Stochastische Analysis

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1 PD Dr. Jürgen Dippon, Universität Stuttgart Stochastische Analysis Stuttgart, Wintersemester 211/212 Version: 15. Februar 212 Für Hinweise auf Druckfehler und Kommentare jeder Art bin ich dankbar. 1 Viel Spaß! 1 PD Dr. Jürgen Dippon, Universität Stuttgart, juergen.dippon@mathematik.uni-stuttgart.de; Jan-Cornelius Molnar, jan.molnar@studentpartners.de

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3 Inhaltsverzeichnis Einführung 5 -A Eine informelle Einführung Stochastische Prozesse 11 1-A Grundlegende Begriffe B Martingale C Optional Sampling und Optional Stopping D Beispiele wichtiger stochastischer Prozesse Poisson-Prozess Wiener-Prozess Lévy-Prozesse E Lokale Martingale Stochastische Integration linksstetiger Prozesse 45 2-A Stieltjes-Integration B Semimartingale C Stochastische Integrale D Eigenschaften stochastischer Integrale E Die quadratische Variation von Semimartingalen F Die Itô-Formel Beweis der Itô-Formel Multivariate Itô-Formel G Das Fisk-Stratonovich-Integral H Einige Anwendungen der Itô-Formel Zerlegung von Semimartingalen 87 3-A Klassische Semimartingale B Der Satz von Girsanov

4 -1 Inhaltsverzeichnis 4 Stochastische Integration vorhersagbarer Prozesse 13 4-A Integration beschränkter Semimartingale Die Topologie der Integratoren Die Topologie der Integranden Erweiterung des Integrals B Integration vorhersagbarer Prozesse Martingaldarstellungssätze A Der Raum der L 2 -beschränkten Martingale Stabilität Schwache und starke Orthogonalität Eine Folgerungen B Martingaldarstellung M 2 -Martingalmaße Martingaldarstellung bezüglich einer Brownschen Bewegung Index 135 Symbolverzeichnis 137 Literaturverzeichnis Februar 212

5 Einführung Die Stochastische Analysis verbindet Konzepte der Analysis mit denen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine zentrale Frage ist, wie sich die wohlbekannten Kalküle wie Differentiation und Integration übertragen, wenn die zugrundeliegenden Objekte auch vom Zufall abhängen. Sie spielt in vielen Anwendungen eine fundamentale Rolle, z.b. in der Finanzmathematik, der stochastischen Physik und bei der Modellierung von biologischen Prozessen. -A Eine informelle Einführung Einen stochastischen Prozess kann man als eine Familie von Zufallsvariablen auffassen. Im diskreten Fall ist diese Familie über eine endliche bzw. abzählbare Indexmenge parametrisiert und man erhält Folgen von Zufallsvariablen. Im kontinuierlichen Fall dagegen ist die Indexmenge überabzählbar, z.b. ein Intervall, eine offene Teilmenge des R d oder eine Teilmenge eines Hilbertraums. Als zentrales Beispiel betrachten wir im Folgenden einen Aktienkurs S = (S t ) t [,T ], dabei ist S t für jedes t [, T ] eine log-normalverteilte Zufallsvariable. Sind die Pfade t S t (ω) stetig, kann man S auch als Abbildung vom Ereignisraum in die stetigen Abbildungen auffassen S : Ω C ([, T ]), oder als reellwertige Abbildung, die stetig von einem Parameter abhängt, S : Ω [, T ] R. Die einfachste Interpretation ist jedoch die, dass S jedem Zeitpunkt t eine Zufallsvariable S t zuordnet. 5

6 Einführung Wie entwickelt sich der Aktienkurs? Ein erstes Modell stellte 19 Louis Bachelier 1 vor. Er vermutete, dass die Zuwächse S t einem deterministischen Trend folgen, welcher durch eine zufällige Komponente gestört wird, S t = µ t + σ W t. Für kleine Zeiträume von etwa einem Tag oder einem Monat ist dieses Modell durchaus annehmbar. Die zufällige Komponente W t ist hier eine N(, t)-verteilte Zufallsvariable und W t eine Brownsche Bewegung..1 Definition Eine Standard-Brownsche Bewegung (auch Wiener-Prozess) ist ein stochastischer Prozess mit unabhängigen, stationären und normalverteilten Zuwächsen. Es gilt also W = und für = t < t 1 <... < t n = T sind die W k = W tk+1 W tk unabhängige und N(, t k+1 t k )-verteilte Zufallsvariablen. Meist nehmen wir noch zusätzlich an, dass die Pfade stetig sind, d.h. W t (ω) ist stetig in t für jedes ω Ω. Formal erhält man beim Übergang t ein infinitesimales Modell für den Aktienkurs ds t = µdt + σ dw t. ( ) Hierbei ist jedoch zunächst nicht klar, wie die Differentiale zu interpretieren sind. In der Tat ist eine Brownsche Bewegung W t bis auf eine Nullmenge nirgends differenzierbar, denn ihre Totalvariation ist unbeschränkt, Var ( ) Wt = 1 t t 2 Var( W t) = 1, t. t Eine Berechtigung für die Schreibweise ( ) liefert die Integration der Gleichung, S t = S + µt + W t. 1 Louis Bachelier (* 11. März 187 in Le Havre; 26. April 1946 in St-Servan-sur-Mer) war ein französischer Mathematiker Februar 212

7 Eine informelle Einführung -A Es ist ein fundamentales Prinzip, dass stochastische Differentialgleichungen stets durch die zugehörigen stochastischen Integralgleichungen interpretiert werden. Ein Problem des Modells von Bachelier ist jedoch, dass die Wahrscheinlichkeit für einen negativen Aktienkurs strikt positiv ist P(S t < ) >, und dies wiederspricht der Realtiät. Dieser Misstand wurde erst 1965 durch ein alternatives Modell von Paul Samuelson 2 behoben. Er leitete aus der Beobachtung, dass hohe Kurse auch große Änderungsraten mit sich führen, folgende Beschreibung der Zuwächse ab S t = µs t t + σ S t W t. In diesem Modell werden also nicht die Zuwächse sondern die Renditen nach Bachelier modelliert S t S t = µ t + σ W t. Statistische Beobachtungen belegen, dass Samuelsons Modell die Wirklichkeit wesentlich besser beschreibt als das von Bachelier. Auch hier erhält man durch den Übergang t eine infinitesimale Version ds t = µs t dt + σ S t dw t, wobei bei Betrachtung der Differentiale ähnliche Probleme wie vorhin auftreten. Nach Integration erhält man die stochastische Integralgleichung S t S = µ S τ dτ + σ S τ dw τ. Hier stellt sich nun die Frage wie der Integrand S τ dw τ zu interpretieren ist, denn aufgrund der Irregularität von W t ist eine Auffassung als Riemann-Stieltjes-Integral nicht möglich. Im Laufe dieser Vorlesung widmen wir uns zunächst Fragen zur Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen solcher Integralgleichungen. Weiterhin suchen wir nach Wegen, diese Lösungen zu beschaffen. Wie im klassischen Fall werden wir 2 Paul Anthony Samuelson (* 15. Mai 1915 in Gary, Indiana; 13. Dezember 29 in Belmont, Massachusetts[1]) war ein US-amerikanischer Wirtschaftswissenschaftler und Träger des Wirtschaftsnobelpreises von Februar 212 7

8 Einführung feststellen, dass für die Mehrzahl dieser Probleme keine geschlossenen Ausdrücke existieren, daher beschäftigen wir uns auch mit numerischer Approximation. Als Motivation betrachten wir nun ein elementares Integral W τ dw τ. Rechnen wir strikt formal nach dem aus der Analysis bekannten Kalkül, erhalten wir W τ dw τ = 1 d(wτ 2 ) = W τ 2 t. Es stellt sich nun heraus, dass diese Rechnung nicht korrekt ist, denn es gilt W τ dw τ = 1 2 W t t2, zumindest im L 2 -Sinn. Wir wollen dies nun herleiten. Unter der Voraussetzung, dass die Pfade stetig sind, können wir das Integral auch als Limes von Riemmann- Summen betrachten n 1 W τ dw τ = lim W ti (W ti+1 W ti ), n i= wobei wir W τ am linken Randpunkt t i auswerten. Diese Wahl erleichtert nicht nur die Rechnung, sondern bewirkt auch, dass die entstehenden Objekte Martingale und folglich sehr angenehm zu handhaben sind. Um den Grenzwert zu berechnen, betrachten wir zunächst n 1 i= W ti (W ti+1 W ti ) = 1 n 1 (Wt 2 2 i+1 Wt 2 i ) 1 n 1 (W ti+1 W ti ) 2 2 i= i= = 1 2 (W t 2 W 2 ) 1 n 1 (W ti+1 W ti ) 2. 2 Der Erwartungswert des letzten Terms ist n 1 n 1 n 1 E (W ti+1 W ti ) 2 = Var(W ti+1 W ti ) = (t i+1 t i ) = t, i= i= denn die Zuwächse W ti+1 W ti sind N(, t i+1 t i ) verteilt. Weiterhin gilt 2 n 1 n 1 E (W ti+1 W ti ) 2 t = Var (W ti+1 W ti ) 2 i= n 1 = i= i= i= Var(W ti+1 W ti ) 2, i= Februar 212

9 Eine informelle Einführung -A nach dem Satz von Bienaymé. Nach Voraussetzung ist die Varianz der Zuwächse t, also W ti+1 W ti = t Z mit einer standard normalverteilten Zufallsvariablen Z. Somit gilt n 1 i= n 1 Var(W ti+1 W ti ) 2 = i= t 2 Var(Z 2 ) = 3t t, d.h. es liegt Konvergenz im L 2 -Sinn vor n 1 i= W ti (W ti+1 W ti ) L W 2 t 1 2 W t und folgende Definition ist sinnvoll W τ dw τ = 1 2 W 2 t 1 2 t. Wir benötigen also einen neuen Kalkül, um Integrale dieser Art zu berechnen. Die aus der Analysis bekannten Methoden wie der Hauptsatz, partielle Integration oder Substitution sind so nicht anwendbar, und der Weg über Riemmann-Summen ist aufwändig und lästig. Die von Itô 3 entwickelte Theorie verallgemeinert die oben genannten Konzepte der Analysis auf Brownsche Bewegungen. Ist f eine differenzierbare Funktion und g von beschränkter Variation, so gilt f (g(t)) = f (g()) + f (g(τ))dg(τ). Wählen wir g(τ) = W τ, so ist nach obiger Rechnung eine Korrektur dieses Terms notwendig. Genauer gilt die sogenannte Itô-Formel f (W t ) = f (W ) + f (W τ ) dw τ + 1 f (W τ ) dτ. 2 Grob gesprochen bezahlt man durch den letzten Term eine Strafe für die Irregularität der Pfade von W t. Zur Motivation der Itô-Formel betrachten wir eine C 3 -Funktion f und zerlegen [, t] in äquidistante Teilintervalle. Mit der Taylorformel erhalten 3 Itô Kiyoshi (* 7. September 1915 in Hokusei-chō (heute Inabe), Präfektur Mie; 1. November 28 in Kyōto) war ein japanischer Mathematiker. 15. Februar 212 9

10 Einführung wir dann n 1 f (W t ) = f (W ) = (f (W ti+1 ) f (W ti )) = n 1 i= i= ( f (W ti )(W ti+1 W ti ) f (W ti )(W ti+1 W ti ) Wäre W von beschränkter Totalvariation, so würden für t alle Terme von 2. Ordnung und höher verschwinden. Dies ist aber nicht der Fall, denn es gilt lediglich (W ti+1 W ti ) 2 = O( t). Somit verschwinden nur die Terme der Ordnung 3 und höher, und die Itô-Formel folgt. In der etwas allgemeineren Situation von f C 1,2, d.h. f (t, x) ist C 1 in t und C 2 in x, existiert ebenfalls eine Itô-Formel, nämlich f (t, W t ) f (, W ) = ḟ (τ, W τ )dτ + f (τ, W τ )dw τ + f (τ, W τ )dτ, ). oder kurz df = ḟ dt + f dw f dt. Mit dieser Formel können wir zeigen, dass der Prozess S t = S exp(σ W t + µt σ 2 t) ( ) die stochastische Differentialgleichung ds t = µs t dt + σ S t dw t des Samuelson Modells für Aktienkurse löst. Setzen wir nämlich f (t, W t ) S t, dann gilt nach obiger Itô-Formel df = ds t = (µ 12 ) σ 2 S t dt + σ S t dw t σ 2 S t dw t = µs t dt + σ S t dw t. Wir werden die Itô-Formel für Semimartingale beweisen. Diese bilden eine große Klasse von stochastischen Prozessen und schließen auch die Brownsche Bewegung mit ein. Anschließend werden wir eine Substitutionsformel sowie eine partielle Integration herleiten. Damit erhalten wir einen Kalkül zur eleganten Analyse von stochastischen Differential- und Integralgleichungen, mit dessen Hilfe wir die berühmte Black & Scholes Formel erarbeiten können Februar 212

11 1 Stochastische Prozesse Wir wollen unseren stochastischen Integrationskalkül für Semimartingale als Integratoren entwickeln. Diese umfassen sowohl Wiener- und Poisson-Prozesse als auch die allgemeineren Lévy-Prozesse, welche spezielle Semimartingale sind. Ursprünglich wurde die Theorie für Wiener-Prozesse entwickelt. Diese eigenen sich z.b. zur Modellierung von Messgrößen, die sich als Summe von vielen kleinen Einflüssen denken lassen, z.b. dem Ort oder Impuls eines Teilchens oder der Rendite eines Aktienkurses. Poisson-Prozesse ermöglichen es, diskrete Ereignisse wie den radioaktiven Zerfall, Tod oder Geburt zu beschreiben. Sowohl Wiener- als auch Poisson-Prozesse sind spezielle Lévy-Prozesse, für die unsere Theorie anwendbar ist. Im Folgenden sammeln wir einige wesentliche Eigenschaften von allgemeinen Martingalen und gehen kurz auf die genannten Prozesse ein. In letzter Zeit wurden auch fraktale Brownsche Bewegungen und andere spezielle Gauß-Prozesse betrachtet, die keine Semimartingale sind. Für diese ist unsere Theorie leider nicht anwendbar, und ein anderer Kalkül notwendig. 1-A Grundlegende Begriffe Für alles Weitere sei (Ω, F, P) stets ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum. An die Menge Ω stellen wir dabei keine Voraussetzungen, diese kann diskret sein, aber beispielsweise auch eine Teilmenge eines topologischen Vektorraums oder einer Banach-Algebra. Hingegen setzen wir F P(Ω) als σ -Algebra voraus, d.h. F enthält sowohl Komplemente als auch abzählbare Vereinigungen und Durchschnitte. Dies ist besonders relevant, wenn wir Grenzwertprozesse betrachten - wie es in der Analysis üblich ist. Bei der Betrachtung von zeitstetigen Prozessen wäre es auch hilfreich, wenn F überabzählbare Vereinigungen enthielte; dies ist jedoch im Allgemeinen eine zu starke Voraussetzung, die durch zusätzliche Voraussetzungen an den Prozess und/oder Ω umgangen werden muss. Eine Teilmenge A F von Ω nennen wir Ereignis, und sagen A tritt ein, wenn ein Element aus A beobachtet wird. 11

12 1 Stochastische Prozesse Schließlich ist P ein Wahrscheinlichkeitsmaß, d.h. P(Ω) = 1, und die Vollständigkeit von Ω besagt, dass jede Teilmenge einer P-Nullmenge ebenfalls eine P- Nullmenge ist. 1.1 Definition Eine Filtration F = (F t ) t I mit I R ist eine Familie von σ -Algebren, die monoton wächst, d.h. F s F t F, s t. Ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Filtration F heißt gefilterter Wahrscheinlichkeitsraum; in Zeichen (Ω, F, F, P). Eine Filtration modelliert den Zuwachs von Informationen mit fortschreitender Zeit. Welche Fragen zum Zeitpunkt t beantwortbar sind, regelt dabei die σ -Algebra F t. Grob gesprochen besagt die Monotonie, dass man hinterher immer schlauer ist als vorher. Ein gefilterter vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, F, P) erfüllt die sog. üblichen Bedingungen, falls (a) F alle Nullmengen von F enthält, und (b) F ist rechtsstetig ist, d.h. F t = F u, t. u>t Die Rechtsstetigkeit besagt dabei, dass auf die Menge der zum gegenwärtigen Zeitpunkt t möglichen Ereignisse von der Menge zu zukünftigen Zeitpunkten u > t möglichen Ereignissen zurückgeschlossen werden kann. Ein ähnlicher Schluss von in der Vergangenheit beobachteten Ereignissen auf die Gegenwart wird jedoch im Allgemeinen nicht gefordert. 1.2 Definition Eine Zufallsvariable T : Ω [, ] heißt Stoppzeit (bzgl. F), falls [T t] F t, t. Es kann also mit der bis zum Zeitpunkt t (einschließlich t) theoretisch verfügbaren Information entschieden werden, ob T t. Dies ist eine echte Bedingung, d.h. nicht alle zufälligen Zeiten sind Stoppzeiten. Ein Beispiel für eine Stoppzeit ist der Zeitpunkt, an dem der Dax die 4. Punktegrenze überschreitet. Aufgrund der Rechtsstetigkeit der Filtration erhalten wir die folgende Charakterisierung von Stoppzeiten Februar 212

13 Grundlegende Begriffe 1-A 1.1 Satz Unter den oben genannten üblichen Bedingungen ist T genau dann eine Stoppzeit, wenn für alle t [T < t] F t. Beweis. : Für jedes ε > gilt [T t] = <u<t+ε u R [T < u] u>t u R F u = F t, aufgrund der Rechtsstetigkeit von F, also ist T eine Stoppzeit. : Sei T eine Stoppzeit, dann ist [T < t] = [T t ε], <ε<t ε Q wobei [T t ε] F t ε F t für ε >. v 1.3 Definition Sei I eine Indexmenge. Ein stochastischer Prozess X auf (Ω, F, P) ist eine Familie (X t ) t I von Zufallsvariablen mit Werten in einem Messraum (Ω, F ). Hierbei ist jede Zufallsvariable X t zunächst nur als F F messbar vorausgesetzt und verfügt daher im Allgemeinen über alle Informationen in der σ -Algebra F und nicht nur über die bis zum Zeitpunkt t verfügbaren Informationen aus F t F. 1.4 Definition Ein stochastischer Prozess X heißt adaptiert (zu F), falls X t für jedes t I auch F t F messbar ist. Es handelt sich hierbei um eine echte Einschränkung, denn F t F, d.h. das Urbild der σ -Algebra F muss in der kleinen σ -Algebra F t liegen. 1.5 Definition Zwei stochastische Prozesse X und Y heißen Modifikationen von einander, falls X t = Y t f.s., t I. Zwei stochastische Prozesse X und Y heißen ununterscheidbar, falls P[X t = Y t, t ] = Februar

14 1 Stochastische Prozesse Zwei ununterscheidbare Prozesse sind auch immer Modifikationen voneinander, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Hält man ein ω Ω fest, erhält man einen möglichen Pfad des stochastischen Prozesses X(ω) : I R, t X t (ω). Früher hat man stochastische Prozesse über die Verteilung interpretiert, heute betrachtet man zunehmend die Pfade. Letzteres ist jedoch weitaus schwieriger, denn z.b. im Fall einer Brownschen Bewegung sind diese hochgradig irregulär, nirgends differenzierbar und nicht rektifizierbar. 1.6 Definition Ein stochastischer Prozess, dessen Pfade f.s. rechtsstetig sind und linksseitige Grenzwerte besitzen, heißt càdlàg. Ein stochastischer Prozess, dessen Pfade f.s. linksstetig sind und rechtseitige Grenzwerte besitzen, heißt càglàd. 1.2 Satz Der stochastische Prozess X sei eine Modifikation des stochastischen Prozesses Y. Besitzen X und Y f.s. rechtsstetige Pfade, so sind X und Y ununterscheidbar. Beweis. Setze A [X ist nicht rechtsstetig] und B [Y ist nicht rechtsstetig], dann sind beide Mengen nach Voraussetzung P-Nullmengen. Sei weiterhin N t [X t Y t ], t, dann ist N t F, P-Nullmenge und N t [, ) Q N t ist als abzählbare Vereinigung ebenfalls in F und eine P-Nullmenge. Also gilt X t (ω) = Y t (ω), t [, ) Q, ω M A B N, wobei P(M) =. Für irrationales t [, ) betrachten wir nun eine Folge rationaler Zahlen t n t, dann gilt X tn (ω) = Y tn (ω), n 1, ω M c, und somit ist aufgrund der Rechtsstetigkeit X t (ω) = Y t (ω), t, ω M c. v Februar 212

15 Grundlegende Begriffe 1-A 1.1 Korollar Die beiden stochastische Prozesse X und Y seien càdlàg. Ist X eine Modifikation von Y, so sind X und Y ununterscheidbar. 1.7 Definition Seien X ein stochastischer Prozess und Λ eine Borel-Menge. Die durch T (ω) inf{t > : X t (ω) Λ}, ω Ω definierte Zufallsvariable T heißt Eintrittszeit (hitting time) von X mit Λ. Genau genommen muss noch gezeigt werden, dass T messbar ist. 1.3 Début-Theorem Ist X ein adaptierter càdlàg Prozess und Λ R eine offene Menge, dann ist die Eintrittszeit von X mit Λ eine Stoppzeit. Das Début-Theorem verallgemeinert die Aussage des Satzes für lediglich Borelmessbares Λ und eine schwächere Bedingung an X. Der Beweis ist allerdings ziemlich kompliziert, daher beschränken wir uns auf obigen Spezialfall. Beweis. Wir verwenden die Charakterisierung aus Satz 1.1, d.h. es genügt zu zeigen [T < t] F t, t. Dazu zeigen wir die Darstellung [T < t] = [X q Λ]. q [,t) Q Die Inklusion ist klar. Für die Umkehrung nehmen wir ohne Einschränkung an, dass alle Pfade rechtsstetig sind. Sei ω [T < t], dann ist r T (ω) < t, und folglich existiert ein rationales q mit r q < t und X q Λ, denn Λ ist offen und X rechtsstetig. v 1.4 Satz Ist X ein adaptierter càdlàg Prozess und Λ R eine abgeschlossene Menge, dann definiert T (ω) inf{t > : X t (ω) Λ oder X t (ω) Λ} eine Stoppzeit T. 15. Februar

16 1 Stochastische Prozesse 1.5 Satz Sind S und T Stoppzeiten, so auch a) S T, b) S T, c) S + T, und d) αs für jedes α 1. Beweis. Siehe Aufgabe 1.2. v Man macht sich klar, dass im Allgemeinen S T oder αs für α < 1 keine Stoppzeiten sind. Insbesondere ist die Menge der Stoppzeiten kein Vektorraum. 1-B Martingale In der Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie haben wir uns bereits mit zeitdiskreten Martingalen beschäftigt. Diese wollen wir nun in natürlicher Weise auf den zeitstetigen Fall verallgemeinern. 1.8 Definition Ein reellwertiger adaptierter Prozess X = (X t ) t [, ) mit (i) E X t <, t, heißt Martingal, falls (ii) E(X t F s ) = X s, s t, Supermartingal, falls (ii) E(X t F s ) X s, s t, und Submartingal, falls (ii) E(X t F s ) X s, s t. Die Integrierbarkeitsbedingung (i) garantiert hierbei, dass die bedingten Erwartungen (ii) definiert sind. Im Folgenden wollen wir bei der Verwendung von bedingten Erwartungen auch immer davon ausgehen, dass die betrachteten Zufallsvariablen integrierbar sind Februar 212

17 Martingale 1-B Während im zeitdiskreten Fall die üblicherweise auftretenden Mengenopertionen abzählbar sind, ist dies für zeitkontinuierlichen Martingale in der Regel nicht mehr so. Um sich dennoch auf abzählbare Opertionen zurückziehen zu können, benötigen wir zusätzliche Regularitätseigenschaften - wie etwa Stetigkeit. Die obige Definition lässt allerdings auch Martingale mit stark irregulären Pfaden zu. Um mehr Regularität zu erhalten, müssen wir daher zusätzliche Annahmen treffen. 1.6 Satz Sei X ein Submartingal. Die Abbildung t EX t ist genau dann rechtsstetig, wenn es eine càdlàg Modifikation Y von X gibt. Eine solche Modifikation ist eindeutig (bis auf Ununterscheidbarkeit) und wieder ein Submartingal. Sofern die relativ schwache Stetigkeitsvoraussetzung an die Kurve des Erwartungswertes von X t erfüllt ist, können wir davon ausgehen, dass X càdlàg ist. Dies erlaubt es uns in vielen Situation uns von überabzählbaren Mengenoperationen auf abzählbar viele zurückzuziehen. Um Satz 1.6 zu beweisen, benötigen wir noch etwas Vorbereitung. Sei F R eine endliche Teilmenge der reellen Zahlen und bezeichne U(X(ω), F, [a, b]), ω Ω, die Anzahl der positiven Überschreitungen des Intervalls [a, b] durch den Pfad X(ω) an den Stellen t i F. Upcrossing Inequality (Doob) Sei X ein Submartingal und F endlich mit maximalem Element t, so gilt (b a) E U(X, F, [a, b]) E(X t a) + E(X t b) +. Beweis. Siehe [2, Satz 11.5]. v Die Anzahl der möglichen positiven Überschreitungen des Intervalls [a, b] sind also durch den Erwartungswert des Positivteils von X t beschränkt. Im nächsten Schritt wollen wir auch abzählbar viele Zeitpunkte zulassen. Dazu setzen wir für eine abzählbare Menge T R U(X(ω), T, [a, b]) sup U(X(ω), F, [a, b]). F T F < Zusatz zu Upcrossing Inequality Sei X ein Submartingal und T abzählbar, so gilt (b a) E U(X, T, [a, b]) sup EX t + + a. t T 15. Februar

18 1 Stochastische Prozesse Beweis. Schöpfen wir T mit endlichen Mengen aus, d.h. mit einer Folge T n T von endlichen Mengen T n <, so gilt U(X(ω), T, [a, b]) = lim n U(X(ω), T n, [a, b]), aufgrund der Monotonie von U. Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz können wir Erwartungswert und Grenzwertbildung vertauschen, so dass (b a) E U(X(ω), T, [a, b]) = lim n (b a) E U(X(ω), T n, [a, b]) lim n E(X tn a) + E(X tn b) + sup EX t + + a. v t T Als direkte Konsequenz erhalten wir den folgenden Martingalkonvergenzsatz. 1.7 Submartingalkonvergenzsatz in diskreter Zeit Sei X ein Submartingal mit gleichmäßig L 1 -beschränktem Positivteil, d.h. sup n EX + n <, so gilt X lim n X n existiert f.s.,. Gilt außerdem sup n E X n <, so ist X L 1. Beweis. Mit dem Lemma von Fatou erhalten wir E lim inf n X n E lim sup n X n sup E X n + <. n Die Existenz vorausgesetzt, folgt so sofort die Quasi-Integrierbarkeit von X und, unter der Zusatzvoraussetzung sup n E X n <, auch die Integrierbarkeit. Nehmen wir nun an, der Limes existiere nicht f.s., dann gibt es reelle Zahlen a, b so, dass lim inf n X n < a < b < lim sup X n n auf einer Nichtnullmenge A. Auf dieser Menge müssen die Pfade jedoch das Intervall [a, b] unendlich oft in positiver Richtung überschreiten, also P(U(X, N, [a, b]) = ) P(A) >. Dann wäre aber auch E U(X, N, [a, b]) = im Widerspruch zur Upcrossing Inequality. v Februar 212

19 Martingale 1-B Zunächst ist nur die fast sichere Konvergenz gesichert. Selbst wenn wir voraussetzen, dass die X n gleichmäßig L 1 -beschränktem sind, erhalten im Allgemeinen keine L 1 -Konvergenz. Eine hinreichende Bedingung ist die gleichmäßige L 1+δ - Beschränktheit für ein δ > oder schwächer, die gleichgradige Integrierbarkeit - siehe Aufgabe 1.6 und [6, Kapitel 11]. Definition/Satz Sei (X t ) t I eine Familie von integrierbaren Zufallsvariablen, dann sind folgende Aussagen äquivalent. (i) (X t ) ist gleichgradig integrierbar, (ii) sup t I [ X t >c] X t dp, c, (iii) sup t I X t M < und zu jedem ε > existiert ein δ >, so dass P(A) < δ sup X t < ε. t I A Mit gleichgradiger Integrierbarkeit lässt sich von fast sicherer bzw. stochastischer Konvergenz auf L 1 -Konvergenz schließen. 1.1 Lemma Sei (X n ) eine Folge von gleichgradig integrierbaren Zufallsvariablen, so gilt X n P L X X 1 n X. Die bisher definierten (Sub-/Super-)Martingale beschreiben die Abhängigkeit zukünftiger Beobachtungen von den bisherigen. Wir benötigen allerdings auch die andere Richtung. 1.9 Definition Sei (F n ) eine monoton fallende Folge von Sub-σ -Algebren, d.h. F n F m, n m. Eine Folge X = (X, X 1, X 2,...) mit E X n < für n heißt reverses Submartingal bzgl. (F n ), falls E(X m F n ) X n, n m. Auch für reverse Submartingale existiert ein Konvergenzsatz, dieser ist allerdings um einiges schärfer. 15. Februar

20 1 Stochastische Prozesse 1.8 Konvergenzsatz für reverse Submartingale Sei (X n ) n ein reverses Submartingal, so gilt X lim n X n existiert f.s.. Gilt zusätzlich sup n E X n <, so ist (X n ) n L X 1 n X und auch gleichgradig integrierbar, E(X n F ) X, n, wobei F n F n. Beweis. Aus der Monotonie der bedingten Erwartung und der Submartingaleigenschaft folgt E(X m + F n) E(X m F n ) + X n +, n m. Integration ergibt für die Erwartungswerte sup EX n + EX+ n und letzterer ist endlich aufgrund der Submartingaleigenschaft. Damit zeigt man analog zum Beweis von Satz 1.7 die fast sichere Existenz von X und die Existenz in L 1 unter der Zusatzvoraussetzung. Weiterhin ist für jedes n X n dp = X n dp EX n + [ X n >c] [X n>c] und aufgrund der Submartingaleigenschaft EX n X n dp, [X n c] EX m falls n m. Setzen wir nun sup n E X n M < voraus, so ist EX n monoton fallend und nach unten beschränkt. Folglich existiert zu jedem ε > ein m, so dass EX n > EX m ε, n m. Wir erhalten damit X n dp [ X n >c] = X m dp EX m + [X n>c] X m dp + ε. [ X n >c] X m dp + ε [X n c] Februar 212

21 Martingale 1-B Nach der Markov-Ungleichung ist P[ X n > c] 1 c sup E X n M n c, c, also ist X n gleichgradig integrierbar. Gleichgradige Integrierbarkeit ergibt schließlich X 1 n X L. Sei n m, dann gilt für Γ F F n F m, X n dp X m dp, X dp = lim X n dp, Γ Γ Γ n Γ aufgrund der L 1 -Konvergenz. v Wir können nun die fast sichere Existenz von rechts und linksseitigen Limiten zeigen. 1.9 Satz Sei X ein Submartingal, so existiert eine Menge Ω mit P(Ω ) = 1, so dass die Limites X t (ω) lim X r (ω), t >, r t, r Q und X t +(ω) lim X r (ω), t, r t, r Q für alle ω Ω existieren. Man beachte, dass die Limites nicht nur für einen festen Zeitpunkt t fast sicher existieren, sondern gleichzeitig für alle Zeitpunkte fast sicher. Beweis. Der Beweis verläuft analog zu dem der Konvergenzsätze, wir müssen lediglich argumentieren, wieso bis auf eine Nullmenge die Limites gleichzeitig für alle t existieren. a): Sei I = [t, t 1 ] (, ) ein kompaktes Zeitintervall. Wir betrachten für rationale Zahlen a, b die Menge { } M ab ω Ω : lim inf X r (ω) < a < b < lim sup X r (ω) für ein t I r t, r Q r t, r Q Da X ein Submartingal ist auch (X a) + ein Submartingal und folglich E(X s a) + E(X t a) +, s t Februar

22 1 Stochastische Prozesse Somit gilt nach der Upcrossing Inequality (b a)eu(x, I Q, [a, b]) E(X t1 a) + <, und es ist P[U(X, I Q, [a, b]) = ] =, so dass P(M ab ) =. Somit ist ebenfalls M = a,b Q M ab eine Nullmenge und auf Ω = Ω M gilt lim X r (ω) existiert für alle t I, ω Ω, r t, r Q wobei P(Ω ) = 1. Ausschöpfung von (, ) durch abzählbar viele kompakte Intervalle ergibt die allgemeine Behauptung. b): Man verfährt analog zu a) und dem Beweis von Satz 1.8. v Wir sind nun in de Lage zu beweisen, dass jedes Submartingal mit stetiger Erwartungswertfunktion t EX t eine càdlàg Modifikation besitzt, die eindeutig bis auf Ununterscheidbarkeit ist. Beweis von Satz 1.6. : Die Idee des Beweises liegt darin, X t durch den rechtsseitigen Limes X t + aus Satz 1.9 zu ersetzen und alle Eigenschaften zu verifizieren. Sei also Ω wie vorhin, und lim X r (ω), ω Ω, Y t (ω) X t +(ω) = r t, r Q, sonst, so ist Y t rechsstetig. Aufgrund der üblichen Bedingungen ist F rechtsstetig und F t enthält alle Nullmengen von F. So folgt die B [,t] F t -B-Messbarkeit d.h. Y ist ein adaptierter càdlàg Prozess. Fixiere ein t und eine rationale Folge q n t. Dann ist (X qn ) ein reverses Submartingal mit EX qn EX t, denn E(X qn F t ) X t. Wie in Satz 1.8 folgt, dass X qn gleichgradig integrierbar ist und X qn L 1 X t. Es gilt also einerseits aufgrund der Stetigkeit von t EX t EY t = lim n EX qn = EX t, Februar 212

23 Martingale 1-B sowie andererseits aufgrund der gleichgradigen Integrierbarkeit X t E(X qn F t ) E(Y t F t ) = Y t. Somit ist X t = Y t f.s. und Y ist eine Modifikation von X. Insbesondere gilt für jedes s t ( ) E(Y t F s ) = E lim X f.s. q n n F s = lim E(X qn F s ) X s = Y s, n womit die Submartingaleigenschaft folgt. Satz 1.9 liefert nun auch die Existenz linksseitiger Grenzwerte, also ist Y eine càdlàg Modifikation von X. Jede andere càdlàg Modifikation stimmt aufgrund von Satz 1.9 für alle t gleichzeitig mit Y f.s. überein, also ist Y eindeutig bis auf Ununterscheidbarkeit. : Sei Y eine càdlàg Modifikation von X. Wir fixieren erneut ein t und eine Folge t n t, so ist (X tn ) ein reverses Submartingal und gleichgradig integrierbar. Insbesondere gilt P([X tn = Y tn, Y t = X t ]) = 1, so dass X tn = Y tn Y t = X t f.s. und aufgrund der gleichgradigen Integrierbarkeit auch EX tn EX t. Somit folgt die Rechtsstetigkeit von t EX t. v Nach diesen etwas technischen Vorbereitungen können wir uns nun stets auf Martingale mit càdlàg Pfaden zurückziehen, sofern zumindest die Erwartungswertkurve t EX t stetig ist. Davon wollen wir im Folgenden aber immer ausgehen. 1.1 Submartingalkonvergenzsatz in kontinuierlicher Zeit Sei (X t ) ein Submartingal mit sup t EX t + <, so gilt X lim t X t existiert f.s.. Gilt außerdem sup t E X t <, so ist X L 1. Beweis. Der Beweis ist analog zu Satz 1.9. v 1.2 Korollar Ist X ein nichtnegatives Supermartingal, so gilt X lim t X t existiert f.s Februar

24 1 Stochastische Prozesse Beweis. Aufgrund der Supermartingaleigenschaft ist EX t EX für alle t und damit sup t E X t = sup EX t EX <, t also können wir Satz 1.1 auf X t anwenden. v Um neben fast sicherer Konvergenz auch L 1 -Konvergenz zu erhalten, müssen wir zusätzliche Voraussetzungen an die Integrierbarkeit des Prozesses stellen. Der folgende Satz liefert nun eine sehr befriedigende Charakterisierung der L 1 -Konvergenz Satz Für ein (rechtsstetiges) Martingal X = (X t ) sind äquivalent: (i) X t L 1 X lim t X t, (ii) Es gibt ein X L 1 mit X t = E(X F t ) (X heißt Abschluss des Martingals X), (iii) X ist gleichgradig integrierbar. Ist X abschließbar, also Bedingung (ii) erfüllt, so kann man den gesamten Prozess X aus einer einzigen integrierbaren Zufallsvariable X wiedergewinnen. Beweis. (ii) (iii): Sei α >, dann gilt einerseits X t dp = [ X t >α] = und andererseits nach Markov E(X F t ) dp [ X t >α] E( X F t )dp [ X t >α] X dp, [ X t >α] P([ X t > α]) 1 α E E(X F t ) E X α Also ist X gleichgradig integrierbar., α. (iii) (i): Sei X gleichgradig integrierbar, dann gilt insbesondere sup t E X t <. Mit Satz 1.1 folgt somit die fast sichere Existenz von X = lim t X t und gleichgradige Integrierbarkeit ergibt dann L 1 -Konvergenz Februar 212

25 Optional Sampling und Optional Stopping 1-C (i) (ii): Nach Voraussetzung ist X = lim t X t f.s. und in L 1. Wähle h, dann gilt E X t E(X F t ) E X t E(X t+h F t ) + E E(X t+h F t ) E(X F t ) = E X t X t + E E(X t+h X F t ) EE( X t+h X F t ) = E X t+h X, h. Da der linke Ausdruck unabhängig von h ist, gilt X t = E(X F t ) f.s.. v 1-C Optional Sampling und Optional Stopping Die bisher betrachteten Prozesse X = (X t ) hingen deterministisch von der Zeit t ab. Wir wollen nun untersuchen, welche Eigenschaften des Prozesses X erhalten bleiben, wenn man die Zeit ebenfalls als zufällige Größe modelliert. Es sinnvoll zu verlangen, dass die zufällige Zeit selbst nicht von Informationen aus der Zukunft abhängt, daher sind Stoppzeiten kanonische Kandidaten. 1.1 Definition der T Vergangenheit Die zur Stoppzeit T gehörige σ -Algebra F T der T -Vergangenheit ist definiert durch F T { A F : A [T t] F t für alle t }. Im Gegensatz zu X T hängt F T nicht vom Zufall ab, sondern bezeichnet eine feste σ -Algebra. Diese enthält alle Ereignisse A, für die mit der zum Zeitpunkt t verfügbaren Information entschieden werden kann, ob A und [T t] gemeinsam eingetreten sind. Eine Menge A ist dann nicht in F T, wenn A zu detailliert ist, um mit den zum zufälligen Zeitpunkt T verfügbaren Informationen eine Aussage über das gemeinsame Eintreten von A und [T t] zu treffen. Der folgende Satz charakterisiert die σ -Algebra F T mittels adaptierter càdlàg Prozesse Satz Ist T eine Stoppzeit, so ist F T die kleinste σ -Algebra, die von allen zum Zeitpunkt T beobachteten adaptierten Prozessen mit càdlàg Pfaden erzeugt wird. Beweis. Sei G σ ({X T T < vorausgesetzt. : X adaptierter càdlàg Prozess}), und der Einfachheit halber 15. Februar

26 1 Stochastische Prozesse F T G: Wähle A F T, dann ist A [T t] F t für alle t. Folglich definiert X t (ω) 1 A [T t] = 1 A (ω) 1 [T (ω) t] einen zur Filtration F adaptierten stochastischen Prozess mit càdlàg Pfaden. Weiterhin ist X T = 1 A und somit A G. G F T : Sei X ein adaptierter càdlàg Prozess, so ist zu zeigen, dass X T F T - messbar ist, was nach der Definition von F T äquivalent ist zu [X T B] [T t] F t, t, für jede Borel-Menge B. Wir interpretieren dazu X als X : [, ) Ω R, (s, ω) X(s, ω) X s (ω). Da X rechtsstetig ist, ist X : [, t] Ω R für jedes t auch B t F t -B-messbar und adaptiert (ohne Beweis). Weiterhin sei für beliebiges t >, ϕ t : [T t] [, ) Ω, ω ϕ(ω) (T (ω), ω), so ist ϕ t F t [T t] B (F t [T t])-messbar. Die Hintereinanderausführung X ϕ ist daher F t [, t) B-messbar und folglich [X T B] [T t] = [X ϕ B] F t für jedes B B. Da t beliebig war folgt die F T B-Messbarkeit von X T. v 1.13 Optional Sampling Theorem von Doob Sind X ein Martingal mit Abschluss X und S, T Stoppzeiten mit S T f.s., dann sind X S und X T integrierbar und es gilt X S = E(X T F S ). Ersetzen wir die deterministische Zeit t durch die zufällige Stoppzeit T, so wird die Martingaleigenschaft nicht zerstört. Die Stoppzeiteigenschaft ist dabei essentiell und stellt sicher, dass S und T keine Informationen aus der Zukunft verwenden. Bemerkung. Das Optional Sampling Theorem bleibt richtig, wenn man die Existenz des Abschlusses X durch gleichgradige Integrierbarkeit oder X t L 1 X ersetzt - siehe Satz Februar 212

27 Optional Sampling und Optional Stopping 1-C Man mache sich klar, dass X T eine einzige Zufallsvariable bezeichnet, während X einen Prozess und damit eine Familie solcher darstellt. Unser erster Schritt zum Beweis des Optional Sampling Theorems besteht darin sicherzustellen, dass für einen Prozess X und eine Stoppzeit T überhaupt E(X T F T ) = X T f.s. gilt Satz Seien X ein adaptierter càdlàg Prozess und T eine Stoppzeit. Dann ist X T F T - messbar. Beweis. Dies haben wir bereits im Beweis von Satz 1.12 gezeigt. v Im nächsten Schritt betrachten wir den Spezialfall, dass die Stoppzeiten lediglich endlich viele verschiedene Werte annehmen Satz Seien S T zwei Stoppzeiten mit endlich vielen Werten (eventuell einschließlich ). Ist X ein gleichgradig integrierbares Martingal, so gilt X S = E(X T F S ) = E(X F S ) f.s.. Beweis. Wir zeigen, dass F (X T X S )dp = für alle Mengen F F S stimmen dann E(X T F S ) und E(X S F S ) = X S fast sicher überein. gilt. Somit Seien = t t 1... t n die möglichen Werte von S und T, und F F S, so gilt (X T X S )1 F = n (X tj X tj 1 )1 [S<tj T ] 1 F. j= Schreiben wir [S < t j T ] = [S t j 1 ] [T > t j 1 ], so ist 1 [S<tj T ] 1 F offenbar F tj 1 -messbar und wir erhalten ( n ) E ((X T X S )1 F ) = E E (X tj X tj 1 )1 [S<tj T ] 1 F F tj 1 = n j= =, j= ) E (E(X tj X tj 1 F tj 1 ) 1 [S<tj T ] 1 F denn E(X tj X tj 1 F tj 1 ) für j n aufgrund der Martingaleigenschaft. Somit gilt fast sicher E(X T F S ) = E(X S F S ) = X S. Aus der gleichgradigen Integrierbarkeit folgt, dass X abschließbar ist. Betrachten wir nun T, so nimmt T nur endlich viele Werte an und es gilt S T für alle Stoppzeiten S. Somit folgt die 2. Behauptung. v 15. Februar

28 1 Stochastische Prozesse Im letzten Schritt gehen wir von Stoppzeiten mit endlich vielen Werten über zu Stoppzeiten, die überabzählbar viele verschiedene Werte annehmen können. Essentiell für diesen Übergang ist hier die Rechtsstetigkeit des Martingals. Beweis des Optional Sampling Theorems Wir zeigen zunächst, dass für eine beliebige Stoppzeit S gilt X S = E(X F S ). ( ) Die allgemeine Aussage folgt daraus, denn für jede Stoppzeit T S gilt F T und somit F S E(X T F S ) = E(E(X F T ) F S ) = E(X F S ) = X S. Wir betrachten wieder beide Seiten von ( ) unter Integration über F F S. Definiere dazu für jedes k 1, S k, S k q q 1, S < q, 2 k 2 k 2 k so nimmt S k S nur endlich viele Werte an, es gilt S k S, und [S k t] = [S < p2 ] { k, p = max q : } q 2 k t. Aufgrund der üblichen Bedingungen ist S k eine Stoppzeit und es gilt nach Satz 1.15 X Sk = E(X F Sk ). ( ) Da S k S ist, gilt F S F Sk und somit E(X Sk F S ) = E(E(X F Sk ) F S ) = E(X F S ). Mit Satz 1.11 folgt aus ( ), dass (X Sk ) k gleichgradig integrierbar ist. Ferner gilt L X Sk X S f.s. und damit auch X 1 Sk X S. Insbesondere gilt auch F X Sk dp X S dp F für jedes F F S und somit ist E(X F S ) = E(X S F S ) = X S, was zu zeigen war. v Februar 212

29 Optional Sampling und Optional Stopping 1-C Für Submartingale existiert ein zum Optional Sampling Theorem analoges Resultat. Auch hier zerstört das Ersetzen der deterministischen Zeit durch eine Stoppzeit die Submartingaleigenschaft nicht Satz Sind X ein rechtsstetiges Submartingal und S, T Stoppzeiten mit S T f.s., dann sind X S und X T integrierbar und es gilt X S E(X T F S ). Der Beweis verläuft ähnlich zu dem von Satz Allerdings können wir uns nicht auf den Spezialfall ( ) zurückziehen, da es im Allgemeinen nicht sinnvoll ist die Existenz eines Abschlusses für ein Submartingal zu fordern. In den Anwendungen ist es oftmals schwierig nachzuweisen, dass ein gegebener Prozess ein Martingal ist. Im Folgenden wollen wir daher eine hinreichende und notwendige Bedingung für die Martingaleigenschaft angeben, die ganz ohne bedingte Erwartungswerte auskommt Satz Ein adaptierter càdlàg Prozess X ist genau dann ein Martingal, falls für jede beschränkte Stoppzeit T gilt (i) X T L 1, und (ii) EX T = EX. Beweis. : Aus Satz 1.13 folgt für jede beliebige Stoppzeit T und S T, dass X T integrierbar ist und EX = EE(X T F ) = EX T. : Seien s t und A F s. Wir setzen T = t 1 A c +s 1 A, dann ist T eine Stoppzeit und nach Voraussetzung EX = EX T = E(X t 1 A c ) + E(X s 1 A ). Andererseits ist auch T t eine Stoppzeit und daher EX = EX T = E(X t 1 A c ) + E(X t 1 A ). Subtrahieren der beiden Gleichungen ergibt E(X s 1 A ) = E(X t 1 A ). Da s t und A F s beliebig waren, folgt die Martingaleigenschaft. v 15. Februar

30 1 Stochastische Prozesse Neben der Auswertung eines stochastischen Prozesses zu einem zufälligen Zeitpunkt T, spielt das Stoppen eines Prozesses zu einem zufälligen Zeitpunkt in den Anwendungen eine bedeutende Rolle Definition Für einen stochastischen Prozess X und eine zufällige Zeit T heißt der durch X T t X t T, t, definierte stochastische Prozess X T der bei T gestoppte Prozess. Der bei T gestoppte Prozess X T ist nicht zu verwechseln mit der Zufallsvariable X T, denn X T beschreibt eine ganze Familie von Zufallsvariablen, die sich ab einem zufälligen Zeitpunkt nicht mehr ändert Optional Stopping Theorem von Doob Sei X ein rechtsstetiges Martingal oder Submartingal, und T eine Stoppzeit. Dann ist auch X T ein Martingal respektive Submartingal bzgl. F = (F t ). Ist X zusätzlich gleichgradig integrierbar, so auch X T. Zufälliges Stoppen zerstört also die (Sub-)Martingaleigenschaft nicht. Bemerkung. Man kann direkt aus dem Optional Sampling Theorem die Behauptung ableiten, dass X T ein (Sub-)Martingal bzgl. der Filtration F = (F t T ) t ist. Allerdings ist dies eine schwächere Behauptung als das hier formulierte Optional Stopping Theorem, denn F T t F t, weshalb die Filtration F gröber ist als F. Beweis des Optional Stopping Theorems Wir verwenden Satz 1.17 und zeigen, dass für jede beschränkte Stoppzeit S gilt XS T L1 und EXS T = EXT. Sei X zunächst als gleichgradig integrierbar vorausgesetzt und S eine beschränkte Stoppzeit. So ist auch S T eine Stoppzeit und daher das Optional Sampling Theorem 1.13 anwendbar. Insbesondere ist XS T = X S T integrierbar und es gilt EX T S = EX S T = EX = EX T. Somit ist X T ein Martingal bezüglich F = F t. v Die folgenden Ungleichungen spielen eine fundamentale Rolle in der stochastischen Analysis Februar 212

31 Optional Sampling und Optional Stopping 1-C 1.19 Ungleichungen von Doob Für ein positives Submartingal X gelten die Maximalungleichung P [ sup X t λ t T ] 1 λ p EXp T, p 1, T [, ) und die die sogenannte L p -Ungleichung sup X t t L p q sup X t L p, p > 1, t wobei q die zu p konjugierte Zahl ist, d.h. 1 p + 1 q = 1. Man kann die Maximalungleichung als Verallgemeinerung und Verschärfung der Markov-Ungleichung P[ X λ] E X p, p 1, λp betrachten, wenn man X durch eine Familie von Zufallsvariablen ersetzt. Wiederum ermöglicht es uns die Rechtsstetigkeit der Pfade, die Ungleichung auch für überabzählbare Familien zu beweisen. Bevor wir den Beweis dieser beiden Ungleichungen angehen, wollen wir ein Beispiel zur Motivation betrachten. Beispiel 1 Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Aktienkurs mit Startwert A zum Zeitpunkt n einen gewissen Wert γ überschreitet. Dazu modellieren wir die zeitliche Entwicklung als Binomialmodel, d.h. A n = A Y 1 Y n, wobei wir die (Y i ) als unabhängig und identisch verteilt annehmen mit u, mit Wahrscheinlichkeit p >, Y i = d, mit Wahrscheinlichkeit q = 1 p, sowie EY i = µ > 1, u, d > und A > fest. So ist A = (A, A 1,...) ein Submartingal und mit der Ungleichung von Doob folgt P ( max A i > γ i {,1,...,n} ) EA n γ = A µ n γ. 15. Februar

32 1 Stochastische Prozesse Beweis der Ungleichungen von Doob. Wir betrachten zunächst den Fall einer abzählbaren Indexmenge I N. So ist für jedes λ und n durch τ inf{k I : X k λ} n eine Stoppzeit gegeben. Für p 1 ist x x p konvex und daher Xn p nach Jensens Ungleichung ein nichtnegatives Submartingal. Schreiben wir Xn sup k n X k, so folgt mit Satz 1.16, dass EXn p EXτ p = E(Xτ p 1 [X n λ]) + E(Xτ p 1 [X n <λ]) λ p P(Xn λ) + E(Xp n 1 [X n <λ]), denn τ = n falls Xn < λ. Subtrahieren ergibt nun P(X n λ) 1 λ p E(Xp n1 [X n λ]), p 1. Sei nun D [, ) abzählbar und dicht sowie D n D eine Ausschöpfung von endlichen Mengen. Dann gilt aufgrund der Rechtsstetigkeit sup t X t = sup t D X t = sup sup X t. t D n n 1 Schreiben wir A n = [sup t Dn X t λ], so wächst A n monoton. Bezeichnen wir das maximale Element von D n mit t n = max(d n ), so gilt P[sup X t λ] = P [ sup X t λ] = lim P(A n ) t t D n n n N lim inf n sup t 1 λ p E(Xp t n 1 [X tn λ]) 1 λ p E(Xp t 1 [sup t X t λ]). Um die zweite Ungleichung zu beweisen, wählen wir ein k 1 und betrachten für p > 1 ( ) k E((Xn k)p ) = E pλ p 1 1 X n λdλ k = p λ p 1 P[Xn λ]dλ k p λ p 2 E(X n 1 [X n λ])dλ ( k X ) n = pe X n λ p 2 dλ = p p 1 E ( X n (X n k) p 1), Februar 212

33 Optional Sampling und Optional Stopping 1-D wobei wir die oben bewiesene Abschätzung für P[Xn λ] sowie zweimal den Satz von Fubini verwendet haben. Um das Produkt abzuschätzen, verwenden wir die Hölderungleichung und bemerken, dass q = p p 1 zu p konjugiert ist. Somit gilt E((Xn k)p ) q E (X n (Xn k)p 1) q E(X p n) 1 p E((X n k)p ) p 1 p. Division durch E((Xn k)p ) p 1 p ergibt E((X n k)p ) 1 p q E(X p n) 1 p. Die rechte Seite hängt nicht von k ab, so dass wir mit dem Satz von der monotonen Konvergenz links zum Limes für k übergehen können. Schließlich erhalten wir X n L p q X n L p. ( ) Die Rechtsstetigkeit erlaubt es uns wieder, eine dichte Menge D [, ) zu betrachten, die wir mit endlichen Mengen D n D ausschöpfen. Auf jeder dieser endlichen Mengen gilt die Ungleichung ( ). Gehen wir nun rechts zum Supremum über und verwenden sup t X t = lim X n t n, so erhalten wir die Behauptung. v Mit Hilfe der Maximalungleichung und der L p -Ungleichung können wir Martingale auf L p -Konvergenz untersuchen. Der Fall p = 2 ist besonders interessant, da L 2 ein Hilbertraum ist und so einen geometrischen Zugang zu vielen Fragestellungen liefert. Beispielsweise kann man bedingte Erwartungen als ein gewisses Optimierungsproblem in L 2 auffassen Definition Ein Martingal X mit EX 2 t < für alle t heißt quadratintegrierbares Martingal. Gilt sogar sup t EX 2 t <, so heißt X L2 -beschränktes oder kurz L 2 - Martingal. Ein Martingal ist nach Satz 1.11 genau dann ein L 1 -Martingal, wenn es einen Abschluss in L 1 besitzt. Ein analoges Resultat existiert für den L 2 -Fall. Lemma X ist genau dann ein L 2 Martingal, wenn ein Abschluss X mit EX 2 < existiert. Beweis. Übungsaufgaben 1.6 und 1.7. v 15. Februar

34 1 Stochastische Prozesse 1-D Beispiele wichtiger stochastischer Prozesse Im Folgenden wollen wir die wichtigsten Eigenschaften von Poisson- und Wiener- Prozessen sammeln. Diese stochastischen Prozesse spielen eine fundamentale Rolle in der stochastischen Analysis und liefern eine wichtige Beispielklasse. Für eine ausführliche Darstellung sei auf die Vorlesung Stochastische Prozesse verwiesen. Poisson-Prozesse eigenen sich zur Modellierung von Zähldaten. Mit ihnen lässt sich beispielsweise die Fragestellung untersuchen, wie oft ein Ereignis A bis zum Zeitpunkt T eintritt. Wiener-Prozesse eigenen sich dagegen zur Modellierung von Messdaten, wie den Impuls oder den Ort eines Teilchens, welche sich aus dem unabhängigen Zusammenwirken vieler kleiner Einflüsse ergeben. Viele Vorgänge in der Natur und der Ökonomie lassen sich auf Poisson-Prozesse, Wiener-Prozesse oder eine Kombination beider zurückführen. Poisson-Prozess Poisson-Prozesse lassen sich als gewisse Zählprozesse auffassen Definition Ist = T < T 1 < T 2 <... eine strikt wachsende Folge positiver Zufallsvariablen, dann heißt der durch N t := n 1 1 [Tn t] definierte Prozess N = (N t ) t [, ] mit Werten in N { } der zur Folge (T n ) n N assoziierte Zählprozess. Wir stellen in dieser Definition keine weiteren Anforderungen an die zufälligen Zeiten T i. Fordern wir allerdings die Adaptiertheit von N, so erzwingen wir, dass die T i Stoppzeiten sind. 1.2 Satz Ein Zählprozess N ist genau dann zur Filtration F adaptiert, falls T 1, T 2,... Stoppzeiten sind. Beweis. : Seien T 1, T 2,... Stoppzeiten, dann ist für festes t jedes 1 [Ti t] F t - messbar und somit auch N t. : Sei N t adaptiert, so gilt für jedes i N und t [T i t] = [N t i] F t, also sind alle T i Stoppzeiten. v Februar 212

35 Beispiele wichtiger stochastischer Prozesse 1-D 1.14 Definition Ein adaptierter Zählprozess heißt Poisson-Prozess, falls 1. N t N s unabhängig von F s ist für s < t <, und 2. N t N s D = Nu N v für s < t <, v < u und t s = u v. Die Eigenschaften 1.) und 2.) werden als Unabhängigkeit der Zuwächse bzw. Stationarität der Zuwächse bezeichnet Satz Für einen Poisson-Prozess N = (N t ) t gilt λt (λt)n P[N t = n] = e, n, n! für ein λ >, d.h. N t ist π(λt)-verteilt. Ferner ist N stetig nach Wahrscheinlichkeit, d.h. lim u t N u P N t, t. Den Parameter λ nennt man auch Intensitätsrate von N Satz Ist N ein Poisson-Prozess mit Intensitätsrate λ >, so sind (N t λt) t und ((N t λt) 2 λt) t Martingale. Man bezeichnet den am Erwartungswert zentrierten Prozess (N t λt) t auch als kompensierten Poisson-Prozess. Beweis. Übungsaufgabe 2.2. v 1.23 Satz Ist N ein Poisson-Prozess, so ist die durch N erzeugte (sog. natürliche) Filtration F N = (F N t ) t, F N t = σ ({N s : s t}) rechtsstetig. Beweis. Sei E = [, ] und B = B E. Den Messraum Γ E s, B s, Es = E, B s = B, s [, ) s [, ) können wir als die Menge der Abbildungen f : [, ) E, s f (s) auffassen. Wir konstruieren nun einen Prozesses mit Werten in Γ π t : Ω Γ, π t (ω) : s N s t (ω), t. 15. Februar

36 1 Stochastische Prozesse Offenbar ist π t (Ω) {f : [, ) E : f ist konstant ab t}. Sei nun Λ n 1 Ft+1/n N, so ist zu zeigen, dass Λ F t N jedes n 1 eine Menge A n s [, ) B s mit. Zunächst existiert für Λ = [π t+1/n A n ]. Für jedes ω Ω existiert ein n 1, so dass s N s (ω) konstant auf [t, t + 1/n] ist. Setzen wir W n = [π t = π t+1/n ], so gilt W n Ω und daher ist Λ = lim n W n Λ = lim n W n [π t+1/n A n ] = lim n W n [π t A n ] = lim n [π t A n ]. Somit ist Λ Ft N gezeigt. Insgesamt gilt Ft N n 1 Ft+1/n N F t N rechtsstetig. v, also ist FN Wiener-Prozess Es existieren zahlreiche Möglichkeiten die Brownsche Bewegung zu definieren. Hier haben wir eine Definition gewählt, die möglichst analog zur Definition 1.14 des Poisson-Prozesses ist Definition Ein adaptierter Prozess B = (B t ) t mit Werten in R d heißt d-dimensionale Brownsche Bewegung oder Wiener-Prozess, falls 1. B t B s unabhängig von F s ist für s < t <, und 2. B t B s N(, (t s)c)-verteilt ist für s < t < mit einer Kovarianzmatrix C. Die Brownsche Bewegung startet in x, falls P(B = x) = 1. Falls zusätzlich C die Einheitsmatrix ist, heißt B Standard-Brownsche Bewegung. Im Falle einer Standard-Brownschen Bewegung stellen die Komponenten von B d unabhängige 1-dimensionale Standard-Brownsche Bewegungen dar und jede Koordinate der Zuwächse B t B s ist N(, t s)-verteilt. Im Fall einer beliebigen Kovarianzmatrix C, dies ist eine symmetrische und positiv definite Matrix, kann man die Februar 212