Teil 2: Kurven und Flächen. Kurven und Flächen. Kurven. Parametrische Objekte. Kurven: 1D-Objekte Flächen: 2D-Objekte, basierend auf Kurven
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- Berndt Linden
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1 Parametrische Objekte Kurven und Flächen Kurven: 1D-Objekte Flächen: 2D-Objekte, basierend auf Kurven Kurven Welche Form der Darstellung? Beispiel: 2D-Linie Explizit: y = k x + d x = (x, y) T Implzit: a x + b y + c = 0 auch: x n = p n n = (a, b) T p n = c Parametrisch: x(t) = p + t v v n = 0 1
2 Parametrische Kurven (1) Definition: x(t) Punktdef. in Abh. von kontinuierlichen Parameter t x(t) & t [a,b] parametrische Kurve Startpunkt x(a), Endpunkt x(b) Beispiel: x(t) = p + t v (Linie) Tangente in x(t):. x(t) = dx(t)/dt = Ableitung von x nach t. Beispiel: x(t) = v (Tangentenvektor) Parametrische Kurven (2) 2 Stetigkeitsqualitäten:. mathematisch: x(t) restriktiver.. geometrisch: x(t) / x(t) schwächer Attribute höherer Ordnung: Krümmung Torsion Arten von Kurven Interpolierende Kurven: Kurve geht durch vorgegebene Punkte p i Approximierende Kurven: Kurve wird von Punkten p i beeinflußt 2
3 Attribute von Kurven Kurvenpunkte: Startpunkt, Endpunkt Kurvenevaluation Tangenten: Startrichtung, Endrichtung Tangenten an beliebigen Kurvenpunkt Stetigkeit: geometrisch, mathematisch Grad: Differenzierbarkeit, smoothness Spline-Kurven: Stetigkeiten (a) C 0 -Stetigkeit (b) C 1 -Stetigkeit (c) C 2 -Stetigkeit Polynominterpolation Gegeben: Anzahl von Punkten Gesucht: Interpolierendes Polynom p(x) = a + b x + c x q x n 2 Punkte Linie: n = 1 3 Punkte Quadratisch Kurve: n = 2 Berechung: Lösung eines linearen Gleichungssystems Beurteilung: Überschwingen ( ), nur gut, wenn n klein 3
4 Spline-Kurven (1) Kombination aus Teilkurven Kontrollpunkte werden: approximiert interpoliert Einfluß der Kontrollpunkte: global: Bézier-Kurve lokal: B-Spline-Kurve Unterschiedlicher Grad 2 Bsp. f. kubische Spline- Kurven Spline-Kurven: Beispiele Spline-Kurven (2) Ansatz: Zusätzlich zu Kontrollpunkten b i auch: Einflußfunktionen: Basis-Funktionen B i,n Definition: b(t) = Σ 0 i n b i B i,n (t) Beispiel: Bernstein-Polynome (Bézier-Kurve) 4
5 Spline - convex hull property Kurve bleibt i. d. konvexen Hülle Bézier-Kurven (1) Spline-Approximation: b(t) = Σ 0 i n b i B i,n (t) 0 t 1 Bernstein Polynome: Kubische Bézier-Kurven Bernsteinpolynome 5
6 Bézier-Kurven: Beispiel Design mit Bézier-Kurven: closed Bézier curves multiple control points Bézier-Kurven (2) Bézier-Kurven (3) Design mit Bézier-Kurven Bézier verbinden (C 0, C 1 Stetigkeit) 6
7 Bézier-Kurve: Algorithmen De Casteljau-Algorithmus: Evaluation bei Parameter t Rekursiver Ansatz Degree elevation: Mehr Kontrollpunkte, selbe Kurve Subdivision: Teilung der Kurve, bzw. Kurvenevaluation Nächste Stufe: B-Spline Kurven Bézier-Kurven: globaler Einfluß Brauchbarer: B-Spline Kurven: Jeder Kontrollpunkt hat nur lokalen Einfluß Grad unabhängig von Anzahl der Pkte. Rationale Kurven: Erweiterung von Bézier-Kurven und B-Spline Kurven Ein Gewicht pro Kontrollpunkt NURBS = Standard in CAD, CAGD, etc. Bézier-Patch (1) Kartesisches Produkt v. Bézier-Kurven (m+1)x(n+1) Kontrollpunkte 7
8 Eigenschaften wie Bézier-Kurve Bézier-Patch (2) Quadric Surfaces (1) Definition quadrics : Gleichung 2-ter Ordnung Beispiel: Kugel Quadric Surfaces (2) 2. Beispiel: Ellipsoid 8
9 Quadric Surfaces (3) 3. Beispiel: Torus 9
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