Mathematische Behandlung des Risikos in der Portfolio-Optimierung
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- Christin Weiss
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1 Mathematische Behandlung des Risikos in der Portfolio-Optimierung Michael Manger Mathematisches Institut Universität Bayreuth Seminar Stochastische Dynamische Optimierung Bayreuth, 5. März 2008 Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 1 / 32
2 Gliederung 1 Problemstellung Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 2 / 32
3 Gliederung 1 Problemstellung 2 Ein-Schritt-Optimierung Risiko Bewertung von Portfolios Einbeziehung risikoloser Anlagemöglichkeiten Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 2 / 32
4 Gliederung 1 Problemstellung 2 Ein-Schritt-Optimierung Risiko Bewertung von Portfolios Einbeziehung risikoloser Anlagemöglichkeiten 3 Mehrschritt-Verfahren Binomialmodell Optimale Steuerung des Portfolios Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 2 / 32
5 Startbedingungen Gegeben: K 0 Startkapital N Anlagemöglichkeiten R i Renditen (i = 1,..., N) Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 3 / 32
6 Startbedingungen Gegeben: K 0 Startkapital N Anlagemöglichkeiten R i Renditen (i = 1,..., N) µ: Vektor mit Erwartungswerten der Renditen Σ: Kovarianzmatrix der Anlagen Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 3 / 32
7 Startbedingungen Gegeben: K 0 Startkapital N Anlagemöglichkeiten R i Renditen (i = 1,..., N) µ: Vektor mit Erwartungswerten der Renditen Σ: Kovarianzmatrix der Anlagen x i : Anteil der Anlage i am Gesamtportfolio Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 3 / 32
8 Ziele mögliche Anlageziele: Maximaler Ertrag Minimales Risiko Maximale Dividendenrendite Minimales Kurs-Gewinn-Verhältnis Minimaler Umsatz (d.h. weniger umschichten) Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 4 / 32
9 Ziele mögliche Anlageziele: Maximaler Ertrag Minimales Risiko Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 4 / 32
10 Problem Zu lösendes Problem: Problem max min s.t. z 1 (x) = N x i µ i i=1 z 2 (x) = N N x i = 1 i=1 i=1 j=1 N x i Σ ij x j maximiere Ertrag minimiere Risiko Kaptial wird voll investiert 0 x i 1 i {1,.., N} keine Leerverkäufe Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 5 / 32
11 Gliederung 1 Problemstellung 2 Ein-Schritt-Optimierung Risiko Bewertung von Portfolios Einbeziehung risikoloser Anlagemöglichkeiten 3 Mehrschritt-Verfahren Binomialmodell Optimale Steuerung des Portfolios Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 6 / 32
12 Beispiel: 2 Aktien Beispiel t Schwimmbad Regenschirm t Schwimmbad Regenschirm Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 7 / 32
13 Beispiel: 2 Aktien Beispiel t Schwimmbad Regenschirm t Schwimmbad Regenschirm µ = ( ) σ = Alles in Regenschirm-Aktien investieren? ( ) Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 7 / 32
14 Beispiel: 2 Aktien Beispiel t Schwimmbad Regenschirm t Schwimmbad Regenschirm µ = ( ) σ = ( ) Alles in Regenschirm-Aktien investieren? Nein! Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 7 / 32
15 Korrelation Definition Der Korrelationskoeffizient ρ zweier Aktien berechnet sich durch ρ 12 = 1 T T ( R t ) ( 1 µ 1 R t ) 2 µ 2 = t=1 σ 1 σ 2 COV[R 1, R 2 ] VAR[R1 ] VAR[R 2 ] Wobei µ k = Erwartungswert der Aktie K (k = 1, 2) σ k = Risiko der Aktie K (k = 1, 2) R t k =Rendite der Aktie k (k = 1, 2) im Zeitschritt t Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 8 / 32
16 Korrelation Auswirkungen auf Risiko (x T Σx): ρ 12 = 1: Risikolose Anlage möglich bei x 1 = σ 2 σ 1 + σ 2 Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 9 / 32
17 Korrelation Auswirkungen auf Risiko (x T Σx): ρ 12 = 1: Risikolose Anlage möglich bei x 1 = σ 2 σ 1 + σ 2 ρ 12 = 1: Lineare Anlagebeziehung ( zwischen ) ( Risiko ) und Ertrag µ1 µ2 Verbindungsgerade von und im µ - σ-diagramm σ 1 σ 2 Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 9 / 32
18 Korrelation Auswirkungen auf Risiko (x T Σx): ρ 12 = 1: Risikolose Anlage möglich bei x 1 = σ 2 σ 1 + σ 2 ρ 12 = 1: Lineare Anlagebeziehung ( zwischen ) ( Risiko ) und Ertrag µ1 µ2 Verbindungsgerade von und im µ - σ-diagramm 1 < ρ 12 < 1 σ 1 σ 2 Kurve links der Verbindungsgeraden von ( µ1 σ 1 ) und ( µ2 σ 2 ) Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 9 / 32
19 Abbildung: µ-σ-diagramm bei zwei Anlagemöglichkeiten und unterschiedlichen Korrelationen Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 10 / 32
20 Beispiel: 2 Aktien Beispiel x 1 = σ 2 σ 1 + σ 2 = Von 1000e investien wir ,57e (= Aktien) in Schwimmbad 708,43e (= Aktien) in Regenschirm Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 11 / 32
21 Beispiel: 2 Aktien Beispiel x 1 = σ 2 σ 1 + σ 2 = Von 1000e investien wir ,57e (= Aktien) in Schwimmbad 708,43e (= Aktien) in Regenschirm t Schwimmbad Regenschirm Portfolio t Schwimmbad Regenschirm Portfolio Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 11 / 32
22 Gliederung 1 Problemstellung 2 Ein-Schritt-Optimierung Risiko Bewertung von Portfolios Einbeziehung risikoloser Anlagemöglichkeiten 3 Mehrschritt-Verfahren Binomialmodell Optimale Steuerung des Portfolios Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 12 / 32
23 Optimale Portfolios können sein: ein Portfolio mit maximalen Ertrag: µ P = max i {1,...,N} µ i Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 13 / 32
24 Optimale Portfolios können sein: ein Portfolio mit maximalen Ertrag: µ P = max i {1,...,N} µ i ein Portfolio mit minimalem Risiko: Ermittlung durch nichtlineare Programmierung (Matlab: quadprog) Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 13 / 32
25 Optimale Portfolios können sein: ein Portfolio mit maximalen Ertrag: µ P = max i {1,...,N} µ i ein Portfolio mit minimalem Risiko: Ermittlung durch nichtlineare Programmierung (Matlab: quadprog) effiziente Portfolios Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 13 / 32
26 Definition Ein Portfolio P ist effizient, wenn die folgenden beiden Bedingungen zutreffen: Jedes andere Portfolio Q mit mindestens gleich großer erwarteter Rendite wie P (d.h. µ q µ p ) besitzt ein größeres Risiko als P (d.h. σ q > σ p ) Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 14 / 32
27 Definition Ein Portfolio P ist effizient, wenn die folgenden beiden Bedingungen zutreffen: Jedes andere Portfolio Q mit mindestens gleich großer erwarteter Rendite wie P (d.h. µ q µ p ) besitzt ein größeres Risiko als P (d.h. σ q > σ p ) Jedes andere Portfolio Q mit höchstens gleich großem Risiko (d.h. σ q σ p ) besitzt eine kleinere erwarteter Rendite als P (d.h. µ q < µ p ) Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 14 / 32
28 Abbildung: µ-σ-diagramm bei N Anlagen: Jede Kombination im Regenschirm ist durch ein Portfolio erreichbar, doch nur Portfolios auf der Effizienzlinie sind effizient Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 15 / 32
29 Welche Anlage ist optimal? 2 Antwortmöglichkeiten: 1 Aufstellen einer Nutzenfunktion um Risikoaversion darzustellen Gängig: U(K ) = K bk 2 mit K 1 2b in Vorlesung: U(K ) = ln(k ) 2 Hinzufügen einer risikolosen Anlage Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 16 / 32
30 Welche Anlage ist optimal? 2 Antwortmöglichkeiten: 2 Hinzufügen einer risikolosen Anlage Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 16 / 32
31 Gliederung 1 Problemstellung 2 Ein-Schritt-Optimierung Risiko Bewertung von Portfolios Einbeziehung risikoloser Anlagemöglichkeiten 3 Mehrschritt-Verfahren Binomialmodell Optimale Steuerung des Portfolios Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 17 / 32
32 α := Anteil der risikolosen Anlage am Gesamtkapital Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 18 / 32
33 α := Anteil der risikolosen Anlage am Gesamtkapital µ Q = αr + (1 α)e[r P ] = αr + (1 α)µ P = µ P + α(r µ P ) Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 18 / 32
34 α := Anteil der risikolosen Anlage am Gesamtkapital µ Q = αr + (1 α)e[r P ] = αr + (1 α)µ P = µ P + α(r µ P ) σq 2 = Var[αr + (1 α)r P] = = α 2 Var[r] + 2α(1 α)cov[r, R] + (1 α) 2 σp 2 (1 α) 2 σp 2 Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 18 / 32
35 α := Anteil der risikolosen Anlage am Gesamtkapital µ Q = αr + (1 α)e[r P ] = αr + (1 α)µ P = µ P + α(r µ P ) σq 2 = Var[αr + (1 α)r P] = = α 2 Var[r] + 2α(1 α)cov[r, R] + (1 α) 2 σp 2 (1 α) 2 σp 2 ( σq µ Q ) = ( σp µ P ) ( ) σp α µ P r Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 18 / 32
36 Umstellen mit σ Q als Variable: α(σ Q ) = 1 σ Q σp µ Q = µ P + α(r µ P ) = µ P + (1 σ Q σp )(r µ P ) = µ P + (r µ P ) σ Q σp (r µ P ) = r + µ P r σ P σ Q Suche Portfolio P mit µ P r σ P maximal! Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 19 / 32
37 Abbildung: Im optimalen Portfolio P tangiert die Kapitalmarktlinie die Effizienzlinie Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 20 / 32
38 Probleme und Kritik Größtes Problem Bestimmung von µ, Σ, und ρ Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 21 / 32
39 Probleme und Kritik Größtes Problem Bestimmung von µ, Σ, und ρ Kritik Erträge nicht normalverteilt (Erträge eigentlich asymmetrisch) Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 21 / 32
40 Probleme und Kritik Größtes Problem Bestimmung von µ, Σ, und ρ Kritik Erträge nicht normalverteilt (Erträge eigentlich asymmetrisch) Korrelationen dynamisch (nehmen z.b. bei Crashs zu) Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 21 / 32
41 Probleme und Kritik Größtes Problem Bestimmung von µ, Σ, und ρ Kritik Erträge nicht normalverteilt (Erträge eigentlich asymmetrisch) Korrelationen dynamisch (nehmen z.b. bei Crashs zu) keine Umschichtung bei einstufigem Modell Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 21 / 32
42 Gliederung 1 Problemstellung 2 Ein-Schritt-Optimierung Risiko Bewertung von Portfolios Einbeziehung risikoloser Anlagemöglichkeiten 3 Mehrschritt-Verfahren Binomialmodell Optimale Steuerung des Portfolios Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 22 / 32
43 Bisher (in Vorlesung): Betrachtung einer risikobehafteter Anlage Bestimmung von α u und α d mit µ, σ und p = 1 2 Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 23 / 32
44 Bisher (in Vorlesung): Jetzt: Betrachtung einer risikobehafteter Anlage Bestimmung von α u und α d mit µ, σ und p = 1 2 Betrachtung zweier risikobehaftetes Anlagen Bestimmung von h und t mit µ, σ und p = 1 2 Hinzufügen von Korrelationen ρ Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 23 / 32
45 Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 24 / 32
46 Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 25 / 32
47 ρ 12 = COV[R 1,R 2 ] VAR[R1 ] VAR[R 2 ] Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 26 / 32
48 ρ 12 = = COV[R 1,R 2 ] VAR[R1 ] VAR[R 2 ] E[(R 1 µ 1 )(R 2 µ 2 )] E[(R1 µ 1 ) 2 ] E[(R 2 µ 2 ) 2 ] Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 26 / 32
49 ρ 12 = = = COV[R 1,R 2 ] VAR[R1 ] VAR[R 2 ] E[(R 1 µ 1 )(R 2 µ 2 )] E[(R1 µ 1 ) 2 ] E[(R 2 µ 2 ) 2 ] 4P (R 1 (ω i ) µ 1 )(R 2 (ω 4 ) µ 2 )P(ω i ) s i=1 s 2P (R 1 (ω i ) µ 1 )P(ω i ) i=1 2P (R 2 (ω i ) µ 2 )P(ω i ) i=1 Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 26 / 32
50 ρ 12 = = = =... COV[R 1,R 2 ] VAR[R1 ] VAR[R 2 ] E[(R 1 µ 1 )(R 2 µ 2 )] E[(R1 µ 1 ) 2 ] E[(R 2 µ 2 ) 2 ] 4P (R 1 (ω i ) µ 1 )(R 2 (ω 4 ) µ 2 )P(ω i ) s i=1 s 2P (R 1 (ω i ) µ 1 )P(ω i ) i=1 2P (R 2 (ω i ) µ 2 )P(ω i ) i=1 = (p hh 1 4 )(h 1h 2 h 1 t 2 t 1 h 2 +t 1 t 2 ) 1 4 (h 1h 2 h 1 t 2 t 1 h 2 +t 1 t 2 ) = 4p hh 1 Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 26 / 32
51 Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 27 / 32
52 Gliederung 1 Problemstellung 2 Ein-Schritt-Optimierung Risiko Bewertung von Portfolios Einbeziehung risikoloser Anlagemöglichkeiten 3 Mehrschritt-Verfahren Binomialmodell Optimale Steuerung des Portfolios Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 28 / 32
53 Problem Gegeben: stochastisches Kontrollsystem mit Lösung X t = X t (x 0, u) laufende Ertragsfunktion l : R n U R Diskontfaktor β (0, 1] End-Ertragsfunktion L : R n R Zeithorizont {0, 1,..., T } Das auf dem Zeithorizont zu lösende Optimierungsproblem lautet: T 1 maximiere J T (x 0, u) := E{ β t l(x t, u t ) + β T L(X T )} Die optimale Wertefunktion V T : R n R ist definiert durch t=0 V T (x 0 ) := sup u U x0 J T (x 0, u) Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 29 / 32
54 Parameter: x 0 t+1 = x 0 t (z0 t u t + z 1 t (1 u t)) Gesamtkapital zum Zeitpunkt t + 1 x 1 t+1 = zt 0u t [0, 1] Anteil der Aktie 1 am Gesamtkapital zt 0u t +zt 1(1 u t ) u [0, 1] Umschichtung von X 1 vor dem Zufallsprozess Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 30 / 32
55 Parameter: x 0 t+1 = x 0 t (z0 t u t + z 1 t (1 u t)) Gesamtkapital zum Zeitpunkt t + 1 x 1 t+1 = zt 0u t [0, 1] Anteil der Aktie 1 am Gesamtkapital zt 0u t +zt 1(1 u t ) u [0, 1] Umschichtung von X 1 vor dem Zufallsprozess Bisher (in Vorlesung): Risikoaversion durch L(X T ) = ln X 0 T Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 30 / 32
56 Parameter: x 0 t+1 = x 0 t (z0 t u t + z 1 t (1 u t)) Gesamtkapital zum Zeitpunkt t + 1 x 1 t+1 = zt 0u t [0, 1] Anteil der Aktie 1 am Gesamtkapital zt 0u t +zt 1(1 u t ) u [0, 1] Umschichtung von X 1 vor dem Zufallsprozess Bisher (in Vorlesung): Jetzt: Risikoaversion durch L(X T ) = ln X 0 T zusätzliche Bestrafung des Risikos durch laufende Kosten: l(x, u) = b (u, 1 u ) ( ) u Σ 1 u Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 30 / 32
57 Das Pfadmodell stößt hier an seine Grenzen: (2 N ) T Pfade sind zu viele Vorteil an Gridsystem: Nur Schritt für Schritt Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 31 / 32
58 Das Pfadmodell stößt hier an seine Grenzen: (2 N ) T Pfade sind zu viele Vorteil an Gridsystem: Nur Schritt für Schritt ab 3 Aktien reichen 2. Momente nicht mehr aus um Pfadwahrscheinlichkeiten eindeutig zu bestimmen Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 31 / 32
59 Das Pfadmodell stößt hier an seine Grenzen: (2 N ) T Pfade sind zu viele Vorteil an Gridsystem: Nur Schritt für Schritt ab 3 Aktien reichen 2. Momente nicht mehr aus um Pfadwahrscheinlichkeiten eindeutig zu bestimmen ab 4 Aktien bräuchte man Grid4d Michael Manger (Universität Bayreuth) Risiko in der Portfolio-Optimierung Seminar SDO 31 / 32
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