Wie Derivate die Finanzwelt veränderten

Transkript

1 Franz Reiter 16. Dezember 2016

2 Aufbau Grundlagen Exotische Optionen Capital Asset Pricing Model Black-Scholes-Formel

3 Derivat Derivat ist ausgestelltes Recht zum Kauf bzw. Verkauf von bestimmten Basiswerten (z.b. Aktien, Rohstoffkurse) Unterscheidung zwischen Käufersicht (Long Position) Verkäufersicht (Short Position)

4 Forward Forward Contract (kurz Forward) verpflichtet einen bestimmten Basiswert (Underlying) am Ende einer vereinbarten Laufzeit zu einem vorher fixierten Preis (Delivery Price) zu kaufen oder zu verkaufen

5 Forward Payoff Payoff C fw = Wert des Underlyings Delivery Price = S K

6 Option Option berechtigt gegen Bezahlung einer Prämie einen bestimmten Basiswert (Underlying) in Zukunft zu einem vorher fixierten Preis (Strike Price) zu kaufen oder zu verkaufen

7 Unterschied zu Forward Ausübung Forward muss ausgeübt Option kann ausgeübt werden Ausübungszeitpunkt Forward am Ende der Laufzeit Option am Ende (europäisch) jederzeit (amerikanisch) zu bestimmten Zeitpunkten (Bermuda)

8 Call & Put Call ist Option die zum Kauf berechtigt Payoff: max((s K), 0) = (S K) + Put ist Option die zum Verkauf berechtigt Payoff: max((k S), 0) = (K S) + für Strike Price =: K, Wert des Underlyings =: S

9 Payoff Call & Put

10 Straddle & Butterfly Kombination von Call und Put auf dasselbe Underlying Straddle ist das Hoffen auf stark ändernde Preise Payoff: C straddle = C call + C put = S K Butterfly ist das Hoffen auf möglichst gleichbleibende Preise Payoff: C butterfly = (K S K ) + = (K C straddle ) +

11 Straddle & Butterfly Payoff

12 Innerer Wert & Zeitwert Innerer Wert = Differenz zwischen Underlying und Strike Price Innerer Wert nie negativ (keine Ausübung der Option) Zeitwert = Wert der Option - Innerer Wert drückt Hoffnung auf höheren Payoff aus (fallend in der Zeit) Eine Option ist In-The-Money, wenn Innerer Wert > 0 Out-Of-The-Money, wenn Innerer Wert = 0 At-The-Money, wenn S = K

13 Digital Option Digital Call zahlt eine vorher fixierte Summe K wenn Preis des Underlyings S über Wert x Payoff: C digital call Digital Put = K1 {S x} zahlt eine vorher fixierte Summe K wenn Preis des Underlyings S unter Wert x Payoff: C digital put = K1 {S x}

14 Digital Call & Put Payoff

15 Lookback Option Bei einer Lookback Option wird der Strike oder der Wert des Underlyings erst später fixiert d.h. man wählt rückblickend den besten Wert für Payoff aus Unterscheidung zwischen Floating Strike Fixed Strike

16 Floating Strike Floating Strike Lookback Strike wird erst am Ende der Maturität fixiert ist bei einem Call der niedrigste, bei einem Put der höchste angenommene Preis Payoff gegeben durch Ccall float Cput float = (S S min ) + = S S min = (S max S) + = S max S

17 Floating Strike Payoff

18 Fixed Strike Fixed Strike Lookback Strike wird am Anfang fixiert Wert des Underlyings wird am Ende der Maturität ausgewählt ist bei einem Call der höchste, bei einem Put der niedrigste angenommene Preis Payoff gegeben durch C fix call = (S max K) + C fix put = (K S min ) +

19 Fixed Strike Payoff

20 Asian Option Asian Option ist Option wo ein Wert für den Payoff gegeben ist durch den durchschnittlichen Marktpreis während eines gewissen Zeitraums Unterscheidung zwischen Fixed Strike Floating Strike

21 Fixed Strike Fixed Strike Asian Wert des Underlyings entspricht dem durchschnittlichen Marktpreis während eines gewissen Zeitraums Payoff gegeben durch Casian fix call = (S avg K) + Casian fix put = (K S avg) +

22 Floating Strike Floating Strike Asian Strike entspricht dem durchschnittlichen Marktpreis während eines gewissen Zeitraums Payoff gegeben durch Casian float call = (S S avg ) + Casian float put = (S avg S) +

23 Barrier Option Bei einer Barrier Option hängt der Payoff davon ab ob der Preis des Underlyings während eines Zeitraums ein gewisses Level erreicht hat oder nicht Unterscheidung zwischen Knock-Out Knock-In

24 Knock-Out Option Eine Knock-Out Option verhält sich wie eine normale Option solange der Preis des Underlyings während eines Zeitraums eine gewisse Schranke nicht erreicht Unterscheidung je nach Schranke Schranke < Anfangspreis des Underlyings Down-And-Out Schranke > Anfangspreis des Underlyings Up-And-Out

25 Payoff U&O bzw. D&O Call Option

26 Knock-In Option Eine Knock-In Option verhält sich erst wie eine normale Option wenn der Preis des Underlyings während eines Zeitraums eine gewisse Schranke erreicht hat Unterscheidung je nach Schranke Schranke < Anfangspreis des Underlyings Down-And-In Schranke > Anfangspreis des Underlyings Up-And-In

27 Payoff U&I bzw. D&I Call Option

28 Payoff Lookback Call Option Für Put ersetze (S K) + durch (K S) + C call d&o = (S K) + 1 {Smin >x} C call u&o = (S K) + 1 {Smax <x} C call d&i = (S K) + 1 {Smin x} C call u&i = (S K) + 1 {Smax x}

29 Capital Asset Pricing Model Annahme im CAPM: vollkommener Markt Konzepte des CAPM: β... Sensitivität der Rendite eines Portfolios im Verhältnis zu der Rendite des Marktes Expected Excess Return... erwarteter Return des Portfolios abzüglich der riskilosen Rate

30 Hauptaussage des CAPM Frage: Wie verhält sich Rendite von einem Portfolio im Verhältnis zur Entwicklung des gesamten Marktes? Antwort: Expected Excess Return eines Portfolios entspricht dem β dieses Portfolios multipliziert mit dem Expected Excess Return des Marktes E(R i ) r = β(e(r m ) r)

31 Wertpapierlinie

32 Black-Scholes-Formel Für Black-Scholes-Formel benötigen wir Brownsche Bewegung (Wiener Prozess) genauer gesagt eine geometrische Brownsche Bewegung Lemma von Itô in einer einfacher und einer allgemeinen Form Liefert Black-Scholes-Differentialgleichung, die dann entsprechend gelöst werden kann

33 Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung ist stochastischer Prozess W (t) für den gilt 1. W (0) = 0 P-fs. 2. die Pfade t W (t) sind stetig P-fs. 3. W (t) hat stationär unabhängige Inkremente 4. das Inkrement W (t) W (s) besitzt eine Normalverteilung mit Erwartungswert 0 und Varianz t s für beliebige 0 s < t

34 Geometrische Brownsche Bewegung Sei W (t) eine Brownsche Bewegung, dann nennt man ) ] S(t) = S 0 exp [(µ σ2 2 t + σw (t) eine geometrische Brownsche Bewegung Für Black-Scholes-Modell entspricht µ der erwarteten Rendite σ dem Schwankungsrisiko an der Börse

35 Vereinfachte Form des Itô Lemmas F (t, x) : R + R R stetige partielle Ableitungen F t(t, x), F x(t, x), F xx(t, x) t 0 Dann gilt für F (t, W (t)): df (t, W (t)) = ( F t(t, W (t)) + 1 ) 2 F xx(t, W (t)) dt + F x(t, W (t))dw (t)

36 Allgemeine Form des Itô Lemmas ξ(t) sei Prozess mit folgender Darstellung F (t, x) wie vorher dξ(t) = a(t)dt + b(t)dw (t) Dann gilt für F (t, ξ(t)): df (t, ξ(t)) = ( F t(t, ξ(t)) + F x(t, ξ(t))a(t) F xx(t, ξ(t))b(t) 2 )dt + F x(t, ξ(t))b(t)dw (t)

37 Annahme für Black-Scholes-Formel Es werden einige Annahmen getroffen, unter anderem dass der Aktienwert eine geometrischen Brownschen Bewegung folgt es keine Transaktionskosten oder Steuern gibt keine Arbitrage vorliegt ein risikoloser Zinssatz exisitiert, der für alle Laufzeiten gleich ist.

38 Anwendung der einfachen Itô-Formel Suche nun Funktion F (t, x) für Lemma von Itô - betrachte dazu Derivat V mit V (t, x) = S 0 e µt 1 2 σ2 t+σx Insbesondere sind alle Voraussetzungen für das Itô-Lemma erfüllt anwenden der einfachen Form liefert dv (t, W (t)) = µ S(t) dt + σ S(t) dw (t) = ds(t)

39 Anwendung der allgemeinen Itô-Formel Letztere Darstellung ist für die allgemeine Itô-Formel relevant µ S(t) }{{} :=a(t) dt + σ S(t) }{{} :=b(t) dw (t) Auch hier sind wieder alle Voraussetzungen für das Lemma erfüllt anwenden der allgemeinen Form liefert nun ( dv = µs V S + V t + 1 ) 2 σ2 S 2 2 V S 2 dt + σs V S dw

40 Risikoloses Portfolio Idee eines risikolosen Portfolio P, bestehend aus Short Position im Derivat Long Position in V S Stück der Aktien P = V + V S S Betrachte nun Wertänderung des Portfolios dp = dv + V S ds

41 Wertänderung des Portfolios Einsetzen für dv und ds liefert ( dp = V t 1 ) 2 σ2 S 2 2 V S 2 dt Preisänderung hängt weder von µ noch vom Wiener Prozess ab Portfolio ist risikolos

42 Black-Scholes-Differentialgleichung Annahme der Arbitragefreiheit Portfolio muss die risikolose Rendite r erwirschaften d.h. dp = r P dt Gleichsetzen der Ausdrücke für dp liefert Black-Scholes-Differentialgleichung V t σ2 S 2 2 V V + rs S2 S rv = 0

43 Lösung der Black-Scholes-DGL Lösen der DGL liefert Optionspreis z.b. für Call bzw. Put C(S, t) = SΦ(d 1 ) Ke r(t t) Φ(d 2 ) P(S, t) = Ke r(t t) Φ( d 2 ) SΦ( d 1 ) wobei Φ(x) = x 1 2π e y2 2 dy und d 1 = ln(s/k) + (r + σ2 /2)(T t) σ T t d 2 = ln(s/k) + (r σ2 /2)(T t) σ T t

44 Paramter des Optionspreises Wert einer Option durch 5 Parameter festgelegt: aktueller Aktienkurs S risikofreie Zinssatz r Volatilität σ Restlaufzeit T-t (Maturität T, Zeitpunkt t) Strike Price K

45 Call- und Put-Preis nach Black-Scholes