gleichungssystems Ax = b für eine invertierbare quadratische Matrix A Zum guten Programmierstil gehört: Variablen- und Funktionsnamen verwen, die auf die Rolle der Variablen/Funktion hinweisen, bzw. Namen aus bekannten Algorithmen verwen gut strukturieren: Schleifen und if-anweisungen einrücken; Gliederung durch Absätze und Kommentare; Programm in Subroutinen/Funktionen zerlegen ausreich kommentieren, insbesondere soll der Kopf einer Subroutine/Funktion Informationen enthalten über: Verwungszweck, Wirkungsweise, Input, Output, Autor etc., verwete andere Subroutinen/Funktionen, interne Variablen Dies führt beim Beispiel auf folge Datei gauss ohne pivot.m: function x = gauss_ohne_pivot(a,b) gauss_ohne_pivot berechnet die Loesung x des Gleichungssystems Ax = b fuer eine invertierbare Matrix A durch das Gausssche Eliminationsverfahren ohne Pivotisierung. Achtung: Das Verfahren ist nicht immer durchfuehrbar und numerisch oft instabil! Input A invertierbare quadratische Matrix b Spaltenvektor derselben Dimension wie A Output x Loesung von Ax = b, falls Verfahren durchfuehrbar, sonst Meldung Verwete Funktionen rueckw_einsetzen Interne Variablen k,i Laufindices l Multiplikator fuer die k-te Zeile... A sukzessive auf obere Dreiecksform bringen durch Elimination 6

7 von A(i,k) per Subtraktion des A(i,k)/A(k,k)-fachen der k-ten Zeile von der i-ten... for k = 1 : size(a,2) fuer alle Spalten: for i = k+1 : size(a,1) fuer alle Spaltenelemente unter Diagonale: if A(k,k) == 0 disp( Verfahren nicht durchfuehrbar! ); return; l = A(i,k) / A(k,k); A(i,:) = A(i,:) - l * A(k,:); A(i,k) eliminieren b(i) = b(i) - l * b(k); b analog behandeln... Die Loesung von Ax = b hat sich durch die Umformungen nicht veraert, und A ist jetzt obere Dreiecksmatrix. Also kann man rueckwaerts einsetzen... x = rueckw_einsetzen(a,b); Die Prozedur Rückwärtseinsetzen ist ausgelagert in rueckw einsetzen.m: function x = rueckw_einsetzen(r,y) rueckw_einsetzen berechnet die Loesung x von Rx = y mit R obere Dreiecksmatrix durch Rueckwaertseinsetzen. Input R obere Dreiecksmatrix mit nichtverschwinder Diagonalen y Spaltenvektor derselben Dimension wie R Output x Loesung von Rx = y Interne Variablen n Dimension von R k Laufindex n = size(r,1); x = zeros(n,1); x mit Nullen vorbesetzen... x-komponenten von hinten beginn errechnen (Rueckwaertseinsetzen).. x(n) = y(n) / R(n,n); for k = n-1 : -1 : 1 x(k) = (y(k) - R(k, k+1:n) * x(k+1:n)) / R(k,k); Zum Austesten kann man nun MATLAB aufrufen und eingeben: A = [1 1; 4-9]; b = [2; -5]; gauss_ohne_pivot(a,b) 7

8 MATLAB-Kurzübersicht (nur das Wichtigste, an Beispielen dargestlellt). Grundsätzliches aufrufen: matlab been: quit Rechnung abbrechen: ctrl-c Wertzuweisung: z.b. v=7, u=v+2 keine BS-Ausgabe: ; hinter Kommando Kommentare: der auf folge Text mehrere pro Zeile: mit, trennen (oder ; ) Kommando über zwei Zeilen: erste Zeile mit... been UNIX-Befehl ausführen: unix ( Befehl ) Ablaufprotokoll in ASCII-File diary schreiben: diary on / diary off Zahldarstellung z.b.: -1.3, 3.6e-20, 1+2i Arithmetik: + - * / ^ (^ ˆ= Potenz) Funktionen (wirken komponentenweise): abs, sqrt, sin, sinh, cos, tan, atan, exp, log, log10, sign, real, imag, conj, round (Rundung) (Aber z.b. sqrtm berechnet die Quadratwurzel aus einer Matrix: (sqrtm A)^2=A Analog: expm, logm. Vergleiche auch funm) Ausgabeformat kann mit format typ geändert werden. Möglichkeiten für typ: short (voreingestellt), long, short e, long e (kurze/lange Festpunkt-/Exponentialdarstellung) Funktionen in M-Files fktname.m enthält File der Form function y = fktname(argumente) letzte Wertzuweisung an y liefert Funktionswert Variablen lokal vorzeitiges Ende: return Funktionsaufruf: fktname(argumente) Auch mehrere Ausgabewerte möglich: function [x,y,z] = fktname(argumente) Graphik Fkt. zeichnen: z.b. x=0:0.1:1, plot(x,f(x)) mehrere Graphen: hold on Durch figure(1), figure(2),... werden verschiedene Graphikfenster geöffnet. feste Achsen: axis([xmin xmax ymin ymax]) Bild löschen: clf Bild ausdrucken: print name -dps erzeugt File name.ps, das man ausdrucken kann Matrizen (Vektoren ˆ= 1 n - oder n 1 - Matrizen) Eingabe: A = [1 2; 3 4] liefert ( ) (statt Zahlen auch Matrizen) A(1,2) = 3 (1,2)-Element belegen A(1,:) = [1 2] erste Zeile belegen x = 0:0.1:1 liefert Vektor [ ] x(2) = 4 zweite Komp. des Vektors x belegen Zugriff auf Elemente: A(2,3) Element (2,3) x(3) dritte Komponente x 3 des Vektors x x([3 1 4]) liefert [x 3 x 1 x 4 ] A(:,2) zweite Spalte A(1:2:5,2) Elemente (1,2), (3,2) und (5,2) diag(a,j) j-te Diagonale von A triu(a,j) oberes Dreieck von A ab j-ter Diagonale Operationen: + - * ( ˆ= Transposition) A\b Lösung von Ax=b 2*A, A+3 komponentenweise 2, bzw. +3 A.*B, A./B komponentenweises Produkt/Quotient 1./A, A.^2 komponentenweiser Kehrwert/Quadrat Funktionen: sum, prod, max, min (bei Matrizen spaltenweise), inv (Inverse), pinv (Pseudoinverse), det (Determinante), rank (Rang), cond (Konditionszahl), norm (2-Norm), eig (Eigenwerte), trace (Spur) [L,R]=lu(A) (LR-Zerlegung A = LR), R=chol(A) (Cholesky-Zerlegung A = R T R), [Q,R]=qr(A) (QR-Zerlegung A = QR), [U,S,V]=svd(A) (Singulärwertzerlegung A = USV T ), size(a,1) (Zeilenanzahl), size(a,2) (Spaltenanzahl) Spezielle Matrizen: zeros(2,3) 2 3-Nullmatrix ones(3,2) 3 2-Matrix aus Einsen eye(3) 3 3-Einheitsmatrix diag(x) Diagonalmatrix mit Diagonale x 1, x 2,... rand(2,3) 2 3-Zufallsmatrix gleichverteilt randn(2,3) 2 3-Zufallsmatrix normalverteilt Steueranweisungen for-schleife mit +1-Inkrement if-anweisung (hier i=1, 2,..., 8) if Bedingung for i = 1:8 elseif Bedingung for-schleife mit bel. Inkrement (hier i=2, 1.5, 1) for i = 2:-0.5:1. else und Kurzformen wie if Bedingung while-schleife while Bedingung Schleifenabbruch mit break Konstruktionselemente für Bedingungen: <, <=, >, >=, == ( Gleichheit ), ~= ( Ungleichheit ) & ( and ), ( or ), ~ ( not )