KAPITEL 9 Splinefunktionen

Transkript

1 KAPITEL 9 Splinefunktionen 9.1 Splineräume und Approximationsgüte Bei der Behandlung von Splines ist es bequemer, statt mit dem Grad von Polynomen, mit der Ordnung k := Grad + 1 zu arbeiten. Für eine Knotenmenge τ = {τ 0,..., τ l+1 } mit a = τ 0 < τ 1 <... < τ l < τ l+1 = b und k 1 definieren wir den Splineraum der Splines der Ordnung k durch P 1,τ = { f : [a, b) R f [τi,τ i+1 ) Π 0, 0 i l }, P k,τ = {f C k 2 ([a, b]) f [τi,τ i+1 ) Π k 1, 0 i l }, k 2. Für k = 4 ergibt sich gerade der Raum der kubischen Splines. Dahmen-Reusken Kapitel 9 1

2 Lemma 9.1. Es gilt: dim P k,τ = k + l. Bemerkung 9.2. Fehlerschranke für eine beste Näherung im Splineraum P k,τ. Sei h = max j=0,...,l (τ j+1 τ j ) und g = max g(x) ( g C([a, b])). x [a,b] Für jedes k 2 existiert eine positive Konstante c <, so daß für jedes m k und jede Funktion f C m ([a, b]) gilt min f S k ch m f (m). S k P k,τ Dieses Resultat kann für den Fall m = 0 verbessert werden: Sei f C([a, b]) und k 1 beliebig, dann existiert für jedes ε > 0 ein h > 0, so daß min S k P k,τ f S k ε. Dahmen-Reusken Kapitel 9 2

3 Bemerkung 9.3. Da jedes Polynom insbesondere ein stückweises Polynom ist, das zudem sogar unendlich oft differenzierbar ist, gilt natürlich Außerdem sieht man leicht, daß Π k 1 P k,τ. wobei, für m 0, (τ i x) k 1 + P k,τ, i = 1,..., l, x m + = { x m für x > 0, 0 für x 0, die sogenannten abgebrochenen Potenzen sind. Die k + l Funktionen x i, i = 0,..., k 1, (τ i x) + k 1, i = 1,..., l, sind linear unabhängig. Diese Funktionen bilden also eine Basis für P k,τ. Dahmen-Reusken Kapitel 9 3

4 9.1.1 B-Splines Eine viel bessere Basis für P k,τ bilden die sogenannten B-Splines. Wir betrachten erst den Fall k = 1. Die charakteristischen Funktionen N j,1 (x) := χ [τj,τ j+1 ) (x) := { 1 für x [τj, τ j+1 ), 0 sonst, j = 0,..., l, bilden eine Basis für P 1,τ. Der Träger ( support ) der Funktion N j,1 wird durch supp N j,1 := {x R N j,1 (x) 0} definiert. Die Basis N j,1, 0 j l, ist lokal. S(x) = l j=0 c j N j,1 (x) läßt sich mit dem Koeffizientenvektor c = (c j ) l j=0 identifizieren. Es gilt c = l j=0 Die Basis ist in diesem Sinne stabil. c j N j,1. Dahmen-Reusken Kapitel 9 4

5 Der Fall k = 2. Es werden zwei Hilfsknoten τ 1 < τ 0 = a, τ l+2 > τ l+1 = b und zugehörige Hilfsfunktionen N 1,1, N l+1,1 eingeführt: Die Funktion N 1,1 := χ [τ 1,τ 0 ), N l+1,1 := χ [τl+1,τ l+2 ). N j,2 (x) := x τ j τ j+1 τ j N j,1 (x) + τ j+2 x τ j+2 τ j+1 N j+1,1 (x), j = 1,..., l, hat folgende Eigenschaften: 1) sie nimmt von Null verschiedene Werte nach Definition von N j,1 (x) und N j+1,1 (x) nur auf dem Intervall [τ j, τ j+2 ] an; 2) auf jedem der Intervalle [τ j, τ j+1 ], [τ j+1, τ j+2 ] ist N j,2 (x) linear; 3) N j,2 (x) ist stetig. Dahmen-Reusken Kapitel 9 5

6 Hutfunktionen N j,2 1 N 1,2 (x) N 0,2 (x) N 1,2 (x) N 2,2 (x) a = τ 0 τ 1 τ 2 τ 3 = b x Dahmen-Reusken Kapitel 9 6

7 Definition 9.4 (B-Splines). Sei t 1 < t 2 <... < t n eine beliebige Folge von paarweise verschiedenen Knoten. Dann werden die B-Splines N j,k der Ordnung k (1 k < n) rekursiv definiert durch N j,1 (x) := χ [tj,t j+1 ) für j = 1,..., n 1, N j,k (x) := x t j N j,k 1 (x) + t j+k x N j+1,k 1 (x), t j+k 1 t j t j+k t j+1 für k = 2,..., n 1, und j = 1,..., n k. Lemma 9.5. Für diese B-Splines N j,k gilt: (i) supp N j,k [t j, t j+k ], (ii) N j,k (x) > 0 für alle x (t j, t j+k ), (iii) (N j,k ) [ti,t i+1 ) Π k 1, (iv) N j,k C k 2 ([t 1, t n ]). Dahmen-Reusken Kapitel 9 7

8 Für 1 j n k: die dividierte Differenz [t j,..., t j+k ]( x) k 1 + ist als führender Koeffizient des Lagrange-Interpolations-Polynoms der Funktion f k 1 (s) := (s x) k 1 + an den Stützstellen t j,..., t j+k definiert. Explizite Darstellung für die B-Splines: Satz 9.6. Die B-Splines N j,k haben folgende Darstellung: N j,k (x) = (t j+k t j )[t j,..., t j+k ]( x) k 1 +, für 1 k < n, 1 j n k. Die dividierte Differenz wirkt auf das Argument. Zum Beispiel: [t j, t j+1 ]( x) m + = [t j+1]( x) m + [t j]( x) m + t j+1 t j = (t j+1 x) m + (t j x) m + t j+1 t j. Dahmen-Reusken Kapitel 9 8

9 Folgerung 9.8. Für k 3 gilt { N j,k Nj,k 1 (x) = (k 1) (x) N } j+1,k 1(x), t j+k 1 t j t j+k t j+1 d.h., die Ableitungen von B-Splines sind gewichtete Differenzen von B-Splines niedrigerer Ordnung. Dahmen-Reusken Kapitel 9 9

10 9.1.2 B-Splines als Basis für den Splineraum Ziel der bisherigen Überlegungen war, eine stabile Basis für P k,τ zu gewinnen. Sei P k,τ der Splineraum wie in (9.1). Zur Knotenmenge τ = {τ 0,..., τ l+1 } mit a = τ 0 < τ 1 <... < τ l < τ l+1 = b definieren wir eine erweiterte Knotenmenge T: T = {t 1,..., t n } mit n := 2k + l, t 1 <... < t k = τ 0, t k+j = τ j für j = 1,..., l, τ l+1 = t k+l+1 <... < t 2k+l. Zu dieser erweiterten Knotenmenge T werden die B-Splines N j,k, 1 j n k = k + l, wie in Definition 9.4 definiert. Dahmen-Reusken Kapitel 9 10

11 Die Funktionswerte N j,k (x) sind für alle x R definiert. Im Splineraum P k,τ sind nur die Werte N j,k (x) mit x [a, b] von Interesse. Wir definieren nun S k,t = span{ N j,k [a,b] 1 j k + l }. Folgendes Hauptresultat zeigt, daß die (auf [a, b] restringierten) B-Splines N j,k eine Basis für den Splineraum P k,τ bilden. Satz 9.9. Es gilt P k,τ = S k,t. Bemerkung Die Definition von S k,t ist unabhängig von der Wahl der Hilfsknoten t 1,..., t k 1 < a und t k+l+2,..., t 2k+l > b. Man läßt sie deshalb oft auf den jeweiligen Intervallenden a bzw. b zusammenfallen. Dahmen-Reusken Kapitel 9 11

12 Beispiel Wir betrachten [a, b] = [0,1], k = 4, l = 5, t 1 = t 2 = t 3 = t 4 = 0, t 5 = 0.1, t 6 = 0.3, t 7 = 0.45, t 8 = 0.65, t 9 = 0.8, t 10 = t 11 = t 12 = t 13 = 1. Für j = 2,3,4,5 werden die kubische B-Splines N j,4 unten abgebildet j=2 j=4 j=5 0.6 j= Dahmen-Reusken Kapitel 9 12

13 9.1.3 Rechnen mit Linearkombinationen von B-Splines Jeder Spline S P k,τ hat eine eindeutige Darstellung S(x) = k+l j=1 c j N j,k (x), x [a, b]. Seien c 1,..., c k+l bekannt. Hilfsgrößen für eine effiziente Auswertung von S: c [p] j (x) = c j, p = 0 x t j c [p 1] t j+k p t j (x) + t j+k p x c [p 1] j t j+k p t j 1 (x) j sonst. Dahmen-Reusken Kapitel 9 13

14 Algorithmus 9.12 (Auswertung von S). Gegeben: x [a, b] und c 1,..., c k+l aus der obigen Darstellung. Bestimme m mit x [t m, t m+1 ). (Es ist k m k + l.) Setze Für p = 1,..., k 1 berechne c [0] j (x) = c j, j = 1,..., k + l. c [p] j (x), j = m k p,..., m. S(x) = c [k 1] m (x). Dahmen-Reusken Kapitel 9 14

15 In analoger Weise kann man Ableitungen von Splinefunktionen behandeln. Es ergibt sich folgende Darstellung der p-ten Ableitung: S (p) (x) = k+l j=1+p c (p) j N j,k p (x) als Linearkombination von B-Splines der Ordnung k p. Die neuen Koeffizienten c (p) j sind p-te Differenzen der ursprünglichen Koeffizienten: c (p) j = c j, p = 0, c (p 1) (k p) c(p 1) j j 1 t j+k p t, 0 < p k 2. j Dahmen-Reusken Kapitel 9 15

16 9.1.4 Stabilität der B-Spline-Basis Einer der Hauptgründe für die Wichtigkeit der B-Splines: Für jedes k N existiert eine positive Konstante c, so daß für alle Knotenmengen T = {t j } n j=1 wie in (9.10) und alle {c j} k+l j=1 gilt c max j=1,...,k+l c j max x [a,b] k+l j=1 c j N j,k (x) max j=1,...,k+l c j. Das heißt kleine Änderungen in den Koeffizienten bewirken nur kleine Änderungen in der entsprechenden Splinefunktion und umgekehrt und zwar unabhängig von der Lage der Knoten. Dahmen-Reusken Kapitel 9 16

17 9.2. Splineinterpolation Der folgende Satz (von Schoenberg und Whitney) charakterisiert, wann ein Interpolationsproblem eindeutig für alle Daten lösbar ist. Satz 9.15 Sei T = {t j } n j=1 wie in (9.10). Seien x 1,..., x k+l [a, b] Stützstellen und f 1,..., f k+l die zugehörigen Daten. Das Problem der Bestimmung eines S S k,t, so daß S(x j ) = f j, j = 1,..., k + l gilt, hat genau dann eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn x j (t j, t j+k ), j = 1,..., k + l, d.h., wenn in den Träger jedes B-Splines mindestens eine Stützstelle fällt. Man kann sogar zeigen, daß die Aussage für Hermite- Interpolation gültig bleibt. Dahmen-Reusken Kapitel 9 17

18 Kubische Splineinterpolation Wir gehen nun auf den wichtigen Spezialfall der kubischen Splineinterpolation nochmals ein. Dies betrifft den Fall, daß k = 4 ist und Stützstellen und Knoten übereinstimmen: x j := t j+3 = τ j 1 für j = 1,..., l + 2. Dies liefert allerdings nur l + 2 Bedingungen. Mögliche weitere Bedingungen (dim S 4,T = 4 + l): (a) Vollständige kubische Splineinterpolation: S(t j ) = f(t j ), j = 4,..., l + 5, S (a) = f (a), S (b) = f (b). (b) Natürliche kubische Splineinterpolation: S(t j ) = f(t j ), j = 4,..., l + 5, S (a) = S (b) = 0. Dahmen-Reusken Kapitel 9 18

19 Lemma Sei g C 2 ([a, b]) und S S 4,T, so daß g(t i ) = S(t i ) für i = 4,..., l + 5, S (b) ( g (b) S (b) ) = S (a) ( g (a) S (a) ). Dann gilt b a S (x) 2 dx b a g (x) 2 dx. Dahmen-Reusken Kapitel 9 19

20 Für die vollständige kubische Splineinterpolation ergibt sich folgendes Resultat: Satz Zu jedem f C 1 ([a, b]) existiert ein eindeutiger Spline I 4 f S 4,T, so daß (I 4 f)(t j ) = f(t j ), j = 4,..., l + 5, (I 4 f) (a) = f (a), (I 4 f) (b) = f (b). Ferner erfüllt I 4 f die Extremaleigenschaft b a (I 4f) (x) 2 dx b a g (x) 2 dx für alle Funktionen g C 2 ([a, b]), die die gleichen Interpolationsund Randbedingungen wie I 4 f erfüllen. Dahmen-Reusken Kapitel 9 20

21 Völlig analog kann man folgendes Resultat für die natürliche kubische Splineinterpolation beweisen: Satz Zu jedem f C 2 [(a, b]) existiert ein eindeutiger Spline Î 4 f S 4,T, so daß (Î 4 f)(t j ) = f(t j ), j = 4,..., l + 5, (Î 4 f) (a) = (Î 4 f) (b) = 0. Ferner erfüllt Î 4 f die Extremaleigenschaft b a (Î 4 f) (x) 2 dx b a g (x) 2 dx für alle Funktionen g C 2 ([a, b]) die die gleichen Interpolationsund Randbedingungen wie Î 4 f erfüllen. Dahmen-Reusken Kapitel 9 21

22 Bemerkung Sei und f C 4 ([a, b]). Man kann beweisen, daß h = max j=1,...,l (τ j+1 τ j ) f I 4 f h4 16 f(4) gilt, wobei die Maximumnorm auf [a, b] ist. Der Vergleich mit Bemerkung 9.2 zeigt, daß die kubische Interpolation (unabhängig von der Lage der Knoten!) die bestmögliche Approximationsordnung realisiert. Dahmen-Reusken Kapitel 9 22

23 Berechnung der vollständigen kubischen Splineinterpolation Sei I 4 f die vollständige Splineinterpolation einer Funktion f C 1 ([a, b]). Wegen Satz 9.9 hat I 4 f die Form (I 4 f)(x) = l+4 j=1 c j N j,4 (x). Die Lösung des Interpolationsproblems verlangt nun, die Koeffizienten c j über die Interpolationsbedingungen (9.25) zu bestimmen. Es gilt c 1 = f(t 4 ), c l+4 = f(t l+5 ), c 2 = f (a) f(a)n 1,4 (a) N 2,4 (a), c l+3 = f (b) f(b)n l+4,4 (b) N l+3,4 (b). Dahmen-Reusken Kapitel 9 23

24 Es sind lediglich noch die Koeffizienten (c 3,..., c l+2 ) T = c zu bestimmen sind. Dafür ergibt sich das Gleichungssystem A T c = f, wobei f = (f 3,..., f l+2 ) T mit f 3 = f(t 5 ) c 2 N 2,4 (t 5 ), f l+2 = f(t l+4 ) c l+3 N l+3,4 (t l+4 ), f j = f(t j+2 ), j = 4,..., l + 1, und A T = N 3,4 (t 5 ) N 4,4 (t 5 ) N 3,4 (t 6 ) N 4,4 (t 6 ) N 5,4 (t 6 ) N 4,4 (t 7 ) N 5,4 (t 7 ) N l+2,4 (t l+3 ) N l+1,4 (t l+4 ) N l+2,4 (t l+4 ). Dahmen-Reusken Kapitel 9 24

25 Seien Beispiel τ j = j 0.1, j = 0,...,14, f j = 1, j = 0,...,5, f j = 0.5, j = 6,...,14. Die entsprechende natürliche kubische-splineinterpolation ist in Abb. 9.4 dargestellt. Man stellt fest, daß wegen des Sprunges in den Daten Oszillationen auftreten Dahmen-Reusken Kapitel 9 25

26 9.3 Datenfit-Smoothing Splines Gegeben seien Messungen f j, j = 1,..., m, die gewissen Abszissen x j, j = 1,..., m, in einem Intervall [a, b] zugeordnet werden. Eine Approximation S S k,t läßt sich dann folgendermaßen bestimmen: Finde c = (c 1,..., c k+l ) T, so daß S(x) = k+l j=1 c jn j,k (x) m j=1 ( S(xj ) f j ) 2 = min c R k+l m j=1 ( k+l l=1 c l N l,k (x j ) f j ) 2 erfüllt. Hierbei ist i.a. m k + l, und die x j müssen natürlich nicht mit den Knoten t j übereinstimmen. Diese Aufgabe ist ein lineares Ausgleichsproblem der Form A T c f 2 = min, wobei hier A T = ( N j,k (x i ) ) m,k+l i=1,j=1 Rm (k+l), f = (f 1,..., f m ) T R m. Dahmen-Reusken Kapitel 9 26

27 Auch beim obigen Ausgleichsansatz können stark fehlerbehaftete Datensätze und starke Datenausreißer ein Überfitten mit entsprechenden Oszillationen bewirken. Das Konzept des Smoothing-Splines schafft da Abhilfe. Ein Strafterm soll starke Ausschläge unterdrücken und die Daten glätten. Für ein θ 0 sucht man dasjenige S S k,t, das m j=1 erfüllt. (S(x j ) f j ) 2 + θ 2 S 2 2 = min S S k,t m j=1 ( S(x j ) f j ) 2 + θ 2 S 2 2 Wegen (9.17) und (9.20) für p = 2 gilt für S(x) = k+l j=1 c jn j,k (x) c 2 k+l j=3 ( ) (2) 2 c j N j,k 2 2 S 2 2 k+l C2 j=3 ( c (2) j N j,k 2 2 ) 2. Dahmen-Reusken Kapitel 9 27

28 Man erhält also im Wesentlichen das qualitativ selbe Funktional, wenn man S 2 2 durch k+l j=3 ĉ2 j, mit ĉ j := c (2) N j,k 2 2, ersetzt. Dies führt zu folgendem Minimierungsproblem: Finde S(x) = k+l j=1 c jn j,k (x) so daß, j Hierbei gilt m j=1 ( k+l i=1 = min c R k+l c (2) (k 1)(k 2) j = ) 2 c i N i,k (x j ) f j + θ 2 k+l m j=1 [ t j+k 2 t j ( 1 + t j+k 1 t j ( k+l i=1 ĉ 2 j j=3 ) 2 c i N i,k (x j ) f j + θ 2 k+l 1 t j+k 2 t j 1 c j 2 1 t j+k 2 t j 1 ) cj 1 + j=3 ĉ 2 j. ] 1 c j t j+k 1 t j, für j = 3,..., k + l. Dahmen-Reusken Kapitel 9 28

29 Mit ĉ := (ĉ 3,..., ĉ k+l ) T ergibt sich ĉ = B T c, B T := b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 4,2 b 4,3 b 4, b k+l,k+l 2 b k+l,k+l 1 b k+l,k+l d j := (k 1)(k 2) N j,k 2 2 t j+k 2 t j, b j,j 2 := b j,j := d j t j+k 1 t j, b j,j 1 := ( ) b j,j 2 + b j,j. Das Minimierungsproblem erhält dann die Form d j, t j+k 2 t j 1, A T c f θ2 B T c 2 2 = min c R k+l A T c f θ2 B T c 2 2, was wiederum gleichbedeutend mit ( ) ( AT f c θb T 0 ) 2 min und somit ein Standard-Ausgleichsproblem ist. Dahmen-Reusken Kapitel 9 29

30 Beispiel Messungen (x j, f j ), j = 1,...,20 ( in Abbildung). Zur Approximation (und Glättung) dieser Daten benutzen wir kubische Splines mit äquidistanten Knoten τ j = j 0.1, j = 0,...,10. Für drei Parameterwerte θ = 0, 10 3, 10 2 werden die Splinefunktionen S(x) = 13 j=1 c jn j,4 (x) gezeigt Dahmen-Reusken Kapitel 9 30