Nochmal: Indifferenzwahrscheinlichkeiten und Nutzenfunktion Reihung: Selbständigkeit Erfolg Geschäftsführer Vorstandsassistent Insolvenz

Transkript

1 Nochmal: Indifferenzwahrscheinlichkeiten und Nutzenfunktion Reihung: Selbständigkeit Erfolg Geschäftsführer Vorstandsassistent Insolvenz Ref.-L.1: Selbst. Erfolg Sicher (300000) π = 1 1-π = 0 Selbständigkeit Erfolg π = 0.8 Insolvenz Geschäftsführer (150000) 1-π = 0.2 π = 0.5 Selbständigkeit Erfolg Insolvenz 1

2 Referenzlotterie 3 und 4 π =0.4 π =0.166 Vorstands- Assistent (50000) 1-π =0.6 Selbständigkeit Erfolg π = 0 Insolvenz Ref.-L. 4 Insolvenz (0) 1-π = 1 Selbständigkeit Erfolg Insolvenz 2

3 Welche Nutzenfunktion folgt aus den Indifferenzwahrscheinlichkeiten? Resultate und Nutzenwerte Nutzenwerte Resultate Konvexe Nutzenfunktion Konkave Nutzenfunktion Lineare Nutzenfunktion 3

4 Die Indifferenzwahrscheinlichkeiten π aus den Referenzlotterien sind Nutzenwerte. Unsere konkave Nutzenwerte: risikoaverser Entscheider Π = [0, 0.4, 0.8, 1] U(x) Unsere linearen Nutzenwerte (Indifferenzwahrscheinlichkeiten): Risikoneutraler Entscheider Π = [0, 1/6, 0.5, 1] U(x) Unsere konvexen Nutzenwerte (Indifferenzwahrscheinlichkeiten): Π = [0, 0.08, 0.35, 1] U(x) Diese Nutzenwerte werden gewichtet mit ihren faktischen Eintrittswahrscheinlichkeiten q: Erwartungsnutzen 4

5 Beispiele von Nutzenfunktionen Positive monotone Transformationen der Indifferenzwahrscheinlichkeiten Konvex: Risikofreude Konkav: Risikoaversion Linear: Risikoneutralität 5

6 Arten der Risikoeinstellung z 6

7 Weitere Analyse der Risikoeinstellung: Untersuchung des Zusammenhang zwischen Risikoeinstellung und persönlichem Reichtum für konkrete Nutzenfunktionen (und deren positive Lineartransformationen) Ermittlung der Risikokennzahlen absolute Risikoaversion (ARA) und relative Risikoaversion (RRA) 7

8 Definition von ARA oder Definition von RRA 8

9 ARA: Maßzahl für den Zusammenhang zwischen Risikoeinstellung und absoluter Höhe des riskant angelegten Betrags in unserem gesamten Vermögensportfolio Beispiel Ausgangsportfolio: Gesamtportfolio = 1 Mio Euro Riskant angelegter Betrag: Sicher angelegter Betrag: ARA bezieht sich auf den absoluten Betrag 9

10 RRA: Maßzahl für den Zusammenhang zwischen Risikoeinstellung und Anteil des riskant angelegten Betrags in unserem gesamten Vermögensportfolio Beispiel: Gesamtportfolio = 1 Mio Euro Riskant angelegter Betrag: ¼ = Sicher angelegter Betrag: ¾ = RRA bezieht sich auf den riskanten Anteil 10

11 Anwendung der beiden Kennzahlen (Arrow-Pratt-Masse) Ableitung der Kennzahlen geben Antwort auf die Frage, wie sich die riskant angelegte Summe (der riskante angelegte Anteil) im Vermögensportfolio verändert, wenn sich das Vermögen verändert. Absolute Risikoaversion 11

12 Anwendung der beiden Kennzahlen: 1. ARA Beispiel: Gesamtportfolio = 1,2 Mio Euro (1 Mio) = Vermögenszunahme um Zunehmende absolute Risikoaversion Riskant angelegter Betrag: ( ) Sicher angelegter Betrag: ( ) Konstante absolute Risikoaversion Riskant angelegter Betrag: Sicher angelegter Betrag: Abnehmende absolute Risikoaversion Riskant angelegter Betrag: Sicher angelegter Betrag:

13 Relative Risikoaversion d RRA/d x Veränderung der RRA Riskant angelegter Vermögensanteil 13

14 Beispiel: Gesamtportfolio = 1,2 Mio Euro (Zunahme um ) Zunehmende relative Risikoaversion Riskant angelegter Anteil: 1/5 = Sicher angelegter Betrag: 4/5 = Konstante relative Risikoaversion Riskant angelegter Anteil: ¼ = Sicher angelegter Betrag: ¾ = Abnehmende relative Risikoaversion Riskant angelegter Betrag: 1/3 = Sicher angelegter Betrag: 2/3 = Zunehmende und konstante absolute Risikoaversion implizieren zunehmende relative Risikoaversion. 14

15 Bisher rationale Entscheidungen unter Unsicherheit nach dem Bernoulli-Prinzip: Nutzenfunktion abgeleitet aus Indifferenzwahrscheinlichkeiten Nun: eine andere Art der Nutzenfunktion Klassische Entscheidungsregeln Investoren, die auf der Grundlage dieser Regeln entscheiden, praktizieren (unter bestimmten Bedingungen) einen eher pragmatischen Umgang mit unsicheren Resultaten. 15

16 Eine andere Art der Nutzenfunktion Klassische Entscheidungsregeln Investoren gehen davon aus, daß Verteilungen durch besondere Kennzahlen, wie Erwartungswert und Varianz zu beschreiben sind. Als Argumente in der Nutzenfunktion des Individuums steuern diese Kennzahlen die Auswahl der besten Verteilung. Frage: Sind Bernoulli Prinzip und klassisches Erwartungswert Varianz Kriterium miteinander vereinbar? Wenn ja, dann gründet auch die Erwartungswert/Varianz Nutzenfunktion auf Axiomen, die Konsistenz und Widerspruchsfreiheit sichern. 16

17 Vereinbarkeit 1. Quadratische Nutzenfunktion vom Typ 2. Lineare Nutzenfunktion vom Typ 3. Resultate sind normalverteilt 17

18 Plausibilitätsdefizite quadratischer Nutzenfunktionen 1. Quadratische Nutzenfunktionen können nur verwendet werden, wenn die Annahme getroffen wird, dass der Definitionsbereich möglicher Konsumgüterverteilungen im Bereich der Nichtsättigung liegt. Bei der Nutzenfunktion muss z.b. unterstellt werden, dass x<b/2a da ansonsten der Grenznutzen negativ wird. 2. Es ergibt sich d ARA/dx > 0, d.h. mit zunehmendem Vermögen sinkt der riskant angelegte Absolutbetrag. 18

19 Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen Geht das? Antwort ja, wenn Arbitragefreiheit herrscht. Bewertung unter der Prämisse der Arbitragefreiheit Vorbereitung auf die arbitragefreie Bewertung unter Unsicherheit anhand eines Beispiels Drei Titel A,B,C werden auf dem Markt gehandelt. Es gibt in der Zukunft drei mögliche Zustände der Welt Z 1, Z 2, Z

20 Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen. Ihr jetziges Vermögen beträgt 4761,50 Euro. Sie möchten in der zukünftigen Periode folgende zustandsabhängige Einkommen erzielen: Z 1 : 3015 Euro, Z 2 : 2105 Euro und Z 3 : 3535 Euro. Wie hoch muss der Rückfluss von C im Zustand 3 sein, wenn der Markt arbitragefrei ist? Ist der Markt auch arbitragefrei, wenn Kassenhaltung möglich ist? 20

21 Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen Bewertung unter der Prämisse der Arbitragefreiheit Notation: Zwei Zeitpunkte Modell: t=0 und t=1 In t=1 können mehrere unsichere Zustände Z S eintreten. Es existiert ein Kapitalmarkt auf dem so viele Finanztitel J gehandelt werden wie Zustände eintreten (d.h. vollständiger Kapitalmarkt) Jeder Finanztitel j wirft in t=1 den Cashflow X js = {X J1 X js } ab. Der Preis des Finanztitels j beträgt p(x j ). Kauf von n Finanztiteln vom Typ j: n p(x j ) Kauf eines Portfolios aus mehreren Wertpapieren von Typ j: J! p( n X ) 1 j j 21

22 Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen Annahmen: Homogene Erwartungen Alle Marktteilnehmer sind sich einig über die in den einzelen Zuständen eintreffenden Zahlungen Alle Marktteilnehmer sind sich einig über die eintretenden Zustände und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten. 22

23 Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen Annahmen fortg. : Reibungsloser Markt Beliebige Teilbarkeiten, Keine Transaktionskosten und Steuern, keine Marktzutrittsbeschränkungen, Zulässigkeit von Leerverkäufen. Kompetitiver Markt Marktteilnehmer sind Mengenanpasser. Keine Arbitragegelegenheiten Pure Transaktionen in existierenden Finanztiteln sind wertneutral.. 23

24 Anwesenheit von Arbitragegelegenheiten: Sichere Einnahmen, die nichts oder weniger als nichts kosten Wahrscheinlich Einnahmen, die weniger als nichts kosten Positive Mindesteinnahmen mit negativem Preis Preissumme der Finanztitel bei Einzelkauf ist ungleich Preis eines Portfolios, das die gleichen Rückflüsse abwirft. 24

25 Prüfung auf Abwesenheit von Arbitragegelegenheiten Vorbereitungen: Reine Wertpapiere bei Unsicherheit Reines Wertpapier ist ein Finanztitel, der in nur einem Zustand genau eine Geldeinheit als Rückfluss gewährt; in allen anderen Zuständen nichts. 25

26 Reine Wertpapiere unter Unsicherheit Beispiel: Zwei Zustände up und down Typ 1:! 1 1 (u) 0 (d) Typ 2:! 2 0 (u) 1 (d) 26

27 Duplikation von Finanztiteln mit reinen Wertpapieren Finanztitel: X j = {200, 50, 100} Duplikation dieses Finanztitels mit einem Portfolio aus reinen Wertpapieren (Arrow-Debreu-Papieren)? Duplikation eines sicheren Finanztitels mit einem Portfolio aus reinen Wertpapieren? 27

28 Rückkehr zum Beispiel Bewertung unter der Prämisse der Arbitragefreiheit Ihr jetziges Vermögen beträgt 4761,50 Euro. Sie möchten in der zukünftigen Periode folgende zustandsabhängige Einkommen erzielen: Z 1 : 3015 Euro, Z 2 : 2105 Euro und Z 3 : 3535 Euro. Wie gehen Sie auf einem arbitragefreien Markt vor.. 28

29 Gleichungssystem zur Bestimmung des fehlenden zustandsabhängigen Cashflows 29