Aufgabe 4.23 *: (Portefeuilletheorie und CAPM)

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1 Aufgabe 43 *: (Portefeuilletheorie und CAPM) (Quelle: Bitz, M und Ewert, J, Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 8 Aufl, München 014) Dem risikoscheuen Anleger SCHEU bietet sich zunächst nur die Möglichkeit, sein vorhandenes Geld in Höhe von 1000 GE in beliebiger Aufteilung und Stückelung in Anteile der beiden Wertpapiere A oder B zu investieren Je Anteil im Nennwert von 100 GE (Nennwert = Kaufpreis) erwartet SCHEU am Jahresende in Abhängigkeit von der Umweltentwicklung folgende Rückflüsse: p 1 = 0,5 s 1 p = 0,5 s p 3 = 0,5 s 3 p 4 = 0,5 s 4 A B a) Bestimmen Sie für diese Ausgangssituation die Erwartungswerte ( µ A und µ B) und die Standardabweichungen ( σa und σ B) der Renditen der Wertpapiere A und B sowie die Kovarianz (cov AB) und den Korrelationskoeffizienten ( ρ AB) dieser beiden Wertpapiere! b) Angenommen, SCHEU möchte eine Mischung aus A und B realisieren Wie hoch wird er den Anteil von A (x A) und B (xb = 1 x A) wählen, wenn er sein Risiko(gemessen an der Varianz bzw der Standardabweichung) minimieren will? Stellen Sie geeignete Berechnungen an! Berechnen Sie außerdem die erwartete Rendite sowie die Standardabweichung der risikominimalen Wertpapiermischung! c) Skizzieren Sie in einem µ-σ-diagramm alle Kombinationen von µ und σ, die SCHEU erreichen kann, wenn er die ihm zur Verfügung stehenden 1000 GE in beliebiger Aufteilung auf A und B verteilen kann und bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser sogenannten Portefeuillelinie! d) Wird SCHEU die risikominimale Kombination der Wertpapiere A und B realisieren, wenn er - abweichend zur bisher unterstellten Ausgangssituation - nun auch die Möglichkeit hat, finanzielle Mittel im Umfang von maximal 1000 GE risikofrei für ein Jahr zu 3% pa am Finanzmarkt anzulegen bzw weitere Mittel von bis zu 1000 GE zum gleichen Zinssatz von 3% als Kredit aufzunehmen und diese Möglichkeiten beliebig mit einem Portefeuille aus A und B kombiniert werden können? Verdeutlichen Sie Ihre Überlegungen anhand einer Skizze in einem m σ Diagramm und erläutern Sie diese! e) Betrachtet sei nun ein Finanzmarkt an dem eine Vielzahl von risikobehafteten Wertpapieren gehandelt werden, eine risikolose Anlage- und Aufnahmemöglichkeit zu 3% pa besteht, alle Akteure sich risikoscheu im µ σ Sinn verhalten und keine Informationsasymmetrien oder sonstigen Marktunvollkommenheiten existieren

2 Des Weiteren sei angenommen, dass durch die in Teilaufgabe c) abgeleitete Portefeuillelinie auch alle durch Anlagen in die verfügbaren risikobehafteten Wertpapiere erreichbaren effizienten Anlagemöglichkeiten abgebildet werden (1) Bestimmen Sie zunächst den Erwartungswert und die Standardabweichung des Marktportefeuilles sowie die Funktionsgleichung der Kapitalmarktlinie! () Bestimmen Sie anschließend für die folgenden drei Fälle, welche Aktivitäten ein risikoscheuer Anleger, der im Zeitpunkt t = 0 über genau 1000 GE verfügt, bei rationalem Verhalten ergreifen muss, wenn er (Fall 1) eine erwartete Rendite von 7,33%, (Fall ) eine erwartete Rendite von 5,00% bzw (Fall 3) eine erwartete Rendite von 10,00% erreichen möchte? Ermitteln Sie anschließend die Standardabweichungen der zu wählenden Portefeuilles! f) Wenn Sie in Teilaufgabe e) richtig gerechnet haben, ergeben sich für den Erwartungswert der Rendite des Marktportefeuilles ein Wert von 7,33% und für die zugehörige Standardabweichung ein Wert von 5,3748% Nehmen Sie nun zusätzlich an, ein Anleger investiert 100 GE in das Marktportefeuille und erzielt aus dieser Anlage in den vier möglichen Umweltzuständen s 1 bis s 4 die in der M-Zeile der nachfolgenden Tabelle angegebenen Rückflüsse Weiterhin sei angenommen, dass im Marktportefeuille M auch die Wertpapiere X, Y und Z enthalten sind, bei denen die Marktakteure bezogen auf einen Nennwert von jeweils 100 GE von den in den nachfolgenden Zeilen der Tabelle ausgewiesenen Rückflüsse ausgehen p 1 = 0,5 s 1 p = 0,5 s p 3 = 0,5 s 3 p 4 = 0,5 s 4 M 109,33 105, ,67 X Y Z (1) Sind die in der M-Zeile der Tabelle ausgewiesenen Rückflüsse mit einem Investitionsbetrag von 100 GE in das Marktportefeuille kompatibel? () Bestimmen Sie für die drei Wertpapiere X, Y und Z jeweils Erwartungswert und Standardabweichung des Rückflussbetrages!

3 (3) Bestimmen Sie für den hier unterstellten Finanzmarkt die sogenannte Marktkonstante M r λ( λ= ) und für die drei Wertpapiere (i = X, Y, Z) die Kennzahlen µ σ M covi,m µ, σ, cov, ρ und β ( β = )! σ i i i,m i,m i i M (4) Bestimmen Sie zunächst für die drei Wertpapiere (i = X, Y, Z) die jeweiligen Gleichgewichtsrenditen µ i, darauf aufbauend die Gleichgewichtskurse C i und erläutern Sie abschließend kurz die jeweiligen Abweichungen der Gleichgewichtsrenditen µ i zum sicheren Zinssatz r! Gehen Sie bei der Lösung von (3) und (4) von dem Zinssatz r = 3% aus!

4 Lösung: a) Bei einem Kaufpreis der beiden Wertpapiere von jeweils 100 GE ergeben sich folgende zustandsabhängige Renditen (Angaben in %): p 1 = 0,5 s 1 p = 0,5 s p 3 = 0,5 s 3 p 4 = 0,5 s 4 A B Bezeichnet man die im Umweltzustand j (j = 1,,,4) eintretende Rendite des Wertpapiers i (i = A, B) mit e ij sowie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Wertpapiers i mit µ i, σ und σ i, so gilt definitionsgemäß: i n i eij pj j= 1 µ =, n i ij i j j= 1 σ = (e µ ) p und σ i = σ i Nach Einsetzen der gegebenen Werte errechnen sich für A und B folgende Parameterwerte: µ A = 10, σ A = 10, µ B = 5 und σ B = 5 Die Kovarianz zwischen dem zustandsabhängigen Renditen von A und B (cov AB) sowie der korrespondierende Korrelationskoeffizient ( ρ AB) errechnen sich aus: n AB = Aj µ A Bj µ B j j= 1 cov (e ) (e ) p cov ρ AB AB = σ A σ B Nach Einsetzen der vorgegebenen bzw bereits berechneten Werte ergeben sich für Kovarianz und Korrelationskoeffizient: covab = 0 und ρ AB = 0 b) Für den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung eines Portefeuilles aus Anteilen an A und B gilt in Abhängigkeit vom prozentualen Anteil der in A investierten Mittel x A ( x A : Quotient aus dem Geldbetrag der in A investierten Mittel und dem Gesamtbetrag investierter Mittel): µ AB = x A µ A + (1 x A ) µ B

5 σ AB = x A σ A + (1 x A ) σ B + x A (1 x A ) σa σb ρ AB σ AB = σ AB Für ρ AB = 0 vereinfacht sich die Berechnungsformel für die Varianz bzw Standardabweichung des Portefeuilles zu: σ AB = x A σ A + (1 x A ) σ B σ AB = x A σ A + (1 x A ) σ B Die Ableitung der Funktionsgleichung der Standardabweichung des Portefeuilles aus A und B nach x A führt zu: AB = A A B B A x A σ A + (1 x A) σb dσ x ( σ +σ ) σ dx Notwendige Bedingung für die risikominimale Mischung aus A und B ist: dσ dx AB A = 0 Nach Gleichsetzen und Umformen ergibt sich für den gesuchten risikominimalen Portefeuilleanteil von A: * σ x B A = σ A +σ B Nach Einsetzen der bereits ermittelten Parameterwerte ergibt sich schließlich für x * A : * 5 x A = = 0, 15 Für den Erwartungswert und die Standardabweichung der risikominimalen Mischung aus A und B ergeben sich folglich: * µ AB(xA = 0,) = 0, ,8 5 = 6 * σ AB(xA = 0,) = 0, ,8 5 = 4, 471

6 c) Überträgt man die in den Teilaufgaben a) und b) errechneten Werte in ein µ σ Diagramm, so ergibt sich unter Beachtung der bauchigen Form der Portefeuillelinie folgende Skizze: Die Funktionsgleichung der Portefeuillelinie ergibt sich unter Verwendung der bereits bekannten Formeln zur Ermittlung des Erwartungswerts und der Standardabweichung eines Portefeuilles aus A und B Aus µ AB = x A µ A + (1 x A ) µ B ergibt sich nach Einsetzen der in Aufgabenteil a) errechneten Parameterwerte zunächst: xa µ AB 5 = 5 AB x A A (1 x A ) xb Substituiert man in der Gleichung σ = σ + den Parameter x A µ durch AB 5, so ergibt sich nach Einsetzen der in Aufgabenteil a) errechneten Parameterwerte 5 zunächst µ AB 5 µ AB 5 σ AB = (1 ) und nach Vereinfachung mit σ AB = 5µ AB 60µ AB + 00 die gesuchte Funktionsgleichung der Portefeuillelinie

7 d) Der risikoscheue Anleger SCHEU wird sich bei rationalem Verhalten nur für effiziente Portefeuilles aus A und B interessieren Diese sind dadurch gekennzeichnet, dass kein anderes für den Anleger erreichbares Portefeuille existiert, das gleichzeitig einen höheren µ Wert und einen niedrigeren oder gleich hohen σ Wert aufweist In der Abbildung im Lösungsteil der Teilaufgabe c) liegen diese effizienten Portefeuilles auf dem aufsteigenden Ast der Portefeuillelinie (der sogenannten Effizienzlinie) Durch die Möglichkeit einer sicheren Geldanlage bzw Kreditaufnahme erweitert sich der Handlungsspielraum für SCHEU Vormals effiziente Portefeuilles werden durch diese Erweiterung des Handlungsspielraums ineffizient Nur noch ein einziges Portefeuille der bisherigen Effizienzlinie, das sogenannte Tangentialportefeuille, bleibt effizient Zusätzlich effizient werden Kombinationen aus einer Aufteilung des gegebenen Ausgangsbetrags auf die sichere Anlage und das Tangentialportefeuille sowie die Investition des Gesamtbetrages zuzüglich etwaiger Kreditbeträge in das Tangentialportefeuille Die folgende Abbildung verdeutlicht die nunmehr effizienten (für SCHEU erreichbaren) µ σ Kombinationen Deutlich erkennbar ist, dass das in Aufgabenteil b) bestimmte risikominimale Portefeuille aus A und B jetzt auf keinen Fall mehr zu den effizienten Portefeuilles gehört und somit selbst für den Fall eines unendlich hohen Risikoaversionsgrad des SCHEU (Anmerkung: Nur unter dieser Voraussetzung hätte SCHEU in der Ausgangssituation das risikominimale Portefeuille aus A und B gewählt!) für diesen als Optimalalternative nicht mehr in Frage kommt

8 e) (1) Unter den gegebenen Voraussetzungen entsprechen die Parameterwerte des Marktportefeuilles den Parameterwerten des in der Lösung zu Teilaufgabe d) skizzierten Tangentialportefeuilles und die Kapitalmarktlinie der eingezeichneten Tangente an die Portefeuillelinie aus A und B Bezeichnet man die Parameterwerte des Tangentialportefeuilles mit µ M und σ M und die Steigung der Tangente mit a, so gilt für den Tangentialpunkt: (i) Er liegt auf der Portefeuillelinie Damit gilt: σ M = 5µ M 60µ M + 00 (ii) Er liegt auf einer Geraden durch den Punkt (3; 0), die eine Steigung von a aufweist Damit gilt: σ M = ( µ M 3) a (iii) Im Tangentialpunkt stimmen die Steigung der Portfeuillelinie und die Steigung der Geraden (der Kapitalmarktlinie) überein Damit gilt: dσ M 5µ M 30 a = = dµ M 5µ 60µ + 00 M M Die Substitution des Parameters a in Gleichung (ii) gemäß Gleichung (iii) und Gleichsetzen der beiden Gleichungen (i) und (ii) führt zu: 5 45µ M + 90 µ M 5µ M 60µ M + 00 = 5 60µ M + 00 µ M Auflösen nach µ M führt zum Ergebnis µ M = 7,3333 Einsetzen dieses Wertes in Gleichung (i) führt zu σ M = 5,3748 Für die Funktionsgleichung der Kapitalmarktlinie gilt schließlich: µ M r µ = r + σ= 3 + 0,806 σ () Am beschriebenen Finanzmarkt besteht im Gleichgewicht ein linearer Zusammenhang zwischen dem Erwartungswert der Rendite und der Höhe der dafür zu akzeptierenden Standardabweichung der Rendite Dieser lineare Zusammenhang wird durch die Kapitalmarktlinie abgebildet Es gilt also für den hier unterstellten µ Finanzmarkt M r µ = r + σ Da die Marktparameter r, µ M und σ M festliegen, ist jeder erwarteten Zielrendite eine eindeutige (Mindest-) Standardabweichung zugeordnet

9 Fall 1: Will der Investor eine erwartete Rendite erzielen, die exakt der erwarteten Rendite des Marktportefeuilles entspricht, muss er den Gesamtbetrag von 1000 GE in das Marktportefeuille investieren Er erzielt dann eine erwartete Rendite von 7,3333%, die mit einer Standardabweichung von 5,3748% verbunden ist 7, ( 7,3333 = 3 + 5,3748 ) 5,3748 Fall : Will der Investor eine erwartete Rendite erzielen, die niedriger als die erwartete Rendite der Marktportefeuilles ist, so wird er nur einen Teilbetrag der verfügbaren Mittel von 1000 GE in M investieren und den Rest in die sichere Anlage zum Zinssatz r Der prozentuale Anteil x M der in das Marktportefeuille investierten Mittel ergibt sich aus Lösung der Gleichung 5 = 7,3333 xm + 3 (1 x M) Er investiert folglich 46,15 % seiner 1000 GE (461,50 GE) in M und den Restbetrag von 538,50 GE in die sichere Anlage Der zugehörige σ Wert ergibt sich aus der Auflösung der Gleichung 5 = 3 + 0,806 σ nach σ und führt zu dem Wert σ=, 4908 [%] Fall 3: Will der Investor auf seine Eigenmittel eine erwartete Rendite erzielen, die höher als die erwartete Rendite des Marktportefeuilles ist, so muss er einen durch Kreditaufnahme erhöhten Betrag in das Marktportefeuille investieren, also einen Teil des risikobehafteten investierten Geldes durch Kreditaufnahme aufbringen Es gilt also x M > 1 x M ergibt sich im konkreten Fall aus der Lösung der Gleichung 10 = 7,3333 xm + 3 (1 x M) Er investiert folglich 161,54 % bezogen auf seine Eigenmittel von 1000 GE (1615,40 GE) in M und nimmt dazu einen Kredit in Höhe von 615,40 GE auf Der zugehörige σ Wert ergibt sich analog zu Fall aus der Auflösung der nunmehr relevanten Gleichung 10 = 3 + 0,806 σ nach σ und führt zum Wert σ= 8,687 [%] f) (1) Das Marktportefeuille M weist Parameterwerte von µ M = 7,3333 [ % ] und σ = [ ] auf Zu prüfen ist also, ob die in der M-Zeile ausgewiesenen zu- M 5,3748 % standsabhängigen Rückflüsse in Verbindung mit dem vorgegebenen Investitionsbetrag von 100 GE zu einer Verteilung zugehöriger Renditen führt, deren Parameterwerte µ M = 7,3333 [ % ] und σ M = 5,3748 [ % ] entsprechen Die Überprüfung ergibt Übereinstimmung () R R R µ X =µ Y =µ Z = 104 R R R σ X = ; σ Y = 6,93 ; σ Z = 4

10 µ (3) M r 7, λ= = = 0,15 5,3748 cov = 0 ; ρ = 0 X,M Y,M Z,M X,M cov = 9,33 ; ρ = 0,79 Z,M Y,M cov = 18,67 ; ρ =+ 0,87 covx,m β X = = 0 σ M covy,m 9,33 β Y = = = 1,0153 5,3748 covz,m 18,67 β Z = = =+ 0,6463 5,3748 (4) Unterstellt man zunächst vereinfachend, dass die unter () ermittelten Standardabweichungen der Rückflussverteilungen der Wertpapiere X,Y und Z (also die Werte σ R X =, σ R Y = 6,93 und σ R Z = 4 ) den (Prozentwerten der) Standardabweichungen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Renditen bei Anlage eines gegebenen Geldbetrags in X,Y oder Z entsprechen, so errechnen sich die Renditeerwartungen µ i (i = X,Y, Z) der drei Wertpapiere im Gleichgewicht des Finanzmarktes gemäß einer der folgenden Formeln, die sich allein durch die Definition und Verwendung weiterer Symbole unterscheidenden: µ i = µ M r r + cov i,m σ M µ i = r +λ covi,m µ i = r + ( µ M r) βi µ i = µ M r r + ri,m σi Durch Einsetzen der bereits errechneten Parameterwerte ergeben sich damit: µ X = 3 [%]; µ Y = 1,4105 [%] und µ Z = 5,8035 [%] Da die drei Wertpapiere X, Y und Z einerseits gemäß () identische erwartete Rückflüsse aufweisen, andererseits aber mit unterschiedlich hohen Gleichgewichtsrenditeerwartungen verbunden sind, müssen sich die Anschaffungspreise (die Gleichgewichtskurse) der drei Wertpapiere unterscheiden Für die Gleichgewichtskurse C i (i = X,Y, Z) ergibt sich daher:

11 104 CX = = 100,97 1, CY = = 105, 49 0, CZ = = 98,30 1, Die errechneten Werte für die Gleichgewichtsrenditen der Wertpapiere X,Y und Z bestätigen die allgemeine Aussage des CAPM, dass nicht das individuelle Risiko eines Wertpapiers allein Einfluss auf die von Anlegern geforderte erwartete Rendite eines Wertpapiers hat Das individuelle Risiko eines Wertpapiers beeinflusst nur im Verbund mit seiner Risikowirkung auf die Risiken aller anderen im Marktportefeuille enthaltenen Wertpapiere (also seinem sogenannten systematischen Risiko) die Renditeerwartungen der Anleger So weist das positiv mit dem Marktportefeuille korrelierte Wertpapier Z eine erwartete Rendite auf, die den sicheren Zinssatz r übersteigt Die erwartete Rendite des negativ mit dem Marktportefeuille korrelierten Wertpapiers Y ist im betrachteten Fall sogar nicht nur niedriger als der sichere Zinssatz r, sondern sogar negativ Das weder positiv noch negativ mit dem Marktportefeuille korrelierte (isoliert betrachtet risikobehaftete) Wertpapier X, wird im Marktgleichgewicht weder mit Risikozuschlägen noch mit Risikoabschlägen auf den sicheren Zinssatz r bewertet Berücksichtigt man nun nicht mehr vereinfachend sondern statistisch korrekt, dass die bei den bisherigen Berechnungen für die Standardabweichungen der Wertpapiere X, Y und Z verwendeten Werte sich auf die jeweils gegebenen Rückflussverteilungen beziehen und somit nur bei Kaufpreisen für die Wertpapiere in Höhe von genau 100 den eigentlich zur Berechnung der Gleichgewichtskurse benötigten Werten der Kennzahlen auf Basis von Renditedaten entsprechen, so ergeben sich unter Berücksichtigung der im Marktgleichgewicht tatsächlich geltenden Marktpreise der Wertpapiere einige Modifikationen der Berechnungen, die aber nur einen unwesentlichen Einfluss auf die konkrete Höhe der errechneten Gleichgewichtskurse und -renditen und zudem ohne Einfluss auf die qualitativen Ergebnisse und Interpretationen der in der Aufgabe abgebildeten Zusammenhänge sind Als (statistisch korrekt ermittelte) Werte ergeben sich: [ ] [ ] [ ] µ X = 3 %, µ Y = 1,1935 %, µ Z = 5,8556 %, C = 100,97, C = 105,6 und C = 98,5 X Y Z (Vgl zur Berechnung dieser Werte die Hinweise in der Lösung der Teilaufgabe c) der Aufgabe 44)!