Musterlösung zum Übungsblatt Interpolation nach Newton, Nevill, Lagrange.

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1 Angewandte Mathematik Ing.-Wiss., HTWdS Dipl.-Math. Dm. Ovrutskiy Musterlösung zum Übungsblatt Interpolation nach Newton, Nevill, Lagrange. Aufgabe 1 Approximieren Sie cos(x) auf [ /, /] an drei Stützstellen und schätzen Sie den Fehler ab. Skizzieren Sie mittels Matlab das Interpolationspolynom und die Cos- Funktion in ein Koordinatensystem. Wir haben bewiesen, dass das Interpolationspolynom eindeutig bestimmt ist, d.h. unabhangig vom Verfahren. An jedem Messpunkt soll das gesuchte Interpolationspolynom den gemessenen Wert erreichen. Wir haben drei Stutzstellen, d.h. wir können nur ein Interpolytionspolynom der Ordnung erhalten. Seien die drei Stützstellen gleichmäßig verteilt, d.h. wir approximieren cos x in /, 0, /. Cosinuns nimmt an den Stellen die Werte 0, 1 und 0 an. Van der Mond sche Matrix: Sei das gesuchte Polynom p(x) = ax + bx + c. Dann gilt: a( /) + b( /) + c = 0 a(0) + b(0) + c = 1 a(/) + b(/) + c = 0 mit Unbekannten a, b, c. Das System wird mit den Mitteln aus Mathematik 1 gelöst. Interpolation nach Lagrange x 0 = /, x 1 = 0, x = / y 0 = 0, y 1 =, y = 0 L 0 (x) = (x 0)(x /) ( / 0)( / /) = x x 1

2 L 1 (x) = L (x) = (x + /)(x /) (0 + /)(0 /) = 4 x + 1 (x + /)(x 0) (/ + /)(/ 0) = x + x ( P (x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + y L (x) = 4 ) x + 1 Interpolation nach Newton Analog zu Aufgabe. Aufgabe Bestimmen Sie das Interpolationspolynom durch die vier Punkte (0, 1), (1, ), (, ), (4, ) mit verschiedenen Methoden (Gleichungssystem mit Van der Monde-Matrix, Lagrange, Newton). Analog zu der Aufgabe 1. Aufgabe Vervollständigen Sie das folgende Differenzenschema für ein Newtonisches Interpolationspolynom: x y * * 1 * * 4 Ergänzen Sie das Schema und geben Sie das Newtonsche Interpolationspolynom an. x y A D 1 B C 4

3 Man erhält die unbekannten Konstanten aus, z.b.: C 0 = C = B = 4 B = ( ) = A = 1 0 A ( 1) = D D = 1 A Das eindeutig bestimmte Interpolationspolynom ist somit p(x) = + (x + 1) (x + 1)x + (x + 1)x(x 1) = x x Aufgabe 4 Zur Interpolation einer Funktion f : [0, ] R werde eine äquidistante Zerlegung des Intervalls verwendet, d.h. bei gegebenem 0 < N N wählt man x k := (k)/n für k = 0,..., N. Zeigen Sie, daß in diesem Fall die in der Vorlesung eingeführte Funktion ω(x) := N k=0 (x x k) die folgende Abschätzung erfüllt: ω(x) (N + 1)! ( ) N+1 x [0, ]. N Sei I das Intervall, I =. Seien x 0,..., x N mit x k = k/n die Zerlegungspunkte. x k = k N, k = 0,.., N ω(x) = Π N k=0 (x x k) (s.vorlesung) Dann x I gilt: i 0 {0,..., N 1} mit x [x i0, x i0+1 ]. Dann: ω(x) = Π N k=0 x x k = = Π i 0 k=0 x x k Π N k=i 0+1 x x k Π i 0 k=0 N (i 0 + 1) k Π N k=i 0+1 N i 0 k = ( ) N+1 = (i 0 + 1)!(N i 0 )! N Für alle i 0 0,..., N 1 gilt: ( ) N i (N 0 + 1)! (i 0 + 1)!(N i 0 )! Behauptung. Überlegen Sie, wie ändert sich die Formel, wenn Intervall andere Länge hat? Wie sieht die Verallgemeinerung aus?

4 Aufgabe 5 Die Funktion f : [ 1, 1] R f(x) = ex + e x soll auf dem Intervall I = [ 1, 1] durch ein Polynom interpoliert werden. Dazu soll das Intervall I durch ein äquidistantes Gitter unterteilt werden, d.h. die Stützstellen der Interploation sind x k = 1 + k, k = 0,..., N. N Wie muß man N wählen, so daß der Interpolationsfehler auf jeden Fall kleiner als ɛ = 10 4 wird? Benutzen Sie hierbei die aus der Aufgabe 4 bekkante Abschätzung. f(x) = ex +e x ist zu approximieren auf [ 1, 1]. Intervalllänge von [ 1, 1] ist. In der Vorlesung ist folgende Fehlerabschätzung eingefuhrt: Die n te Ableitung von f(x) ist f(x) p(x) = f (n+1) (ξ(x)) ω(x) (n + 1)! f (n) (x) = ex + ( 1) n e x n 0. n 0 f (n) e + 1 e auf [ 1, 1] f(x) p(x) e + 1 e ω(x) 1 (N + 1)! 1 ( e + 1 ) ( ) (N+1). e N Bestimme N so, daß die rechte Seite 10 4 ist (immer AUFrunden, keinerfalls abrunden!): N = 7. Aufgabe 6 Durch eine ungenaue Übertragung der Funktionswerte f k hat sich in der folgenden Tabelle zur Bestimmung eines quadratischen Polynoms ein Fehler eingeschlichen. x k y k

5 Es ist bekannt, daß genau ein Funktionswert f k falsch übermittelt wurde. Formulieren Sie zunächst eine allgemeine und eine speziell auf diesen Fall ausgerichtete Strategie, wie man den fehlerhaften Wert f k auffinden kann. Benutzen Sie sie dann, um den fehlerhaften Wert herauszufinden und berichtigen Sie den entsprechenden Eintrag in der Tabelle. Plotten Sie in Matlab die (richtige) Interpolationsparabel und markieren Sie alle gegebene Punkte einschl. den falschen. Markieren Sie den berichtigten Punkt. Beschriften Sie Ihre Grafik. Original-Strategie: 1. jeweils eine Stützstelle weglassen. Neville-Algorithmus verwenden Vorteile: wenn φ 0 quadratische Interpolation unmöglich, neuer Versuch wenn φ = 0 die weggelasene Stelle war die falsche, d.h. die gesuchte max. 5 Versuche immer anwendbar Nachteile: aufwendig (Neville!) Polynom-Aufstellung zur Korrektur ebenfalls aufwendig Alternative (in diesem Fall): x = 0 f(x) = 0 1. Wenn dieser eintrag stimmt, hat Polynom die einfache Form p(x) = a 1 x + a wähle 0 x i x j 0 als Stutzwerte Bestimme p durch Lösen von ( ) ( ) ( ) x i x i a fi = x j a 1 f j x j Vergleiche p(x k ) an den beiden verbliebenen Stellen mit f k Wenn beide falsch neue Wahl (x i, x j ) sonst: Stelle, an der p(x k ) f k ist die gesuchte.. x = 0 ist die gesuchte Stelle 5

6 Vorteile: Rechnungen einfacher ( ) Polynom direkt erhalten Korrektur einfach Nachteile: geht nur bei solchen Tabellen mit x i = 0, f i = 0 ( ) 4 max. = 6 Versuche Versuch: {, 1} als Stützstellen: ( ) ( ) a = a 1 ( 10 ) a y =, a = 1 p(x) = x x p(1) = 1 falsch p() = 6 richtig D.h. falsche Übermittlung an der Stelle Richtige Tabelle: liefert ein Nä- Aufgabe 7 x i 0 6 Polynominterpolation der Daten tan(x i ) 0 herungspolynom p für die Tangensfunktion. 4 1 a) Mit welchem Fehler R(x) = tan(x) p(x) ist an der Stelle x = 0.4 höhstens zu rechnen? b) Bestimmen Sie das Interpolationspolynom p und berechnen Sie den wirklichen Fehler R(0.4) = tan(0.4) p(0.4) mit dem (Taschen)rechner. a) Nach der Formel für das Interpolationsrestglied ist R(x) M n+1 (n + 1)! (x x 0)... (x x n ) mit M n+1 = sup f n+1 (x). x [a,b] Hier ist f n+1 (x) = f (x). Man erhält: f (x) = 1 + tan x f (x) = tan x(1 + tan x) = tan x + tan x 6

7 f (x) = 6 tan x(1 + tan x) + (1 + tan x) = 6 tan 4 x + 8 tan x + f (x) = 4 tan x(1 + tan x) + 16 tan x(1 + tan x) 0 in [0, /4]. Weil f monoton wächst, ist M n+1 = f (/4) = 16. Somit ist R(x) = tan x p(x) 16 x(x /6)(x /4). 6 Nun hat man für x = 0.4 R(0.4) 8 0.4(0.4 /6)(0.4 /4) b) Für das Interpolationspolynom erhält man mit Newton x k y k 0 0 /6 /4 1 Dann ist / 4( ) 1 4 p(x) = 4 ( )x + ( 4)x. Für den wahren Fehler R(0.4) erhält man (Taschenrechner, CAS, etc.) R(0.4) = tan(0.4) P (0.4) = Das bestätigt also, daß die Restgliedabschätzung einigermaßen grob ist. 7