Taschenbuch der Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik

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1 Taschenbuch der Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik von Wolfgang König, Heinrich Rommelfanger, Dietrich Ohse, Oliver Wendt, Markus Hofmann, Michael Schwind, Klaus Schäfer, Helmut Kuhnle, Andreas Pfeifer 2., überarb. u. erw. Aufl. Taschenbuch der Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik König / Rommelfanger / Ohse / et al. schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHADLUG Thematische Gliederung: Wirtschaftsinformatik Harri Deutsch 2003 Verlag C.H. Beck im Internet: ISB

2 8.5 Abschreibung 375 Jahr Restschuld zu Jahresanfang Zinsen Tilgung Annuität ,- 3000, , , , , , , , ,79 816, , Die Laufzeit eines Annuitätendarlehens mit einem nominellen Zinssatz i und einem anfänglichen Tilgungssatz von i T beträgt n = log i + i T i T log1 + i Unterjährige Verzinsung und Tilgung Sie erhalten ein Darlehen in Höhe von a mit einem Zinssatz von 5 %. Statt jährlicher Annuität von a zahlen Sie jetzt monatlich a zurück. Die Zins- und Tilgungsverrechnung soll auch monatlich m = 12 erfolgen. Mit K 0 = a, p = 5, m = 12 gilt ein monatlicher Zinssatz von i = 0,05/12 = 0, und eine monatliche Zahlung von A = a. Streng genommen dürfte diese monatliche Zahlung von a nicht mit Annuität A abgekürzt werden. Es gilt mit K 0 = a,p = 5,m = 12,i = 0,05/12 = 0, und A = a: n = log 1 ik 0 A log v = 0, , = 35,96, d. h. n ist ungefähr 36 Monate. Die Restschuld nach 35 Monaten beträgt K 35 = K 0 s 35 T 1 = a 1 + i35 1 A ik 0 i = a 37, ,33 = 2.875,24 a. Dadurch kann dann die Restzahlung berechnet werden. 8.5 Abschreibung Abschreibungen, berücksichtigen die jährliche Wertminderung eines Wirtschaftsgutes Maschinen, Fahrzeuge, Gebäude durch a verbrauchsbedingte technische Ursachen, b wirtschaftlich bedingte Ursachen z. B. technischer Fortschritt, c zeitlich bedingte Ursachen z. B. Ablauf eines Miet-, Leasingvertrages. Die Abschreibungen steuerrechtlich: Absetzungen für Abnutzung: AfA werden als Aufwand in der Gewinn- und Verlustrechnung erfasst. Zum Abschreibungspotenzial gehören die Anschaffungskosten AK = Anschaffungspreis abzüglich Anschaffungspreisveränderungen zuzüglich Anschaffungsnebenkosten wie Transport-, Verpackungs-, Montagekosten. Abschreibungsfähige Wirtschaftsgüter Gebäude, Maschinen, Fuhrpark, Betriebs- und Geschäftsausstattungen sind durch planmäßige Abschreibungen aufgrund einer betriebsgewöhnlichen utzungsdauer im Wert zu mindern. icht vorhersehbare Wertminderungen z. B. technischer Fortschritt sind durch außerplanmäßige Abschreibungen zu berücksichtigen.

3 376 8 Finanzmathematik Abschreibungsverfahren Lineare Abschreibung, Abschreibung vom Anschaffungswert K 0 auf den Restwert K nach utzungsjahren in gleichen Jahresraten, Restwert nach n Jahren K n = K 0 n K0 K, n = 1,..,. Geometrisch-degressive Abschreibung, es werden jährlich von einem Wirschaftsgut p% von dem jeweiligen Buchwert abgeschrieben mit geometrisch fallenden Abschreibungsbeträgen. a Restwert nach n Jahren K n = K 0 1 p n 100, n = 1,2,... b Jährlicher prozentualer Abschreibungssatz p bei vorgegebener Abschreibungszeit und gefordertem Restwert K : K p = K 0 Eine Anlage mit dem Anschaffungswert von a wird jährlich mit 6% vom Restwert abgeschrieben. Restwert nach 5 Jahren: K 5 = a = ,40 a 100 Leistungsabschreibung, die Abschreibungsbeträge werden nach der Leistung eines Wirtschaftsgutes bestimmt z. B. Maschinenstunden, Inanspruchnahme des Rechenzentrums, gefahrene Kilometer. Abschreibung eines LKW nach Fahrleistung: Anschaffungskosten K 0 = a geschätzte Fahrleistung des LKW insgesamt = km Abschreibung pro km = = 0,50 a km Für ein Wirtschaftsgut ist ein zu Beginn der utzungsperiode gewähltes Abschreibungsverfahren beizubehalten. Lediglich der Übergang von der geometrisch-degressiven zur linearen Abschreibung AfA ist möglich 7 Abs 3 EStG. Anschaffungskosten K 0 der Maschine a betriebsgewöhnliche utzungsdauer 5 Jahre Schrottwert 0 a Jahr geom. degr. AfA AK/Restbuchwert Übergang auf die 30% linear verteilt auf die lineare AfA möglich Restnutzungsdauer 1 AK , , , , , , , , , , , , , , , 0,

4 9 Quantitative Methoden des modernen Wertpapier-Managements 9.1 Portfolio Selection Rendite einer Aktie: Prozentrendite: Logarithmierte Rendite: Erwartungswert der Rendite i: µ i = Varianz der erwarteten Rendite: σ 2 i = r t = S t S t 1 S t 1 St r t = ln L l=1 S t 1 p l r il L p l r il µ i 2 l=1 S t = Kurs der Aktie zum Zeitpunkt t p l = Wahrscheinlichkeit des Zustands l, i=aktie Standardabweichung der erwarteten Rendite: σ i = σi 2 Im Folgenden werden meist logarithmierte Renditen betrachtet. Am Kapitalmarkt werden nach Annahme riskante Wertpapiere =Aktien gehandelt. Effiziente Portefeuilles bieten bei gleichem Erwartungswert der Rendite eine niedrigere Standardabweichung oder bei gleicher Standardabweichung einen höheren Erwartungswert der Rendite gegenüber nichteffizienten Portefeuilles. Efficient Set: Menge aller effizienten Portefeuilles. Efficient Frontier Effiziente Line, Effizienter Rand: Linie, auf der die effizienten Portefeuilles liegen. Entspricht im µ,σ -Raum einer Hyperbel. Ausgangspunkt und Grundlage der modernen Kapitalmarkttheorie ist die von Markowitz entwickelte Portfolio-Selection-Theorie. Als normative Theorie leitet sie her, wie ein Anleger mit gegebenen Erwartungen unter bestimmten Annahmen und auf Basis seiner Risikopräferenz die Struktur seines Portefeuilles aus riskanten Wertpapieren optimieren sollte. Annahmen der Portfolio Selection: 1. Anleger maximiert Bernoulli-utzen. Grenznutzen ist positiv. 2. Anleger trifft seine Entscheidung anhand einer quadratischen Risikofunktion. Alternativ zu dieser Annahme werden multivariat normalverteilte Wertpapierrenditen vorausgesetzt. 3. Anleger beurteilt Wertpapiere und Portfolios anhand des Erwartungswertes und der Standardabweichung bzw. der Varianz der Rendite. 4. Anleger ist risikoavers. 5. Anlagehorizont des Investors beträgt eine Periode. 6. Anzahl der Wertpapiere und Wahrscheinlichkeitsverteilungen der zukünftigen Renditen der Wertpapiere sind exogen und dem Investor bekannt. 7. Wertpapiere sind beliebig teilbar. Anleger kann Leerverkäufe durchführen. Anleger ist Preisnehmer. 8. Es fallen weder Transaktionskosten noch Steuern an Grundmodell ohne Existenz einer risikofreien Anlage Budgetrestriktion der Aktienanlage: x i = 1 mit x i als Anteil der Aktie i am Portefeuille.

5 378 9 Quantitative Methoden des modernen Wertpapier-Managements Bei gegebenen Renditeparametern der einzelnen Aktien Erwartungswerte, Varianzen, Kovarianzen ist die Struktur eines Portefeuilles vollständig durch die Anteile beschrieben, die in die einzelnen Aktien investiert werden. Im Grundmodell werden für die x i keine Obergrenzen oder ichtnegativitätsbedingungen vorausgesetzt. Erwartungswert der Portefeuille-Rendite: µ p = x i µ i mit µ i als Erwartungswert der Rendite r i der Aktie i. Varianz der Portefeuille-Rendite: σ 2 p = x i x j σ ij mit σ ij als Kovarianz der Renditen der Aktien i und j. Portefeuille-Optimierung: Minimierung der Portefeuille-Varianz σp 2 unter den ebenbedingungen x i = 1 und µ p = x i µ i. Für einen vorgegebenen Erwartungswert der Portefeuille-Rendite µ p ist die Wertpapiermischung {x 1,x 2,...,x } zu finden, die die Varianz der Portefeuille-Rendite minimiert. a Lagrange-Ansatz des Portefeuille-Problems Lagrange-Ansatz zur Lösung der Portefeuille-Optimierung: L = x i x j σ ij λ 1 x i µ i µ p λ 2 x i 1 Ableitungen der Lagrange-Funktion: L = 2 x i x j σ ij λ 1 µ i λ 2 = 0 für i = 1,2,..., L λ 1 = L λ 2 = x i µ i µ p = 0 x i 1 = 0 Aktienanteile im Optimum:. x i = 1 2 ˆσ ij λ1 µ j + λ 2 für i = 1,2,..., mit ˆσ ij als Element der Inversen der Varianz-Kovarianz Matrix.

6 9.1 Portfolio Selection 379 Portefeuille-Planung in Matrixschreibweise: σ 11 σ σ 1 x 1 µ 1 1 σ 21 σ σ 2 x = λ µ λ 2.. σ 1 σ 2...σ x µ 1 Ist die Varianz-Kovarianz Matrix invertierbar, dann ist der Vektor der optimalen Portefeuille-Anteile x i bestimmt durch: x 1 ˆσ 11 ˆσ ˆσ 1 λ 1 µ 1 + λ 2 x 2. = 1 ˆσ 21 ˆσ ˆσ 2 λ 1 µ 2 + λ x ˆσ 1 ˆσ 2... ˆσ λ 1 µ + λ 2 Ökonomisch bedeutet die Invertierbarkeit der Varianz-Kovarianz Matrix, dass es keine zwei verschiedenen Linearkombinationen von Wertpapieren gibt, die vollständig korreliert sind und keine Aktie eine Varianz von ull hat. Lagrange-Multiplikatoren im Optimum: λ 1 = 2 C µ p B und AC B 2 λ 2 = 2 A B µ p AC B 2 mit den Marktkonstanten A = B = C = µ i µ j ˆσ ij, µ i ˆσ ij = ˆσ ij. µ j ˆσ ij und Die Werte der Lagrange-Multiplikatoren folgen aus den beiden Gleichungen 1 = 1 λ 1 2 µ j ˆσ ij + λ 2 ˆσ ij und µ p = 1 λ 1 2 µ i µ j ˆσ ij + λ 2 µ i ˆσ ij, die man aus der Summation der Bedingung für die Aktienanteile im Optimum über alle i bzw. aus der Multiplikation des Ergebnisses im Optimum mit µ i und anschließender Summation über alle i erhält. Aktien A und B mit µ A = 0,2, µ B = 0,3, σa 2 = 0,04, σb 2 = 0,08 und covr A,r B = 0,02. Optimales varianzminimales Portefeuille für µ p = 0,25: Aus x A + x B = 1 folgt x B = 1 x A und aus x A µ A + x B µ B = µ p folgt 0,2x A + 0,31 x A = 0,25. Lösung: x A = x B = 0,5. Portefeuille-Varianz: σp 2 = 0,04. b Bestimmung des effizienten Randes Allgemeiner Zusammenhang zwischen Varianz und Erwartungswert eines varianzminimalen Portefeuilles: σ 2 p = A 2Bµ p + Cµ 2 p AC B 2

7 380 9 Quantitative Methoden des modernen Wertpapier-Managements Multiplikation der Ableitung der Lagrange-Funktion nach den Aktienanteilen mit x i und Summation über alle i: x i x j σ ij = 1 2 λ 1x i µ i λ 2x i. Durch Einsetzen der Werte für λ 1 und λ 2 in Abhängigkeit von alternativen µ p -Werten folgt: σ p 2 Cµ p B = µ p AC B + A Bµ p 2 AC B. 2 Minimum-Varianz-Portefeuille MVP: µ MVP = B C und σ 2 MVP = 1 C Der Erwartungswert und die Varianz der Rendite des Portefeuilles mit der absolut geringsten Varianz folgen aus der Bedingung: dσ p 2 = 2Cµ p 2B = 0 dµ p AC B 2 Effiziente Linie der Wertpapiermischungen, nach rechts ansteigender Ast einer Parabel im µ p,σ p Achsendiagramm: σ µ p = µ MVP + 2 p σ AC B 2 MVP 2 C Portfolio Selection bei Existenz einer risikofreien Anlage Anleger hat die Möglichkeit, seine Mittel in eine risikofreie Anlage zu investieren. Die Varianz der sicheren Rendite r ist gleich ull. Zu dieser Rendite r kann sich der Anleger auch Geldmittel beschaffen. Mit y sei der Anteil des Anleger-Portefeuilles bezeichnet, der in die risikofreie Anlage investiert wird. Modifizierte Budgetrestriktion der Aktienanlage: Erwartungswert der Portefeuille-Rendite: µ p = Varianz der Portefeuille-Rendite: σ 2 p = x i + y = 1 x i µ i + yr = r + x i x j σ ij x i µ i r Portefeuille-Planungsproblem: Minimiere die Portefeuille-Varianz σp 2 unter der ebenbedingung µ p = r + x i µ i r. a Lagrange-Ansatz des Portefeuille-Problems Lagrange-Funktion zur Bestimmung des optimalen Portefeuilles: L = x i x j σ ij λ r + x i µ i r µ p