Übung zu Kapitalmarkttheorie II

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1 Übung zu Kapitalmarkttheorie II Marina Markheim Lehrstuhl für Theoretische Volkswirtschaftslehre Prof. Dr. Lutz Arnold Universität Regensburg Tel: Raum RW(L)407 WS 05/06

2 WIEDERHOLUNG Aufgabe : Gegeben sind drei Firmen mit folgenden Mengen und Preisen, die zu Ihrem Aktienportfolio hinzugefügt werden: Titel Anzahl Aktien Preis je Aktie Bank AG 5 54,88 Autoindustrie 0 45,44 Versicherungsgesellschaft 5 90,50 a) Ermitteln Sie je einen Mengen- und Preisvektor. b) Ermitteln Sie anschließend die Gesamtkosten Ihrer Transaktion. Aufgabe : Gegeben sind folgende Matrix bzw. Vektor: A = ; x = x x x (a) Ermitteln Sie das Produkt Ax=b. Berechnen Sie die Determinante und die Inverse von der Matrix A. Falls nötig, wiederholen Sie die grundlegenden Rechenregeln der Matrixmultiplikation. (b) Ermitteln Sie das Produkt aus der Matrix A und dem Vektor x: A = ,5 ; x = (c) Drücken Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Vektorschreibweise aus und lösen Sie es: 6x + x + x = x + 4x + x = 4x 4x + 5x = 0

3 Aufgabe : Sie wollen bei Ihrem wöchentlichen Einkauf folgende Güter mit den jeweiligen Mengen und Preisen erwerben: Anzahl Preis pro Stück Zahnpasta,5 Gurke Tomate 0,5 Semmel 4 0,5 Wiener Flasche Bier 8,0 Packung Chips,0 Tiefkühlpizza 4 Fußball Magazin,90 Packung Käse,0 a) Erstellen Sie einen Mengenvektor und einen korrespondierenden Preisvektor. b) Geben Sie den Preis des gesamten Einkaufs an:. in Summenschreibweise,. in Vektorschreibweise an. Aufgabe 4: Wiederholen Sie das Konzept der vollständigen Induktion. Aufgabe 5: Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N gilt n (k ) = n () k= n k= k = n (n + ) 4 () n k k = (n ) n+ +. () k=

4 Aufgabe 6: Wiederholen Sie die Konzepte: a) der Indifferenzenkurven und b) der Grenzrate der Substitution. c) Was ist eine Edgeworth-Box? Erläutern Sie anhand dieser Box das Konzept einer Pareto-optimalen Allokation. d) Was besagt in diesem Zusammenhang der Erste Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie? Was der Zweite? e) Diskutieren Sie Gültigkeit beider Sätze bei nicht konvexen Präferenzen. Aufgabe 7: Betrachten Sie die folgende Nutzenfunktion: U(x, x ) = x α x β (4) a) Ermitteln Sie daraus die Grenzrate der Substitution (GRS). b) Nehmen Sie an, dass x = und x = 6. Berechnen Sie GRS, wenn Sie α = und β = 0,5 unterstellen. DIE PARADOXE Aufgabe 8: (Allais Paradoxon) Es gebe drei mögliche Zustände (s, s, s ) mit den zugehörigen Payoffs ( ; ; 0) Zeigen Sie, dass das Allais-Paradoxon eine Schwäche der Erwartungsnutzentheorie aufzeigt. Um das zu zeigen, benutzen Sie dazu folgende zwei Alternativen (A, A ): A A Payoff: Payoff: L : 0% 00% 0% L : 0% % 89% L : 0% 89% % L 0% 0% 90% Aufgabe 9: (St. Petersburger Paradox): Es wird Ihnen ein Spiel mit einer faire Münze vorgeschlagen. Sie werfen die Münze solange, bis zum ersten Mal Kopf fällt. Bei jeder gefallenen Zahl erhalten Sie Euro nach der ersten Runde, Euro nach der zweiten Runde, 4 Euro nach der dritten Runde, nach der vierten Runde gleich 8 Euro usw. Beantworten Sie die folgenden Fragen: a) Wie hoch soll die Teilnahmegebühr bei diesem Spiel sein, damit die risikoneutrale Individuen daran teilnehmen? b) Zeigen Sie, wie sich anhand der Bernoulli-Nutzen Theorie dieses Paradoxon scheinbar lösen lässt. c) Warum ist diese allerdings keine wirkliche Lösung? d) Nennen Sie die weiteren Beispiele, welche die Entscheidungen unter Unsicherheit ein nicht wegzudenkendes Merkmal des täglichen Lebens darstellen. Vgl. Danthine, J.-P. und Donaldson, J.B. (00): Intermediate Financial Theory, S.-5. 4

5 KOVARIANZ Aufgabe 0: In der Vorlesung wir des Öfteren die Kovarianz zwischen zwei Variablen betrachtet. Was sagt diese Maßzahl aus.beschreiben Sie das Konzept genauer. Aufgabe : Gegeben seien zwei Assetrenditen X und Y mit vier möglichen Ausprägungen x s bzw. y s, die jeweils gleiche Wahrscheinlichkeit aufweisen (p s = 0.5). s s s s 4 x s : y s : E(x s ) : E(y s ) : x s E(x s ) : y s E(y s ) : a) Berechnen Sie die Kovarianz. b) Welche Probleme ergeben sich bei der Interpretation? Wäre der Korrelationskoeffizient besser geeignet? c) Was ist eine Kovarianzmatrix? NUTZENMAXIMIERUNG BEI ZWEI GÜTERN: Aufgabe : Beschreiben und lösen Sie allgemein das Optimierungsproblem, das sich bei beliebig gegebener Nutzenfunktion und Budgetbeschränkung ergibt. Was besagt die Optimalitätsbedingung? Betrachten Sie das folgende Beispiel: gegeben sind: p = 4; p = 6; b = 0 u(x, x ) = (x + )(x + ) (5) a) Bestimmen Sie das nutzenmaximierende Güterbündel. b) Wie lautet die Lösung für die Nutzenfunktion mit α = 0, 5; β = ; b = 80; p = ; p = 4? u = (x, x ) = x α x β (6) EDGEWORTH BOX 5

6 Aufgabe (Tauschökonomie): Gegeben seien zwei Individuen und, die jeweils zwei Güter x und y konsumieren können. Die Nutzenfunktionen der beiden Typen lauten: und U (x, y ) = x α y α (7) U (x, y ) = x β y β (8) a) Ermitteln Sie die Kontraktkurve in der Edgeworth Box zunächst allgemein. b) Setzen Sie dann α = und β = ein und interpretieren Sie die Ergebnisse. Aufgabe 4 (Spot Märkte versus Terminmärkte): Zeigen Sie, wie man die Ökonomie mit Terminmärkten (CCMs) für den Individuen Fall anhand der Edgeworth Box darstellen kann, vorausgesetzt es gilt für die Ausstattung in der ersten Periode y i t = 0 und damit c i t = 0. Um einen Vergleich herzustellen, fragen Sie sich zunächst, wie die Darstellung für Spot Märkte aussehen müsste. Aufgabe 5 (Proof of st Welfare Theorem with CCMs): Wiederholen Sie den Beweis aus dem Kapitel (Vorlesungsskript) mithilfe von Widerspruch. FINANCE ECONOMY Aufgabe 6: Gehen Sie von einem sicheren und einem riskanten Asset mit den dazugehörigen Preisen und Payoffs aus der Vorlesung aus. a) Generieren Sie für r t+ = 0,05 die Payoffs (; 0) und (0; ). b) Wie generiert man beliebige andere Payoffs (x; 0) und (0; x). Aufgabe 7 (Leerverkäufe): Liefere nun das riskante Asset in jedem Umweltzustand s =, einen positiven Payoff, d.h. x t+,s ( > 0, ) s =,. ( ) 0 Zeigen Sie, dass, um die Payoff-Vektoren und zu erhalten, Leerverkäufe 0 jeweils unumgänglich sind. Es gelte x t+, x t+,. BEISPIELE Aufgabe 8 Beispiel : Sei r t+ = 0, 05; x t+, = ; x t+, =. Ermitteln Sie, wie viele Einheiten des sicheren und des riskanten Assets jeweils gehalten werden müssen, um den Payoff-Vektor ( 5 ) zu generieren. Beispiel : Kein sicheres Asset: Nun seien zwei riskante Assets gegeben. 6

7 Illustrieren Sie, dass lineare Unabhängigkeit der Payoff-Vektoren Voraussetzung dafür ist, dass Sie die Payoffs (,0) und (0,) mit diesen Assets generieren können. Beispiel : ( ) ( 5 Gegeben seien die beiden Vektoren u = und v = 4 ( ) 5, 5 a) Ist es möglich, den Payoff-Vektor zu generieren? 5 b) Stellen Sie das Ergebnis auch grafisch dar. ). FINANZMÄRKTE Aufgabe 9 (Arrow Securities): Nehmen Sie an, dass folgende Wertpapiere mit dazugehörigen gleichgewichtigen Preisen.0 p k = 0.6 gehalten werden: 0.8 Asset =, Asset = und Asset = 0 0 a) Ermitteln Sie jeweils den Preis p t,s der drei abgebildeten Arrow Securities. b) Ist Finanzmarktvollständigkeit erreichbar, wenn es nicht möglich ist, Arrow Securities für alle s Zustände zu synthetisieren? Aufgabe 0 (Komplettierung des FM mit Optionen): In einer Öikonomie mit drei möglichen Umweltzuständen (s =,, ) ist ein Wertpapier mit folgendem Payoff-Vektor gegeben:. 5 Zudem gebe es Call-Optionen mit Ausübungspreisen (strike prices p s ) und. a) Wie lauten die Payoff-Vektoren für die beiden Optionen? z b)wie lautet das lineare Gleichungssystem, das das Portfolio z liefert, z mit dem die AS für Zustand s = nachgebildet werden kann? c) Wie lauten die Portfolios, die die anderen beiden AS nachbilden? d) Mit welchem Portfolio kann man sich eine sichere Auszahlung von sichern? e) Angenommen, dass das Wertpapier Euro: Call Euro und Call kostet 0,4 Euro kostet. Bestimmen Sie den Preis der AS für Zustand. Aufgabe : Ein beliebiges Wertpapier liefert in drei Umweltzuständen (s =,, ) den Payoff-Vektor

8 a) Mit welchen Ausübungspreisen (strike prices p s ) von Call-Optionen könnte hier die Komplettierung des Finanzmarktes erreicht werden? Wie lauten die Payoff-Vektoren der beiden Optionen? b) Beschreiben Sie in Matrixschreibweise das Problem, um eine AS für Zustand s = zu erzeugen. Wie lautet das lineare Gleichungssystem? c) Was versteht man allgemein unter Finanzmarktvollständigkeit? d) Was ist eine Call Option? e) Was versteht man unter dem strike price? Aufgabe (Arbitragefreiheit): Betrachten Sie die drei Wertpapiere aus Aufgabe 9, d.h. den zugehörigen Preisen p p p = 0,6 0,8 0 ; ; 0 mit und den zugehörigen AS-Preisen p t,s = 0. für alle Umweltzustände s. a) Erläutern Sie anhand von Arbitrageüberlegungen, ob Asset richtig bepreist ist. b) Was wäre, wenn der Preis größer bzw. kleiner als für Arbitragefreiheit nötig wäre? Aufgabe (Assetbewertung): 0.0 Asset k = 4, AS Preise: p t,s = 0.5 für alle drei Zustände und p k = Das verfügbare Einkommen beträgt 0 Einheiten. (a) Ermitteln Sie, ob das Asset korrekt bepreist ist. (b) Wie hoch wäre der mögliche Gewinn im Falle einer Fehlbepreisung? CONSUMPTION BASED ASSET PRICING Aufgabe 4 (Herleitung): Alternative Herleitung der fundamentalen Asset - Pricing - Gleichung für das riskante Asset. Gegeben sind folgende Nutzenfunktionen: und u i (c i t) = γ i (ci t) γi (9) u i (c i t+,s) = γ i (ci t+,s) γi, (0) mit c i t = y i t p t η i t bzw. c i t+,s = yi t+,s + ηi t(p t+,s + a t+,s ), wobei η i t die Menge des riskanten Assets angibt, die der Investor in t kauft. Leiten Sie die fundamentale Asset Pricing Gleichung her. 8

9 Aufgabe 5 (SDF): Gegeben sind folgende Nutzenfunktionen: Bestimmen Sie jeweils den SDF. u i (c i ) = c i a i (c i ) () u i (c i ) = ln c i () u i (c i ) = (c i ) α () u i (c i ) = γ i (ci ) γi (4) Aufgabe 6 Spezialfall : a) Welches Gleichgewicht stellt sich ein, wenn Anfangsausstattungen und Nutzenfunktionen für alle Individuen i gleich sind? b) Wie nennt man ein solches Gleichgewicht? c) Wie lautet in diesem Fall der SDF für die Nutzenfunktionen aus Aufgabe 5 für die Nutzenfunktionen () und ()? Spezialfall Random Walk: a) Zeigen Sie, dass gegeben Risikoneutralität Assetpreise einem Random Walk folgen, wenn Sie die nötigen Annahmen treffen. Was bedeutet dies für Preisvorhersagen? b) Zeigen Sie, dass p t = p 0 + t ξ t gelten muss. t= c) Angenommen ξ t iid. Bestimmen Sie E 0 (p t ) für alle t. d) Wie entwickelt sich die Varianz im Zeitablauf? e) Was bedeutet das für die Prognose des zukünftigen Assetkurses? Aufgabe 7 (Zahlenbeispiel): Sei β = 0,8 und π = π = 0, 5. und zwei nachfolgende Nutzenfunktionen:. Lineare Nutzenfunktion u i (c i ) = + c, (5) und. Power Utility im No Trade Equilibrium u(c i ) = (ci ) γ γ. (6) a) Bestimmen Sie für die beiden Nutzenfunktionen den SDF b) Bestimmen Sie für die lineare Nutzenfunktion den risikolosen Zinssatz r t+. c) Nehmen Sie für y t =, y t+, =, y t+, =,5 und γ = 0,7 an. Berechnen Sie für die zweite Nutzenfunktion (Power Utility) E t [M t;t+ ] und den risikolosen Zinssatz (r t+ ). 9

10 THE LAW OF ITERATED EXPECTATION (LIE) Aufgabe 8 (Konzept): a) Was besagt das Theorem LIE? b) Wiederholen Sie den Beweis aus der Vorlesung, in dem gezeigt wird, dass E(x σ) = E(E(x σ ) σ) gilt. c) Nennen Sie methodische Beispiele aus der Praxis, wo das LIE vorausgesetzt wird. Aufgabe 9 (Beispiel ): Gegeben sind fünf Umweltzustände S = {,,, 4, 5} und drei Zeitpunkte: T = {t 0, t, t }. Die Auszahlungen sind in der Periode t 0 sowie in t unbekannt. In der letzten Periode t wissen Sie, in welchem Umweltzustand mit welcher Auszahlung Sie sich befinden. Jedem einzelnen Elementarereignis {}; {}; {}; {4}; {5} mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten π = 0, π = 0, π = 5, π 4 = 5, π 5 = 5 entsprechen die Auszahlungen {00}, {50}, {00}, {00}, {50}. Es gilt 5 π s =. In t gibt es zwei Informationsmengen: σ = {,, } und σ = {4, 5} mit π σ = 5 und π σ = 5. In t liegt eine totale Partitionierung vor. a) Welche (falls es möglich berechnen Sie auch wie viel) Partitionierungen von S sind in diesem Beispiel möglich? b) Stellen Sie die Angaben dieses Beispiels graphisch dar. c) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E(x σ). d) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E[E(x σ ) σ)] in drei Schritten. e)vergleichen Sie und interpretieren Sie die Ergebnisse aus TA (c und d). Aufgabe 0 (Beispiel ): Gegeben sind fünf Umweltzustände S = {,,, 4, 5, 6} und drei Zeitpunkte: T = {t 0, t, t, t }. Die Auszahlungen sind in der Periode t 0 sowie in t unbekannt. Die Auszahlungen sind nur in der letzten Periode t bekannt. Jedem einzelnen Elementarereignis {}; {}; {}; {4}; {5}{6}; mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten π s = 6 für alle Zustände s [...6] entsprechen die Auszahlungen {6}, {}, {8}, {4}, {0}, {6}. Es gilt 5 π s =. In t gibt es zwei Informationsmengen: σ = {,,, 4} und σ = {5, 6} mit π σ = 4 6 und π σ = 6. In t gibt es vier Informationsmengen: σ = {, }, σ = {, 4}, σ = {5} und σ 4 = {6}. In t liegt eine totale Partitionierung vor. a) Welche (falls es möglich berechnen Sie auch wie viel) Partitionierungen von S sind in diesem Beispiel möglich? b) Stellen Sie die Angaben dieses Beispiels graphisch dar. c) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E(x σ). 0

11 d) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E[E(x σ ) σ)] ( Zwischenschritte sind dabei sehr hilfreich). e) Vergleichen Sie und interpretieren Sie die Ergebnisse aus TA (c und d) Aufgabe (Asset Pricing Gleichung): a) Schreiben Sie die fundamentale AP Gleichung auf. b) Stellen Sie die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit q s in Abhängigkeit von SDF (M t,t+,s ), subjektiver Wahrscheinlichkeit π s und dem sicheren Zinssatz ( + r t+ ) auf. c) Bestimmen Sie q s für die Nutzenfunktion eines risikoneutralen Marktteilnehmers, d.h. SDF=. d) Formulieren Sie die fundamentale AP Gleichung in Abhängigkeit von q s. e) Gehen Sie von einer beliebigen Nutzenfunktion aus, wie zum Beispiel in den Gleichungen 9, und beschrieben wird und bestimmen Sie q s.