12.2 Gauß-Quadratur. Erinnerung: Mit der Newton-Cotes Quadratur. I n [f] = g i f(x i ) I[f] = f(x) dx

Transkript

1 12.2 Gauß-Quadratur Erinnerung: Mit der Newton-Cotes Quadratur I n [f] = n g i f(x i ) I[f] = i=0 b a f(x) dx werden Polynome vom Grad n exakt integriert. Dabei sind die Knoten x i, 0 i n, äquidistant auf [a, b] verteilt. Grundidee der Gauß-Quadratur: Variiere die Knoten x 0,..., x n. Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 198

2 Grundidee der Gauß-Quadratur. Ziel: Variiere Knoten, um Polynome möglichst hohen Grades exakt zu integrieren. Genauer: Approximiere für eine feste positive Gewichtsfunktion w : (a, b) (0, ) Integrale der Form durch Quadratur der Form I[f] = I[f] b a f(x)w(x) dx n f(x i )w i mit einer speziellen Wahl von Stützstellen x i und positiven Gewichten w i. i=0 Ergebnis: Gaußsche Quadraturformeln mit (n + 1) Knoten integrieren Polynome vom Grad 2n + 1 exakt. Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 199

3 Beispiel: Gauß-Tschebyscheff-Quadratur. Integrationsintervall: I = [ 1, 1] Gewichtsfunktion: w(x) = 1/ 1 x 2. Knoten: Nullstellen x i = cos ( ) 2i + 1 2n + 2 π des (n + 1)-ten Tschebyscheff-Polynoms für 0 i n T n+1 (x) = cos((n + 1)arccos(x)) P n+1 für x [ 1, 1]. Konstante Gewichte: w i π/(n + 1). Gauß-Tschebyscheff Quadratur: I n [f] = π n f(x i ) I w [f] = n + 1 i=0 1 1 f(x)w(x) dx. Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 200

4 Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome. Satz: Die Tschebyscheff-Polynome T 0,..., T n bilden eine orthogonale Basis des Polynomraums P n bezüglich des gewichteten Skalarprodukts Genauer gilt: (f, g) w := (T k, T j ) w = 1 1 f(x)g(x)w(x) dx. π für k = j = 0 π/2 für k = j > 0 0 für j k Beweis: Übung (mit Substitution t = cos(x)) Satz: Für die Tschebyscheff-Polynome gilt die Rekursionsformel T k+1 (x) = 2xT k (x) T k 1 (x) für k 1, wobei T 0 1 und T 1 (x) = x. Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 201

5 Legendre-Polynome. Satz: Für die Gewichtsfunktion w 1 auf dem Intervall I = [ 1, 1] sind die Legendre-Polynome L n (x) = 1 2 n n! d n dx n (x2 1) n P n Orthogonalpolynome. Genauer gilt: 2 2n+1 für n = m 0 (L n, L m ) = 0 für n m Beweis: Übung (per Induktion). Satz: Für die Legendre-Polynome gilt die Rekursionsformel L n+1 (x) = 2n + 1 n + 1 xl n(x) wobei L 0 1 und L 1 (x) = x. n n + 1 L n 1 für n 1, Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 202

6 Weitere Eigenschaften der Legendre-Polynome. Die ersten Legendre-Polynome sind gegeben durch L 0 (x) 1 L 1 (x) = x L 2 (x) = (3x 2 1)/2 L 3 (x) = (5x 3 3x)/2 L 4 (x) = (35x 4 30x 2 + 3)/8 Deren jeweilige Nullstellen sind gegeben durch L 1 : x 0 = 0 L 2 : x 0/1 = ± 1/3 L 3 : x 0 = 0, x 1/2 = ± 3/5 3 L 4 : x 0/1/2/3 = ± 7 ± Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 203

7 Zur Konstruktion der Gauß-Legendre-Quadratur. Integrationsintervall: I = [ 1, 1] Gewichtsfunktion: w(x) 1. Knoten: n + 1 Nullstellen x 0,..., x n des Legendre-Polynoms L n+1 P n+1. Gewichte: Mit festen Knoten x 0,..., x n zu berechnen aus w i = Gauß-Legendre Quadratur: 1 1 n j=0 j i x x j x i x j dx > 0. I n [f] = n w i f(x i ) I[f] = i=0 1 1 f(x) dx. Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 204

8 Weitere Spezialfälle der Gauß-Quadratur. Name Intervall Gewicht Gauß-Legendre [ 1, 1] w 1 Gauß-Tschebyscheff [ 1, 1] w(x) = 1/ 1 x 2 Gauß-Jacobi [ 1, 1] w(x) = (1 x)(1 + x) Gauß-Laguerre [0, ) w(x) = e x Gauß-Hermite (, ) w(x) = e x2 Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 205

9 Zur Konstruktion von Gauß-Quadraturformeln. Konstruiere zu festem Intervall [a, b] und Gewichtsfunktion w eine Folge p 0, p 1,..., p n, p n+1 von Orthogonalpolynomen, wobei p k P k und (p k, p j ) w = δ jk. Verwende Nullstellen x 0, x 1,..., x n von p n+1 als Knoten. Berechne (positive) Gewichte 1 n w i = 1 j=0 j i x x j x i x j dx für 0 i n. Ergebnis: Gauß-Quadraturformel n I n [f] = w i f(x i ) I[f] = i=0 mit I n [f] = I n [p] für alle p P 2n+1. b a f(x)w(x) dx Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 206

10 Kapitel 13: Schnelle Fourier-Transformation 13 Die Schnelle Fourier-Transformation Ziel: Effiziente Berechnung der Diskreten Fourier-Transformation (DFT) wobei ^z(m) = N 1 z(n)ω nm N für 0 m N 1, ω N := e 2πi/N. Methode (Cooley & Tukey, 1965): Schnelle Fourier-Transformation, Fast Fourier-Transformation (FFT). INPUT: Vektor z = (z(0), z(1),..., z(n 1)) T C N OUTPUT: ^z, die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) von z: ^z = (^z(0), ^z(1),..., ^z(n 1)) T C N Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 207

11 Kapitel 13: Schnelle Fourier-Transformation Grundidee der schnellen Fourier-Transformation. Wichtige Beobachtung: Es gilt ω 2 2N = ω N. Divide and Conquer: Für N = 2 k und 0 m N 1 gilt ^z(m) = = = = N 1 n gerade N/2 1 N/2 1 z(n)ω mn N z(n)ω mn N + z(2n)ω 2mn N + z(2n)ω 2mn N n ungerade N/2 1 + ω m N z(n)ω mn N z(2n + 1)ω (2n+1)m N N/2 1 z(2n + 1)ω 2mn N. Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 208

12 Kapitel 13: Schnelle Fourier-Transformation Reduktionsschritt. Sei M = N/2. Dann gilt für m = 0, 1,..., N 1 ^z(m) = = = M 1 M 1 M 1 z(2n)ω 2mn N + ω m N u(n)ω mn N/2 + ωm N u(n)ω mn M + ω m N M 1 M 1 M 1 z(2n + 1)ω 2mn N v(n)ω mn N/2 v(n)ω mn M, wobei u(n) := z(2n) und v(n) := z(2n + 1) für n = 0, 1,..., M 1. Es gilt: m ^z(m) = ^u(m) + ωn^v(m) für m = 0, 1,..., M 1. l ^z(m) = ^u(l) ωn^v(l) für m = M, M + 1,..., N 1, m = l + M. Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 209

13 Kapitel 13: Schnelle Fourier-Transformation Komplexität der schnellen Fourier-Transformation. Fazit: Die Diskrete Fourier-Transformation von z C N schreibt sich als Summe zweier Diskreter Fourier-Transformationen der Länge N/2. Satz: Die schnelle Fourier-Transformation von z C N kann für N = 2 k in O(N log(n)) Schritten berechnet werden. Beweisskizze: Zerlege FFT von z der Länge N in zwei FFTs der Länge N/2. Per Induktion: Zerlege FFT der Länge N/2 j in zwei FFTs der Länge N/2 j+1. Es gilt N = 2 k, d.h. k = log 2 (N). Daher bleiben nach j = k Schritten nur noch N FFTs der Länge Eins übrig. Nun gilt ^z(0) = z(0) für z C 1, d.h. konstante Kosten O(1) für N = 1. Man bekommt ^z C N mit dieser Rekursion nach N log 2 (N) Schritten. Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 210

14 Kapitel 13: Schnelle Fourier-Transformation Schnelle Fourier-Transformation mit Matlab. Berechne Fourier-Transformation w = ^z C N aus z C N mit Matlab. w = fft(z); Berechne inverse FFT (IFFT) z C N aus w = ^z C N mit z = ifft(w); Grundlage der IFFT: Die Inversionsformel z(n) = 1 N N 1 m=0 ^z(m)e 2πimn/N für 0 n N 1. Analysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 211