Demographie III Übung

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Nelly Boer
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1 Demographie III Übung Roland Rau 19. November 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Überblick 2 2 Funktionen in R 2 3 Berechnung einer Sterbetafel Daten Die Sterberate m x a x Die Sterbewahrscheinlichkeit q x Die Überlebenswahrscheinlichkeit p x Die Überlebensfunktion l x Die Gestorbenen in der Sterbetafelbevölkerung d x Die gelebten Personenjahre im Alter x: L x Die gelebten Personenjahre im Alter x und höher: T x Die Lebenserwartung im Alter x: e x Aufgabe 10 1

6 Die Überlebensfunktion l x............................ 6 3.7 Die Gestorbenen in der Sterbetafelbevölkerung d x................ 7 3.8 Die gelebten Personenjahre im Alter x: L x.................... 8 3.

2 1 Überblick Heutige Veranstaltung: Wiederholung und neue Elemente zur Berechnung einer Sterbetafel 2 Funktionen in R Die im vorherigen Abschnitt kennengelernten Techniken lassen sich hervorragend dazu verwenden, eigene Funktionen zu schreiben. Dies erleichtert es nicht nur, repetitives Abtippen zu vermeiden. Zudem muss man sich um die in der Funktion verarbeiteten Details keine Gedanken mehr machen vorausgesetzt natürlich, dass dabei keine Fehler gemacht wurden. Eine Funktion wird folgendermassen geschrieben: funktionsname <- function(arg1, arg2, arg3,...) { ``body der funktion'' return(ergebniswerte) } Zum Beispiel können wir nun ganz einfach eine Funktion schreiben, die den Durschnitt zweier Werte berechnet: > durchschnitt <- function(zahl1, zahl2) { + schritt1 <- zahl1 + zahl2 + schritt2 <- schritt1 / 2 + return(schritt2) > durchschnitt(zahl1=10, zahl=20) [1] 15 Oder aber wir können die diskrete und kontinuierliche Zeit bis zur Verdopplung einer Bevölkerung mit gegebener Wachstumsrate berechnen: > dopplung <- function(r, typ) { + if (typ=="k") { + doppelzeit <- log(2) / r 2

Zudem muss man sich um die in der Funktion verarbeiteten Details keine Gedanken mehr machen vorausgesetzt natürlich, dass dabei keine Fehler gemacht wurden.

3 + if (typ=="d") { + doppelzeit <- 1/log2(1+r) + return(doppelzeit) > dopplung(r= , typ="k") [1] > dopplung(r= , typ="d") [1] Berechnung einer Sterbetafel 3.1 Daten Zuerst wollen wir unsere Daten laden. > d2009 <- read.table("nxdxdeu2009.txt", header=true, sep=",") > Dx <- d2009$dx.frau > Nx <- d2009$nx.frau > x <- d2009$alter Ich halte mich hierbei an die Methoden, wie sie in Preston et al. (2001) beschrieben sind. 3.2 Die Sterberate m x > mx <- Dx/Nx > head(mx) m x M x = D x N x [1] e e e e e-04 [6] e-05 > plot(x=x, y=mx, type="l", col="blue") 3

txt", header=true, sep=",") > Dx <- d2009$dx.frau > Nx <- d2009$nx.frau > x <- d2009$alter Ich halte mich hierbei an die Methoden, wie sie in Preston et al.

4 mx x Besser auf der Log-Skala: > plot(x=x, y=log(mx), type="l", col="blue") 4

5 log(mx) x 3.3 a x Wie bereits in der Vorlesung besprochen, wollen wir davon ausgehen, dass diejenigen Personen, die im Alter x gestorben sind, durchschnittlich noch die Hälfte dieses Jahres erlebt haben. Lediglich bei der Säuglingssterblichkeit gehen wir von einem niedrigeren Wert aus: > ax <- rep(0.5, length(mx)) > ax[1] < Die Sterbewahrscheinlichkeit q x > qx <- mx/(1+(1-ax)*mx) > head(qx) m x q x = 1 + (1 a x )m x [1] e e e e e-04 [6] e-05 5

durchschnittlich noch die Hälfte dieses Jahres erlebt haben.

6 > head(mx) [1] e e e e e-04 [6] e Die Überlebenswahrscheinlichkeit p x > px <- 1-qx p x = 1 q x 3.6 Die Überlebensfunktion l x 100,000 falls x = 0 l x = l x 1 p x 1 sonst. > lx.fun <- function(ueberleb) { + ergebnis <- rep(0, length(ueberleb)) + for (i in 1:(length(ueberleb))) { + if (i==1) { + ergebnis[i] < else { + ergebnis[i] <- ergebnis[i-1] * ueberleb[i-1] + return(ergebnis) > lx <- lx.fun(ueberleb=px) > head(lx) [1] > lx <- rep(0,length(dx)) > lx[1] < > for (i in 2:(length(lx))) { + lx[i] <- lx[i-1] * px[i-1] > > > plot(x=x, y=lx, type="l", col="blue") 6

fun <- function(ueberleb) { + ergebnis <- rep(0, length(ueberleb)) + for (i in 1:(length(ueberleb))) { + if (i==1) { + ergebnis[i] <- 100000 else { + ergebnis[i] <-

7 lx 0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e x 3.7 Die Gestorbenen in der Sterbetafelbevölkerung d x d x = l x l x+1 > dx.fun <- function(survival) { + ergebnis <- rep(0, length(survival)) + for (i in 1:(length(survival))) { + if (i < length(survival)) { + ergebnis[i] <- survival[i] - survival[i+1] else { + ergebnis[i] <- lx[i] + return(ergebnis) > dx <- dx.fun(survival=lx) > head(dx) [1] > 7

fun <- function(survival) { + ergebnis <- rep(0, length(survival)) + for (i in 1:(length(survival))) { + if (i <

8 > plot(x=x, y=dx, type="l", col="blue") dx x 3.8 Die gelebten Personenjahre im Alter x: L x L x = l x+1 + a x d x > Lx.fun <- function(lx, ax, dx) { + ergebnis <- rep(0, length(lx)) + for (i in 1:(length(ergebnis))) { + if (i < length(ergebnis)) { + ergebnis[i] <- lx[i+1] + ax[i]*dx[i] else { + ergebnis[i] <- ax[i]*dx[i] + return(ergebnis) > Lx <- Lx.fun(lx=lx, ax=ax, dx=dx) > head(lx) [1]

fun <- function(lx, ax, dx) { + ergebnis <- rep(0, length(lx)) + for (i in 1:(length(ergebnis))) { + if (i <

9 > Lx <- c(lx[-1],0) + ax*dx > 3.9 Die gelebten Personenjahre im Alter x und höher: T x T x = ω L a a=x Hierfür verwenden wir einen kleine Trick mittels der Funktionen rev und cumsum. Die Funktion rev dreht einen Vektor einfach um: > rev(1:4) [1] Die Funktion cumsum berechnet die kumulierte Summe: > 1:4 [1] > cumsum(1:4) [1] Somit wird T x : > Tx <- rev(cumsum(rev(lx))) > head(tx) [1] Die Lebenserwartung im Alter x: e x > ex <- Tx/lx > head(ex) e x = T x l x [1]

Die Funktion rev dreht einen Vektor einfach um: > rev(1:4) [1] 4 3 2 1 Die Funktion cumsum berechnet die kumulierte Summe: > 1:4 [1] 1 2 3 4 >

10 4 Aufgabe Schreiben Sie eine Funktion leberwart, die als Input die N(x)-Werte und die D(x)-Werte hat sowie ein Alter x angibt. Der Output soll nun die verbleibende Lebenserwartung im angegebenen Alter x sein, basierend auf den Sterbefällen D(x) und der Durchschnittsbevölkerung N(x). Zur Überprüfung, ob ihr Code korrekt läuft, sollten Sie folgende Ergebnisse erhalten: > leberwart(dx=d2009$dx.frau, Nx=d2009$Nx.Frau, x=0) [1] > leberwart(dx=d2009$dx.frau, Nx=d2009$Nx.Frau, x=3) [1] > leberwart(dx=d2009$dx.mann, Nx=d2009$Nx.Mann, x=0) [1] > leberwart(dx=d2009$dx.mann, Nx=d2009$Nx.Mann, x=5) [1] Literatur Preston, S. H., P. Heuveline, and M. Guillot (2001). Demography. Measuring and Modeling Population Processes. Oxford, UK: Blackwell Publishers. 10

Zur Überprüfung, ob ihr Code korrekt läuft, sollten Sie folgende Ergebnisse erhalten: > leberwart(dx=d2009$dx.frau, Nx=d2009$Nx.Frau, x=0) [1] 82.53073 > leberwart(dx=d2009$dx.frau, Nx=d2009$Nx.Frau, x=3) [1] 79.

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