4 Runge-Kutta-Verfahren

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1 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 43 4 Runge-Kutta-Verfahren 4. Konstruktion Ausgangspunkt wie immer (Substitution: s = t + τh, 0 τ ) y(t + h) = y(t) + [y(t + h) y(t)] = y(t) + = y(t) + h 0 y (t + τh) dτ. t+h t y (s) ds Approximiere durch Quadraturformel 0 g(τ) dτ m β j g(γ j ). j= ( ) Damit zumindest g exakt integriert wird, fordern wir m j= β j =. 4 Runge-Kutta-Verfahren Technische Universität Bergakademie Freiberg

2 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 44 Daraus folgt y(t + h) y(t) + h = y(t) + h m β j y (t + γ j h) j= m β j f (t + γ j h, y(t + γ j h)). j= (RK-) Problem: y(t + γ j h) = y(t) + h γ j 0 y (t + τh) dτ sind unbekannt. Näherungen wieder durch Quadraturformeln, aber mit den alten Knoten γ j (j =,..., m) aus ( ) (sonst würden sich neue Unbekannte y(t + Knoten h) ergeben). γj 0 g(τ) dτ m α j,l g(γ l ) (j =,..., m). ( ) l= Damit zumindest g exakt integriert wird, fordern wir m l= α j,l = γ j j =,..., m. 4. Konstruktion Technische Universität Bergakademie Freiberg

3 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 45 Damit ergibt sich y(t + γ j h) y(t) + h m l= α j,ly (t + γ l h) = y(t) + h m l= α j,lf (t + γ l h, y(t + γ l h)). (RK-2) Abkürzung: k j := ( f (t + γ j h, y(t + γ j h)) (j =,..., m). (RK-2): kj f t + γ j h, y(t) + h ) m l= α j,l k l (j =,..., m). (RK-): y(t + h) y(t) + h m j= β j k j. m-stufiges Runge-Kutta-Verfahren (RKV): y n+ = y n + h m β j k j mit k j = f ( j= t n + γ j h, y n + h ) m α j,l k l (j =,..., m). (RKV) l= 4. Konstruktion Technische Universität Bergakademie Freiberg

4 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 46 Butcher-Matrix (John Charles Butcher, 933) (auch Runge-Kutta-ABC): γ α, α,m... γ m α m, α m,m β β m Beispiele /2 /2 symbolisiert ein zweistufiges explizites RKV (ein RKV ist explizit, wenn α j,l = 0 j l gilt), nämlich das verbesserte Euler-Verfahren. 4. Konstruktion Technische Universität Bergakademie Freiberg

5 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 47 0 /4 /4 2/3 /4 5/2 /4 3/4 symbolisiert ein zweistufiges implizites RKV: k = f ( t n, y n + 4 hk 4 hk 2), k 2 = f ( t n h, y n + 4 hk hk 2), ( zwei i.a. nichtlineare Gleichungen für k und k 2 ) y n+ = y n + 4 h(k + 3k 2 ). (Beispiel 2 aus Abschnitt 2.2 ist ein weiteres implizites zweistufiges RKV.) 4. Konstruktion Technische Universität Bergakademie Freiberg

6 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen /2 / /6 4/6 /6 symbolisiert ein dreistufiges explizites RKV. Verfahren dritter Ordnung von Kutta: k = f (t n, y n ), k 2 = f ( t n + 2 h, y n + 2 hk ), k 3 = f (t n + h, y n hk + 2hk 2 ), y n+ = y n + 6 h(k + 4k 2 + k 3 ). 4. Konstruktion Technische Universität Bergakademie Freiberg

7 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen /3 / /3 0 2/3 0 /4 0 3/4 symbolisiert ein dreistufiges explizites RKV. Verfahren dritter Ordnung von Heun: k = f (t n, y n ), k 2 = f ( t n + 3 h, y n + 3 hk ), k 3 = f ( t n h, y n hk 2), y n+ = y n + 4 h(k + 3k 3 ). (Vgl. Beispiel aus Abschnitt 2.2.) 4. Konstruktion Technische Universität Bergakademie Freiberg

8 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen /2 / /2 0 / /6 2/6 2/6 /6 symbolisiert ein vierstufiges explizites RKV. Klassisches Runge-Kutta-Verfahren: k = f (t n, y n ), k 2 = f (t n + 2 h, y n + 2 hk ), k 3 = f (t n + 2 h, y n + 2 hk 2), k 4 = f (t n + h, y n + hk 3 ), y n+ = y n + 6 h(k + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ). 4. Konstruktion Technische Universität Bergakademie Freiberg

9 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 5 Eine alternative Form von (RKV) ist y n+ = y n + h m β j f (t n + γ j h, ỹ j ) mit ỹ j = y n + h j= m α j,l f (t n + γ l h, ỹ l ) (j =,..., m). (RKV ) l= Setze k j = f (t n + γ j h, ỹ j ). Die ỹ j können als Approximationen an die Lösung y zur Zeit t n + γ j h interpretiert werden, die k j als Approximationen an y (t n + γ j h). 4. Konstruktion Technische Universität Bergakademie Freiberg

10 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Konsistenzordnung Jedes RKV hat die Form y n+ = y n + hφ f (y n, t n ; h) mit Φ f (y n, t n ; h) = m β j k j. j= Es ist ein Einschrittverfahren (ρ(ζ) = ζ ), also stabil und (vgl. Abschnitt 2.3) genau dann konsistent, wenn Φ f (y(t n ), t n ; 0) = f (t n, y(t n ))ρ () erfüllt ist, was hier zu m j= β j = äquivalent ist. Ein RKV ist deshalb genau dann konvergent, wenn gilt. m β j = j= 4.2 Konsistenzordnung Technische Universität Bergakademie Freiberg

11 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 53 Um die Konsistenzordnung eines RKVs zu bestimmen (oder um m-stufige RKV mit möglichst hoher Konsistenzordnung zu konstruieren), sind wie im Fall der Taylor-Verfahren (siehe Abschnitt 2.5) komplizierte Rechnungen erforderlich. Wir untersuchen als Beispiel explizite dreistufige RKV, γ 2 γ γ 3 γ 3 α 3,2 α 3,2 0, β β 2 β 3 und entwickeln h R n+ = y(t n+) y(t n ) h Φ f (y(t n ), t n ; h) = y(t n+) y(t n ) h 3 β j k j j= nach Potenzen von h (unter der Voraussetzung, dass y bzw. f genügend oft differenzierbar sind). 4.2 Konsistenzordnung Technische Universität Bergakademie Freiberg

12 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 54 Für skalare AWPe ergibt sich mit den Abkürzungen F := f t + f y f und G := f tt + 2f ty f + f yy f 2 (alle Ableitungen von f werden an der Stelle (t n, y(t n )) ausgewertet) die Beziehung Anderseits ist y(t n+ ) y(t n ) h k = f(t n, y(t n )) = f, = f + 2 F h + 6 (G + f yf )h 2 + O(h 3 ). k 2 = f(t n + hγ 2, y(t n ) + hγ 2 k ) = f + hγ 2 F + 2 h2 γ 2 2G + O(h 3 ), k 3 = f(t n + hγ 3, y(t n ) + h(γ 3 α 3,2 )k + hα 3,2 k 2 ) = f + hγ 3 F + h 2 (γ 2 α 3,2 F f y + 2 γ2 3G) + O(h 3 ). 4.2 Konsistenzordnung Technische Universität Bergakademie Freiberg

13 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 55 Das bedeutet: h R n+ = Folgerungen. [ 3 j= β j ] f + [ 2 β 2γ 2 β 3 γ 3 ] F h + [ ( 3 β 2γ 2 2 β 3 γ 2 3) 2 G + ( 6 β 3γ 2 α 3,2 )F f y ] h 2 + O(h 3 ).. Das Euler-Verfahren ist das einzige einstufige explizite RKV der Ordnung (β = ). Es gibt kein einstufiges explizites RKV höherer Ordnung. 2. Die zweistufigen expliziten RKV der Ordnung 2 sind durch β + β 2 = und β 2 γ 2 = 2 charakterisiert. Beispiele sind das modifizierte (β = 0, β 2 =, γ 2 = 2 ) und das verbesserte Euler-Verfahren (β = β 2 = 2, γ 2 = ). Kein explizites zweistufiges RKV besitzt die Ordnung Konsistenzordnung Technische Universität Bergakademie Freiberg

14 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Explizite dreistufige RKV der Ordnung 3 sind durch die vier Gleichungen β + β 2 + β 3 =, β 2 γ β 3 γ 2 3 = 3, β 2 γ 2 + β 3 γ 3 = 2, β 3γ 2 α 3,2 = 6 charakterisiert. (Man kann zeigen, dass keine dieser Methoden die Ordnung 4 besitzt.) Beispiele sind das Verfahren von Heun (β = 4, β 2 = 0, β 3 = 3 4, γ 2 = 3, γ 3 = α 3,2 = 2 3 ) und das Verfahren von Kutta (β = 6, β 2 = 2 3, β 3 = 6, γ 2 = 2, γ 3 =, α 3,2 = 2). 4. Ähnliche (kompliziertere) Rechnungen zeigen, dass es eine zweiparametrige Familie expliziter vierstufiger RKV der Ordnung 4 gibt, von denen keines die Ordnung 5 besitzt. Ein Beispiel ist das klassische Runge-Kutta-Verfahren. Weitere Beispiele sind 4.2 Konsistenzordnung Technische Universität Bergakademie Freiberg

15 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen /3 / /3 / /8 3/8 3/8 /8 (3/8-Regel) /5 2/ /5 3/20 3/ /44 5/44 40/ /360 25/360 25/360 55/360 (Formel von Kuntzmann). 4.2 Konsistenzordnung Technische Universität Bergakademie Freiberg

16 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 58 Die oben beschriebene Methode, die Ordnung eines RKVs zu bestimmen, wird für Verfahren höherer Ordnung schnell unübersichtlich: Die Koeffizienten eines expliziten Verfahrens der Ordnung 3 müssen 4 Gleichungen erfüllen (s.o.), während bei einem Verfahren der Ordnung 8 bereits 200 nicht-lineare Gleichungen überprüft werden müssen. Die sog. Butcher-Theorie (vgl. J. C. Butcher, The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations. Runge-Kutta and General Linear Methods. John Wiley & Sons, Chichester 987) erleichtert mit Hilfe graphentheoretischer Bäume die Buchhaltung bei den partiellen Ableitungen von f und erlaubt eine elegante Berechnung der Ordnung eines gegebenen RKVs (sie liefert aber keine Methode, ein Verfahren mit gewünschter Ordnung zu konstruieren). Wir beschränken uns hier darauf, notwendige Ordnungsbedingungen abzuleiten, die sich aus den speziellen AWPen y = y + t l, y(0) = 0, (l N) ergeben. 4.2 Konsistenzordnung Technische Universität Bergakademie Freiberg

17 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 59 Satz 4. (Notwendige Ordnungsbedingungen für RKV) Das durch die Butcher-Matrix c A b definierte RKV besitze die Ordnung p. Dann gelten b A k C l (l )! e = (l + k)! = l(l + )... (l + k) für l =, 2,..., p und k = 0,,..., p l. Dabei sind b := [β, β 2,..., β m ], A := [α j,ν ] j,ν m, C := diag(γ, γ 2,..., γ m ) und e := [,,..., ] R m. 4.2 Konsistenzordnung Technische Universität Bergakademie Freiberg

18 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 60 Spezialfälle der notwendigen Bedingungen aus Satz 4. sind (für k = 0) b C l e = m j= β j γ l j = l für l =, 2,..., p sowie (für l = mit k k + ) b A k e = k! für k =, 2,..., p. Bemerkung. Ein explizites m-stufiges RKV besitzt höchstens die Konsistenzordnung m, denn hier ist A m = O (A ist echte untere Dreiecksmatrix). Für die optimale Ordnung p(m) eines expliziten m-stufigen RKVs gilt sogar p(m) m falls m 5, genauer: m p(m) Konsistenzordnung Technische Universität Bergakademie Freiberg

19 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Absolute Stabilität Wir wenden ein m-stufiges RKV auf die Testgleichung y = λy an und erhalten mit ĥ = λh [ ] y n+ = + ĥb (I m ĥa) e y n =: R(ĥ)y n, so dass (bei festem h) lim n y n = 0 (für alle y 0 ) genau dann gilt, wenn R(ĥ) < erfüllt ist. In Analogie zu Abschnitt 3.5 definieren wir den Stabilitätsbereich eines RKVs durch R A := {ĥ C : R(ĥ) < }. Für ein beliebiges m-stufiges RKV gilt R(ĥ) = + ĥb (I m ĥa) e = + ĥ j b T A j e. j= 4.3 Absolute Stabilität Technische Universität Bergakademie Freiberg

20 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 62 Besitzt das Verfahren die Ordnung p, so folgt R(ĥ) = p j=0 j!ĥj + j=p+ ĥ j b A j e. Ist das RKV explizit, so folgt m R(ĥ) = + ĥ j b T A j e. j= Insbesondere hängt der Stabilitätsbereich eines m-stufigen expliziten RKVs der Ordnung m ( m 4) wegen R(ĥ) = m j=0 j!ĥj nicht von den Koeffizienten des Verfahrens ab. Außerdem besitzt kein explizites RKV einen unbeschränkten Stabilitätsbereich (denn R ist ein Polynom). 4.3 Absolute Stabilität Technische Universität Bergakademie Freiberg

21 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 63 3 Verfahren dritter Ordnung von Heun 3 klassisches Rung Kutta Verfahren Absolute Stabilität Technische Universität Bergakademie Freiberg

22 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Kein Verfahren zur Lösung von AWPen arbeitet in der Praxis mit einer konstanten Schrittweite. Man wird vielmehr versuchen, die Schrittweite an das Verhalten der Lösung y anzupassen (ändert sich y in einem Bereich schnell, so ist dort eine kleine Schrittweite angebracht; in Bereichen, in denen y kaum variiert, ist eine größere Schrittweite ausreichend). Wir werden hier eine Schrittweitensteuerung vorstellen, die zum Ziel hat, den Konsistenzfehler K n+ := h R n+ (wird in der Literatur oft lokaler Diskretisierungsfehler genannt, vgl. Abschnitt 2.3) zu kontrollieren: K n tol, n =, 2,..., mit einer vorgebenen Toleranz tol. Bei Systemen von DGen (insbesondere dann, wenn die Lösungskomponenten von unterschiedlicher Größenordnung sind) wird man für jede Komponente eine eigene absolute Fehlertoleranz und global eine relative Fehlertoleranz festsetzen. 4.4 Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Technische Universität Bergakademie Freiberg

23 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 65 Das folgende Lemma besagt, dass mit dem Konsistenzfehler auch der (eigentlich interessante) globale Diskretisierungsfehler kontrolliert wird. Lemma 4.2 Für den globalen Diskretisierungsfehler e n = y(t n ) y n eines Einschrittverfahrens gilt e n (t n t 0 ) κ n exp(m(t n t 0 )). Dabei ist κ n := max{ K j : j = 0,,..., n} und M die Lipschitzkonstante der Verfahrensfunktion (vgl. (V 2 ) aus Abschnitt 2.2). Um den Konsistenzfehler zu schätzen, verwendet man zwei Methoden unterschiedlicher Konsistenzordnungen (sagen wir p und q mit p < q), um y n aus y n zu berechnen: y n = y n + hφ f (y n, t n ; h) bzw. ŷ n = y n + h Φ f (y n, t n ; h). 4.4 Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Technische Universität Bergakademie Freiberg

24 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 66 Für die zugehörigen Konsistenzfehler gelten: Daraus folgt K n = y(t n) y(t n ) h K n = y(t n) y(t n ) h Φ(y n, t n ; h) = O(h p ), Φ(y n, t n ; h) = O(h q ). K n K n = Φ(y n, t n ; h) Φ(y n, t n ; h) = h (ŷ n y n ). Wegen K n K n = K n ( + O(h q p )) K n erhalten wir aus eine (grobe) Schätzung für K n. h y n ŷ n K n 4.4 Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Technische Universität Bergakademie Freiberg

25 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 67 Ist h y n ŷ n > tol, so wird die Schrittweite h verworfen und mit ( h h ) p = α h tol y n ŷ n ( ) eine neue Schrittweite h bestimmt (α ist hier ein Sicherheitsfaktor, etwa α = 0.9). Ausgehend von y n werden jetzt neue Näherungen y n und ŷ n (an der Stelle t n + h) berechnet. Diesen Prozess wiederholt man so lange, bis h y n ŷ n tol erfüllt ist. Dann wird ( ) verwendet, um eine neue (größere) Schrittweite für den nächsten Schritt (n n + ) vorzuschlagen. Die Wahl von h nach ( ) motiviert sich folgendermaßen: benutzte Schrittweite h: h y n ŷ n K n = ch p + O(h p+ ) ch p, erwünschte Schrittweite h: tol = K n = c h p + O( h p+ ) c h p. 4.4 Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Technische Universität Bergakademie Freiberg

26 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 68 Um den Aufwand in Grenzen zu halten, verwendet man zur Berechnung von y n und ŷ n zwei RKV (verschiedener Ordnungen), deren Butcher-Matrizen sich nur im Vektor b unterscheiden (d.h. A und c sind für beide Verfahren gleich, so dass die Größen k j nur einmal berechnet werden müssen). Man spricht von eingebetteten RKV und schreibt c A b, z.b. b /2 /2. Im Beispiel wird ein RKV der Ordnung (das Euler-Verfahren) in ein RKV der Ordnung 2 (das verbesserte Euler-Verfahren) eingebettet. 4.4 Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Technische Universität Bergakademie Freiberg

27 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 69 Ein populäres Beispiel ist die Fehlberg 4(5)-Formel: Hier werden zwei sechsstufige RKV der Ordnungen 4 bzw. 5 kombiniert Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Technische Universität Bergakademie Freiberg

28 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Implizite und halb-implizite Verfahren Ist die Matrix A eines m-stufigen RKVs keine echte untere -Matrix (ist das RKV also implizit), so muss in jedem Zeitschritt ein nicht-lineares Gleichungssystem der Form k = f (t n + γ h, h m l= α,lk l ).. k m = f (t n + γ m h, h m l= α m,lk l ). ( ) gelöst werden. Dieses System hat also mn Unbekannte, wenn y = f(t, y) aus n Gleichungen besteht. Mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes erkennt man, dass ( ) für genügend kleine h eindeutig lösbar ist. In der Praxis wird man dieses System aber nicht mit der Fixpunktiteration, sondern mit einem Newton- bzw. Quasi-Newton-Verfahren lösen. 4.5 Implizite und halb-implizite Verfahren Technische Universität Bergakademie Freiberg

29 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 7 Ist A eine untere (aber keine echte untere) -Matrix, so nennt man das zugehörige RKV halb-implizit. Das System ( ) zerfällt dann in m Systeme mit jeweils n Unbekannten. Implizite RKV werden oft mit Hilfe von Gauß-Quadraturformeln konstruiert. Dies sind Formeln der Bauart b m g(τ)dτ = β j g(γ j ) + R m (g). a j= Hier werden die Gewichte β j und Knoten γ j so gewählt, dass R m (p) = 0 für Polynome p möglichst hohen Grades d erfüllt ist. Man kann zeigen (vgl. Numerik I), dass eine optimale Wahl auf d = 2m führt (man sagt die Quadraturformel hat Exaktheitsgrad 2m). Die zugehörigen RKV (auch sie werden Gauß-Formeln genannt) haben die Ordnung 2m. Beachte, dass kein m-stufiges RKV eine höhere Ordnung besitzen kann. Warum? 4.5 Implizite und halb-implizite Verfahren Technische Universität Bergakademie Freiberg

30 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 72 Für m = ergibt sich die implizite Mittelpunktsregel welche die Ordnung 2 besitzt. /2 /2, Für m = 2 und m = 3 ergeben sich die Gauß-Formeln bzw mit den Konsistenzordnungen 4 bzw. 6. Bei Gauß-Radau-Integrationsformeln wählt man einen Knoten als (entweder linken oder rechten) Endpunkt des Integrationsintervalls. 4.5 Implizite und halb-implizite Verfahren Technische Universität Bergakademie Freiberg

31 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 73 Die übrigen Knoten und alle Gewichte werden so bestimmt, dass sich ein möglichst hoher Exaktheitsgrad ergibt. Man kann zeigen, dass eine Gauß-Radau-Formel mit m Knoten den Exaktheitsgrad 2m besitzt. Daher haben die zugehörigen impliziten RKV die Konsistenzordnung 2m. Zu dieser Klasse gehören die Verfahren und Schließlich kann man noch beide Enden des Integrationsintervalls als Knoten wählen und die übrigen Daten so bestimmen, dass die zugehörige Integrationsformel den Exaktheitsgrad 2m 2 (bzw. das zugehörige implizite RKV die Konsistenzordnung 2m 2) besitzt. Man spricht von Gauß-Lobatto-Formeln. Ein Beispiel ist die Trapezregel (für m = 2). 4.5 Implizite und halb-implizite Verfahren Technische Universität Bergakademie Freiberg

32 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 74 Ein Vorteil von impliziten gegenüber expliziten RKV ist ihr wesentlich größerer Stabilitätsbereich (wird ausführlicher im nächsten Kapitel diskutiert). Wir betrachten die Trapezregel 0 0 /2 /2 /2 /2 d.h. k = f (t n, y n ), k 2 = f (t n+, y n + h(k + k 2 )/2), y n+ = y n + h(k + k 2 )/2, oder kürzer: y n+ = y n + h(f (t n, y n ) + f (t n+, y n+ ))/2. Die zugehörige Stabilitätsfunktion ist R(ĥ) = ( + ĥ/2)/( ĥ/2) und es gilt: R(ĥ) < + ĥ/2 < ĥ/2 Real(ĥ) < 0. Die Trapezregel ist daher A-stabil. (Man nennt ein Verfahren A-stabil, wenn sein Stabilitätsbereich die (offene) linke Halbebene enthält.) 4.5 Implizite und halb-implizite Verfahren Technische Universität Bergakademie Freiberg

33 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Kollokationsmethoden Kollokationsmethoden sind spezielle implizite RKV, die auf Grund ihrer Konstruktion sehr viel leichter zu analysieren sind als allgemeine RKV. Mit gegebenen 0 γ < γ 2 < < γ m setzen wir t (j) := t n + γ j h (j =, 2,..., m) und suchen ein Polynom p vom Grad m (bei Systemen von k DGen ist das ein Vektor p = [p, p 2,..., p k ] aus k Polynomen vom Grad höchstens m), das die Interpolationsbedingungen p(t n ) = y n, p (t (j) ) = f (t (j), p(t (j) )) (j =, 2,..., m) erfüllt. Die Näherung y n+ an der Stelle t n+ wird dann definiert durch y n+ := p(t n+ ). 4.6 Kollokationsmethoden Technische Universität Bergakademie Freiberg

34 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 76 p ist ein Polynom vom Grad m, das durch die letzten m dieser Interpolationsbedingungen eindeutig bestimmt ist. In Lagrange-Form besitzt es die Darstellung p (t n + τh) = m j= l j(t n + τh)k j mit l j (t n + τh) = m j i= Jetzt folgt für jedes i {, 2,..., m} Analog: τ γ i γ j γ i und k j := p (t (j) ). p(t (i) ) p(t n ) = t (i) t n p (t n + sh) ds = t (i) m t n j= l j(t n + sh)k j ds = h m ( γi j= 0 l j(r) dr ) k j =: h m j= α i,jk j. p(t n+ ) p(t n ) = h ( m ) j= 0 l j(r) dr k j =: h m j= β jk j. 4.6 Kollokationsmethoden Technische Universität Bergakademie Freiberg

35 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 77 Daraus folgt y n+ = p(t n+ ) = p(t n ) + h m j= β jk j = y n + h m j= β jk j mit k j = p (t (j) ) = f (t (j), p(t (j) )) = f (t n + γ j h, y n + m l= α j,lk l ). Mit anderen Worten: Jedes Kollokationsverfahren ist ein (implizites) RKV. Implementiert wird es in der Form (RKV) bzw. (RKV ), d.h. zu gegebenen γ j (j =, 2,..., m) bestimmt man zunächst (i, j =, 2..., m). α i,j = γ i 0 l j(r) dr und β j = 0 l j(r) dr Nicht jedes implizite RKV ist ein Kollokationsverfahren. Beispiel /3 /3 /3 /4 3/4 repräsentiert kein Kollokationsverfahren. 4.6 Kollokationsmethoden Technische Universität Bergakademie Freiberg

36 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 78 Satz 4.3 (Konsistenzordnung bei Kollokationsverfahren) Für ein m-stufiges Kollokationsverfahren mit der Butcher-Matrix c A b sind die folgenden drei Aussagen äquivalent: Das Verfahren besitzt die Konsistenzordnung m + p. 0 τ j m j= (τ γ j) dτ = 0 für j = 0,,..., p. b C l e = /l für l =, 2,..., m + p. Dabei sind C := diag(γ, γ 2,..., γ m ) und e := [,,..., ] R m. 4.6 Kollokationsmethoden Technische Universität Bergakademie Freiberg

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2.3.1 Explizite Runge-Kutta-Verfahren Somit ist y(t + h) = y + hf(t, y ) + h (f t (t, y ) + f y (t, y )f(t, y )) + O(h 3 ) Setzen wir Φ(t, y, h) := f(t, y) + h (f t(t, y) + f y (t, y)f(t, y)), so erhalten wir ein Verfahren mit der Konsistenzordnung

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