Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen

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1 Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen 3. Vortrag - Mathematische Analyse / Beweise und Numerische Resultate Technische Universität Berlin Institut für Mathematik 1. Februar 2008

2 Inhaltsverzeichnis 1 Erinnerungen 2 europäischer Put europäischer Call 3 Analysis Hindernisproblem Numerik 4 Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich 5

3 Modellannahmen Modellvoraussetzungen Kurs des Basiswerts S t := S(t) genügt der stochastischen DGL ds t = µs t dt + σs t dw (t) mit µ... Drift (Trend), σ... Volatilität des Basiswerts S t arbitragefreier, liquider, friktionsloser Markt vollkommener Kapitalmarkt (Soll- = Habenzins r 0) zeitkontinuierlicher Handel des Basiswerts beliebig teilbarer Basiswert keine Dividendenzahlungen auf den Basiswert S vollständige Information der Marktteilnehmer

4 Quantitativer Kurvenverlauf der Preise europäischer und amerikanischer Optionen europäischer / amerikanischer Call europäischer / amerikanischer Put

5 europäischer Put europäischer Call Black-Scholes-Gleichung () Black-Scholes-Gleichung der Preis einer europäischen Option V (S, t) genügt der partiellen (parabolischen) Differentialgleichung: V t σ2 S 2 V SS + rsv S rv = 0 mit (S, t) (0, ) (0, T ) r > 0... Zinssatz σ > 0... Volatilität

6 europäischer Put europäischer Call End- / Randbedingungen eines europäischen Puts Endbedingung S (0, ) : P(S, T ) = (K S) + Randbedingungen t (0, T ) : P(S, t) S 0 P(0, t) = K e r (T t)

7 europäischer Put Erinnerungen europäischer Put europäischer Call Lösung der Black-Scholes Gleichung mit P(S, t) = S φ(d 1 ) K e r (T t) φ(d 2 ) (S, t) (0, ) [0, T ) x φ(x) = 1 2π e s2 2 ds, x R (Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung) d 1,2 = ln( S K )+(r± σ 2 2 ) (T t) σ T t Beweis: Einsetzten der gefundenen Lösung in die Black-Scholes Gleichung

8 Numerik europäischer Put europäischer Put europäischer Call Abbildung: t = 0, 0.2,... 1, K = 100, T = 1, r = 0.1, σ = 0.4

9 europäischer Put europäischer Call End- / Randbedingungen eines europäischen Calls Endbedingung S (0, ) : C(S, T ) = (S K) + Randbedingungen t (0, T ) : C(S, t) S C(0, t) = 0

10 europäischer Call Erinnerungen europäischer Put europäischer Call Lösung der Black-Scholes Gleichung mit C(S, t) = K e r (T t) φ( d 2 ) S φ( d 1 ) (S, t) (0, ) [0, T ) x φ(x) = 1 2π e s2 2 ds, x R (Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung) d 1,2 = ln( S K )+(r± σ 2 Beweis: über Put-Call-Parität 2 ) (T t) σ T t

11 Numerik europäischer Call europäischer Put europäischer Call Abbildung: t = 0, 0.2,... 1, K = 100, T = 1, r = 0.1, σ = 0.4

12 Numerik europäische Option europäischer Put europäischer Call numerische Auswertung der Black-Scholes Formel Wie wird die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ausgewertet? φ(x) = 1 x 2π mit Hilfe des Gaußschen Fehlerintegrals: erf (z) := 2 π e s2 2 ds, x R z 0 e t2 dt

13 Numerik europäische Option europäischer Put europäischer Call Beweis da φ(0) = 1 2 gilt: φ(x) = 1 x 2π = π x 2 0 e s2 1 2 ds = x 2π e t2 dt = 1 2 (1 + 2 π = 1 2 (1 + erf ( x 2 )) 0 x 2 0 e s2 2 ds e t2 dt)

14 Erinnerung Erinnerungen Analysis Hindernisproblem Numerik Wert einer amerikanischen Option C eu (S, 0) = C am (S, 0) P eu (S, 0) P am (S, 0) nur noch Betrachtung eines amerikanischen Puts

15 amerikanischer Put Erinnerungen Analysis Hindernisproblem Numerik Existenz eines optimalen Ausübungspreises S f (t) (freier Randwert, welcher zusätzlich bestimmt werden muss) freies Randwertproblem {(S, t) 0 S < S f (t) K; 0 t < T } (vorzeitige Ausübung der Option) P(S, t) = (K S) + {(S, t) S f (t) S ; 0 t < T } (Option wird nicht ausgeübt) P(S, t) > (K S) +

16 amerikanischer Put Erinnerungen Analysis Hindernisproblem Numerik

17 amerikanischer Put Erinnerungen Analysis Hindernisproblem Numerik freies Randwertproblem falls 0 S < S f (t) K: P(S, t) = K S (innerer Wert) falls S f (t) S P(S, t) genügt der Black-Scholes Gleichung

18 amerikanischer Put Erinnerungen Analysis Hindernisproblem Numerik Herleitung der Randbedingungen P(S, t) S 0 Stetigkeit von P(S, t) an der Stelle S f (t) P(S f (t), t) = (K S f (t)) aber: S f (t) unbekannt weitere Randbedingungen nötig: Stetigkeit der Ableitung von P(S, t) an der Stelle S f (t) P(S,t) S = (K S) S = 1 auf S < S f (t) P S (S f (t), t) = 1

19 amerikanischer Put Erinnerungen Analysis Hindernisproblem Numerik Wert eines amerikanischen Puts Berechnung aus für S S f (t) K P(S, t) = K S für S > S f (t) P t σ2 S 2 P SS + rsp S rp = 0

20 amerikanischer Put Erinnerungen Analysis Hindernisproblem Numerik Endbedingung S (0, ) : P(S, T ) = (K S) + Randbedingungen t (0, T ) : P(S, t) S 0 P(S f (t), t) = K S f (t) P S (S f (t), t) = 1

21 amerikanischer Put Erinnerungen Analysis Hindernisproblem Numerik Wert eines amerikanischen Puts Umformulierung des Problems, so dass S f (t) nicht mehr auftaucht freies Komplementaritätsproblem (veranschaulicht am Hindernisproblem)

22 Idee Erinnerungen Analysis Hindernisproblem Numerik Abbildung: Seil f (x) über einem Hindernis u(x)

23 Voraussetzungen Erinnerungen Analysis Hindernisproblem Numerik gegeben Hindernis u(x) mit u(x) C 2 ( 1, 1) u > 0 in (a, b) [ 1, 1] u < 0 in (a, b) u( 1) < 0 und u(1) < 0

24 Ziel Erinnerungen Analysis Hindernisproblem Numerik gesucht Funktion f (x), deren Graph ein Seil mit minimaler Seillänge über dem Hindernis u(x) darstellt f (x) C 1 ( 1, 1) f ( 1) = 0 und f (1) = 0 f u in ( 1, 1) f = 0 in ( 1, a) und (b, 1) f = u in (a, b)

25 Hindernisproblem Erinnerungen Analysis Hindernisproblem Numerik Problem a, b unbekannt, nicht gegeben, implizit durch das Problem definiert freies Randwertproblem / Hindernisproblem Ziel Umformulierung des Problems, so dass die freien Randbedingungen a, b nicht mehr explizit auftauchen

26 Umformulierung Hindernisproblem Analysis Hindernisproblem Numerik Eigenschaften von f Umformulierung der obigen Eigenschaften von f : für x ( 1, a): f > u und f = 0 für x (a, b): f = u < 0 für x (b, 1): f > u und f = 0 und damit: f > u f = 0 f = u f < 0

27 Analysis Hindernisproblem Numerik lineares Komplementaritätsproblem Umformulierung des freien Randwertproblems als lineares Komplementaritätsproblem: lineares Komplementaritätsproblem Suche f C 1 ( 1, 1) mit: f (f u) = 0 in ( 1, 1) f 0 in ( 1, 1) f u 0 in ( 1, 1) f ( 1) = f (1) = 0

28 amerikanischer Put Erinnerungen Analysis Hindernisproblem Numerik lineares Komplementaritätsproblem Wert eines amerikanischen Puts bestimmt sich als Lösung des folgenden Systems: (P (K S) + ) (P t σ2 S 2 P SS + rsp S rp) = 0 (P t σ2 S 2 P SS + rsp S rp) 0 P (K S) + 0 mit Endbedingung P(S, T ) = (K S) + für S > 0 mit Randbedingungen P(0, t) = K für 0 < t < T P(S, t) S 0 für 0 < t < T

29 Numerik amerikanischer Put Analysis Hindernisproblem Numerik weitere Schritte Transformation des o.g. Systems für numerische Betrachtung Approximation des (neuen, transformierten) Lösungsgebiets R (0, T ) mittels Finiter Differenzen Anwendung des SOR-Verfahrens (successive overrelaxation) Rücktransformation

30 Numerik amerikanischer Put Analysis Hindernisproblem Numerik Abbildung: t = 0, K = 100, T = 1, r = 0.1, σ = 0.4

31 Veränderung der Modellvoraussetzungen Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich Modellannahmen Kurs des Basiswerts S t := S(t) genügt der stochastischen DGL ds t = µs t dt + σs t dw (t) mit µ... Drift (Trend), σ... Volatilität des Basiswerts S t arbitragefreier, liquider, friktionsloser Markt vollkommener Kapitalmarkt (Soll- = Habenzins r 0) zeitkontinuierlicher Handel des Basiswerts beliebig teilbarer Basiswert keine Dividendenzahlungen auf den Basiswert S vollständige Information der Marktteilnehmer

32 Problem Erinnerungen Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich bisher: Black-Scholes Gleichung ohne Transaktionskosten zur vollständigen Risikoabsicherung ständige Portfolioumschichtung optimal jetzt: Einbeziehung von Transaktionskosten je öfter Portfolio umgeschichtet wird, desto höher werden die Kosten Trade-Off zwischen Häufigkeit der Portfolioumschichtung und Kosten für selbige Auswirkungen auf Optionspreis

33 Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich Modifizierung der Black-Scholes-Gleichung Modifizierung der Black-Scholes-Gleichung modifizierte Volatilität: σ 2 := σ 2 (t, S, V S, V SS, σ) modifizierte Black-Scholes-Gleichung: V t σ2 (t, S, V S, V SS, σ)s 2 V SS + rsv S rv = 0 mit (S, t) (0, ) (0, T ) nichtlineare Black-Scholes-Gleichung

34 Leland s Modell Erinnerungen Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich modifizierte Volatilität σ 2 = σ 2 (1 + Le sign(v SS )) mit σ... Volatilität des Aktienkurses S 2 Le = π... Leland Zahl κ σ δt δt... Frequenz der Transaktionen (Intervalllänge) κ = S ask S bid S... Transaktionskosten mit S = S ask +S bid 2

35 Leland s Modell Erinnerungen Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich Ergebnis unter der Annahme V SS > 0 gilt: σ 2 = σ 2 (1 + Le) > σ 2 V Le (S, 0) > V (S, 0)

36 Barles und Soner s Modell Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich modifizierte Volatilität σ 2 = σ 2 (1 + ψ(e r (T t) a 2 S 2 V SS )) mit σ... Volatilität des Aktienkurses S a = κ ɛ mit ɛ > 0 κ = S ask S bid S... Transaktionskosten mit S = S ask +S bid 2 ψ(x) genügt folgender Differentialgleichung: ψ (x) = mit Anfangswert: ψ(0) = 0 ψ(x) x ψ(x) x, x 0

37 Barles und Soner s Modell Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich Ergebnis Analyse der Differentialgleichung: ψ (x) = mit Anfangswert ψ(0) = 0 ergab: ψ(x) x ψ(x) x, x 0 ψ(x) lim = 1 und lim ψ(x) = 1 x x x ψ(x) = x falls x groß genug σ 2 = σ 2 (1 + e r (T t) a 2 S 2 V SS ) > σ 2 V BS (S, 0) > V (S, 0)

38 Barles und Soner s Modell Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich Lösung der o.g. Differentialgleichung unter Benutzung von ode45

39 RAPM Erinnerungen Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich modifizierte Volatilität C σ 2 = σ 2 ( M 2π S V SS ) mit σ... Volatilität des Aktienkurses S M... Risikoprämienmaß C = S ask S bid S... Transaktionskosten mit S = S ask+s bid 2

40 RAPM Erinnerungen Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich Ergebnis unter der Annahme V SS > 0 gilt: σ 2 > σ 2 V RAPM (S, 0) > V (S, 0)

41 Parameter Erinnerungen Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich Parameterfestlegung im Folgenden gelten folgende Parameter: r = 0.1 σ = 0.2 K = 100 T = 1 (ein Jahr) 1 Plot der Differenz C nichtlinear (S t, t) C linear (S t, t) eines europäischen Calls 2 Plot eines europäischen Calls mit und ohne Transaktionskosten

42 Vergleich mit linearem Modell Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich Leland s Modell vs. lineares Modell Abbildung: δt = 0.01, κ = 0.05

43 Vergleich mit linearem Modell Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich Barles und Soner s Modell vs. lineares Modell Abbildung: a = 0.02

44 Vergleich mit linearem Modell Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich Barles und Soner s Modell mit ψ(x) = x vs. lineares Modell Abbildung: a = 0.02

45 Vergleich mit linearem Modell Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich RAPM Modell vs. lineares Modell Abbildung: M = 0.01, C = 30

46 Vergleich aller Modelle Modelle mit Transaktionskosten Leland s Modell Barles und Soner s Modell Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Vergleich Preis eines europäischen Calls

47 Paper Erinnerungen On the numerical solution of nonlinear Black-Scholes equations Julia Ankudinova On the Risk-Adjusted Pricing-Methodology-based valuation of Vanilla Options and Explanation of the volatility smile Martin Jandačka und Daniel Ševčovič Option Pricing and Replication with Transactions Costs Hayne E. Leland On Leland s strategy of Option Pricing with Transaction Costs Kabanov Yu. M. und Safarian M. M.

48 Bücher und sonstiges Finanzderivate mit MATLAB Michael Günther, Ansgar Jüngel vieweg Verlag Einführung in die Statistik der Finanzmärkte Jürgen Franke, Wolfgang Härdle, Christian Hafner Springer Verlag Vorlesung Finanzmathematik 1 im WS 2007/08 an der TU Berlin Prof. Jochen Blath

49 Gibt es noch Fragen???