Lösungshinweise für die Klausur. Finanzwirtschaft I

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1 Prof. Dr. Siegfried Trautmann Lehrstuhl für Finanzwirtschaft / FB 03 Johannes Gutenberg-Universität Mainz Lösungshinweise für die Klausur zur Vorlesung Finanzwirtschaft I (040 WS 2003/ Februar 2004 Lösung Aufgabe (Entscheidung bei Sicherheit a ZF: U(x, x 2, x 3, x 4, d d 2 Max NB: 80x + 50x x x 4 + y A 0 y B 0 400, 60x 30x 2 90x 3 20x 4, y A 0 +, 2y B 0 + y A y B 0, 40x 20x 2 40x 3 20x 4, y A +, 2y B + d 2 0, 0 x, x 2, x 3, x 4, d 2 0. b Der endogene Kalkulationszinsfuß rt end eines Investitions- und Finanzierungsprogramms in Periode t ist derjenige Zinsfuß, auf dessen Basis die Kapitalwertregel das optimale I&F-Programm liefert: rt end ˆπt ˆπ t+ für t 0,..., T, wobei ˆπ t und ˆπ t+ endogene Aufzinsungsfaktoren sind. Der interne Zinsfuß einer Investition ist derjenige Zinsfuß r, bei dessen Verwendung als Kalkulationszinfuß der Kapitalwert dieser Investition Null ist. Der endogene Kalkulationszinsfuß im Einperiodenfall ist der interne Zinsfuß der letzten gerade noch durchgeführten Investitionsmaßnahme bzw. der letzten gerade noch akzeptierten Finanzierungsmaßnahme. (Im Einperiodenfall kann der interne Zinsfuß der letzten gerade noch durchgeführten

2 Investitionsmaßnahme der endogene Kalkulationszinsfuß sein. Der exogene Kalkulationszinsfuß r e ist die Rendite alternativer Kapitalverwendungsmöglichkeiten des repräsentativen Anteilseigners. Im Einperiodenfall stimmt der exogene KZF mit dem endogenen KZF überein, wenn der erste der Rendite der letzten gerade noch akzeptierten Finanzierungsmaßnahme entspricht. c Die Geldaufnahmebeschränkung in t0 ist nicht restriktiv ( <400. Die überschüssigen Finanzmittel können in t0 und in t zu einem Zinssatz von 0% angelegt werden, d.h. die Schattenpreise für knappe Ressourcen sind wie folgt: ˆπ 0, 2, ˆπ,, ˆπ 2. Die Endwerte der Investitions- und Finanzierungsmaßnahmen: EW (I 80, , , 2 > 0, EW (I 2 50, , , 5 < 0, EW (I 3 80, , , 2 > 0, EW (I 4 00, , > 0, EW (F A 0, 2 +,, 0, EW (F B 0, 2, 2, 0, < 0, EW (F A, +, 0, EW (F B,, 2 0, < 0. Das optimale Investionsprogramm: (ˆx, ˆx 2, ˆx 3, ˆx 4, ŷ0 A, ŷ0 B, ŷ A, ŷ B (, 0,,, 40, 0, 324, 0. Der optimale Zielfunktionswert: , + ˆd 2 0, ˆd 2 556, 4. Der endogene Kalkulationszinsfuß: r0 end r0 A 0%, r end r A 0%. d Weil die Investitions- und Finanzierungsalternativen beliebig teilbar sind und der Investor das Ziel Endwertmaximierung verfolgt > Eigenschaft.8 (Starke Dualität: d.h. 556,4 (400*,2+9,2+42,2+2. e Die komplementären Schlupfbeziehungen: ˆπ 0 (400 80ˆx 50ˆx 2 80ˆx 3 00ˆx 4 ŷ A 0 + ŷ B 0 0, ˆπ (0 + 60ˆx + 30ˆx ˆx ˆx 4 +, ŷ A 0, 2ŷ B 0 + ŷ A ŷ B 0, ˆπ 2 (0 ( 40ˆx 20ˆx 2 40ˆx 3 20ˆx 4 +, ŷ A, 2ŷ B + ˆd 2 0, ˆx ( 80ˆπ ˆπ + 40ˆπ 2 + ˆv 0, ˆx 2 ( 50ˆπ ˆπ + 20ˆπ 2 + ˆv 2 0, ˆx 3 ( 80ˆπ ˆπ + 40ˆπ 2 + ˆv 3 0,

3 ˆx 4 ( 00ˆπ ˆπ + 20ˆπ 2 + ˆv 4 0, ŷ0 A (ˆπ 0, ˆπ + 0ˆπ 2 + ŵ 0, ŷ A (0ˆπ 0 + ˆπ, ˆπ 2 + ŵ 2 0, ŷ0 B ( ˆπ 0 +, 2ˆπ + 0ˆπ 2 + ŵ 3 0, ŷ B (0ˆπ 0 ˆπ +, 2ˆπ 2 + ŵ 4 0, ˆv ( ˆx 0, ˆv 2 ( ˆx 2 0, ˆv 3 ( ˆx 3 0, ˆv 4 ( ˆx 4 0. Überprüfung: Die optimalen Werte ((ˆx, ˆx 2, ˆx 3, ˆx 4, ŷ A 0, ŷ B 0, ŷ A, ŷ B (, 0,,, 40, 0, 324, 0 und ˆπ (, 2;, ; in die obigen BD einsetzen, ˆv i ausrechnen > alle komplementären Schlupfbeziehungen sind erfüllt. Lösung Aufgabe 2 (Konvexe Optimierungsprobleme a ZF d 3 Max NB: 6x 2 + 6x x + 4x 2 6 6x + 4x x 22x 2 + d 3 0 x, x 2, d 3 0 Wegen d 3 d 3 0 und d 3 > 0 lässt sich dies umformen zu ZF: 26x + 22x 2 Max NB: 6x 2 + 6x x + 4x 2 6 6x + 4x 2 8 x, x 2 0 Gradient zur. NB: (2x, 2x 2 ( 2 0 Hesse-Matrix zur. NB: 0 2, Hauptminoren: 2 und 44 Alle Hauptminoren sind positiv und somit ist die. NB konvex. ZF sowie 2. und 3. NB sind linear. Somit handelt es sich um ein konvexes Optimierungsproblem.

4 8 b NB: x 2 3 x2 NB2: x x NB3: x x Optimale Lösung ist Schnittpunkt der Gleichungen zu NB2 und NB3: ( x, x 2 (0, 5;, 25 ẐF 40, 5 c Die Slater-Bedingung für die nichtlineare NB ist für (0,5; 0,5 erfüllt: 6 0, , < 6 Die Lagrangefunktion lautet: L(x, x 2, u, u 2, u 3 26x + 22x 2 + u (6 6x 2 6x u 2 (6 2x 4x 2 + u 3 (8 6x 4x 2 Da die. NB für die Optimallösung nicht bindend ist, erhalten wir mit der KT-Komplementärbedingung û u 0, dass û 0 gilt. Aus den Komplementärbedingungen x x ( x, û x (26 2û 2 6û 3 0, 5(26 2û 2 6û 3 0 x 2 x 2 ( x, û x 2 (22 4û 2 4û 3, 25(22 4û 2 4û 3 0 erhält man ein Gleichungssystem mit Lösung (û 2, û 3 (, 75; 3, 75. Damit überprüft man die KT-Bedingungen: i x , , x , , ii erfüllt wegen i iii x, x 2 0 iv u 6 6 0, 5 2 6, , 25 > 0 u , 5 4, u , 5 4, v erfüllt wegen iv und û 0 vi u, u 2, u 3 0 Da alle Kuhn-Tucker-Bedingungen erfüllt sind, ist ( x, x 2 (0, 5;, 25 die optimale Lösung. Lösung Aufgabe 3 (Entscheidung bei Unsicherheit a Da es bekannt ist, daß der Investor gierig ist, kann die FSD-Regel angewendet werden (u (z > 0. Gemäß dieser Regel werden die Investitionsalternativen, 2, 5, 6 und 8 von Alternativen 3, 4 und 7 dominiert.

5 b V ar(r 4 > V ar(r 7 > V ar(r 3. c Der Investor ist risikoavers, da u (z αexp( αz > 0 und u (z α 2 exp( αz < 0 -> es kann also die SSD-Regel angewendet werden. Gemäß der SSD-Regel (betrachte die Flächen unterhalb der Investitionsalternativen und vergleiche sie miteinander werden die Investitionen 4 und 7 von Investition 3 dominiert. d Bei einer RNF mit CARA, wie z.b. bei einer exponentiellen RNF, und bei normalverteilten Rückflüssen. e Erwartungswert der unsicheren Alternative null ist, ist die vom Investor geforderte Risikoprämie näherungsweise proportional zum Arrow-Pratt-Maß für die absolute Risikoaversion: Lösung Aufgabe 4 (Portfoliotheorie π(ω, Z 2 σ2 u (ω u (ω. a Die Tobin-Separation (auch als One-Fund-Theorem bekannt besagt, daß eine Portefeuilleauswahlentscheidung in zwei Schritten durchgeführt werden kann:. Schritt: Ermittlung des optimalen risikobehafteten Portfolios, welches unabhängig ist vom Grad der Risikoaversion des Entscheiders (bzw. des Tangentialportefeuilles zu r f. 2. Schritt: Auswahl des (individuell optimalen Mischportfolios, bestehend aus risikoloser Geldanlage bzw. -aufnahme und dem risikobehafteten Portfolio aus Schritt. Die Two-Fund-Separation besagt, daß ein Randportefeuille aus einer linearen Kombination von zwei beliebigen, aber nicht identischen Randportefeuilles erzeugt werden kann. Es liegt in diesem Fall keine risikolose Geldanlagebzw. aufnahmemöglichkeit vor. b. Ansatz: Um das Portefeuille zu erhalten, das bei der vorgebenen erwarteten Rendite µ P das minimale Risiko besitzt, ist die Lagrange-Funktion L(x, λ 2 x Vx + λ((µ P r f x (µ r f

6 zu minimieren. Die Lösung der LF x muß die folgenden Optimalitätsbedingungen erfüllen: x ( x, λ V x λ(µ r f 0, λ ( x, λ (µ P r f x (µ r f 0 Da die Kovarianzmatrix V regulär ist, kann die erste Optimalitätsbedingung durch Multiplikation von V auf beiden Seiten der Gleichung nach x aufgelöst werden: x V λ(µ r f 0. Durch Multiplikation der beiden Seiten der obigen Gleichung mit λ Substitution y x erhält man λ und y V (µ r f y ( 0, 5, 5 2, 5 0, 0, 05 0, 2 0, 05 0, 3 0, 05 0, 05 0, 5 0, 25 Bestimmung der relativen Anteile der Wertpapiere A, B und C am Tangentialportefeuille T : x T y A + y B + y C y

7 x T ( ( 0, 5, 5 2, 5 /9 3/9 5/9 4, 5 Bestimmung der Rendite des Tangentialportefeuilles: µ T x T µ ( /9 3/9 5/9 0, 2 4 0, 0, 2 0, 3 Die Rendite des Portefeuilles P setzt sich aus der Rendite des Tangentialportefeuilles und der der risikolosen Anlage wie folgt zusammen: µ P x P T µ T + x P r f r f Daraus ergibt sich für die Anteile der risikolosen Anlage und des Tangentialportefeuilles am Portefeuille P : x P r f µ P µ T r f µ T 0, 5 0, 24 0, 05 0, 24 0, 4856, x P T x P r f 0, 544. Bestimmung der relativen Anteile der Wertpapiere A, B und C am Portefeuille P : x P x P T x T x P 0, 544x T 0, 544 /9 3/9 5/9 0, , 75 0, Ansatz: ( Bestimmung der Informationsmatrix und ihrer Inversen:

8 A (µ V (µ ( 0, 0, 0, 2 0, 3 V 0, 2 0, 3 ( 0 0, 0, 2 0, ( (, 4 6 a b 6 30 b c ( ( A c b c b det A b a ac b 2 b a ( ( , 4 7/30 (2 Bestimmung der erwarteten Rendite des Tangentialportefeuilles T : (Eigenschaft 5A.3 r f µ Z a bµ T b cµ T, 0, 05 µ Z, 4 6µ T 6 30µ T, µ T 0, 2 4. (3 Bestimmung der Zusammensetzung des Tangentialportefeuilles T : (Eigenschaft 5A. ( x T V (µ A µt }{{} unabhängig von RandPFP V (µ A ( ( 5 7/30 5 4/3 0 /3 5 2/3 x T V (µ A ( µt 5 4/3 0 /3 5 2/3 ( 0, 24 /9 3/9 5/9

9 (4 Bestimmung der Zusammensetzung des Portefeuilles P aus Tangentialportefeuille T und der risikolosen Anlage: 0, 5 x P T 0, x P r f 0, 05 Daraus ergibt sich für die relativen Anteile der risikolosen Anlage und des Tangentialportefeuilles am Portefeuille P : x P r f µ P µ T r f µ T 0, 5 0, 24 0, 05 0, 24 0, 4856, x P T x P r f 0, 544. (5 Bestimmung der relativen Anteile der Wertpapiere A, B und C am Portefeuille P : x P x P T x T c Siehe Skript. Oder: x P 0, 544x T 0, 544 /9 3/9 5/9 0, , 74 0, 2858 Es werde der Vermögensanteil α in das Randportefeuille P und der Rest, ( α, in das Randportefeuille Q investiert. Der Erwartungswert der Rendite des resultierenden Portefeuilles R beträgt: Die Struktur des Portefeuilles R: µ R αµ P + ( αµ Q. x R αx p + ( αx Q ( ( αv (µ A µp + ( αv (µ A µq ( ( V (µ A µp µq (α + ( α ( V (µ A αµp + ( αµ Q α + ( α ( V (µ A µr

10 Das Portefeuille R erfüllt die Eigenschaft 5A. und ist also auch ein Randportefeuille. Fazit: Jedes beliebige Randportefeuille kann durch eine lineare Kombination zweier beliebiger, nicht identischer Randportefeuilles erzeugt werden. d Vorteile des Marktmodells: ( Der geringere Schätzaufwand der Inputdaten, da die Kovarianzen der WP-Renditen nicht geschätzt werden müssen. (2 Der geringere Rechenaufwand. Nachteil(e des Martkmodells: Gefahr der zu starken Vereinfachung, da eine Beschränkung auf nur einen renditebestimmenden Faktor vorgenommen wird. Dabei können wichtige Beziehungen zwischen den Wertpapierrenditen vernachlässigt werden, die jedoch im Modell von Markowitz durch die Kovarianzen zwischen den einzelnen Renditen erfasst werden.