Dynamische Risikomaße

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1 Dynamische Risikomaße in der Unternehmenssteuerung Jochen Wolf FH Koblenz Ulm, Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

2 statische Risikomaße Agenda 1 statische Risikomaße Erinnerungen Einsatzmöglichkeiten und Grenzen 2 Allgemeine dynamische Risikomaße 3 Filtrationen - revisited 4 dynamische Risikomaße auf Produktökonomien Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

3 statische Risikomaße Erinnerungen prominente Beispiele (1) Definition Der Value at Risk zum Niveau α (0, 1) ist definiert als der minimale Verlust, der in den 100 (1 α)% der schlechtesten Szenarien entsteht: VaR α (X ) := F X (α) := inf{x R : F X (x) α}, wobei F X die Verteilungsfunktion und F X ihre Pseudoinverse ist. Definition Der Tail Value at Risk (TVaR) zum Niveau α (0, 1) ist definiert als der erwartete Verlust in den 100 (1 α)% schlechtesten Szenarien: TVaR α (X ) := E(X X > VaR α (X )) Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

4 statische Risikomaße Erinnerungen prominente Beispiele (2) Definition Der Expected Shortfall (Average Value at Risk) zum Niveau α (0, 1) ist definiert durch ES α (X ) = 1 1 VaR z (X ) dz. 1 α α Satz Es gilt mit λ α = ES α (X ) = λ α TVaR α (X ) + (1 λ α ) VaR α (X ) P(X >VaRα(X )) 1 α. Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

5 statische Risikomaße Erinnerungen prominente Beispiele (3) alternative Berechnungsmethode für den Expected Shortfall: Lemma Es sei X : Ω R eine Zufallsvariable und x R. Wir setzen 1 X,x,α = 1 {X >x} + β X,α (x) 1 {X =x}, wobei β X,α (x) = { P(X x) α P(X =x) falls P(X = x) > 0 0 sonst. Dann gilt 1 1 X,VaRα(X ),α(ω) [0, 1] für alle ω Ω, 2 E ( 1 X,VaRα(X ),α) = 1 α, 3 E ( X 1 X,VaRα(X ),α) = (1 α) ESα (X ). Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

6 statische Risikomaße Erinnerungen Axiomatik nach Artzner et al. Artzner, Delbaen, Eber und Heath (1999) begründen eine Axiomatik des Risikomaßes, die Eigenschaften eines intuitiven Risikobegriffs aufgreift. Definition Ein Risikomaß ϱ : M R heißt kohärent, falls es die folgenden Eigenschaften erfüllt: Translationsinvarianz: ϱ(x + c) = ϱ(x ) + c Monotonie: X 1 X 2 f.ü. ϱ(x 1 ) ϱ(x 2 ) X M, c R X 1, X 2 M positive Homogenität: ϱ(cx ) = cϱ(x ) X M, c R + Subadditivität: ϱ(x 1 + X 2 ) ϱ(x 1 ) + ϱ(x 2 ) X 1, X 2 M Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

7 statische Risikomaße Einsatzmöglichkeiten und Grenzen klassische Einsatzfelder Risikomaße werden eingesetzt zum Vergleich verschiedener Risiken, als Input für risikoadjustierte Erfolgsgrößen, zur Prämienberechnung, zur Ermittlung der Risikomarge versicherungstechnischer Rückstellungen, zur Ermittlung des benötigten Risikokapitals (Solvenzkapital, ökonomisches Kapital). Das ökonomische Sicherheitsniveau der Risikokapitalausstattung wird dabei durch folgende Faktoren festgelegt: Typ des Risikomaßes technisches Konfidenzniveau Zeithorizont Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

8 statische Risikomaße Einsatzmöglichkeiten und Grenzen Grenzen Die Wahl einer Periode als Zeithorizont wirft angesichts des langfristigen Charakters des Versicherungsgeschäfts Fragen auf, z.b. Risikokapitalausstattung in künftigen Perioden? (ORSA, ökonomische Steuerung) Abhängigkeiten zwischen den Perioden? Änderungen des eigenen Risikoprofils? Änderungen des Umfelds (Kapitalmarkt)? zentrale Perspektive: Informationszuwachs im Laufe der Zeit Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

9 Allgemeine dynamische Risikomaße Agenda 1 statische Risikomaße 2 Allgemeine dynamische Risikomaße 3 Filtrationen - revisited 4 dynamische Risikomaße auf Produktökonomien Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

10 Allgemeine dynamische Risikomaße Definition Definition Seien (Ω, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (F t ) t {0,...,n} eine Filtration auf Ω. Für jedes t sei M t (Ω, R) ein Vektorraum F t -messbarer Funktionen. Ein dynamisches Risikomaß ist eine Familie (ρ t ) t {0,...,n} von Abbildungen so dass gilt: ρ t : M n (Ω, R) M t (Ω, R), 1 X 1 X 2 f.s. ρ t (X 1 ) ρ t (X 2 ) f.s. (Monotonie); 2 Für K M t (Ω, R) gilt ρ t (X + K) = ρ t (X ) + K f.s. (Translationsinvarianz). Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

11 Allgemeine dynamische Risikomaße Kohärenz Definition Ein dynamisches Risikomaß (ρ t ) t {0,...,n} heißt kohärent, falls gilt: 1 ρ t (KX ) = Kρ t (X ) f.s. für alle K M t (Ω, R) mit K 0 f.s. und KX M n (Ω, R) (Homogenität); 2 ρ t (X 1 + X 2 ) ρ t (X 1 ) + ρ t (X 2 ) f.s. (Subadditivität). Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

12 Allgemeine dynamische Risikomaße Konstruktionsmöglichkeit (1) duale Darstellung Satz Sei W eine Teilmenge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (Ω, A, P) mit folgenden Eigenschaften: 1 Für jedes X M(Ω, R) und jedes Q W existiert E Q (X ). 2 Q P für alle Q W. Dann ist durch ein kohärentes Risikomaß definiert. ρ W (X ) = sup {E Q (X )} Q W Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

13 Allgemeine dynamische Risikomaße Konstruktionsmöglichkeit (2) Satz (Ω, A, P) sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und (F t ) t {0,...,n} sei eine Filtration mit F n = A. Für t {0,..., n} sei M t (Ω, R) der Vektorraum der f.s. beschränkten, F t -messbaren Funktionen. W sei eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf Ω. Dann ist die Familie von Abbildungen ρ W t : M n (Ω, R) M t (Ω, R), X ρ W t (X ) = esssup Q W E Q (X F t ) ein kohärentes, dynamisches Risikomaß. Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

14 Allgemeine dynamische Risikomaße Ist der ES problematisch? Beispiel. (Ω, A, P) = (]0, 1[ ]0, 1[, B(]0, 1[ ]0, 1[), λ 2 ) mit der Produktfiltration F 0 = {, Ω}, F 1 = {A ]0, 1[: A B(]0, 1[)}, F 2 = B(]0, 1[ ]0, 1[) Für α ]0, 1[ sei { W α = Q: Q ist ein W.maß mit Q P und dq dp 1 }. 1 α Dann gilt ρ Wα 0 (X ) = ES α (X ), ρ Wα 1 (X ) = sup ω Ω X (ω). Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

15 Allgemeine dynamische Risikomaße Braucht man also Zusatzbedingungen? In der Literatur finden sich axiomatisch eingeführte Bedingungen zur zeitlichen Konsistenz. Definition Ein dynamisches Risikomaß ρ t heißt vergleichskonsistent, falls für alle Zufallsvariablen X, Y M(Ω, R) gilt. ρ t+1 (X ) ρ t+1 (Y ) f.s. ρ t (X ) ρ t (Y ) f.s. Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

16 Filtrationen - revisited Agenda 1 statische Risikomaße 2 Allgemeine dynamische Risikomaße 3 Filtrationen - revisited 4 dynamische Risikomaße auf Produktökonomien Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

17 Filtrationen - revisited Erinnerung (1) Sei T = {0,..., n} und F 0 = {, Ω}. Eine Filtration (F t ) t T ist eine Menge von σ-algebren auf Ω mit F 0 F 1 F n. Ein adaptierter stochastischer Prozess mit Werten in R k ist eine Abbildung X : Ω T R k, (ω, t) X t (ω), wobei für jedes t T die Abbildung X t : Ω R k bezüglich F t messbar ist. E(X F t ) als Best Estimate für das Endergebnis zum Zeitpunkt t Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

18 Filtrationen - revisited Erinnerung (2) A 1,..., A k seien σ-algebren auf den Mengen Ω 1,..., Ω k. Die Produkt-σ-Algebra auf der Produktmenge Ω 1 Ω 2 Ω k ist dann durch k A t = A 1 A k = σ (A 1 A k A t A t für t {1,....k}) t=1 gegeben, wobei wir die Konvention benutzen. A 1 A t 1 A t+1 A k = Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

19 Filtrationen - revisited Modellierung des Informationszuwachses (1) Definition Sei T = {0,..., n} und für t T \ {0} A t eine σ-algebra auf der Menge Ω t. Die Produktfiltration auf dem kartesischen Produkt Ω = n t=1 Ω t ist durch { {, Ω} falls t = 0, F t = t s=1 A s n s=t+1 {, Ω s} sonst gegeben. Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

20 Filtrationen - revisited Modellierung des Informationszuwachses (2) Definition Sei Ω = n t=1 Ω t und π t : Ω t Ω s ω π t (ω) = (ω 1,..., ω t ) s=1 die Projektion auf die ersten t Faktoren. Für ω Ω und t {1,..., n} ist die t-faser durch ω durch F t (ω) = πt 1 (π t (ω)) gegeben, und wir setzen F 0 (ω) = Ω. Für w π t (Ω) ist die t-faser über w die Menge F t (w) = πt 1 (w). Schreibweise: Ω t B = t s=1 Ω s, und Ω t B = n s=t+1 Ω s, π t (ω) = ωb t Ωt B ω = (ωb t, ωt F ) mit ωt F Ωt F Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

21 Filtrationen - revisited Modellierung des Informationszuwachses (3) Es gilt: Eine Abbildung g : Ω R ist genau dann F t -messbar, wenn sie F n -messbar und auf den Fasern F t (ω) konstant ist. Ist (F t ) t T eine Produktfiltration auf Ω = n t=1 Ω t und (ω, t) X t (ω) ein adaptierter stochastischer Prozess, so hängt X t (ω) nur von den ersten t Komponenten ω 1,..., ω t ab. Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

22 Filtrationen - revisited Produktökonomie (1) Definition Für t {1,..., n} sei (Ω t, µ t ) ein Maßraum und (F t ) t T die Produktfiltration auf Ω = n t=1 Ω t. Das Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (Ω, F n ) sei bzgl. des Produktmaßes µ = n ( t=1 µ t absolut stetig. Dann ist Ω, (Ft ) t T, P ) eine filtrierte Produktökonomie. Wir schreiben µ t B = t s=1 µ s und µ t F = n s=t+1 µ s. Die Zufallsquellen µ t der einzelnen Perioden sind unabhängig. gute Eignung für Simulationsmodelle hinreichend allgemeine Modellierungsstruktur: AR(1)-Prozess: S t = αs t 1 + sω t, t = 1,..., n Schadenprozess (X 1, X 2 ) über zwei Perioden mit der Dichte p(x 1, x 2 ) = exp( x 1 ) 10 11x 1 exp( 10x 2 /(11x 1 ))1 (0, ) (0, ) (x 1, x 2 ) Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

23 Filtrationen - revisited Produktökonomie (2) Lemma Sei ( Ω, (F t ) t T, P ) eine filtrierte Produktökonomie und P = pµ. Dann gilt: 1 Auf der Faser F t (ω) ist bezüglich der von F n induzierten σ-algebra durch P ω t B (A) = 1A p(ω t B, ωt F ) dµt F p(ω t B, ω t F ) dµt F 2 ein Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben. E (g F t ) ω t B = Ω t F g (ω) p (ω) dµ t F p (ω) dµ t F Ω t F P-f.ü. Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

24 dynamische Risikomaße auf Produktökonomien Agenda 1 statische Risikomaße 2 Allgemeine dynamische Risikomaße 3 Filtrationen - revisited 4 dynamische Risikomaße auf Produktökonomien Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

25 dynamische Risikomaße auf Produktökonomien dynamischer Value at Risk Definition Es sei ( Ω, (F t ) t T, P ) eine filtrierte Produktökonomie, α ]0, 1[ und M t (Ω, R) der Raum der F t -messbaren Funktionen. Die durch t T parametrisierte Familie von Abbildungen VaR α,t : M n (Ω, R) M t (Ω, R), X VaR α,t (X ) mit VaR α,t (X ) ω t B = inf { ( ( x R: P ω t B X ω t B, ) x ) } α heißt dynamischer Value at Risk. Der dynamische Value at Risk ist ein dynamisches Risikomaß. Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

26 dynamische Risikomaße auf Produktökonomien dynamischer Expected Shortfall Definition Sei ( Ω, (F t ) t T, P ) eine filtrierte Produktökonomie, α ]0, 1[ und M t (Ω, R) der Raum der integrierbaren, F t -messbaren Funktionen. Die durch t T parametrisierte Familie von Abbildungen ES α,t : M n (Ω, R) M t (F t, R), X ES α,t (X ) mit ES α,t (X ) ω t B = 1 ( 1 α E P ω t X ( ωb t, ) ) 1 X(ω t B B, ),VaR α,t(x ) ω t,α B heißt dynamischer Expected Shortfall, wobei 1 X,x,α definiert ist wie auf Folie 5. Der dynamische Expected Shortfall ist ein kohärentes dynamisches Risikomaß. Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

27 dynamische Risikomaße auf Produktökonomien Zeitkonsistenz (1) Definition Sei (F t ) t T eine Produktfiltration auf Ω = n s=1 Ω s. Ein dynamisches Risikomaß (ρ t ) t T ist 1 zeitkonsistent, falls es für jede Zufallsvariable X, fast jedes ω Ω und jede F t+1 -messbare Teilmenge B F t (ω) mit P ω t B (B) > 0 und essinf B (ρ t+1 (X )) > ρ t (X ) ω eine F t+1 -messbare Teilmenge C F t (ω) gibt mit P ω t B (C) > 0 und esssup C (ρ t+1 (X )) < ρ t (X ) ω. 2 schwach zeitkonsistent, falls für fast jedes ω und jedes Paar (X, t) gilt: essinf Ft(ω) (ρ t+1 (X )) ρ t (X ) ω. Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

28 dynamische Risikomaße auf Produktökonomien Zeitkonsistenz (2) Der dynamische Value at Risk ist schwach zeitkonsistent, der dynamische Expected Shortfall zeitkonsistent. Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

29 dynamische Risikomaße auf Produktökonomien Beispiel (1) Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

30 dynamische Risikomaße auf Produktökonomien Beispiel (2) Zum Zeitpunkt t = 1 gilt: ES 80%,1 (X ) (U) = = = 17, ES 80%,1 (X ) (D) = = = 11.5, ES 80%,1 (Y ) (U) = = = 17, ES 80%,1 (Y ) (D) = = = 11.5, Es liegt keine Vergleichskonsistenz vor, da gilt: ES 80%,0 (X ) (r) = ES 80%,0 (Y ) (r) = 100 Für Ỹ := Y c mit c ]0, 3[ erhalten wir ES 80%,0 (Ỹ ) > ES 80%,0 (X ), = = 15.6 = = 12.6 aber ES 80%,1 (Ỹ ) < ES 80%,1 (X ) f.s. Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31

31 dynamische Risikomaße auf Produktökonomien Quelle Kriele, M., Wolf, J., Wertorientiertes Risikomanagement von Versicherungsunternehmen, Springer, Wolf FH Koblenz Dynamische Risikomaße Ulm, / 31