Stochastische Analysis. Karl-Theodor Sturm

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1 Stochastische Analysis Karl-Theodor Sturm

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3 Literatur: I. Karatzas, S. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus. 2nd ed. Springer 91 D. Revuz, M. Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion, 2nd ed. Springer 94 W. Hackenbroch, A. Thalmaier: Stochastische Analysis, Teubner 91 3

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5 Inhaltsverzeichnis Einführung 7.1 Analysis und ODEs Stochastische Analysis und stochastische Differentialgleichungen Die Idee des Itô-Integrals Stochastische DGl und partielle DGl Filtrationen und Stoppzeiten Stoch. Prozesse (Wiederholung) Filtrationen Adaptierte Prozesse Progressiv messbare Prozesse Stoppzeiten Treffer- und Eintrittszeiten Die T-Vergangenheit Treffer-Verteilung Martingale in stetiger Zeit Definitionen und elementare Eigenschaften Maximalungleichungen Regulierungsresultate Konvergenzsätze Optional Sampling Stetige Semimartingale und quadratische Variation Stetige Semimartingale Die Doob-Meyer Zerlegung Quadratische Variation Stetige L 2 -beschränkte Martingale Stochastische Integration Das Lebesgue-Stieltjes-Integral Das Itô-Integral für Elementarprozesse Das Itô-Integral für vorhersagbare, messbare Prozesse Erweiterung durch Lokalisation Itô-Differentiale

6 Inhaltsverzeichnis 5 Itô-Formel und Anwendungen Die Itô-Formel Exponentielle Martingale Lévy s Charakterisierung der BB Bessel-Prozesse Brownsche Martingale Zeitwechsel Lokale Martingale und zeittransformierte BBen Darstellung als stochastische Integrale Der Satz von Girsanov Die Novikov-Bedingung Wiener-Raum und Cameron-Martin-Raum Große Abweichungen Stochastische Differentialgleichungen Starke Lösungen Beispiele Lokale Lösungen, Maximallösungen Schwache Lösungen Schwache Lösungen und Lösungen des Martingalproblems Die starke Markov-Eigenschaft SDG und PDG Feller-Eigenschaft Die starke Markov Eigenschaft BB und Dirichlet-Problem für den Laplace-Operator BB als starker Markov-Prozess Die Mittelwerteigenschaft Randregularität Stochastisches Randverhalten

7 Einführung.1 Analysis und gewöhnliche Differentialgleichungen Die Erfindung der Analyis (= Differential- und Integralrechnung) durch Newton ( ) und Leibniz ( ) löste den Siegeszug der Mathematik bei der Beschreibung von Naturphänomenen und ökonomischen Zusammenhängen aus und führte zur Mathematisierung von Physik, Chemie, Biologie, Technik, Ökonomie,... Gewöhnliche Differentialgleichungen dienen der Modellierung von Phänomenen der realen Welt: dy t = b(t, y t ) dt. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erlaubt äquivalente Formulierung in differentieller und integreller Form: T y t = b(t, y t ) bzw. y T = y + b(t, y t ) dt.2 Stochastische Analysis und stochastische Differentialgleichungen Die Stochastische Analysis hat die Beschreibung von Naturphänomenen zum Ziel, die stochastischen (= nicht deterministischen) Einflüssen unterworfen sind. Dies geschieht z.b. mittels stochastischer Differentialgleichungen der Form Formal führt das zu dy t = b(t, Y t ) dt + σ(t, Y t ) dm t. (.1) Ẏ t = b(t, Y t ) + σ(t, Y t )Ṁt. (.2) b(t, Y t ) bezeichnet hier den Einfluss des (deterministischen) Signals, σ(t, Y t )Ṁt den Einfluß des (stochastischen) Rauschens. Für (M t ) t wählt man ein stetiges Martingal (also einen stochastischen Prozeß ohne erkennbare Signalkomponente), typischerweise die Brownsche Bewegung (BB). Problem: für solche (M t ) ist fast keine Trajektorie differenzierbar! Es gibt keine pfadweise stochastische Differentiation! (Lediglich eine Art stochastische Differentiation im distributiven Sinne im Rahmen des sog. Malliavin-Kalküls, von Paul Malliavin ab 1978 entwickelt.) Ausweg: Wir vergessen die differentielle Interpretation (.2) und definieren (.1) mittels der folgenden integralen Version T Y T = Y + T b(t, Y t ) dt + σ(t, Y t ) dm t (.3) 7

8 Einführung Hierzu müssen wir stochastischen Integralen der Form (für (M t ) t Martingal, (X t ) t messbarer stochastischer Prozeß ). Das geht! Itô Integral (Kyoshi Itô). T X t dm t eine Bedeutung geben R. Paley, N. Wiener, A. Zygmund (1933): (X t ) deterministisch, (M t ) BB K. Itô (1942,44): (X t ) stochastisch, (M t ) BB H. Kunita, S. Watanabe (1967): (X t ) stochastisch, (M t ) Martingal.3 Die Idee des Itô-Integrals Definition.3.1. Y t (ω) = T X t (ω) dm t (ω) als L 2 -Limes der Approximationen Y (n) T (ω) = X tk 1 (ω) (M tk T(ω) M tk 1 T(ω)) (.4) t i (n) für Partitionen (n) von [, [ mit Feinheit (n). Für eine große Klasse von (M t ) und (X t ) existiert dieser Limes und es gilt: (Y t ) t ist stetiges Martingal E(Yt 2 ) = E X 2 s d M s mit M = Quadratische Variation von M = (M t ) k (z.b. M t = t für BB). Achtung: Diese Eigenschaften gelten nicht, falls man in (.4) X tk 1 durch X tk (rückläufiges Itô-Integral) oder 1 2 (X t k 1 + X tk ) (Stratonovich-Integral) ersetzt! Allerdings gilt für das Itô-Integral nicht df(m t ) = f (M t ) dm t (das gilt für klassische Integrale und für das Stratonovich-Integral), sondern die Itô-Formel (Kettenregel für stochastische Integrale) df(m t ) = f (M t ) dm t f (M t ) d M t.4 Stochastische DGl und partielle DGl Sei (M t ) t die d-dim BB mit infinitesimalem Erzeuger 1 2 = 1 2 der SDGl dy t = b(y t )dt + σ(y t ) dm t. Dann hat (Y t ) t folgenden infinitesimalen Erzeuger L = 1 2 d 2 a ij (x) + x i x j i,j=1 d i=1 d i=1 b i (x) x i 2 x 2 i und (Y t ) t die Lösung 8

9 .4 Stochastische DGl und partielle DGl mit b (Drift-Vektor) wie oben und a = σσ (Diffusionsmatrix), d.h. a ij (x) = d σ ik (x) σ jk (x). Es gilt also 1 lim t t (E xf(y t ) f(x)) = (Lf)(x). Partielle DGl lassen sich mit Hilfe stochstischer DGl lösen! k=1 9

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11 1 Filtrationen und Stoppzeiten Im folgenden sei stets vorgegeben ein Wahrscheinlichkeits-Raum (Ω, F,P). 1.1 Stoch. Prozesse (Wiederholung) Definition Sei (E, E) ein Messraum. Eine Familie X = (X t ) t heißt stochastischer Prozess (auf (Ω, F,P) mit Werten in (E, E)), falls t : X t : Ω E ist F-messbar (genauer: F/E-messbar), d.h. eine Zufallsvariable. t [, [ wird als Zeit interpretiert, E als Zustandsraum (meist E = R d und E = B(R d )). Für fixes ω Ω heißt die Abbildung X (ω) : R + E, t X t (ω) Trajektorie. Wir verwenden folgende äquivalente Interpretationen: X : R + Ω E, (t, ω) X t (ω) X : Ω E R +, ω X (ω) (zufälliges Auswählen von Trajektorien). Definition Zwei stochastische Prozesse X, Y (auf dem selben W.-Raum (Ω, F, P) mit dem selben Zustandsraum (E, E)) heißen Modifikationen voneinander, falls P(X t = Y t ) = 1 für alle t. ununterscheidbar, falls P(X t = Y t für alle t ) = 1, mit anderen Worten P(X = Y ) = 1. Bemerkung Ununterscheidbar Modifikation voneinander! Umkehrung gilt i.a. nicht! ( { z.b. Ω = [, 1], P = λ 1 1, falls t = ω, X t (ω) =, ( t, ω) und Y t (ω) :=, sonst ) Lemma Seien fast alle Trajektorien von X, Y rechtsseitig stetig. Dann gilt: Ununterscheidbar Modifikation voneinander. Beweis. Übung. 11

12 1 Filtrationen und Stoppzeiten 1.2 Filtrationen Definition Eine Familie (F t ) t heißt Filtration (=Filtrierung) falls s t < : F s, F t σ-algebren auf Ω sind mit F s F t F. Intuitiv: F t enthält die bis zum Zeitpunkt t [, [ verfügbare Information. (Erlaubt Unterscheidung von Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft.) Definition (Ω, F, F t, P) heißt filtrierter Wahrscheinlichkeits-Raum oder stochastische Basis. Man setzt: F t+ = F s, s>t F t = σ(f s : s < t), F = {, Ω} und F = σ(f t : t ) = σ(f t+ : t ) = σ(f t : t ). Offenbar gilt F t F t F t+. Definition (F t ) heißt rechtsstetige Filtration, falls F t = F t+ ( t ). Beispiel Stets ist (F t+ ) t eine rechtsstetige Filtration. Definition Der filtrierte Wahrscheinlichkeits-Raum (Ω, F, F t,p) heißt vollständig, wenn F alle (F,P)-Nullmengen enthält. Eine Menge A Ω heißt (F,P)-Nullmenge, falls A F mit A A und P(A ) =. Bemerkungen (i) Ist (Ω, F, F t, P) vollständig, so ist jeder der Wahrscheinlichkeits-Räume (Ω, F t,p) vollständig. (ii) Umkehrung gilt nicht! Es gibt i.a. mehr (F,P)-Nullmengen als (F,P)-Nullmengen. (iii) Man erhält einen vollständigen filtrierten Wahrscheinlichkeits-Raum durch Augmentieren: Ersetze F und F t durch F = σ(f N) bzw. F t = σ(f t N) mit N = Menge der (F, P)-Nullmengen. (Hinweis: Statt (F, P)-Nullmengen verwenden manche Autoren bei obiger Definition (F, P)-Nullmengen.) Definition Der filtrierte Wahrscheinlichkeits-Raum (Ω, F, F t,p) genügt den üblichen Bedingungen (bzw. ist ein standard-filtrierter Wahrscheinlichkeits-Raum), falls er vollständig ist und die Filtration (F t ) rechtsstetig ist. Bemerkung Standard-Erweiterung: (i) Augmentieren: F t und F, (ii) Rechte Limiten (F t+) (Ω, F t+, F, P) standard filtrierter Wahrscheinlichkeits- Raum. 12

13 1.3 Adaptierte Prozesse 1.3 Adaptierte Prozesse Definition (i) Gegeben: Stochastischer Prozess X auf (Ω, F, P) mit Werten in (E, E). heißt die von X erzeugte Filtration. F X t := σ(x s : s t) (ii) X heißt an eine vorgegebene Filtration (F t ) t adaptiert, falls oder, mit anderen Worten, falls X t Beispiele (i) (X t ) ist an (F X t ) adaptiert. (Trivial) F t X F t ( t ) (ii) Sei f L 1 (Ω, F,P) und (F t ) t gegeben. Sei weiter X t := E(f F t ) Dann ist (X t ) t an (F t ) t adaptiert. F t -messbar ( t ) ist. Bemerkung Oft bezeichnet man die von einem Prozess X erzeugte Filtration (F X t ) mit (F t ) und ihre Standard-Erweiterung dann mit (F t ). (iii) Gegeben: (X t ) t und (Y t ) t ununterscheidbar, (X t ) t an (F t ) adaptiert und (Ω, F, F t,p) vollständig (Y t ) t an (F t ) adaptiert. (Achtung: Hier reicht nicht, daß (Ω, F t,p) vollständig ist!) 1.4 Progressiv messbare Prozesse Definition Ein Prozess X heißt progressiv messbar bzgl. einer Filtration (F t ) t, falls für alle t : die Abbildung X : [, t] Ω E, (s, ω) X s (ω) messbar bzgl. B([, t]) F t ist. Proposition Sei X ein stochastischer Prozess mit Werten im topologischen Raum E, rechtsstetig (d.h. alle(!) Trajektorien t X t (ω) sind rechtsstetig) (oder linksstetig), und adaptiert an (F t ) t. Dann ist X progressiv messbar. Beweis. Sei X rechtsstetig, t > fix. Wir approximieren X durch X (n) mit X (n) s (ω) := X (k+1)t2 n(ω) für s ]kt2 n, (k + 1)t2 n ], k =, 1,...,2 n 1 und X (n) (ω) := X (ω). Dann ist X (n) : (s, ω) X s (n) (ω) messbar bzgl. B([, t]) F t. Wegen Rechtsstetigkeit: lim n X(n) s (ω) = X s (ω) für alle (s, ω) [, t] Ω. X : [, t] Ω E ist B([, t]) F t -messbar. 13

14 1 Filtrationen und Stoppzeiten 1.5 Stoppzeiten Definition Eine Abbildung T : Ω [, ] heißt Stoppzeit bzgl. (F t ), falls t : {T t} F t, wobei {T t} := {ω Ω : T(ω) t}. Sie heißt schwache Stoppzeit (oder Optionszeit) bzgl. (F t ), falls t Bemerkungen {T < t} F t. (i) Jede Stoppzeit ist schwache Stoppzeit, denn {T < t} = { T t 1 } F t n n F t 1 n F t (ii) T ist schwache Stoppzeit bzgl. (F t ) T ist Stoppzeit bzgl. (F t+ ). (iii) (F t ) rechtsstetig Jede schwache Stoppzeit ist Stoppzeit. Beispiel Jede konstante Zeit T t ist eine Stoppzeit. (iv) T ist Stoppzeit X t = 1 [,T[ (t) ist adaptiert, (denn {X t = } = {T t}). Proposition (i) Mit S und T sind auch S T, S T, S + T (schwache) Stoppzeiten. (ii) Mit T n (schwache) Stoppzeit ( n N) ist auch sup T n eine (schwache) Stoppzeit und inf T n eine schwache Stoppzeit. n ( { } Denn: sup T n t = {T n t} und n n n { } inf T n < t = n n {T n < t}. (iii) Jede schwache Stoppzeit T läßt sich monoton durch Stoppzeiten T n mit endlichem Wertebereich approximieren: { (k + 1)2 n auf {k2 n T < (k + 1)2 n }, k =, 1,...,4 n, T n :=. + sonst n T n T, Tn T n+1 > T und T n > T auf {T < }. Proposition (Galmarino s Test). Sei Ω = C(R +, R d ) (oder Ω = D(R +, R d ) = {ω : R + R d càdlàg}), X t (ω) = ω(t) und F t = F t X. Dann gilt: ) 14

15 1.6 Treffer- und Eintrittszeiten (i) T ist (schwache) Stoppzeit genau dann, wenn t, und ω, ω Ω gilt: (T(ω) t) und s t : X s (ω) = X s (ω ) T(ω) = T(ω ). (<) Ist T Stoppzeit, dann gilt (ii) A F T (ω A, s T(ω) : X s (ω) = X s (ω ), T(ω) = T(ω ) ω A). (iii) f ist F T -messbar f(ω) = f(ω T ) mit ω T (s) = ω(s T(ω)). (iv) F T = σ(x T s : s ). 1.6 Treffer- und Eintrittszeiten Definition Sei (X t ) ein an (F t ) adaptierter Prozeß und A E. T A (ω) := inf{t : X t (ω) A} T A(ω) := inf{t > : X t (ω) A} Eintrittszeit von A Trefferzeit von A (jeweils mit inf := +.) Bemerkungen (i) Für Γ R + Ω D Γ (ω) := inf{t : (t, ω) Γ} Debut von Γ Somit für A E : T A = D X 1 (A). (ii) (Ω, F, F t,p) genüge den üblichen Bedingungen Debut-Theorem: Für jedes progressiv messbare Γ R + Ω ist D Γ eine Stoppzeit. Korollar: X progressiv messbar T A ist Stoppzeit A E. (iii) Jede Stoppzeit ist eine Eintrittszeit: wähle X t := 1 [,T[ (t) und A := T A = T. Satz Sei X = (X t ) t adaptiert (an vorgegebene Filtration (F t ) t ) und rechtsstetig (d.h. E ist topologischer Raum und alle Trajektorien X (ω) sind rechtsstetig). (i) T A = T A schwache Stoppzeit ( A offen E) (ii) Ist X sogar stetig und E metrisierbar, so ist T A Stoppzeit ( A E abgeschlossen) und T A schwache Stoppzeit ( A F σ -Menge, d.h. A = n A n mit A n abgeschlossen). (iii) (ohne Beweis) Genügt (Ω, F, F t, P) den üblichen Bedingungen, so ist T A Stoppzeit ( A E = B(E)) 15

16 1 Filtrationen und Stoppzeiten Beweis. (i) Stets ist {T A t} = {X s A : s [, t[} und {T A t} = {X s A : s ], t[}. Daher bei offenem A und rechtsstetigem X: T A ist schwache Stoppzeit. (ii) Für A abgeschlossen {T A t} = {TA t} = {X s / A : s [, t[ Q} = {X s / A} F t {T A > t} = {X s A : s [, t]} s [,t[ Q = {ω : d(x s (ω), A) >, s [, t]} {ω : d(x s (ω), A) 1n }, s [, t] = n N [wegen Stetigkeit von X s (ω) und damit von s d(x s (ω), A)] {ω : d(x s (ω), A) 1n }, s [, t] Q = n N = n N s [,t] Q { d(x s ( ), A) 1 } F t n Ist A = A n mit A n abgeschlossen ( T An schwache Stoppzeit (siehe Proposition 1.5.4). Stoppzeit), so ist T A = inf n T A n Beispiele Ω = C(R +, R d ), X Koordinatenprozess (d.h. X t (ω) = ω(t)) und F t = Ft X. Sei A R d offen. TA ist schwache Stoppzeit, aber keine Stoppzeit. F t F t+ Intuitive Begründung (Genaueres siehe Übung Galmarino s Test ): Wähle ω mit ω() A und ω(t) A für ein t >, d.h. für t = TA (ω) gilt: < t <. Wegen Stetigkeit ist ω(t ) = A. Definiere neuen Pfad ω Ω durch ω (t) = ω(t t ). Offenbar ω A( t ) und damit TA (ω ) = +. Nun gilt: ω(t) = ω (t) t t Γ F t : ω Γ ω Γ (Galmarino) Aber offensichtlich ist ω {TA t } und ω {TA t } {TA t } F t TA keine Stoppzeit. (F t ) nicht rechtsstetig. Weitere Beispiele für (schwache) Stoppzeiten: 16

17 1.7 Die T-Vergangenheit A, B E disjunkt, T :=, n N T 2n+1 = inf{t T 2n : X t A} T 2n+2 = inf{t T 2n+1 : X t B} (z.b. A = R d \ B, schlecht bei BB, dann fast sicher T n = T 1 Keine (schwache) Stoppzeit Letzte (oder vorletzte etc.) Austrittszeit aus A L A = sup{t : X t A}. Denn (intuitiv): Ist L A (ω) = t so weiß ω das zum Zeitpunkt t (und auch unmittelbar danach) noch nicht!! (sondern erst am Ende seiner Tage.) 1.7 Die T-Vergangenheit Definition Für Stoppzeit T sei n) F T = {A F : A {T t} F t für alle t } die σ-algebra der T-Vergangenheit. Analog läßt sich für schwache Stoppzeiten T definieren F T+ = {A F : A {T < t} F t für alle t } Beides sind tatsächlich σ-algebren (Beweis wie im diskreten Fall). Jede Stoppzeit T ist F T -meß bar, jede schwache Stoppzeit F T+ -meß bar. F T besteht aus den Ereignissen, die bis zum zufälligen Zeitpunkt T eintreten. Stets ist F T F T+. Für T t ist F T = F t und F T+ = F t+. Bemerkungen Wie im diskreten Fall gelten folgende Eigenschaften: (i) S T F S F T (ii) F S T = F S F T (iii) E( F S T ) = E(E( F S ) F T ) (iv) T n schwache Stoppzeit ( n N), T = inf n T n (T ist also eine schwache Stoppzeit). Dann gilt n F Tn+ = F T+ Kurze Wiederholung: Sei G t := F t+. Dann gilt: T schwache Stoppzeit bzgl. (F t ) T Stoppzeit bzgl. (G t ) und F T+ = G T. Satz Sei X progressiv messbar und T eine Stoppzeit. (i) X T : {T < } E, ω X T(ω) (ω) ist F T -messbar. (ii) Der gestoppte Prozeß X T : (t, ω) X T(ω) t (ω) ist progressiv meßbar. (sowohl bzgl. (F t ) t als auch bzgl. (F t T ) t ). 17

18 1 Filtrationen und Stoppzeiten Beweis. (i) T ist F T -messbar für fixes t gilt: T : {T t} [, t] Ω, ω (T(ω), ω) ist F t {T t}/b([, t]) F t -messbar, denn für B B([, t]) und A F t gilt: {T B A} {T t} = {T B} A {T t} F t Progressive Messbarkeit von X : R + Ω E bedeutet B([, t]) F t /E-Messbarkeit von X auf [, t] Ω. F t {T t}/e-messbarkeit von X T = X T auf {T t}. Das gilt t X T ist F T /E-messbar auf {T < }. (ii) Für fixes t gilt: T t : Ω [, t] Ω, ω (T(ω) t, ω) ist F t T /B([, t]) F t -messbar T t : [, t] Ω [, t] Ω ist B([, t]) F t T -messbar. Da X progressiv messbar ist, gilt: X T = X T t : [, t] Ω E, (s, ω) X T s (ω) ist B([, t]) F t T /E-messbar 1.8 Treffer-Verteilung Korollar Sei X progressiv messbar und T eine schwache Stoppzeit. Dann definiert ν T (C) = P(X T C, T < ) ( C E) ein Maß ν T auf (E, E). Speziell für T = T A heiß t ν T Trefferverteilung. Ist T < f.s., so ist ν T ein Wahrscheinlichkeitsmaß, nämlich das Bildmaß ν T = X T (P) = P XT = P X 1 T. Beweis. Sei P (C) = P(C {T < }) P Maß auf (Ω, F) bzw. äquiv. auf (Ω, Ω F) mit Ω := {T < } Ω. Auf Ω ist X T F T+ -messbar, also F-messbar. ν T = P X 1 T ist Maß. Satz Sei X stetig und T = T A mit A E abgeschlossen. Dann sind die Verteilungen von T und X T, also P(T ) und ν T ( ) = P(X T, T < ), durch die endlich-dimensionalen Verteilungen von X festgelegt. Beweis. Wir zeigen die Behauptung für ν T. Es genügt z.z. ν T (C) ist ( C E abge- 18

19 1.8 Treffer-Verteilung schlossen) durch die endlich-dimensionalen Verteilungen festgelegt. Hierfür gilt ν T (C) = P [{X T C} {T < }] = P [{ t R + : s [, t[: X s / A und X T A C}] = P [ { k N : n k : t Q + : s [, t[: X s / B 1/n (A), X t B 2/n (A C)} ] = P {X s / B 1/n (A)} {X t B 2/n (A C)} k N n k t Q + s Q + [,t[ Beispiel Sei X die d-dim. standard BB (d.h. P = Wiener Maß, E = R d, X = ), x R d, r 2 > x 2. T x := T Br(x) = T B r(x). Dann ist (i) E(T x ) = r2 x 2 d und (ii) ν T ( ) das zu 1 normierte Oberflächenmaß σ r auf B r (). Beweis. (ii) Sei C eine Borel-Teilmenge von B r () und A eine orthogonale d d- Matrix. Aufgrund der Rotationsinvarianz der BB gilt: ν T (C) = P(X T C) = P((A X) T C) = P(X T A 1 C) = ν T (A 1 C) ν T ist rotationsinvariant und normiert Beh. Für jede beschränkte oder nicht-negative Borel-Funktion f auf R d folgt: E(f(X T Br() )) = f(y)σ r ( dy) B r() (i) Offenbar ist T Br() = T B r() < (z.b. wegen das Satzes vom iterierten Logarithmus). Nun ist M t := X t x 2 d t x 2 ein Martingal mit M =. X t T x 2 d (t T) x 2 ist Martingal d E(t T) = E( X t T x 2 ) x 2 r 2 x 2 ( t) d E(T) r 2 x 2 Umgekehrt folgt aus dem Lemma von Fatou und der Stetigkeit von X: d E(T) = lim t E( X t T x 2 ) x 2 E( lim t X t T x 2 ) x 2 = r 2 x 2 Mit aanderen Worten: Für die in x startende BB (X t,p x ) gilt: E x (T ) = r2 x 2 Im Falle d = 1: Seien a, b, B r (x) =] a, b[, T = T { a,b} E(T) = a b d 19

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21 2 Martingale in stetiger Zeit Stets vorgegeben: Filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, F t,p), E = R Definitionen und elementare Eigenschaften Definition Ein stochastischer Prozess X = (X t ) t heißt Submartingal (bzgl. (F t )), falls X an (F t ) adaptiert R-wertig mit E(X + t ) < ( t ) s < t : E(X t F s ) X s f.s. (2.1) X heißt Supermartingal, falls X ein Submartingal ist. Es heißt Martingal, falls es sowohl Sub- als auch Supermartingal ist. Ein Sub-/Supermartingal X mit E( X t ) < ( t ) heißt integrierbares Sub- /Supermartingal bzw. L 1 -Sub-/Supermartingal. Jedes (Sub-)Martingal X bzgl. (F t ) ist auch ein (Sub-)Martingal bzgl. der von ihm erzeugten Filtration (Ft X ), sowie bzgl. jeder Filtration (G t ) mit Ft X G t F t. Ebenso bzgl. der augmentierten Filtration (F t ), denn E( F t ) = E( F t ) f.s. I.A. ist jedoch für G t F t der Prozess X kein (Sub-)Martingal mehr bzgl. (G t ). Die Submartingal-Ungleichung (2.1) bedeutet: s < t, A F s : X t dp X s dp A Beispiel (trivial) Sei F t F ( t ). Dann gilt: (X t ) Submart. s t : X t + L 1 und X s X t f.s. Faustregel: Martingale Beschreiben faire Spiele, Supermartingale beschreiben realistische Spiele: E(X t F s ): was ich aus jetziger Sicht zukünftig erwarten darf X s : was ich jetzt habe. Proposition (Standardbeispiele). Sei X die d-dim. BB und F t = F X t. Für x, y R d bezeichne x y das kanonische Skalarprodukt. Dann sind Martingale: (i) y X t für y R d, insbesondere die Koordinatenprozesse X i t für i = 1,...,d. A 21

22 2 Martingale in stetiger Zeit (ii) X t 2 d t (iii) exp(y X t 1 2 y 2 t) für y R d Beweis. (i) Sei Y t = y X t und s < t. E(Y t F s ) = y E( (X t X s ) F }{{} s ) +y E( X s F }{{} s ) = y X s = Y s unabhängig von F s messbar bzgl. F s }{{} = (ii) E( X t 2 F s ) = E( X t X s 2 + 2X s (X t X s ) + X s 2 F s ) = (t s) + + X s 2 (iii) Sei Y = exp(y X t y 2 2 t) E(Y t F s ) = e y 2 2 t E(e y(xt Xs) e yxs F s ) = e y 2 2 t e y Xs E(e y (Xt Xs) ) }{{} e y2 /2 (t s) denn sei Z t eine in startende d-dim. BB: E(e y Zt ) = e y z dp Zt ( dz) yz = (2πt) d/2 e z2 2t dz R d e = e y 2 2 t = e y 2 2 t R d (2πt) d/2 e (z yt)2 2t = Y s dz Bemerkung (i) Seien X, Y Martingale. Dann sind X +Y, X Y, αx ebenfalls Martingale ( α R) (ii) Seien X, Y Submartingale. Dann sind X +Y, X Y, αx Submartingale ( α ) (iii) Sei X ein Martingal und ϕ : R R konvex (oder X ein Submartingal und ϕ : R R konvex und isoton) und E( ϕ(x t ) ) < ( t ). Dann ist (ϕ(x t )) t Submart. (z.b. (X + t ) t ). (iv) Sei X ein Martingal X ist ein L 1 -Submartingal mit t E(X t ) konst. Beweis. a), b) trivial. c) Jensen d) E(X t X s F s ) und E(X t X s = ) E(X t X s F s ) =. 22

23 2.2 Maximalungleichungen 2.2 Maximalungleichungen Satz ((Maximalungleichung)). Sei (X t ) t ein Submartingal, T [, [ abzählbar (oder X rechtsstetiges Submartingal, T = [, [) und X (ω) = sup X t (ω). Dann gilt t T (i) λ P(X λ) supe(x t + ) t T (ii) Ist sogar X oder X ein Martingal, dann gilt p > 1: X p p p 1 sup X t p t T Lemma Für a < b R gilt unter obigen Voraussetzungen: Hierbei (b a) E(D T (a, b, X(ω))) supe((x t b) + ) t T D T (a, b, X(ω)) = sup{n N : t 1 < t 2 < < t 2n T : X t1 (ω) > b, X t2 (ω) < a, X t3 (ω) > b,...,x t2n (ω) < a} = Anzahl der absteigenden Überquerungen von [a, b] durch X (ω) T. Beweis von Satz und Lemma: Aussage bekannt für T endlich. Wähle isotone Folge (T n ) mit T n endlich, T n = T. Die Behauptungen folgen mit dem Satz von der monotonen Konvergenz. 2.3 Regulierungsresultate Satz Sei (X t ) t ein (F t ) t -Submartingal mit X t L 1 ( t ). (i) Dann Ω F,P(Ω ) = 1 : ω Ω : t existiert X t+ (ω) = lim X s(ω) und sցt,s Q t > existiert X t (ω) = lim X s(ω). sրt,s Q (Für ω / Ω setze man X t± (ω) = lim supx s (ω).) (ii) Dann sind X t+, X t L 1 und t : und t > : E(X t+ F t ) X t f.s. ( ) E(X t F t ) X t f.s. ( ) Dabei gilt Gleichheit in ( ) (bzw. ( )), falls t E(X t ) rechts- (bzw. links-)stetig ist. Insbesondere, falls X ein Martingal ist. 23

24 2 Martingale in stetiger Zeit (iii) (X t+ ) t ist ein Submartingal bzgl. (F t+ ) (und (X t ) t eines bzgl. (F t ).) Ist (X t ) ein Martingal, so sind beides Martingale (bzgl. der jeweiligen Filtration). (iv) Fast jede Trajektorie von (Y t ) = (X t+ ) ist rcll cádlág, d.h.: Y (ω) : t Y t (ω) ist rechtsstetig (rc) (cád) und besitzt linke Limiten (ll) (lág) Beweis. (i) Wir zeigen X t. Es gilt: { } ω : lim X s(ω) existiert nicht für ein t > sրt,s Q = { } ω : lim X s(ω) existiert nicht für ein t [, n] sրt,s Q n N = { } ω : lim inf X s(ω) a < b lim sup für ein t [, n] sրt,s Q n N a,b Q,a<b sրt,s Q { ω : U[,n] Q (a, b, X(ω)) = + }. n N a,b Q,a<b Nun ist E ( U [,n] Q (a, b, X(ω)) ) 1 b sup E((X t b) + ) t [,n] Q = 1 b E((X n b) + ) < P({ω : U ( U [,n] Q (a, b, X(ω)) ) = + }) = P({ω : lim X s(ω) existiert nicht für ein t > }) =. sրt,s Q (ii) Fixiere t und (t n ) n N Q mit t n ց t für n. Dann ist (X tn ) n N ein Submartingal bzgl. (F tn ) n N ( rückläufiges Submartingal ) mit supe( X tn ) n 2 supex t + n inf EX t n n n 2 EX t + n EX t < X t+ L 1, X tn X t in L 1. Aus X t E(X tn F t ) folgt daher X t E(X t+ F t ). Ferner (wegen L 1 -Konvergenz) E(X t+ ) = lim n E(X tn ), und falls t E(X t ) rechtsstetig, folgt E(X t ) = E(X t+ ). X t = E(X t+ F t ). ( ) analog: X tn E(X t F tn ) E(X t F tn ) E(X t F tn ) X t E(X t F t ). 24

25 2.4 Konvergenzsätze (iii) Fixiere s < t und sei s n eine Folge mit t > s n ց s. Dann gilt X sn E(X t F sn ) E(E(X t+ F t ) F sn ) = E(X t+ F sn ) X s+ E(X t+ F s+ ). (iv) Rechtsstetig klar, linke Limiten wegen (i), angewandt auf das Submartingal (X t+ ). Korollar Sei X rechtsstetiges Submartingal bzgl. (F t ). (i) Dann ist es Submartingal bzgl. (F t+ ) und bzgl. dessen Augmentierung. (ii) Fast jede Trajektorie ist cádlág. Korollar Sei X (Sub-)Martingal bzgl. (F t ), welche die üblichen Bedingungen erfüllt, und sei t E(X t ) rechtsstetig (z.b. konstant, falls X Martingal). Dann Modifikation Y von X mit cádlág- Trajektorie und Y ist (Sub-)Martingal bzgl. (F t ). Beweis. Wähle Y t = X t+ von vorhin. Bleibt zu zeigen: (Y t ) ist Modifikation von (X t ), d.h. t : P(Y t = X t ) = 1. Nun gilt aber nach (ii) aus vorigem Satz: und wegen F t = F t+ : E(X t+ F t ) = X t E(X t+ F t ) = X t+ f.s. f.s. 2.4 Konvergenzsätze Satz (Submartingal-Konvergenz). Sei (X t ) rechtsstetiges Submartingal mit Dann X := lim t X t f.s. supe(x t + ) <. t Korollar Sei (X t ) t rechtsstetiges, nicht-negatives Supermartingal. Dann existiert X = limx t f.s. Satz Sei (X t ) t rechtsstetiges, nicht-negatives Supermartingal (oder rechtsstetiges Martingal). Dann sind äquivalent: (ii) lim t X t existiert in L 1. (iii) X L 1 : X = lim t X t f.s. mit (X t ) t [, ] ist Submart. (bzw. Mart.) bzgl. (F t ) t [, ]. 25

26 2 Martingale in stetiger Zeit (i) {X t : t [, [} ist gleichgradig integrierbar. Bemerkungen (1) Die Aussagen sind erfüllt, falls sup t X t p < für ein p > 1. In diesem Fall X L p und X t X in L p. (2) Die Implikationen (i) (ii) (iii) gelten bereits für rechtsstetige Submartingale. (3) Ist X rechtsstetiges Martingal, so ist ferner äquivalent zu (i), (iii): (iv) X L 1 : t : X t = E(X F t ). Bemerkung {Y t : t I} gleichgradig integrierbar : 2.5 Optional Sampling supe( Y t 1 { Yt >M}) M. t I Satz Seien X rechtsstetiges Submartingal bzgl. (F t ) und S, T beschränkte Stoppzeiten mit S T. Dann gilt E(X T F S ) X S f.s. Beweis. Sei t T und zunächst X ( L 1 ). Approximiere S und T durch Stoppzeiten S n, T n t mit endlichem Wertebereich, S n ց S, T n ց T. X Sn X S, X Tn X T. Nun gilt (Doob Lemma): X Sn E(X t F Sn ) {X Sn : n N} gleichgradig integrierbar (denn {E(X t F Sn )} ist gleichgradig integrierbar) X Sn X s in L 1, analog X Tn X T in L 1. Ferner gilt F Sn X Sn dp X Tn dp A F Sn A F S A A n X S dp X T dp A F S A A Behauptung für X t. analog: Behauptung für X (n) t = X t ( n) Behauptung für beliebiges X t mit monotoner Konvergenz. Korollar Sei X rechtsstetig, adaptiert, integrierbar. Äquivalent sind (i) X ist Martingal. (ii) beschränten Stoppzeiten T ist E(X T ) = E(X ). 26

27 2.5 Optional Sampling Beweis. Optional Sampling. Sei s < t und A F s. Definiere S := s 1 A + t 1 A C, d.h. { s, falls ω A S(ω) := t, sonst. Dann ist S Stoppzeit und E(X ) = E(X S ) = E(X t 1 A C) + E(X s 1 A ). Ebenso ist T t Stoppzeit und daher E(X ) = E(X T ) = E(X t 1 A C) + E(X t 1 A ) Behauptung Korollar Unter obigen Voraussetzungen sind ebenfalls äquivalent (i) X ist (Sub-)Martingal. (ii) beschränten Stoppzeiten S T gilt: (Bei Martingalen: o.b.d.a. S =.) E(X S ) E(X T ). Beweis. : Sei s t, A F s. Definiere S := s 1 A +t 1 A C und T t S Stoppzeiten. E((X t X s ) 1 A ) = E(X T X S ) Behauptung. Korollar (Optional Stopping). Sei X rechtsstetiges (Sub-)Martingal und T Stoppzeit. Dann ist auch X T = (X t T ) t ein (Sub-)Martingal. 27

28

29 3 Stetige Semimartingale und quadratische Variation Ab nun stets: (Ω, F, F t,p) filtrierter Wahrscheinlichkeits-Raum, der den üblichen Voraussetzungen genügt. 3.1 Stetige Semimartingale Definition (i) Ein Prozess X heißt stetig und wachsend (kurz X A + ), falls er adaptiert ist und für fast alle ω Ω gilt: Die Abbildung ist stetig und wachsend. X (ω) : t X t (ω) (ii) Ein Prozess X heißt stetig und von endlicher Variation (oder stetig und lokal von beschränkter Variation), kurz X A, falls er adaptiert ist und für fast alle ω Ω gilt: t X t (ω) ist stetig und von endlicher Variation, d.h. t ist die Variation S t (ω) = S t (X(ω)) = sup { n i=1 von s X s (ω) auf [, t] endlich. Lemma X A X = Y Z mit Y, Z A +. X ti (ω) X ti 1 (ω) : n N, t < t 1 < < t n t Beweis. Y = 1 2 (S + X), Z = 1 2 (S X), mit S = Variation von X. Definition (i) Ein Prozess X heißt stetiges, lokales Martingal, kurz X M loc, wenn er adaptiert und stetig ist, und wenn Stoppzeiten T n existieren mit T n ր f.s. und X Tn Martingal ( n N). (ii) Ein Prozess heißt stetiges Semimartingal, kurz X S, falls M M loc, A A : X = M + A. } Bemerkungen (zu lokalen Martingalen). X M loc [Wähle T n = n N]. (i) X M (d.h. stetiges Martingal) (ii) X M loc, X X Supermartingal. (denn E(X t F s ) = E(lim X t Tn F s ) Fatou lim inf E(X t Tn F s ) = X s ). n n 29

30 3 Stetige Semimartingale und quadratische Variation (iii) X M loc, X beschränkt X Martingal. (iv) X M X M loc und s : ist {X T s : T Stoppzeit} gleichgradig integrierbar. (v) gleichgradig integrierbares X M loc : X / M. Proposition Sei M loc := {X M loc : X = f.s.}. Dann ist M loc A = {} und S = M loc A. Mit anderen Worten: X M loc A X konstant = X. Beweis. (i) Es genügt zu zeigen: X M A X =, denn dann: X M loc A (T n), X Tn M A X Tn = X =. (ii) Genügt zu zeigen für X beschränkt mit global beschränkter Variation S, denn: Sei T n = inf{t : X t > n oder S t > n} X Tn M A X Tn = X =. (iii) Sei ε >, T = und T i+1 = inf{t T i : X t X Ti > ε}. Wegen X stetig: T i (für i ). Nun gilt E ( ( XT 2 ) n 1 ( ) ) n = E XT 2 i+1 XT 2 i = E i= ( n 1 ε E ) ( ) 2 XTi+1 X Ti i= ( n 1 2 E E ( ) X Ti+1 X Ti F Ti }{{} i= = n 1 + ) X Ti+1 X Ti ε E(S ). i= X Ti Wegen S beschränkt und ε beliebig gewählt war, folgt E ( X 2 T n ) = E ( X 2 ) = (mit Doobscher L 2 -Ungleichung) E( sup t R + X 2 t ) 2 2 E(X 2 ) = X f.s. 3.2 Die Doob-Meyer Zerlegung Satz (Doob-Meyer). Sei X stetiges Supermartingal. Dann M M loc und A A + mit X t = M t A t. Hierbei sind M und A eindeutig (bis auf Ununterscheidbarkeit). 3

31 3.2 Die Doob-Meyer Zerlegung Beweis. (i) Eindeutigkeit: Sei X t = M t A t = N t B t mit M, N M loc, A, B A+. M N = A B M A = {} Eindeutig! (ii) Existenz im zeit-diskreten Fall: Sei (X n ) n N diskretes Supermartingal, Y n := E(X n X n+1 F n ), F n -messbar A n := n 1 Y k k=1 wachsend, F n 1 -messbar M n := X n + A n Martingal. Für zeit-stetigen Fall folgendes Lemma: Lemma Sei (A n ) n N wachsender Prozess mit A =, A n F n 1 -messbar und E(A 2 ) 2K 2. E(A A n F n ) K ( n N ) Beweis. Sei a n = A n+1 A n. O.B.d.A. A n C, a n C A 2 = 2 (A A n )a n n= n= ( ) ( E(A 2 ) = 2 E E(A A n F n ) a n E n= ( ) 2 K E a n n= = 2 K E(A ) 2 K 2, denn E(A ) = E(E(A A n F )) K. Lemma Seien A (1) = (A (1) n ) n und A (2) = (A (2) n ) n wie eben und B = A (1) A (2). Ferner sei W eine ZV mit W, E(W 2 ) < und a 2 n E(B B k F k ) E(W F k ). n= a 2 n ) Dann c mit: E(sup Bn) 2 c E(W 2 ) + c K [E(W 2 ) ] 1/2. n 31

32 3 Stetige Semimartingale und quadratische Variation Beweis. Sei b n = B n+1 B n, a (i) n = A (i) n+1 A(i) n (i = 1, 2; n N) ( ) ( E(B ) 2 = 2 E E(B B n F n ) b n E 2 E 2 E n= ( n= ( W E(W F n ) (a (1) n + a (2) n ) ( )) A (1) + A (2) ( 2 [E(W 2 ) ] 1/2 ( [ E 4 2 K (E(W 2 ) ) 1/2 A (1) ) 2 )] 1/2 [ ( + E n= b 2 n A (2) ) 2 )] 1/2 ) Betrachte schließlich die Martingale M n = E(B F n ), W n = E(W F n ) und X n = M n B n. X n = E(B B n F n ) W n (Doob sche Ungleichung) und Wegen sup n E(sup n B n sup n Xn) 2 E(sup Wn) E(W ) 2 = 2 2 E(W 2 ) n E[supMn] E[M ] 2 = 2 2 E[B ]. 2 n X n + sup M n folgt n E(sup B n ) 2 3 E(W 2 ) E(B ) 2 n 2 3 E(W 2 ) + c K (E(W 2 ) ) 1/2. Fortsetzung des Beweises des Satzes von Doob-Meyer. (iii) Sei X stetiges und beschränktes Supermartingal und konstant für t N fast alle Trajektorien sind gleichmäßig stetig. (iv) Fixiere k N. Für n N sei n 1 Fn k = F n 2 k und A k n = E(X j 2 k X (j+1)2 k Fj k ) j=1 (diskrete Doob-Meyer Zerlegung aus (ii)). Für t mit (n 1)2 k < t n2 k sei F k t = F k n und A k t = A k n. Sei W(δ) = sup{ X t X s : s N, s t s + δ}. Wegen X beschränkt, ist auch W(δ) beschränkt. Da die Trajektorien von X fast sicher gleichmäßig stetig sind, gilt: W(δ) f.s. für δ. W(δ) in L 2 für δ. 32

33 3.2 Die Doob-Meyer Zerlegung (v) Behauptung: A k t konvergiert in L 2 für k, gleichmäßig in t. Mit anderen Worten, E(sup A k t A l t 2 ) für k, l. t Denn: Sei l k. Die Prozesse A k und A l sind jeweils konstant auf den Intervallen ]n2 l, (n + 1)2 l ]. sup A k t A l t = sup A k. n2 l Al n2 l t n Sei t = n 2 l und u = inf{m 2 k t : m N } ( ) E A l A l t Ft l = E(A l A l n F n2 l) = E(X t X F t ) und ( ) E A k A k t Ft l ) = E (A k A k u2 F k t ( ) ) = E E (A k A k u2 F k u Ft = E(E(X u X F u ) F t ) = E(X u X F t ) ( ) ( E A l A l t Ft l E A k A k t Ft) l = E( Xt X u F t ) E(W(2 k ) F t ). Mit Lemma folgt: ( ) E sup A k t A l t c E(W(2 k ) 2 ) + c E(W(2 k ) 2 ) 1/2 für k. t (vi) Behauptung A := lim k Ak ist stetig. Denn A k hat Sprünge A k t = E(X (n 1)2 k X n2 k F (n 1)2 k) an den Stellen t = n2 k, die beschränkt sind durch Daher Übergang zu Teilfolgen: sup A k j t f.s. (k j ) t A stetig. E(W(2 k ) F (n 1)2 k) ( n N) E[sup( A k t ) 2 ] E[ supe(w(2 k ) F (n 1)2 k) ] t n }{{} Martingal in n 2 2 E(W(2 k ) 2 ) k. 2 33

34 3 Stetige Semimartingale und quadratische Variation (vii) Behauptung: M := X + A ist Martingal. Denn k N, s, t D k = 2 k N, B F s, s < t M t dp = M s dp nach Teil (ii) (3.1) B B s, t D = D k, s < t, B F s gilt (3.1). s, t R +, s < t : s k, t k D, s s k < t k, s k s, t k t : B F s F sk : M t dp = lim M tk dp = lim M sk dp = M s dp (3.2) B denn M ist stetig und beschränkt in L 2. (viii) Allgemeiner Fall: X beliebiges stetiges Supermartingal. B Definiere T N := inf{t : X t > N}. Für alle N N ist T N eine Stoppzeit, und T N ր für N. Ferner ist X T N ein stetiges und beschränktes Supermartingal und konstant für t N. M N, A N : X T N = M N A N (mit M N M, A N A + ). Wegen Eindeutigkeit K > N : (M K ) T N (A K ) T N = (X T K) T N = X T N = M N A N M K = M N, A K = A N auf [, N] M, A : M N = (M) T N, A N = (A) T N, ( N) M M loc, A A +, X = M A. B B Korollar Jedes stetige Supermartingal ist stetiges Semimartingal. 3.3 Quadratische Variation Satz (i) M M loc :! M A : M 2 M 2 M M loc. (ii) M, N M loc :! M, N A : M N M N M, N M loc Es gilt: M, N = 1 4 ( M + N M N ). Beweis. Trivial. (M M loc M 2 lokales Submartingal (Doob-Meyer-Zerlegung) M 2 = N + A.) Definition M = M, M = ( M t ) t heißt zu M gehöriger wachsender Prozeß oder quadratische(r) Variation(sprozess) von M. M, N = ( M, N t ) t heißt Klammerprozeß zu M und N oder quadratische Kovariation von M und N. Für M, N M loc sei M, N := M M, N N Proposition M, N M loc : 34

35 3.3 Quadratische Variation (i) M, N hängt symmetrisch, bilinear und positiv semidefinit von M und N ab. (ii) Für jede Stoppzeit T gilt: M, N T = M, N T = M T, N T. (iii) M = M M. (iv) M = M konstant. Beweis. (i) Trivial. (ii) Optional Stopping (M 2 M ) T = (M T ) 2 M T M loc M T = M T. Rest mit Polarisation. Bei (iii) und (iv): Nach (ii) o.b.d.a. M M beschränkt, M (iii) (M M )M M, denn E((M t M )M F s ) = M E(M t M F s ) = M (M s M ) (M M ) 2 M = M 2 M 2 M 2(M M )M M loc (iv) M = auf [, t] (M M ) 2 Martingal auf [,t] E( sup (M s M ) 2 ) 4 E((M t M ) 2 ) = s t M konstant auf [, t]. Beispiel Es sei X stetiger, zentrierter, quadrat-integrierbarer Prozess mit unabhängigen Zuwächsen. Dann ist X M und (unabhängig von ω) X t = Var(X t X ) = E((X t X ) 2 ) f.s. Beispiel Sei M eine eindimensionale Brownsche Bewegung M t = t ). ( t Für eine Partition = {t, t 1,... } mit t k ր und = t t 1... und einen stochastischen Prozess M definiert man die quadratische Variation von M auf durch Q t = Q t (M) = M tk t M tk 1 t 2. k=1 Als Feinheit von definiert man = sup t k t k 1. k Satz Seien M M loc und t. Dann gilt Q t M t P stochastisch für. D.h. ε >, η >, t R : δ > : Partitionen mit δ : ( ) P sup Q s M s > ε s t < η. 35

36 3 Stetige Semimartingale und quadratische Variation Beweis. Seien M und t fest, und für δ > A (1) k i= = {t, t 1,...,t k,... } mit δ. Annahme: M und M beschränkt. Sei a (1) i = (M ti+1 M ti ) 2, a (2) i = M ti+1 M ti, b i = a (1) i a (2) i. = k 1 a (1) i = Q t k (M), A (2) k = k 1 a (2) i = M tk, B k = k 1 i= i= b i = A (1) k A (2) k = Q t k (M) M tk, F k = σ(m ti+1 : i k). ( a (1) k, a(2) k messbar bzgl. F k ). Da o.b.d.a. M und M beschränkt, sind die Voraussetzungen von Lemma erfüllt. Da M und M gleichmäßig stetig auf [, t], gilt ( W(δ) := sup Ms+ε M s 2 + M s+ε M s ) s t ε δ P-f.s. (und in L 2, da beschränkt!) für δ. Nun gilt B B k = b i und E(b i F k ) = für i > k Mit Lemma 3.2.3: für δ. E(sup s t i=k E(B B k F k ) = b k a (1) k + a (2) k = E(a (1) k + a (2) k F k) E(W(δ) F k ) E(sup Bk 2 ) c E(W(δ)2 ) + c E(W(δ) 2 ) 1/2 k Q t (M) M s 2 ) 2E(sup k B 2 k ) + 2 E(W(δ)2 ) für δ. L 2 - und stochastische Konvergenz (gleichmäßig in s [, t]) von Q s (M) gegen M s. Lokalisierungsargument: Ist M oder M nicht beschränkt, dann definiere T n := inf{t : M t > n oder M t > n} P(sup s t P(sup s t Q s (M) M s > ε) Q s (M Tn ) M Tn s > ε ) + }{{} P(T n < t) }{{} für n fest: η/2 für hinr. klein <η/2 für n hinr. groß ( n, ε) Korollar M, N M loc, t, Partitionen n mit n : Q n t (M, N) M, N t stochastisch (n ), wobei Q n t (M, N) = (M ti+1 t M ti t) (N ti+1 t N ti t). t i n 36

37 3.3 Quadratische Variation Satz (i) Für fast alle ω Ω, a < b : M a (ω) = M b (ω) M t (ω) = M a (ω) ( t [a, b]). (ii) Für fast alle ω mit M (ω) := sup M t t (ω) < gilt: lim M t(ω) existiert (und ist endlich). t t Beweis. (i) klar (M konstant Var. = Quadratische Variation = ). : Für q Q betrachte N t = M t+q M t (F t+q ) t -Martingal N t = M t+q M t. T := inf{t > : N t > } ist Stoppzeit, N T M loc mit N T t = N t T = ( t ) N T ist f.s. konstant auf [, [, N ist f.s. konstant auf [, T], M ist f.s. konstant auf [q, q + T] T = T(q), M ist f.s. konstant auf [q, q + T(q)]. q Q Aber: M konstant auf [a, b] [a, b] [a, T(a)] q i Q : [a, b] [q i, T(q i )]. i N (ii) O.B.d.A. M =, T n = inf{t : M t > n} E(sup Mt T 2 n ) t 2 2 supe(mt T 2 n ) t = 4 supe M t Tn t 4n (Martingalkonvergenzsatz): f.s. M Tn = lim t M t Tn R auf Ω, M Tn = lim t M t = M auf {T n = }. f.s. M = lim M t auf {T n = } = { M < }. t n Definition Für X, Y S mit X = M +A, Y = N +B, M, N M loc, A, B A definiere X, Y := M, N und X := M. Satz Dann gilt X, Y S, t, Partitionen n mit n Q n t (X, Y ) X, Y t P-stochastisch. 37

38 3 Stetige Semimartingale und quadratische Variation Beweis. Wir zeigen Q n t Q n t (M, A) = (M, A) und Q n t (A, A). Es gilt (M ti+1 t M ti t) (A ti+1 t A ti t) t i n sup M ti+1 t M ti t A ti+1 t A ti t t i sup t i M ti+1 t M ti t S t (A) }{{} < wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von M auf [, t] und da die Variation S t = S t (A) endlich ist. Analog für Q n t (A, A). Korollar X, Y S, t : X, Y t ( X t Y t ) 1/2 t i 1 2 ( X t + Y t ). Beweis. Folgt aus der Cauchy-Schwarz schen Ungleichung für Q t (X, Y ). 3.4 Stetige L 2 -beschränkte Martingale Definition H 2 := {M M : supe(mt 2 ) < } t ist der Raum der stetigen L 2 -beschränkten Martingale. Proposition (i) H 2 ist ein Hilbert-Raum bzgl. der Norm M H 2 = ( EM 2 ) 1/2 = lim t ( EM 2 t ) 1/2. (ii) Äquivalent zu dieser Norm ist die Norm ( 1/2 M 2 = E sup Mt ) 2. t (iii) Für M H 2 = {X H2 : X = } gilt M H 2 = (E M ) 1/2. 38

39 3.4 Stetige L 2 -beschränkte Martingale Beweis. (i), (ii): Zunächst ist klar: M H 2 M = sup M t L 2 t M L 2 : M t = E(X F t ) und E(M 2 ) = lim t E(M 2 t ) = supe(mt 2 ) t E(sup Mt 2 ) t = E(M 2 ) Doob 2 2 supe(mt 2 ) t = 2 2 M 2 H 2. (iii) Ferner gilt t : E(Mt 2 ) = E M t + E(M 2 ), also E(M ) 2 = lim E(Mt 2 ) t = lime M t t = E M, falls M =. Seien nun M n H 2, mit M n M k H 2 für n, k M n, M k L 2 mit M n t = E(M n F t ), M k t = E(M k F t ) M n M k L 2 = M n M k H 2 (Vollständigkeit von L 2 = L 2 (Ω, F, P)): M L 2 : M n M in L 2. Def. M t := E(M F t ) Martingal (Doob): Teilfolge (n k ) k : t M t f.s. stetig M M M H 2. E(sup Mt n M t 2 ) 4 E( M n M 2 ) t = 4 M n M H 2 sup M n k t M t f.s. für k t 39

40

41 4 Stochastische Integration 4.1 Das Lebesgue-Stieltjes-Integral Betrachte g : R + R rechtsstetig. Satz Äquivalent sind: (i) g ist von endlicher Variation. (ii) t : S t (g) < mit S t (g) := sup { St (g) : = {t, t 1,...,t n }, = t < t 1 < < t n t } und n 1 St (g) = g(t i+1 ) g(t i ). i= (iii) g 1, g 2 rechtsstetig und wachsend, sodass g = g 1 g 2. (iv) signiertes Radon-Maß µ auf R + mit µ([, t]) = g(t) ( t R + ) (4.1) Beweis. (i) (ii) per def., (iii) klar (iii) (iv): Sei o.b.d.a. g wachsend, µ. Dann ist g die Verteilungsfunktion von µ. Bemerkung Durch (4.1) ist µ bzw. g eindeutig bestimmt. Definition Sei g : R + R rechtsstetig und von endlicher Variation und f : R + R lokal beschränkt und Borel-messbar. Dann ist das Lebesgue-Stieltjes-Integral f dg = f(s) dg(s) = f(s)g( ds) von f bzgl. g definiert durch ],t] f(s)µ( ds) mit µ = µ g = signiertes Radon-Maß zu g. 41

42 4 Stochastische Integration Bemerkungen (i) Ist g C 1 (R + ), so gilt: dg(s) = g (s) ds, d.h. das Lebesgue-Stieltjes-Integral ist ein gewöhnliches Lebesgue-Integral f(s) dg(s) mit der Dichte g. f(s)g (s) ds (ii) Sind g und h stetig und von beschränkter Variation, so gilt die Produktregel d(gh)(s) = g(s) dh(s) + h(s) dg(s). Satz Sei g rechtsstetig und wachsend, f linksstetig und lokal beschränkt und t. Dann ist mit It (f, g) = n 1 k=1 f(t k ) (g(t k+1 ) g(t k )). f dg = lim I t (f, g) Bem.: Hierbei kann man f(t k ) durch f(t k+1 ) ersetzen, falls f stetig ist. Beweis. Sei und Dann gilt für : f (s) f(s) n 1 f = f(t k ) 1 ]tk,t k+1 ] k=1 sup f(s) = C <. s [,t] ( s ], t]) (wegen Linksstetigkeit von f). Ferner: f (s) C ( s ], t]) I t (f, g) = ],t] f (s)µ g ( ds) ],t] f(s)µ g ( ds) = f dg. 42

43 Wir wollen nun Integrale 4.2 Das Itô-Integral für Elementarprozesse X s da s definieren mit A A und X B := {X : X adaptiert, linksstetig, pfadweise lokal beschränkt}. Definition Für A A und X B heißt die pfadweise definierte ZV (X A) t = X da = X s da s : ω X s (ω) da s (ω) stochastisches Integral von X bzgl. A (auf [, t]). Dabei ist X der Integrand und A der Integrator. Der Prozess X A = ((X A) t ) t heißt unbestimmtes stochastisches Integral. Satz Für A A und X, Y B gilt: (i) X A A. (ii) X A ist bilinear in A und X. (iii) (X A) T = X A T für alle Stoppzeiten T (Stopp-Formel). (iv) Y (X A) = (Y X) A (Assoziativität) Beweis. (ii), (iii), (iv) einfache Übungen. (i) Klar: (X A) = und t Adaptiertheit: n mit n. Endliche Variation: X x da s = lim X s da s pfadweise stetig (da A stetig). n I n t (X, A) F t für eine Folge von Partitionen S t ((X A)(ω)) sup X s (ω) S t (A(ω)) <. s t 4.2 Das Itô-Integral für Elementarprozesse Ziel: Definition von (X M) = X s dm s für M H 2 und X E. Definition X : R + Ω R heißt Elementarprozess, kurz X E, falls: (t i ) i, (Z i ) i, t < t 1 <...,t i ր, Z i F ti -messbar, Z 1 F -messbar, Z i gleichmäßig beschränkt, sodass X = Z 1 1 {} + Z i 1 ]ti,t i+1 ]. i= 43

44 4 Stochastische Integration Definition Für M S und X E definieren wir das stochastische Integral (X M) = X dm = X s dm s pfadweise wie folgt: (X M) t = = Z i (M t ti+1 M t ti ) i= n 1 Z i (M ti+1 M ti ) + Z n (M t M tn ) i= für t [t n, t n+1 [. Bemerkung Für M A stimmt das mit der bisherigen Definition (Lebesgue- Stieltjes) überein. Satz Für M H 2 und X E gilt: (i) X M H 2. (ii) X M = ( (iii) X M 2 H = E 2 X 2 s d M s = (X 2 M ). X 2 s d M s ). Beweis. (i) Offenbar X M adaptiert, stetig, (X M) =. Ferner für s [t k 1, t k [, t [t n, t n+1 [: (X M) t = (X M) s = n 1 Z i (M ti+1 M ti ) + Z n (M t M tn ) + Z k 1 (M tk M s ) i=k E((X M) t (X M) s F s ) ( n 1 ) = E Z i E(M ti+1 M ti F ti ) + Z n E(M t M tn F tn ) F s i=k +Z k 1 E(M tk M s F s ) =. 44

45 4.2 Das Itô-Integral für Elementarprozesse (ii) O.B.d.A. s = t k, t = t n+1 (ergänze {t i } um zwei Punkte). E((X M) 2 t (X M) 2 s F s ) = E([(X M) t (X M) s ] 2 F s ) + +2E[((X M) s ) [(X M) t (X M) s ] F s ] }{{} = nach (i) = E([(X M) t (X M) s ] 2 F s ) [ n 2 = E Z i (M ti+1 M ti )] i=k F s ( ) = E Zi 2 (M ti+1 M ti ) 2 F s + i +2E Z i Z j (M ti+1 M ti )(M tj+1 M tj ) i<j F s = E Xr 2 d M r F s + s +2E Z i Z j (M ti+1 M ti )E(M tj+1 M tj F tj ) }{{} i<j = = E Xr 2 d M r F s. s F s (iii) X M 2 H = E X M 2 = E X 2 r d M r. Korollar Sind X n E, n N, Elementarprozesse mit so gilt: E (X n t X k t ) 2 d M r für n, k, (X n M) (X k M) 2 H = E(sup[(X n M) 2 t (X k M) t ] 2 ) für n, k. t Beweis. Mit X n, X k E 45

46 4 Stochastische Integration ist auch und Ferner X n X k E X n M X k M = (X n X k ) M H 2. E(sup[(X n M) t (X k M) t ] 2 ) = E(sup[(X n X k ) M] 2 t) t t 4 (X n X k ) M H 2 = 4E (Xt n Xt k ) 2 d M t. Satz (Kunita-Watanabe-Identität und -Ungleichung). Für M, N H 2 und X, Y E gilt: (i) X M, Y N = X s Y s d M, N s = (XY ) M, N und (ii) E X M, Y N E X s Y s d M, N s (E Xs 2 d M s E Beweis. (ii) folgt aus (i), denn M, N ( M t N t ) 1/2. (i) Im wesentlichen wie Teil (ii) aus Satz 4.2.4: (X M) t (Y N) t Beh. E((X M) t (Y N) t (X M) s (Y N) s F s ) = E([(X M) t (X M) s ] [(Y N) t (Y N) s ] F s ) ( n ) = E X ti Y ti (M ti+1 M ti )(N ti+1 N ti ) F s i=k = E X r Y r d M, N r F s. s X r Y r d M, N r ist Martingal (ii) Wir verwenden A, B ( A B ) 1/2 für A, B H 2. E X M, Y N E(( X M Y N ) 1/2 ) (E X M E Y N ) 1/2 = [E((X 2 M ) ) E((Y 2 N ) )] 1/2. Y 2 s d N s ) 1/2. 46

47 4.3 Das Itô-Integral für vorhersagbare, messbare Prozesse 4.3 Das Itô-Integral für vorhersagbare, messbare Prozesse Definition Die auf R + Ω definierte σ-algebra P = σ(e) heißt vorhersagbare σ-algebra ( predictable σ-field ). Sie ist die kleinste σ-algebra auf R + Ω, bezüglich der die Abbildungen (t, ω) X t (ω) messbar sind für alle X E. Ein P-messbarer Prozess X heißt vorhersagbar. Proposition σ(e) = σ({x : R + Ω R adaptiert, X linksstetig auf ], [}) = σ({x : R + Ω R adaptiert, X stetig auf [, [}). Beweis. Seien σ 1, σ 2, σ 3 obige σ-algebren. Offenbar σ 3 σ 2. Ferner σ 2 σ 1, da für linksstetiges X: X t (ω) X n t (ω) = X (ω) 1 {} (t) + k= X k/n (ω) 1 ] k n, k+1 n ](t). Schließlich σ 1 σ 3, denn f n C(R + ) mit f n 1 ],1+1/n] und f n 1 ],1] und g n C(R + ) mit g n 1 [,1/n] und g n 1 {} und daher X t = Z 1 1 {} (t) + X n t = Z 1 g n (t) + i= Z i 1 ]ti,t i+1 ](t) i= ( ) t ti Z i f n. t i+1 t i Korollar Jeder vorhersagbare Prozess ist progressiv messbar. Mit anderen Worten: P Prog := σ({x : R + Ω R progressiv messbar}) B(R + ) F. Sei nun wieder (Ω, F, P,(F t ) t ) mit den üblichen Bedingungen und M H 2 (d.h. M ist stetiges Martingal mit M 2 H = supe(m 2 2 t ) <.) t Wir definieren ein endliches Maß P M ( Doléans-Maß ) auf (R + Ω, B(R + ) F ) durch P M (Γ) := E 1 Γ (t, ω) d M t (ω) (Γ B(R + ) F ). Ferner sei L 2 (M) = {X : R + Ω R vorhersagbar, X M < } 47

48 4 Stochastische Integration und L 2 (M) = {X : R + Ω R progressiv messbar, X M < } sowie eine Pseudo-Norm X M = [E( X 2 t d M t )] 1/2 = [ R + Ω X 2 dp M ] 1/2 auf dem Raum der progressiv messbaren Prozesse X : R + Ω R. Schließlich seien L 2 (M) und L 2 (M) die Räume der Äquivalenzklassen von L 2 (M) bzw. L 2 (M) bzgl. M. Proposition (i) E liegt dicht in L 2 (M). (ii) L 2 (M) und L 2 (M) sind Hilbert-Räume (iii) und als solche isomorph bzw. stimmen im folgenden Sinne überein: Zu jedem Prozess X L 2 (M) existiert ein vorhersagbarer Prozess Z mit X Z M =. (iv) Falls t M t absolut stetig f.s., so ist ferner L 2 (M) = L 2 (M) mit L 2 (M) = {X : B(R + ) F -messbar, adaptiert, X M < }. (v) Offenbar E L 2 (M) L 2 (M) L 2 (M) L 2 (M) mit L 2 (M) = {X : B(R + ) F -messbar, nicht notwendig adaptiert, X M < }. Beweis. (ii) L 2 (M) = L 2 (R + Ω, Prog,P M ) und L 2 (M) = L 2 (R + Ω, P,P M ) Hilbert-Räume. (i) Jeder Prozess X L 2 (M) wird in M approximiert durch P-einfache Prozesse Y = n α i 1 Ai (n N, α i R, A i P). i=1 Jeder P-einfache Prozess Y wird in M approximiert durch einfache Prozesse Z (Monotone Klassen-Argument), denn A P, ε > : A ring(e) = ring ({]s, t] F : s < t, F F s } {{} F : F F }) so dass 1 A 1 A M < ε. (iii) Ohne Beweis (vorläufig). = {endliche disjunkte Vereinigungen von solchen Mengen}, Satz X L 2 (M) :!(X M) H 2 mit der Eigenschaft: ist X n E, n N, mit X X n M, so gilt (X M) X n M H 2, und daher X n M (X M) (gleichmäßig in t) in L 2. Bez: I = X M. Die Abbildung L 2 (M) H 2, X X M, ist eine Isometrie, d.h. X M = X M H 2. 48