Beispiel 6 (Multivariate Normalverteilung)

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1 Beispiel 6 (Multivariate Normalverteilung) Sei X N(µ,Σ). Es existiert eine Matrix A IR d k, sodass X d = µ+az wobei Z N k (0,I) und AA T = Σ. Weiters gilt Z = RS wobei S ein gleichmäßig verteilter Zufallsvektor in S k 1 ist und R 2 χ 2 k. Daraus folgt X d = µ+ras und daher X E d (µ,σ,ψ) mit ψ(x) = exp{ x/2}. Beispiel 7 (Multivariate normal variance mixture) Sei Z N d (0,I) ein normal-verteilter Zufallsvektor. Z ist sphärischverteilt mit stochastischer Darstellung Z d = VS wobei V 2 = Z 2 χ 2 d. Sei X = µ+w AZ eine Varianz-gemischte Normalverteilung. Dann gilt X = d µ + VWAS wobei V 2 χ 2 d und VW eine nicht-negative von S unabhängige ZV ist. D.h., X ist elliptisch verteilt mit R = VW. 17

2 Theorem 5 (Eigenschaften der elliptischen Verteilung) Sei X E k (µ,σ,ψ). X hat folgende Eigenschaften: Lineare Kombinationen: Für B IR k d und b IR k gilt: Randverteilungen: ( Setze X T = X (1)T,X (2)T) für BX +b E k (Bµ+b,BΣB T,ψ). X (1)T = (X 1,X 2,...,X n ) T und X (2)T = (X n+1,x n+2,...,x k ) T und analog ( ( ) µ T = µ (1)T,µ (2)T) Σ (1,1) Σ sowie Σ = (1,2) Σ (2,1) Σ (2,2). Es gilt dann ) ) X 1 N n (µ (1),Σ (1,1),ψ und X 2 N k n (µ (2),Σ (2,2),ψ. 18

3 Bedingte Verteilungen: Wenn Σ regulär, dann ist auch die bedingte Verteilung X (2) X (1) = x (1) elliptisch verteilt: X (2) X (1) = x (1) N k n ( µ (2,1),Σ (22,1), ψ ) wobei µ (2,1) = µ (2) +Σ (2,1) ( Σ (1,1) ) 1 ( x (1) µ (1) ) und Σ (22,1) = Σ (2,2) Σ (2,1) (Σ (1,1) ) 1Σ (1,2). Typischerwise sind ψ und ψ unterschiedlich (siehe Fang, Katz und Ng 1987). 19

4 Quadratische Formen: Wenn Σ regulär, dann gilt D 2 = (X µ) T Σ 1 (X µ) R 2. wobei R die nicht-negative ZV aus der stochastischen Darstellung ) Y = RS der spherischen Verteilung Y mit S U (S (d 1) und X = µ+ay ist. Die Zufallsvariable D heißt Mahalanobis Distanz. Faltung: Seien X E k (µ,σ,ψ) und Y E k ( µ,σ, ψ) zwei unabhängige Zufallsvektoren. Es gilt dann X +Y E k (µ+ µ,σ, ψ) wobei ψ = ψ ψ. Achtung: Σ muss i.a. dieselbe für X und Y sein. Anmerkung: Aus X E k (µ,i k,ψ) folgt nicht, dass die Komponenten von X unabhängig sind. Die Komponenten von X sind dann und nur dann unabhängig wenn X multivariat normalverteilt mit der Einheitsmatrix als Kovarianzmatrix ist. 20

5 Koherente Risikomaße Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ereignismenge Ω, Ereignisalgebra F und Wahrscheinlichkeitsmaß P. Sei L (0) (Ω,F,P) die Menge aller Zufallsgrößen aus (Ω,F), die fast sicher endlich sind. Sei M L (0). Sei ρ:m IR ein Risikomaß in M Definition 6 Ein Risikomaß ρ, das folgende Eigenschaften besitzt, heißt koherent auf M: (C1) Invarianz bzgl. Translation: ρ(x +r) = ρ(x)+r, für jede Konstante r und jedes X M. (C2) Subadditivität: X 1,X 2 M gilt ρ(x 1 +X 2 ) ρ(x 1 )+ρ(x 2 ). (C3) Positive Homogenität: ρ(λx) = λρ(x), λ 0, X M. (C4) Monotonie: X 1,X 2 M gilt X 1 f.s. X 2 = ρ(x 1 ) ρ(x 2 ). 21

6 Konvexe Risikomaße Betrachte die Eigenschaft (C5) Konvexität: X 1,X 2 M, λ [0,1] gilt ρ(λx 1 +(1 λ)x 2 ) λρ(x 1 )+(1 λ)ρ(x 2 ). (C5) ist schwächer als (C2) und (C3), d.h. (C2) und (C3) zusammen implizieren (C5) aber nicht umgekehrt. Definition 7 Ein Risikomaß ρ, das die Eigenschaften (C1),(C4) und (C5) besitzt, heißt konvex auf M. Beobachtung: VaR ist i.a. nicht koherent Sei das Wahrscheinlichkeitsmaß P durch einer beliebigen kontinuierlichen oder diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung F definiert. VaR α (F) = F (α) besitzt die Eigenschaften (C1), (C3) und (C4), jedoch i.a. nicht die Subadditivität 22

7 Beispiel 8 Sei das Wahrscheinlichkeitsmaß P durch die Binomialverteilung B(p,n) für n IN, p (0,1), definiert. Wir zeigen: VaR α (B(p,n)) ist nicht subadditiv. ZB.: Berechnen Sie den VaR der Verluste eines Bond-Portfolios bestehend aus 100 Bonds, die unabhängig von einander mit Wahrscheinlichkeit p defaultieren. Beobachten Sie, dass dieser Wert größer als das Hunderfache des VaRs des Verlustes eines einzigen Bonds ist. Theorem 6 Sei (Ω,F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und M L (0) (Ω,F,P) die Menge aller in (Ω,F,P) definierten Zufallsvariablen mit einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung F. CVaR α ist eine koherentes Risikomaß in M, α (0,1). 23

8 Elliptische Verteilungen und Portfoliooptimierung Ein Investor möchte in d (risikoreichen) Assets investieren. Sei X = (X 1,X 2,...,X d ) T der Zufallsvektor der Asset-Returns mit E(X) = µ und Cov(X) = Σ. Sei P die Klasse aller Portfolios bestehend aus den obigen d Aktien. Jedes (long-short) Portfolio aus P ist eindeutig durch den Gewichtsvektor w = (w i ) IR d definiert. w i > 0 enstpricht einer Long- Investition und w i < 0 entspricht einer Short-Investition. Daher: d P = { w = (w i ) IR d : i=1 } w i = 1 Die Portfoliorendite ist die Zufallsvariable Z(w) = d i=1 w ix i. Die erwartete Portfoliorendite: E(Z(w)) = w T µ. Es gelte X E d (µ,σ,ψ) mit E(Xk 2 ) < und Σ = cov(x). Sei P m die Klasse jener PF aus P sodass E(Z(w)) = m, m IR, m > 0. d P m = {w = (w i ) IR d, w i = 1,w T µ = m} i=1 24

9 Das Mean-Variance PF-Opt.modell (Markowitz 1952, 1987) lautet min var(z(w)) (1) w P m oder äquivalent (siehe zb. Campbell et al. (1997)) min w sodass w T Σw w T µ = m d i=1 w i = 1 Sei ρ ein Risikomaß. Das Mean-ρ PF-Optimierungsmodell lautet: min ρ(z(w)) (2) w P m Sei ρ = VaR α, α (0,1). Das Mean-VaR PF-Optimierungsmodell lautet: min VaR α (Z(w)) (3) w P m Frage: Wie hängen die Probleme (1) und (2) (insbesondere (3)) zusammen? 25

10 Theorem 7 Sei M die Menge der erwarteten Rendite der Portfolii aus P. Die Risikofaktoren, d.h. die Rendite der einzelnen Aktien seien elliptisch verteilt, X = (X 1,X 2,...,X d ) E d (µ,σ,ψ) für gegebene µ IR d, σ IR d d und ψ:ir IR. VaR α ist koherent auf M, für jedes α (0.5,1). Theorem 8 (Embrechts et al., 2002) Sei X = (X 1,X 2,...,X d ) = µ + AY elliptisch verteilt mit µ IR d, A IR d k, und einem spherisch verteilten Zufallsvektor Y S k (ψ) und 0 < E(Xk 2 ) <, k. Sei ρ ein Risikomaß, das die Eigenschaften (C1) und (C3) besitzt, und ρ(y 1 ) > 0 erfüllt, wobei Y 1 die erste Komponente des spherisch verteilten Zufallsvektors Y ist. Es gilt dann: argmin{ρ(z(w)):w P m } = argmin{var(z(w)):w P m } 26

11 Einführung in Copulas: Grundlegende Eigenschaften Definition 8 Eine d-dimensionale Copula ist eine Verteilungsfunktion auf [0,1] d deren Randverteilungen jeweils standard gleichverteilt auf [0,1] sind. Oder äquivalent: Eine Copula C ist eine Funktion C:[0,1] d [0,1], die folgende Eigenschaften hat: 1. C(u 1,u 2,...,u d ) ist mon. steigend in jeder Variable u i, 1 i d. 2. C(1,1,...,1,u k,1,...,1) = u k für jedes k {1,...,d}, u k [0,1]. 3. Folgende Ungleichung (sogenannte Rechtecksungleichung) gilt für alle (a 1,a 2,...,a d ), (b 1,b 2,...,b d ) [0,1] d mit a k b k, k {1,2,...,d}: 2 k 1 = ( 1) k 1+k k d C(u 1k1,u 2k2,...,u dkd ) 0 k d =1 wobei u j1 = a j und u j2 = b j. Anmerkung: Für 2 k d sind die k-dimensionalen Randverteilungen einer d-dimensionalen Copula wieder Copulas, k-dimensionale Copulas. 27