Themen Lagrange-Interpolation Hermite-Interpolation. Splines. Bézier-Kurven. 5 Interpolation. Interpolation Die Lagrangesche Interpolationsaufgabe

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1 5 Themen Lagrange- Bézier-Kurven saufgabe sformel Der sfehler

2 5.1 saufgabe È n = Raum der reellen Polynome vom Grad n. saufgabe sformel Der sfehler

3 5.1 saufgabe È n = Raum der reellen Polynome vom Grad n. x 0,...,x n verschiedene Stützstellen in Ê y 0,...,y n nicht notwendig verschiedene Werte saufgabe sformel Der sfehler

4 5.1 saufgabe È n = Raum der reellen Polynome vom Grad n. x 0,...,x n verschiedene Stützstellen in Ê y 0,...,y n nicht notwendig verschiedene Werte In der Lagrangeschen saufgabe ist ein Polynom p È n gesucht mit p(x j ) = y j, j = 0, 1,...,n. saufgabe sformel Der sfehler

5 5.1 saufgabe È n = Raum der reellen Polynome vom Grad n. x 0,...,x n verschiedene Stützstellen in Ê y 0,...,y n nicht notwendig verschiedene Werte In der Lagrangeschen saufgabe ist ein Polynom p È n gesucht mit p(x j ) = y j, j = 0, 1,...,n. Die y j können wir uns als Werte y j = f(x j ) einer vorgegebenen Funktion f vorstellen. Wir sagen dann, dass p die Funktion f interpoliert. saufgabe sformel Der sfehler

6 Lagrange-Basis Die Dimension von È n ist n+1. Wir haben daher in der Lagrangeschen saufgabe n+1 Bedingugen gestellt, aber auch n+1 Freiheiten zur Verfügung. saufgabe sformel Der sfehler

7 Lagrange-Basis Die Dimension von È n ist n+1. Wir haben daher in der Lagrangeschen saufgabe n+1 Bedingugen gestellt, aber auch n+1 Freiheiten zur Verfügung. Zur Lösung des sproblems definieren wir die Lagrange-Basis {l j } j=0,...,n, l j È n, durch l j (x) = (x x 0)...(x x j 1 )(x x j+1 )...(x x n ) (x j x 0 )...(x j x j 1 )(x j x j+1 )...(x j x n ). saufgabe sformel Der sfehler

8 Lagrange-Basis Die Dimension von È n ist n+1. Wir haben daher in der Lagrangeschen saufgabe n+1 Bedingugen gestellt, aber auch n+1 Freiheiten zur Verfügung. Zur Lösung des sproblems definieren wir die Lagrange-Basis {l j } j=0,...,n, l j È n, durch l j (x) = (x x 0)...(x x j 1 )(x x j+1 )...(x x n ) (x j x 0 )...(x j x j 1 )(x j x j+1 )...(x j x n ). Es gilt dann l i (x j ) = δ ij saufgabe sformel Der sfehler

9 Lagrangesches spolynom Es gilt dann l i (x j ) = δ ij und die saufgabe p(x j ) = y j wird gelöst durch das Lagrangesche spolynom p(x) = n y j l j (x) È n. j=0 saufgabe sformel Der sfehler

10 Lagrangesches spolynom Es gilt dann l i (x j ) = δ ij und die saufgabe p(x j ) = y j wird gelöst durch das Lagrangesche spolynom p(x) = n y j l j (x) È n. j=0 Satz Die saufgabe p(x j ) = y j wird eindeutig gelöst durch das Lagrangesche spolynom. saufgabe sformel Der sfehler

11 Beweis Gäbe es zwei Lösungen p 1, p 2 È n von p(x j ) = y j, so gilt für q = p 1 p 2 È n, dass q(x j ) = 0. saufgabe sformel Der sfehler

12 Beweis Gäbe es zwei Lösungen p 1, p 2 È n von p(x j ) = y j, so gilt für q = p 1 p 2 È n, dass q(x j ) = 0. Damit hat q n+1 Nullstellen und muss das Nullpolynom sein. Daher ist p 1 = p 2. saufgabe sformel Der sfehler

13 5.2 sformel Das Polynom p n (x) È n interpoliere die Daten (x j, y j ) Ê 2, j = 0,...,n. saufgabe sformel Der sfehler

14 5.2 sformel Das Polynom p n (x) È n interpoliere die Daten (x j, y j ) Ê 2, j = 0,...,n. Wir nehmen ein weiteres Zahlenpaar (x n+1, y n+1 ) Ê 2, x n+1 x j, j = 0,...,n, hinzu. saufgabe sformel Der sfehler

15 5.2 sformel Das Polynom p n (x) È n interpoliere die Daten (x j, y j ) Ê 2, j = 0,...,n. Wir nehmen ein weiteres Zahlenpaar (x n+1, y n+1 ) Ê 2, x n+1 x j, j = 0,...,n, hinzu. Kann man dann das spolynom p n+1 (x) È n+1 zu den Daten (x j, y j ), j = 0,...,n+1, schreiben als p n+1 (x) = p n (x)+f(x) mit einer leicht berechenbaren Funktion f(x)? saufgabe sformel Der sfehler

16 Lösung Wegen p n È n, p n+1 È n+1 gilt f(x) = p n+1 (x) p n (x) È n+1 sowie f(x j ) = 0 für j = 0,...,n. saufgabe sformel Der sfehler

17 Lösung Wegen p n È n, p n+1 È n+1 gilt f(x) = p n+1 (x) p n (x) È n+1 sowie f(x j ) = 0 für j = 0,...,n. Daher f(x) = a n (x x j ). j=0 saufgabe sformel Der sfehler

18 Lösung Wegen p n È n, p n+1 È n+1 gilt f(x) = p n+1 (x) p n (x) È n+1 sowie f(x j ) = 0 für j = 0,...,n. Daher f(x) = a n (x x j ). j=0 a kann man aus der sbedingung ermitteln y n+1 = p n+1 (x n+1 ) = p n (x n+1 )+a a = n (x n+1 x j ) j=0 y n+1 p n (x n+1 ) (x n+1 x 0 )...(x n+1 x n ). saufgabe sformel Der sfehler

19 Aitken Lemma Satz Es sei zu (x j, y j ) Ê 2, j = 0,...,n, x i x j, das spolynom p È n gesucht. saufgabe sformel Der sfehler

20 Aitken Lemma Satz Es sei zu (x j, y j ) Ê 2, j = 0,...,n, x i x j, das spolynom p È n gesucht. Seien p [0], p [n] È n 1 die spolynome mit p [0] (x j ) = y j, j = 0,...,n 1, p [n] (x j ) = y j, j = 1,...,n. saufgabe sformel Der sfehler

21 Aitken Lemma Satz Es sei zu (x j, y j ) Ê 2, j = 0,...,n, x i x j, das spolynom p È n gesucht. Seien p [0], p [n] È n 1 die spolynome mit p [0] (x j ) = y j, j = 0,...,n 1, p [n] (x j ) = y j, j = 1,...,n. Dann gilt p(x) = p [0](x)(x x n ) p [n] (x)(x x 0 ) x 0 x n. saufgabe sformel Der sfehler

22 Beweis p(x) = p [0](x)(x x n ) p [n] (x)(x x 0 ) x 0 x n. Das angegebene Polynom genügt offenbar den Bedingungen p(x j ) = y j für j = 0,...,n sowie p È n. saufgabe sformel Der sfehler

23 Aitkin-Rekursion Für 0 i j n sei nun p ij È j i mit p ij (x k ) = y k für k = i,...,j. saufgabe sformel Der sfehler

24 Aitkin-Rekursion Für 0 i j n sei nun p ij È j i mit p ij (x k ) = y k für k = i,...,j. Dann folgt aus dem Aitken Lemma, dass für die spolynome die Rekursion gilt p ij (x) = p i j 1(x)(x x j ) p i+1 j (x)(x x i ) x i x j saufgabe sformel Der sfehler

25 Neville-Schema Mit P ij, i j bezeichnen wir den Wert des spolynoms p ij (x) für ein festes x. Wir erhalten dafür das folgende Neville-Schema saufgabe sformel Der sfehler

26 Neville-Schema Mit P ij, i j bezeichnen wir den Wert des spolynoms p ij (x) für ein festes x. Wir erhalten dafür das folgende Neville-Schema x 0 y 0 = P 00 x 1 y 1 = P 11 x 2 y 2 = P 22 x 3 y 3 = P 33 x 4 y 4 = P 44 P 01 P 12 P 23 P 34 P 02 P P P P P 04 = p 04 (x), saufgabe sformel Der sfehler

27 Neville-Schema Mit P ij, i j bezeichnen wir den Wert des spolynoms p ij (x) für ein festes x. Wir erhalten dafür das folgende Neville-Schema x 0 y 0 = P 00 x 1 y 1 = P 11 x 2 y 2 = P 22 x 3 y 3 = P 33 x 4 y 4 = P 44 P 01 P 12 P 23 P 34 P 02 P P P P P 04 = p 04 (x), wobei P ij aus P i j 1 und P i+1 j bestimmt wird mit P ij = P i j 1(x x j ) P i+1 j (x x i ) x i x j saufgabe sformel Der sfehler

28 Neville-Schema x 0 y 0 = P 00 x 1 y 1 = P 11 x 2 y 2 = P 22 x 3 y 3 = P 33 x 4 y 4 = P 44 P 01 P 12 P 23 P 34 P 02 P P P P P 04 = p 04 (x), Man kann in diesem Schema auf einfache Weise weitere Stützstellen hinzufügen. In diesem Beispiel hängt man das Paar (x 5, y 5 = P 55 ) unten an und berechnet die Werte P 45,...,P 05 saufgabe sformel Der sfehler

29 Eine weitere Darstellung des spolynoms Wir schreiben p ij (x) = p i j 1(x)(x x j ) p i+1 j (x)(x x i ) x i x j saufgabe sformel Der sfehler

30 Eine weitere Darstellung des spolynoms Wir schreiben (1) p ij (x) = p i j 1(x)(x x j ) p i+1 j (x)(x x i ) x i x j = p i+1 j (x)+ ( p i+1 j (x) p i j 1 (x) ) x x j x j x i saufgabe sformel Der sfehler

31 Eine weitere Darstellung des spolynoms Wir schreiben (1) Da a in p ij (x) = p i j 1(x)(x x j ) p i+1 j (x)(x x i ) x i x j = p i+1 j (x)+ ( p i+1 j (x) p i j 1 (x) ) x x j x j x i n 1 p n = p n 1 + a (x x j ) der Koeffizient der höchsten Potenz x n in p n (x) ist, liest man aus (1) durch Koeffizientenvergleich sofort ab: j=0 saufgabe sformel Der sfehler

32 Newtonsche sformel Satz Das Lagrange-spolynom hat die Gestalt p(x) = n j 1 [x 0,...,x j ] (x x k ), j=0 k=0 1 k=0 = 1, saufgabe sformel Der sfehler

33 Newtonsche sformel Satz Das Lagrange-spolynom hat die Gestalt p(x) = n j 1 [x 0,...,x j ] (x x k ), j=0 k=0 1 k=0 = 1, wobei die dividierten Differenzen [x 0,...,x j ] rekursiv definiert sind durch [x j ] = y j [x k,...,x j ] = [x k+1,...,x j ] [x k,...,x j 1 ] x j x k, j > k 0. saufgabe sformel Der sfehler

34 Dividierten Differenzen Die dividierten Differenzen können völlig analog zum Neville Schema bestimmt werden [x 0 ] = y 0 [x 1 ] = y 1 [x 2 ] = y 2 [x 3 ] = y 3 [x 4 ] = y 4 [x 0, x 1 ] [x 1, x 2 ] [x 2, x 3 ] [x 3, x 4 ] [x 0, x 1, x 2 ] [x 1, x 2, x 3 ] [x 2, x 3, x 4 ] [x 0, x 1, x 2, x 3 ] [x 1, x 2, x 3, x 4 ] [x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 ] saufgabe sformel Der sfehler

35 Beispiel Gesucht ist p È 2 mit p( 2) = 4, p(0) = 0 und p(1) = 1. saufgabe sformel Der sfehler

36 Beispiel Gesucht ist p È 2 mit p( 2) = 4, p(0) = 0 und p(1) = 1. [x 0 ] = 4 [x 1 ] = 0 [x 2 ] = 1 Daher [x 0, x 1 ] = ( 2) = 2 [x 1, x 2 ] = = 1 [x 0, x 1, x 2 ] = 1 ( 2) 1 ( 2) = 1 p(x) = 1 (x ( 2))(x 0) 2 (x ( 2))+4 = (x 2 + 2x)+( 2x 4)+4 = x 2. saufgabe sformel Der sfehler

37 Auswertung der Newton-Formel Einzelne Werte des spolynoms bestimmt man aus der Newtonschen sformel unter Verwendung eines Horner-ähnlichen Schemas. saufgabe sformel Der sfehler

38 Auswertung der Newton-Formel Einzelne Werte des spolynoms bestimmt man aus der Newtonschen sformel unter Verwendung eines Horner-ähnlichen Schemas. Wir schreiben p(x) = n j=0 j 1 c j k=0 (x x k ) = (...(c n (x x n 1 )+c n 1 )(x x n 2 )+...+c 1 )(x x 0 )+c 0 saufgabe sformel Der sfehler

39 Auswertung der Newton-Formel p(x) = n j=0 j 1 c j k=0 (x x k ) = (...(c n (x x n 1 )+c n 1 )(x x n 2 )+...+c 1 )(x x 0 )+c 0 saufgabe sformel Der sfehler

40 Auswertung der Newton-Formel p(x) = n j=0 j 1 c j k=0 (x x k ) = (...(c n (x x n 1 )+c n 1 )(x x n 2 )+...+c 1 )(x x 0 )+c 0 Erhalte die Rekursion b n = c n, b i = b i+1 (x x i )+c i, i = n 1,...,0. Dann ist p(x) = b 0. saufgabe sformel Der sfehler

41 Effizienz der Newton-Formel sformel liefert die effizienteste Methode zur Auswertung des spolynoms. saufgabe sformel Der sfehler

42 Effizienz der Newton-Formel sformel liefert die effizienteste Methode zur Auswertung des spolynoms. Selbst wenn man nur an einem Funktionswert interessiert ist, ist der Aufwand geringer als mit dem Neville-Schema. saufgabe sformel Der sfehler

43 Effizienz der Newton-Formel sformel liefert die effizienteste Methode zur Auswertung des spolynoms. Selbst wenn man nur an einem Funktionswert interessiert ist, ist der Aufwand geringer als mit dem Neville-Schema. Wegen seiner einfachen Gestalt wird das Neville-Schema dennoch in der Praxis verwendet. saufgabe sformel Der sfehler

44 5.3 Der sfehler Satz Sei f C n+1 [a, b] und seien Stützstellen gegeben mit a x 0 <... < x n b. Sei p È n das zugehörige spolynom mit p(x j ) = f(x j ). saufgabe sformel Der sfehler

45 5.3 Der sfehler Satz Sei f C n+1 [a, b] und seien Stützstellen gegeben mit a x 0 <... < x n b. Sei p È n das zugehörige spolynom mit p(x j ) = f(x j ). Zu jedem x [a, b] gibt es ein ξ aus dem kleinsten Intervall I, das die Punkte x, x 0, x 1,...,x n enthält, mit f(x) p(x) = ω(x) (n+1)! f (n+1) (ξ), saufgabe sformel Der sfehler

46 5.3 Der sfehler Satz Sei f C n+1 [a, b] und seien Stützstellen gegeben mit a x 0 <... < x n b. Sei p È n das zugehörige spolynom mit p(x j ) = f(x j ). Zu jedem x [a, b] gibt es ein ξ aus dem kleinsten Intervall I, das die Punkte x, x 0, x 1,...,x n enthält, mit mit f(x) p(x) = ω(x) (n+1)! f (n+1) (ξ), ω(x) = (x x 0 ) (x x n ). saufgabe sformel Der sfehler

47 Beweis Für x x j betrachte die Funktion F(x) = f(x) p(x) αω(x) saufgabe sformel Der sfehler

48 Beweis Für x x j betrachte die Funktion F(x) = f(x) p(x) αω(x) und bestimme ein α Ê so, dass F(x) = 0 erfüllt ist, was wegen ω(x) 0 möglich ist. saufgabe sformel Der sfehler

49 Beweis Für x x j betrachte die Funktion F(x) = f(x) p(x) αω(x) und bestimme ein α Ê so, dass F(x) = 0 erfüllt ist, was wegen ω(x) 0 möglich ist. Dann besitzt F mindestens die Nullstellen x, x 0,...,x n in I. Nach dem Satz von Rolle besitzt F mindestens n+1 Nullstellen, F mindesten n und F (n+1) mindestens eine Nullstelle ξ in I, saufgabe sformel Der sfehler

50 Beweis Für x x j betrachte die Funktion F(x) = f(x) p(x) αω(x) und bestimme ein α Ê so, dass F(x) = 0 erfüllt ist, was wegen ω(x) 0 möglich ist. Dann besitzt F mindestens die Nullstellen x, x 0,...,x n in I. Nach dem Satz von Rolle besitzt F mindestens n+1 Nullstellen, F mindesten n und F (n+1) mindestens eine Nullstelle ξ in I, also 0 = F (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) 0 α (n+1)! saufgabe sformel Der sfehler

51 Beweis F(x) = f(x) p(x) αω(x) saufgabe sformel Der sfehler

52 Beweis und damit F(x) = f(x) p(x) αω(x) 0 = F (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) 0 α (n+1)! α = f (n+1) (ξ) (n+1)!. saufgabe sformel Der sfehler

53 Beweis und damit F(x) = f(x) p(x) αω(x) 0 = F (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) 0 α (n+1)! α = f (n+1) (ξ) (n+1)!. Die Behauptung folgt aus F(x) = 0 in obiger Formel. saufgabe sformel Der sfehler

54 Konvergenz des spolynoms? Für ein Intervall I = [a, b] betrachten wir nun eine Folge von Zerlegungen mit Feinheit m = {a = x (m) 0 < x (m) 1 <... < x (m) n m = b} m = max x (m) i i+1 x(m) i. saufgabe sformel Der sfehler

55 Konvergenz des spolynoms? Für ein Intervall I = [a, b] betrachten wir nun eine Folge von Zerlegungen mit Feinheit m = {a = x (m) 0 < x (m) 1 <... < x (m) n m = b} m = max x (m) i i+1 x(m) i. Aus obiger Fehlerdarstellung erhält man sofort, dass sehr glatte Funktionen wie etwa die e-funktion auf beschränkten Intervallen immer genauer interpoliert werden. saufgabe sformel Der sfehler

56 Konvergenz des spolynoms? Für ein Intervall I = [a, b] betrachten wir nun eine Folge von Zerlegungen mit Feinheit m = {a = x (m) 0 < x (m) 1 <... < x (m) n m = b} m = max x (m) i i+1 x(m) i. Aus obiger Fehlerdarstellung erhält man sofort, dass sehr glatte Funktionen wie etwa die e-funktion auf beschränkten Intervallen immer genauer interpoliert werden. Für alle übrigen Funktionen wird der sfehler in der Regel ansteigen, wenn wir viele Stützstellen verwenden. saufgabe sformel Der sfehler

57 Einige Resultate Satz von Faber: Zu jeder Folge { m } gibt es eine stetige Funktion f, so dass die zugehörigen spolynome nicht gleichmäßig gegen f konvergieren. saufgabe sformel Der sfehler

58 Einige Resultate Satz von Faber: Zu jeder Folge { m } gibt es eine stetige Funktion f, so dass die zugehörigen spolynome nicht gleichmäßig gegen f konvergieren. Runge-Phänomen: Die Folge der spolynome auf äquidistanten Zerlegungen ist nicht beschränkt, wenn die Funktion f(x) = 1 1+x 2 auf dem Intervall [ 5, 5] interpoliert wird. saufgabe sformel Der sfehler

59 Einige Resultate Satz von Faber: Zu jeder Folge { m } gibt es eine stetige Funktion f, so dass die zugehörigen spolynome nicht gleichmäßig gegen f konvergieren. Runge-Phänomen: Die Folge der spolynome auf äquidistanten Zerlegungen ist nicht beschränkt, wenn die Funktion f(x) = 1 1+x 2 auf dem Intervall [ 5, 5] interpoliert wird. Zur Darstellung einer Funktion ist die Polynominterpolation daher ungeeignet. saufgabe sformel Der sfehler

60 5.4 Wir gehen von einem beschränkten Intervall [a, b] und einer Funktion f C 1 [a, b] aus. saufgabe sformel Der sfehler

61 5.4 Wir gehen von einem beschränkten Intervall [a, b] und einer Funktion f C 1 [a, b] aus. x 0, x 1,...,x n [a, b] = verschiedene Stützstellen saufgabe sformel Der sfehler

62 5.4 Wir gehen von einem beschränkten Intervall [a, b] und einer Funktion f C 1 [a, b] aus. x 0, x 1,...,x n [a, b] = verschiedene Stützstellen Gesucht ist ein Polynom p È 2n+1, das die Hermitesche saufgabe für j = 0,...,n erfüllt. p(x j ) = f(x j ) = f j p (x j ) = f (x j ) = f j. saufgabe sformel Der sfehler

63 Basis gesucht Analog zum Vorgehen beim Lagrangen sproblem suchen wir eine Basis φ j,ψ j È 2n+1 mit für i, j = 0,...,n. φ j (x i ) = δ ij, φ j(x i ) = 0, ψ j (x i ) = 0, ψ j(x i ) = δ ij, saufgabe sformel Der sfehler

64 Basis gesucht Analog zum Vorgehen beim Lagrangen sproblem suchen wir eine Basis φ j,ψ j È 2n+1 mit φ j (x i ) = δ ij, φ j(x i ) = 0, ψ j (x i ) = 0, ψ j(x i ) = δ ij, für i, j = 0,...,n. Verwende die Basisfunktionen l j È n des Lagrange-sproblems mit l j (x i ) = δ ij. saufgabe sformel Der sfehler

65 Die Basis l j (x i ) = δ ij, l j È n. saufgabe sformel Der sfehler

66 Die Basis Dann l j (x i ) = δ ij, l j È n. φ j (x) = ( 1 2l j(x j )(x x j ) ) l 2 j (x) ψ j (x) = (x x j )l 2 j (x), saufgabe sformel Der sfehler

67 Die Basis Dann l j (x i ) = δ ij, l j È n. φ j (x) = ( 1 2l j(x j )(x x j ) ) l 2 j (x) ψ j (x) = (x x j )l 2 j (x), was man für j = 0,...,n leicht nachrechnet: φ j(x i ) = 2 ( 1 2l j(x j )(x x j ) ) l j (x i )l j(x i ) 2l j(x j )l 2 j (x i ) saufgabe sformel Der sfehler

68 Die Basis Dann l j (x i ) = δ ij, l j È n. φ j (x) = ( 1 2l j(x j )(x x j ) ) l 2 j (x) ψ j (x) = (x x j )l 2 j (x), was man für j = 0,...,n leicht nachrechnet: φ j(x i ) = 2 ( 1 2l j(x j )(x x j ) ) l j (x i )l j(x i ) 2l j(x j )l 2 j (x i ) ψ j(x i ) = 2(x i x j )l j (x i )l j(x i )+l 2 j (x i ) saufgabe sformel Der sfehler

69 Die Lösung des sproblems ist dann p(x) = n f j φ j (x)+ j=0 n j=0 f j ψ j (x). saufgabe sformel Der sfehler

70 Die Lösung des sproblems ist dann p(x) = n f j φ j (x)+ j=0 n j=0 f j ψ j (x). Satz Das Polynom p È 2n+1 ist die eindeutige Lösung des Hermiteschen sproblems p(x j ) = f j, p (x j ) = f j. saufgabe sformel Der sfehler

71 Die Lösung des sproblems ist dann p(x) = n f j φ j (x)+ j=0 n j=0 f j ψ j (x). Satz Das Polynom p È 2n+1 ist die eindeutige Lösung des Hermiteschen sproblems p(x j ) = f j, p (x j ) = f j. Beweis Gäbe es zwei spolynome p 1, p 2 È 2n+1, so besäße q = p 1 p 2 È 2n+1 n+1 Nullstellen und n+1 Nullstellen der ersten Ableitung. saufgabe sformel Der sfehler

72 Die Lösung des sproblems ist dann p(x) = n f j φ j (x)+ j=0 n j=0 f j ψ j (x). Satz Das Polynom p È 2n+1 ist die eindeutige Lösung des Hermiteschen sproblems p(x j ) = f j, p (x j ) = f j. Beweis Gäbe es zwei spolynome p 1, p 2 È 2n+1, so besäße q = p 1 p 2 È 2n+1 n+1 Nullstellen und n+1 Nullstellen der ersten Ableitung. Damit ist q = 0 und p 1 = p 2. saufgabe sformel Der sfehler

73 Fehlerdarstellung Satz Sei f C 2n+2 [a, b], seien die Stützstellen x 0,...,x n [a, b] paarweise verschieden, und sei p È 2n+1 das Hermitesche spolynom, das den Bedingungen genügt. p(x j ) = f j und p (x j ) = f j, j = 0,...,n, saufgabe sformel Der sfehler

74 Fehlerdarstellung Satz Sei f C 2n+2 [a, b], seien die Stützstellen x 0,...,x n [a, b] paarweise verschieden, und sei p È 2n+1 das Hermitesche spolynom, das den Bedingungen genügt. p(x j ) = f j und p (x j ) = f j, j = 0,...,n, Dann gibt es zu jedem x [a, b] ein ξ aus dem kleinsten Intervall, das die Punkte x, x 0,...,x n enthält mit f(x) p(x) = ω2 (x) (2n+2)! f (2n+2) (ξ). saufgabe sformel Der sfehler

75 Fehlerdarstellung Satz Sei f C 2n+2 [a, b], seien die Stützstellen x 0,...,x n [a, b] paarweise verschieden, und sei p È 2n+1 das Hermitesche spolynom, das den Bedingungen genügt. p(x j ) = f j und p (x j ) = f j, j = 0,...,n, Dann gibt es zu jedem x [a, b] ein ξ aus dem kleinsten Intervall, das die Punkte x, x 0,...,x n enthält mit f(x) p(x) = ω2 (x) (2n+2)! f (2n+2) (ξ). mit ω(x) = (x x 0 ) (x x n ). saufgabe sformel Der sfehler

76 Beweis Für x = x j ist die Gleichung richtig, sei also x x j für alle j. Die Funktion F(z) = ( f(x) p(x) ) ω 2 (z) ( (f(z) p(z) ) ω 2 (x) besitzt für jedes x j mindestens eine doppelte und für x mindestens eine einfache Nullstelle. saufgabe sformel Der sfehler

77 Beweis Für x = x j ist die Gleichung richtig, sei also x x j für alle j. Die Funktion F(z) = ( f(x) p(x) ) ω 2 (z) ( (f(z) p(z) ) ω 2 (x) besitzt für jedes x j mindestens eine doppelte und für x mindestens eine einfache Nullstelle. (2n+2)-fache Anwendung des Satzes von Rolle zeigt, dass F (2n+2) mindestens eine Nullstelle ξ besitzt, also 0 = F (2n+2) (ξ) = (2n+2)! ( f(x) p(x) ) f (2n+2) (ξ)ω 2 (x). saufgabe sformel Der sfehler

78 5.5 Vor- und Nachteile Polynominterpolation theoretisch leicht durchführbar Auswertung aufwändig, wenn n groß Erratische Ausschläge auch bei glatten Funktionen wie 1/(1+x 2 ). Daher als Approximation einer Funktion ungeeignet. saufgabe sformel Der sfehler

79 5.5 Vor- und Nachteile Polynominterpolation theoretisch leicht durchführbar Auswertung aufwändig, wenn n groß Erratische Ausschläge auch bei glatten Funktionen wie 1/(1+x 2 ). Daher als Approximation einer Funktion ungeeignet. Wir brauchen etwas, dass leicht berechenbar ist, die vorgegebene Funktion gut approximiert. saufgabe sformel Der sfehler

80 Definitin der Spline-Räume Sei = {a = x 0 < x 1 <... < x n = b} eine Zerlegung des Intervalls [a, b]. saufgabe sformel Der sfehler

81 Definitin der Spline-Räume Sei = {a = x 0 < x 1 <... < x n = b} eine Zerlegung des Intervalls [a, b]. Dann bezeichnen wir mit S(, p, q), p, q Æ 0, 0 q < p, den Raum aller Funktionen s C q [a, b], die auf jedem Teilintervall [x i 1, x i ], i = 1,...,n, mit einem Polynom vom Höchstgrad p übereinstimmen. saufgabe sformel Der sfehler

82 Definitin der Spline-Räume Sei = {a = x 0 < x 1 <... < x n = b} eine Zerlegung des Intervalls [a, b]. Dann bezeichnen wir mit S(, p, q), p, q Æ 0, 0 q < p, den Raum aller Funktionen s C q [a, b], die auf jedem Teilintervall [x i 1, x i ], i = 1,...,n, mit einem Polynom vom Höchstgrad p übereinstimmen. Jedes s S(, p, q) heißt (Polynom-)Spline vom Grade p der Differenzierbarkeitsklasse q zur Zerlegung. saufgabe sformel Der sfehler

83 Der Raum der stückweise linearen Funktionen S(, 1, 0) Wir definieren = {a = x 0 < x 1 <... < x n = b} S 1 = S(, 1, 0) = {s C[a, b] : s [xi 1,x i ] È 1 für i = 1,...,n}. saufgabe sformel Der sfehler

84 Der Raum der stückweise linearen Funktionen S(, 1, 0) Wir definieren = {a = x 0 < x 1 <... < x n = b} S 1 = S(, 1, 0) = {s C[a, b] : s [xi 1,x i ] È 1 für i = 1,...,n}. S 1 ist der Raum der stetigen, stückweise linearen. saufgabe sformel Der sfehler

85 Vorgabe von Werten a x 1 x 2 x 3 b saufgabe sformel Der sfehler Offenbar ist eine solche stetige, stückweise lineare Spline-Funktion s durch die Vorgabe ihrer Werte an den Stützstellen x 0,...,x n eindeutig bestimmt, da sie ja innerhalb der Teilintervalle affin linear ist.

86 Basisfunktionen x i - 1 x i x i + 1 Wir definieren die Basisfunktionen φ i S 1 durch x x i 1 falls x i 1 x x i und i > 0 x i x i 1 φ i (x) = x i+1 x falls x i x x i+1 und i < n x i+1 x i 0 sonst. saufgabe sformel Der sfehler

87 Basis Es gilt dann x i - 1 x i x i + 1 φ i (x j ) = δ ij, i, j = 0,...,n.. saufgabe sformel Der sfehler

88 Basis Es gilt dann x i - 1 x i x i + 1 φ i (x j ) = δ ij, i, j = 0,...,n.. Aufgrund dieser Eigenschaft sind die φ i linear unabhängig und bilden eine Basis von S 1. saufgabe sformel Der sfehler

89 Basis Es gilt dann x i - 1 x i x i + 1 φ i (x j ) = δ ij, i, j = 0,...,n.. Aufgrund dieser Eigenschaft sind die φ i linear unabhängig und bilden eine Basis von S 1. Die im Inneren des Intervalls liegenden Basisfunktionen haben die charakteristische Hut-Gestalt, wie im Bild zu sehen ist. saufgabe sformel Der sfehler

90 Interpolierende a x 1 x 2 x 3 b saufgabe sformel Der sfehler Für eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion f ist die Interpolierende I f S 1 definiert durch I f(x) = n f(x i )φ i (x). i=0

91 Interpolierende Für eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion f ist die Interpolierende I f S 1 definiert durch I f(x) = n f(x i )φ i (x). i=0 saufgabe sformel Der sfehler

92 Interpolierende Für eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion f ist die Interpolierende I f S 1 definiert durch I f(x) = n f(x i )φ i (x). i=0 I f ist durch die beiden folgenden Bedinungen eindeutig bestimmt: I f S 1 I f stimmt an den Stützstellen mit f überein saufgabe sformel Der sfehler

93 Vor- und Nachteile Zur Darstellung einer Funktion weniger geeignet, da sehr viele Stützstellen erforderlich. Für die Approximation gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen hervorragend geeignet wegen: saufgabe sformel Der sfehler

94 Vor- und Nachteile Zur Darstellung einer Funktion weniger geeignet, da sehr viele Stützstellen erforderlich. Für die Approximation gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen hervorragend geeignet wegen: Lokale Basis vorhanden. Stabilitätsverhalten ist sehr gut, z.b. gilt I f f. saufgabe sformel Der sfehler

95 Vor- und Nachteile Zur Darstellung einer Funktion weniger geeignet, da sehr viele Stützstellen erforderlich. Für die Approximation gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen hervorragend geeignet wegen: Lokale Basis vorhanden. Stabilitätsverhalten ist sehr gut, z.b. gilt I f f. für die Auswertung von I f ist nur die Bestimmung eines gewichteten Mittelwerts der Werte von f an den benachbarten Stützstellen erforderlich. saufgabe sformel Der sfehler

96 Fehlerabschätzung Satz Sei f C 2 [a, b]. Dann gilt mit = max i x i+1 x i f I f f. saufgabe sformel Der sfehler

97 Beweis Aus der Fehlerabschätzung der Lagrange- erhalten wir für x [x i 1, x i ] f(x) I f(x) = 1 2 (x x i 1)(x x i )f (ξ i ), ξ i [x i 1, x i ]. saufgabe sformel Der sfehler

98 Beweis Aus der Fehlerabschätzung der Lagrange- erhalten wir für x [x i 1, x i ] f(x) I f(x) = 1 2 (x x i 1)(x x i )f (ξ i ), ξ i [x i 1, x i ]. Die Funktion in x auf der rechten Seite wird maximal für den Mittelwert von x i 1 und x i, daher f I f (x) 1 8 x i x i 1 2 max x [x i 1,x i ] f (x), saufgabe sformel Der sfehler

99 Beweis Aus der Fehlerabschätzung der Lagrange- erhalten wir für x [x i 1, x i ] f(x) I f(x) = 1 2 (x x i 1)(x x i )f (ξ i ), ξ i [x i 1, x i ]. Die Funktion in x auf der rechten Seite wird maximal für den Mittelwert von x i 1 und x i, daher saufgabe sformel Der sfehler also f I f (x) 1 8 x i x i 1 2 max x [x i 1,x i ] f (x), f I f f.

100 Der Raum der kubischen S(, 3, 1) Wir definieren = {a = x 0 < x 1 <... < x n = b} S 3 = S(, 3, 1) = {s C 1 [a, b] : s [xi 1,x i ] È 3 für i = 1,...,n}. saufgabe sformel Der sfehler

101 Der Raum der kubischen S(, 3, 1) Wir definieren = {a = x 0 < x 1 <... < x n = b} S 3 = S(, 3, 1) = {s C 1 [a, b] : s [xi 1,x i ] È 3 für i = 1,...,n}. In diesem Fall ist die Funktion s S 3 durch die Vorgabe ihrer Werte und der Werte ihrer Ableitung an den Stützstellen x 0,...,x n eindeutig bestimmt, da sie innerhalb der Teilintervalle eine kubische Funktion ist. saufgabe sformel Der sfehler

102 Der Raum der kubischen S(, 3, 1) Wir definieren = {a = x 0 < x 1 <... < x n = b} S 3 = S(, 3, 1) = {s C 1 [a, b] : s [xi 1,x i ] È 3 für i = 1,...,n}. In diesem Fall ist die Funktion s S 3 durch die Vorgabe ihrer Werte und der Werte ihrer Ableitung an den Stützstellen x 0,...,x n eindeutig bestimmt, da sie innerhalb der Teilintervalle eine kubische Funktion ist. In jedem Teilintervall liegt eine vor. saufgabe sformel Der sfehler

103 Basisfunktionen Wir benötigen Basisfunktionen φ i S 3, deren Ableitungen an den Stützstellen verschwinden, mit φ i (x j ) = δ ij und Basisfunktionen ψ i S 3, die an den Stützstellen verschwinden, mit ψ i (x j) = δ ij : saufgabe sformel Der sfehler

104 Basisfunktionen Wir benötigen Basisfunktionen φ i S 3, deren Ableitungen an den Stützstellen verschwinden, mit φ i (x j ) = δ ij und Basisfunktionen ψ i S 3, die an den Stützstellen verschwinden, mit ψ i (x j) = δ ij : saufgabe sformel Der sfehler (x x i 1 ) 2 (3x i x i 1 2x) (x i x i 1 ) 3 falls x i 1 x x i und i > 0 φ i (x) = (x i+1 x) 2 (x i+1 3x i + 2x). (x i+1 x i ) 3 falls x i x x i+1 und i < n 0 sonst

105 Basisfunktionen ψ i (x) = (x x i 1 ) 2 (x x i ) (x i x i 1 ) 2 falls x i 1 x x i und i > 0 (x x i+1 ) 2 (x x i ) (x i+1 x i ) 2 falls x i x x i+1 und i < n 0 sonst saufgabe sformel Der sfehler.

106 Basisfunktionen Man rechnet leicht nach, dass dann φ i (x j ) = δ ij, φ i (x } j) = 0 ψ i (x j ) = 0, φ i (x i, j = 0,...,n. j) = δ ij saufgabe sformel Der sfehler

107 Basisfunktionen Man rechnet leicht nach, dass dann φ i (x j ) = δ ij, φ i (x } j) = 0 ψ i (x j ) = 0, φ i (x i, j = 0,...,n. j) = δ ij Demnach stellen diese Funktionen eine Basis des Raumes S 3 dar, die zudem lokal ist: Der Träger der Basisfunktionen φ i,ψ i besteht lediglich aus dem Intervall [x i 1, x i+1 ]. saufgabe sformel Der sfehler

108 Interpolierende Für eine auf dem Intervall [a, b] stetig differenzierbare Funktion f ist die Interpolierende I f S 3 definiert durch I f(x) = n ( f(xi )φ i (x)+f (x i )ψ i (x) ). i=0 saufgabe sformel Der sfehler

109 Interpolierende Für eine auf dem Intervall [a, b] stetig differenzierbare Funktion f ist die Interpolierende I f S 3 definiert durch I f(x) = n ( f(xi )φ i (x)+f (x i )ψ i (x) ). i=0 I f erfüllt dann die Bedingungen f(x i ) = I f(x i ), f (x i ) = I f (x i ) für i = 0,...,n. saufgabe sformel Der sfehler

110 Fehlerabschätzung Eine Fehlerabschätzung folgt aus der Fehlerabschätzung für die. Für f C 4 [a, b] gilt für beliebiges x [x i 1, x i ] f(x) I f(x) = 1 4! (x x i 1) 2 (x x i ) 2 f (4) (ξ i ) für ein ξ i [x i 1, x i ]. saufgabe sformel Der sfehler

111 Fehlerabschätzung Eine Fehlerabschätzung folgt aus der Fehlerabschätzung für die. Für f C 4 [a, b] gilt für beliebiges x [x i 1, x i ] f(x) I f(x) = 1 4! (x x i 1) 2 (x x i ) 2 f (4) (ξ i ) für ein ξ i [x i 1, x i ]. Auch hier wird die Funktion in x auf der rechten Seite maximal für den Mittelwert von x i 1 und x i, f I f (x) 1 4! 1 16 x i 1 x i 4 max x [x i 1,x i ] f (4) (x). saufgabe sformel Der sfehler

112 Fehlerabschätzung Satz Sei f C 4 [a, b]. Dann gilt mit = max i x i+1 x i f I f f (4). saufgabe sformel Der sfehler

113 5.6 Wir gehen von der Aufgabe aus, eine Kurve im Ê n zu zeichnen, von deren Verlauf wir eine gewisse Vorstellung haben. saufgabe sformel Der sfehler

114 5.6 Wir gehen von der Aufgabe aus, eine Kurve im Ê n zu zeichnen, von deren Verlauf wir eine gewisse Vorstellung haben. Wie bestimmen wir eine Realisierung x : [0, 1] Ê n? saufgabe sformel Der sfehler

115 5.6 Wir gehen von der Aufgabe aus, eine Kurve im Ê n zu zeichnen, von deren Verlauf wir eine gewisse Vorstellung haben. Wie bestimmen wir eine Realisierung x : [0, 1] Ê n? Es liegt nahe, gewisse Punkte x i = (x i 1,...,xi n) festzulegen, durch die die Kurve laufen soll, und für jede Komponente eine Polynominterpolation durchzuführen. saufgabe sformel Der sfehler

116 5.6 Wir gehen von der Aufgabe aus, eine Kurve im Ê n zu zeichnen, von deren Verlauf wir eine gewisse Vorstellung haben. Wie bestimmen wir eine Realisierung x : [0, 1] Ê n? Es liegt nahe, gewisse Punkte x i = (x i 1,...,xi n) festzulegen, durch die die Kurve laufen soll, und für jede Komponente eine Polynominterpolation durchzuführen. Wie im Abschnitt über Polynominterpolation ausgeführt, nimmt die Kurve dann in der Regel einen erratischen Verlauf, wenn wir viele Punkte vorgeben. saufgabe sformel Der sfehler

117 5.6 Wir gehen von der Aufgabe aus, eine Kurve im Ê n zu zeichnen, von deren Verlauf wir eine gewisse Vorstellung haben. Wie bestimmen wir eine Realisierung x : [0, 1] Ê n? Es liegt nahe, gewisse Punkte x i = (x i 1,...,xi n) festzulegen, durch die die Kurve laufen soll, und für jede Komponente eine Polynominterpolation durchzuführen. Wie im Abschnitt über Polynominterpolation ausgeführt, nimmt die Kurve dann in der Regel einen erratischen Verlauf, wenn wir viele Punkte vorgeben. Auch hier ist die Polynominterpolation kein geeignetes Hilfsmittel. saufgabe sformel Der sfehler

118 Bernstein-Polynome vom Grad m sind ( m Bi m (t) = i ) t i (1 t) m i, t [0, 1], i = 0,...,m saufgabe sformel Der sfehler

119 Bernstein-Polynome vom Grad m sind ( m Bi m (t) = i Satz Es gilt: (a) 0 < B m i (t) < 1 in (0, 1). ) t i (1 t) m i, t [0, 1], i = 0,...,m saufgabe sformel Der sfehler

120 Bernstein-Polynome vom Grad m sind ( m Bi m (t) = i Satz Es gilt: (a) 0 < B m i (t) < 1 in (0, 1). (b) m i=0 Bm i (t) = 1. ) t i (1 t) m i, t [0, 1], i = 0,...,m saufgabe sformel Der sfehler

121 Bernstein-Polynome vom Grad m sind ( m Bi m (t) = i Satz Es gilt: (a) 0 < B m i (t) < 1 in (0, 1). ) t i (1 t) m i, t [0, 1], i = 0,...,m (b) m i=0 Bm i (t) = 1. (c) B m i (t) hat eine i-fache Nullstelle in t = 0 und eine (m i)-fache Nullstelle in t = 1. saufgabe sformel Der sfehler

122 Bernstein-Polynome vom Grad m sind ( m Bi m (t) = i Satz Es gilt: (a) 0 < B m i (t) < 1 in (0, 1). ) t i (1 t) m i, t [0, 1], i = 0,...,m (b) m i=0 Bm i (t) = 1. (c) B m i (t) hat eine i-fache Nullstelle in t = 0 und eine (m i)-fache Nullstelle in t = 1. (d) Es gilt für alle m und i = 0,...,m+1 die Rekursion B m+1 i (t) = (1 t)bi m (t)+tbi 1(t), m wobei B 1 m = Bm m+1 = 0 und B0 0 = 1 gesetzt wird. saufgabe sformel Der sfehler

123 Beweis Die Eigenschaften (a) und (c) sind trivialerweise erfüllt. saufgabe sformel Der sfehler

124 Beweis Die Eigenschaften (a) und (c) sind trivialerweise erfüllt. (b) m i=0 Bm i (t) = 1 folgt aus der binomischen Formel wegen m Bi m (t) = i=0 m ( m i i=0 ) t i (1 t) m i = ( t +(1 t) ) m = 1. saufgabe sformel Der sfehler

125 Beweis (d) Es gilt für alle m und i = 0,...,m+1 die Rekursion B m+1 i (t) = (1 t)bi m (t)+tbi 1(t), m wobei B 1 m = Bm m+1 = 0 und B0 0 = 1 gesetzt wird. saufgabe sformel Der sfehler

126 Beweis (d) Es gilt für alle m und i = 0,...,m+1 die Rekursion B m+1 i (t) = (1 t)bi m (t)+tbi 1(t), m wobei B 1 m = Bm m+1 = 0 und B0 0 = 1 gesetzt wird. ( m+1 ) B m+1 i (t) = t i (1 t) m+1 i i (( m = i ) ( m )) + t i (1 t) m+1 i i 1 saufgabe sformel Der sfehler

127 Beweis (d) Es gilt für alle m und i = 0,...,m+1 die Rekursion B m+1 i (t) = (1 t)bi m (t)+tbi 1(t), m wobei B 1 m = Bm m+1 = 0 und B0 0 = 1 gesetzt wird. ( m+1 ) B m+1 i (t) = t i (1 t) m+1 i i (( m = i ( m = (1 t) i ) ( m )) + t i (1 t) m+1 i i 1 = (1 t)b m i (t)+tb m i 1(t). ) ( m ) t i (1 y) m i + t t i 1 (1 t) m (i 1) i 1 saufgabe sformel Der sfehler

128 Bernstein-Polynome bilden Basis Wegen (c) sind die Bernstein-Polynome linear unabhängig, denn aus m φ(t) = α i Bi m (t) = 0 i=0 saufgabe sformel Der sfehler

129 Bernstein-Polynome bilden Basis Wegen (c) sind die Bernstein-Polynome linear unabhängig, denn aus m φ(t) = α i Bi m (t) = 0 i=0 folgt m φ(0) = α i Bi m (0) = α 0 = 0 i=0 saufgabe sformel Der sfehler

130 Bernstein-Polynome bilden Basis Wegen (c) sind die Bernstein-Polynome linear unabhängig, denn aus m φ(t) = α i Bi m (t) = 0 folgt φ(0) = und daher i=0 m α i Bi m (0) = α 0 = 0 i=0 φ(t) = m α i Bi m (t) = 0. i=1 saufgabe sformel Der sfehler

131 Bernstein-Polynome bilden Basis Wegen (c) sind die Bernstein-Polynome linear unabhängig, denn aus m φ(t) = α i Bi m (t) = 0 folgt φ(0) = und daher i=0 m α i Bi m (0) = α 0 = 0 i=0 φ(t) = m α i Bi m (t) = 0. i=1 Genauso folgt aus φ (t) = 0, dass α 1 = 0 und damit α i = 0 für alle i. Die Bi m bilden daher für i = 0,...,m eine Basis des Polynomraums È m. saufgabe sformel Der sfehler

132 Bézier-Kurven Mit den Bernstein-Polynomen lassen sich auf folgende Art schöne Kurven zeichnen: Es seien x i Ê n, i = 0,...,m, vorgegeben. saufgabe sformel Der sfehler

133 Bézier-Kurven Mit den Bernstein-Polynomen lassen sich auf folgende Art schöne Kurven zeichnen: Es seien x i Ê n, i = 0,...,m, vorgegeben. Dann heißt F(t) = m x i Bi m (t) i=0 die Bézier-Kurve vom Grade m zu den Bézierpunkten (auch Kontrollpunkte genannt) x i. saufgabe sformel Der sfehler

134 Bézier-Kurven F(t) = m x i Bi m (t) i=0 Wegen (c) gilt F(0) = x 0 und F(1) = x m, die Bézierkurve verbindet demnach die Punkte x 0 und x m. Die anderen Bézierpunkte dienen dazu, den Kurvenverlauf zu steuern, und liegen in der Regel nicht auf der Kurve. saufgabe sformel Der sfehler

135 Bézier-Kurven F(t) = m x i Bi m (t) i=0 Wegen (c) gilt F(0) = x 0 und F(1) = x m, die Bézierkurve verbindet demnach die Punkte x 0 und x m. Die anderen Bézierpunkte dienen dazu, den Kurvenverlauf zu steuern, und liegen in der Regel nicht auf der Kurve. Wegen (a) und (b) ist F(t) für jedes t eine Konvexkombination der Punkte x i. Damit liegt die ganze Kurve in der konvexen Hülle der x i. saufgabe sformel Der sfehler

136 Kubische Bézier-Kurven In der Programmiersprache postscript gibt es den Befehl curveto, mit dem für m = 3 gezeichnet werden können. saufgabe sformel Der sfehler

137 Kubische Bézier-Kurven Mit dem Punkt x 1 lässt sich die erste Ableitung im Punkt x 0 vorgeben und damit gleichzeitig die Anfangsgeschwindigkeit der Kurve. saufgabe sformel Der sfehler

138 Kubische Bézier-Kurven Mit dem Punkt x 1 lässt sich die erste Ableitung im Punkt x 0 vorgeben und damit gleichzeitig die Anfangsgeschwindigkeit der Kurve. Die gleiche Bedeutung hat der Punkt x 2 für x 3. saufgabe sformel Der sfehler

139 Algorithmus von de Casteljau Die Rekursionsformel für die Bernstein-Polynome liefert eine einfache Methode zur Auswertung des Bézier-Polynoms an einer festen Stelle, den Algorithmus von de Casteljau: saufgabe sformel Der sfehler

140 Algorithmus von de Casteljau Die Rekursionsformel für die Bernstein-Polynome liefert eine einfache Methode zur Auswertung des Bézier-Polynoms an einer festen Stelle, den Algorithmus von de Casteljau: Satz Sei ˆt [0, 1]. Setze x i,0 = x i für i = 0,...,m und bestimme x i,k+1 = (1 ˆt)x i 1,k +ˆtx i,k, k = 0,...,m 1, i = k+1,...,m. saufgabe sformel Der sfehler Dann gilt x m,m = F(ˆt).

141 Beweis Für m = 1 gilt x 1,1 = (1 ˆt)x 0,0 +ˆtx 1,0 = x 0 B 1 0(ˆt)+x 1 B 1 1(ˆt) = F(ˆt). saufgabe sformel Der sfehler

142 Beweis Für m = 1 gilt x 1,1 = (1 ˆt)x 0,0 +ˆtx 1,0 = x 0 B 1 0(ˆt)+x 1 B 1 1(ˆt) = F(ˆt). Ist m 2 und die Behauptung für m 1 bewiesen, so x m,m = (1 ˆt)x m 1,m 1 +ˆtx m,m 1 m 1 = (1 ˆt) i=0 m 1 x i B m 1 i (ˆt)+ˆt i=0 x i+1 B m 1 i (ˆt) saufgabe sformel Der sfehler

143 Beweis Für m = 1 gilt x 1,1 = (1 ˆt)x 0,0 +ˆtx 1,0 = x 0 B 1 0(ˆt)+x 1 B 1 1(ˆt) = F(ˆt). Ist m 2 und die Behauptung für m 1 bewiesen, so x m,m = (1 ˆt)x m 1,m 1 +ˆtx m,m 1 m 1 = (1 ˆt) i=0 m 1 x i B m 1 i (ˆt)+ˆt i=0 x i+1 B m 1 i (ˆt) m 1 = (1 ˆt)x 0 + x i( ) (1 ˆt)B m 1 i (ˆt)+ˆtB m 1 i 1 (ˆt) = i=1 m x i Bi m (ˆt) = F(ˆt). i=0 +ˆtx m saufgabe sformel Der sfehler

144 Algorithmus von de Casteljau saufgabe sformel Der sfehler Im Bild wird der Algorithmus von Casteljau für ˆt = 1/2 gezeigt, dort werden also immer die Seitenmitten benachbarter Seiten miteinander verbunden.

145 Wer hat s erfunden? saufgabe sformel Der sfehler

146 Wer hat s erfunden? Die Franzosen! saufgabe sformel Der sfehler

147 Wer hat s erfunden? Die Franzosen! Pierre Étienne Bézier bei Renault Paul de Faget de Casteljau bei Citroen saufgabe sformel Der sfehler

148 Wer hat s erfunden? Die Franzosen! Pierre Étienne Bézier bei Renault Paul de Faget de Casteljau bei Citroen Citroen hielt die Ergebnisse von Casteljau bis 1970 zurück. Der Prioritätsstreit wurde dadurch beigelegt, dass die Kurven Bézier und der Algorithmus Casteljau zugesprochen wurde. saufgabe sformel Der sfehler

149 Citroen DS 21 pallas Die Göttin saufgabe sformel Der sfehler

150 Citroen CX 1986 saufgabe sformel Der sfehler

151 Citroen 2CV charleston Die Ente saufgabe sformel Der sfehler

152 Renault R saufgabe sformel Der sfehler

153 Peugeot 403 Cabriolet 1959 saufgabe sformel Der sfehler