Laufzeitverhalten von FFT Implementierungen O. Punk, S. Döhler, U. Heuert Hochschule Merseburg (FH), Fachbereich Ingenieur und Naturwissenschaften

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1 Laufzeitverhalten von FFT Implementierungen O. Punk, S. Döhler, U. Heuert Hochschule Merseburg (FH), Fachbereich Ingenieur und Naturwissenschaften Aufgabenstellung und Motivation Die DFT (Diskrete Fouriertransformation) stellt ein wichtiges Mittel der Signalanalyse dar und wird im Bereich der Berechnung von Spektrogrammen gebraucht. Die Fast Fourier Transformation ist als Algorithmus ein bekanntes Mittel zur Berechnung der Werte einer Diskreten Fouriertransformation. In nachfolgender Arbeit wurde das Laufzeitverhalten kommerzieller als auch quelloffener APIs mittels Benchmarks verglichen. Fast Fourier Transformation (FFT) Mittels der Festlegung auf einen geradzahligen Datenumfang der Mächtigkeit 2N und der Indizierung der Sample- Werte lässt sich die Diskrete Fourier Transformation mit folgendem Berechnungsalgorithmus darstellen: Die formelle Beschreibung des Algorithmus ist nachfolgend dargestellt: Der Berechnungsaufwand der DFT steigt quadratisch mit der Anzahl 2N der Datenwerte fj an. Eine erhebliche Reduzierung lässt sich mithilfe der Schnellen Fourier Transformation nach Cooley und Tukey (Cooley & Tukey, 1965) erreichen. Durch die Zerlegung von N in Faktoren und der Verwendung einer definierten Datensatzgröße in Höhe einer Zweierpotenz ( N = 2 ) wächst der m 2 Berechnungsaufwand anstelle von N nur zu N log 2 N, was eine erhebliche Zeitersparnis bei großen Datenmengen bedeutet. FFT in der NMR (Nuclear Magnetic Resonance) Spektroskopie NMR-Spektroskopie ist eine der grundlegenden spektroskopischen Methoden zur Aufklärung von Struktur und Dynamik von Molekülen. Die Einsatzgebiete dieser Methode sind durch ihre weitführenden Aussagemöglichkeiten vor allem in der Chemie und der Biochemie zur Strukturanalyse durch hochauflösende NMR-Spektroskopie begründet. In der NMR-Spektroskopie wird das Signal des FID aus der Zeitdomäne mittels der FFT in die Frequenzdomäne überführt, was zu einer Spektrendarstellung führt. In Abbildung 1 bzw. 2 ist der FID respektive das Protonenspektrum eines Aromaten dargestellt. Ergebnisse Zum Test des Laufzeitverhaltens wurden folgende APIs verwendet: Eine.NET Implementierung des HANA Projektes in Form einer frei verfügbaren DLL, im nachfolgenden türkis dargestellt. Eine eigene statische Funktion des Algorithmus in C#, basierend auf dem Danielson-Lanczos Lemmas (Press, Teukolsky, Vetterling, & Flannery, 1988), im nachfolgenden grün dargestellt. Eine mittels des Matlab Deploy Tools erstellte Implementierung der FFT basierend auf dem Matlab-Kernel, im nachfolgenden blau dargestellt. Eine Implementierung basierend auf den Analysetools des von National Instruments entwickelten Measurement Studio, im nachfolgenden rot dargestellt Alle Implementierungen wurden mit generierten Datensätzen der Größe 2 bis 2 aus einer auf.net basierten Applikation aufgerufen. In nachfolgenden Abbildungen sind die Laufzeiten als Ticks (Eine von der Systemgeschwindigkeit unabhängige, softwareseitig zählbare Einheit. ) über den Datensatzmächtigkeiten logarithmisch dargestellt. Abb. 3 Einfacher Durchlauf Abb facher Durchlauf Abb. 1 FID, Free Induction Decay Abb facher Durchlauf Abb. 6 1k-facher Durchlauf Es ist deutlich erkennbar, dass die kommerziellen Implementierungen bzw. APIs (NI und Matlab) die Transformation im Mittel um eine Größenordnung effizienter als die Quelloffenen durchführen. Als Besonderheit lässt sich im ersten Berechnungsschritt eine Nichtlinearität der Kurve bei kommerziellen Implementierungen erkennen, was auf eine Initialisierung der entsprechenden Bibliotheken rückschließen lässt. Da dieses Verhalten jedoch nach Mittelung über mehrere Aufrufe innerhalb eines Programmdurchlaufes verschwindet, kann von einem einmaligen Initialisierungsprozess ausgegangen werden. Die statischen Implementierungen verhalten sich durchgehend linear. Ausblick Abb. 2 Spektrum In weiterführenden Arbeiten wird die Effizienz der FFT-Algorithmen auf unterschiedlichen Hardwareplattformen untersucht. Dabei stehen insbesondere FPGA (Field Programmable Gate Array) bzw. DSP (Digital Signal Processor) basierte Implementierungen als auch die Nutzung der am Markt befindlichen Grafikprozessoren (CUDA, DirectCompute) im Fokus. Des Weiteren soll mittels des Einsatzes der erwähnten Prozessoren eine Parallelisierbarkeit der Berechnung erreicht werden. Dipl.-Ing. (FH) Oliver Punk Dipl.-Ing. (FH) Steffen Döhler Prof. Dr. rer. nat. Uwe Heuert Telefon: oliver.punk@hs-merseburg.de Telefon: steffen.doehler@hs-merseburg.de Telefon: uwe.heuert@hs-merseburg.de

2 Laufzeitverhalten von FFT Implementierungen Einleitung O. Punk, S. Döhler, U. Heuert HS Merseburg FH, Merseburg, Die DFT 1 stellt ein wichtiges Mittel der Signalanalyse dar und wird im Bereich der Berechnung von Spektrogrammen gebraucht. Die Fast Fourier Transformation ist als Algorithmus ein bekanntes Mittel zur Berechnung der Werte einer Diskreten Fouriertransformation. In nachfolgender Arbeit wurde das Laufzeitverhalten kommerzieller als auch quelloffener APIs 2 mittels Benchmarks verglichen. 1 Fast Fourier Transformation (FFT) Mittels der Festlegung auf einen geradzahligen Datenumfang der Mächtigkeit 2N und der Indizierung der Sample-Werte 1 lässt sich die Diskrete Fourier Transformation mit folgendem Berechnungsalgorithmus darstellen: 1 1 Der Berechnungsaufwand der DFT steigt quadratisch mit der Anzahl 2N der Datenwerte an. Eine erhebliche Reduzierung lässt sich mithilfe der Schnellen Fourier Transformation nach Cooley und Tukey (Cooley & Tukey, 1965) erreichen. Die formelle Beschreibung des Algorithmus ist nachfolgend dargestellt: : : 1 Diskrete Fouriertransformation 2 Application Programming Interface Fachhochschule Schmalkalden 1

3 Durch die Zerlegung von N in Faktoren und der Verwendung einer definierten Datensatzgröße in Höhe einer Zweierpotenz (N=2 m ) wächst der Berechnungsaufwand anstelle von N² nur zu N log 2 N, was eine erhebliche Zeitersparnis bei großen Datenmengen bedeutet. 2 FFT in der NMR 3 -Spektroskopie In der NMR-Spektroskopie wird das Signal des FID 4 aus der Zeitdomäne mittels der FFT in die Frequenzdomäne überführt, was zu einer Spektrendarstellung führt. Abbildung 1 FID Abbildung 2 Spektrum In Abbildung 1 bzw. 2 ist der FID respektive das Protonenspektrum eines Aromaten dargestellt. 3 Ergebnisse Zum Test des Laufzeitverhaltens wurden folgende APIs verwendet: Eine.NET Implementierung des HANA 5 Projektes in Form einer frei verfügbaren DLL, im nachfolgenden türkis dargestellt. Eine eigene statische Funktion des Algorithmus in C#, basierend auf dem Danielson-Lanczos Lemmas (Press, Teukolsky, Vetterling, & Flannery, 1988), im nachfolgendenn grün dargestellt. 3 Nuclear Magnetic Resonance 4 Free Induction Decay Nachwuchswissenschaftlerkonferenz 14. April

4 Eine mittels des Matlab 6 Deploy Tools erstellte Implementierung der FFT basierend auf dem Matlab-Kernel, im nachfolgenden blau dargestellt. Eine Implementierung basierend auf den Analysetools des von National Instruments entwickelten Measurement Studio 7, im nachfolgenden rot dargestellt. Alle Implementierungen wurden mit generierten Datensätzen der Größe 2 bis 2 aus einer auf.net basierten Applikation aufgerufen. In nachfolgenden Abbildungen sind die Laufzeiten als Ticks 8 über den Datensatzmächtigkeiten logarithmisch dargestellt. Abbildung 3 Einfacher Durchlauf Abbildung 4 10-fache Mittelwertbildung Abbildung 5100-fache Mittelwertbildung Abbildung 6 1k-fache Mittelwertbildung Es ist deutlich erkennbar, dass die kommerziellen Implementierungen bzw. APIs (NI und Matlab) die Transformation im Mittel um eine Größenordnung effizienter als die Quelloffenen durchführen. Als Besonderheit lässt sich im ersten Berechnungsschritt eine Nichtlinearität der Kurve bei kommerziellen Implementierungen erkennen, was auf eine Initialisierung der entsprechenden Bibliotheken rückschließen lässt. Da dieses Verhalten jedoch nach Mittelung 6 MATrix LABoratory, kommerzielles Computeralgebrasystem des Unternehmens The Mathworks Inc. 7 Visual Studio basierte Steuerelemente und Klassensammlung für z.b. Messund Analyseaufgaben 8 Eine von der Systemgeschwindigkeit unabhängige, softwareseitig zählbare Einheit. Fachhochschule Schmalkalden 3

5 über mehrere Aufrufe innerhalb eines Programmdurchlaufes verschwindet, kann von einem einmaligen Initialisierungsprozess ausgegangen werden. Die statischen Implementierungen verhalten sich durchgehend linear. 4 Ausblick In weiterführenden Arbeiten wird die Effizienz der FFT-Algorithmen auf unterschiedlichen Hardwareplattformen untersucht. Dabei stehen insbesondere FPGA 9 bzw. DSP 10 basierte Implementierungen als auch die Nutzung der am Markt befindlichen Grafikprozessoren im Fokus. Des Weiteren soll mittels des Einsatzes der erwähnten Prozessoren eine Parallelisierbarkeit der Berechnung erreicht werden. Literatur [1] Cooley, J. W., & Tukey, J. W. (1965). An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series. Math Comput, S. 19/2: [2] National Instruments ( ). NI Developer Zone. Abgerufen am von [3] Klingen, B. (2001). Fouriertransformation für Ingenieur- und Naturwissenschaftler. Heidelberg: Springer-Verlag. [4] The Mathworks (2009). Discrete Fourier transform. Abgerufen am von The Mathworks: [5] Press, W., Teukolsky, S., Vetterling, W., & Flannery, B. (1988). Numerical Recipes in C. Cambridge: Cambridge University Press. 9 Field Programmable Gate Array 10 Digital Signal Processor 11. Nachwuchswissenschaftlerkonferenz 14. April