4 Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale

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1 4 Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale 4.2 Filtrationen und kanonische Filtrationen 4.3 Supermartingale, Martingale bzw. Submartingale bzgl. der Filtrationen (A t ) t I 4.4 Gleichgradig integrierbare Familien von Zufallsvariablen 4.5 Die gleichgradig integrierbaren Martingale (E A t (X)) t I 4.6 Supermartingale, Martingale bzw. Submartingale bzgl. der Filtration (A S t ) t I 4.7 Funktionen von Submartingalen 4.8 Konvexe Funktionen von Submartingalen 4.10 Kriterium für eine (Super-, Sub-,) Martingalfolge 4.14 Rechnen mit gleichgradig integrierbaren Familien 4.15 Die Sätze von Fatou und Lebesgue für gleichgradige integrierbare Folgen 4.17 Für geeignete ϕ gilt: sup E(ϕ Y ) < Y gleichgradig integrierbar Y Y 4.18 Bedingung für die Äquivalenz von p-konvergenz und stochastischer Konvergenz 4.20 Äquivalenzen zur gleichgradigen Integrierbarkeit von Y n p bei stochastisch konvergenten Folgen Y n 4.21 Stoppzeiten zu Filtrationen (A t ) t I 4.22 Die σ-algebra A τ der Ereignisse vor τ 4.23 Die erste Eintrittszeit in eine offene Menge ist für rechtsseitig stetige Prozesse eine schwache Stoppzeit 4.27 Die erste Eintrittszeit in eine abgeschlossene Menge ist für stetige Prozesse eine Stoppzeit 4.29 Progressive Messbarkeit gewisser Prozesse 4.30 Äquivalente Bedingungen zur Martingaleigenschaft bei stetiger Zeit 4.31 Optional Sampling Theorem für beschränkte Stoppzeiten bei stetiger Zeit 4.32 Der gestoppte Prozess (X τ t ) t [0, [ 4.33 Maximalungleichungen für Martingale bei stetiger Zeit 4.34 Rechtsseitig stetige Martingale mit sup t [0, [ E( X t ) < sind f.s. konvergent 4.35 Charakterisierung der 1 -konvergenten, rechtsseitig stetigen Martingale 4.36 Für p > 1 sind p -beschränkte, rechtsseitig stetige Martingale p -konvergent 4.37 E( X p ) = lim E( X t p ) für geeignete Martingale 4.38 Optional Sampling Theorem für rechtsseitig stetige p -beschränkte Martingale C5(WS08/09) [4] 1

2 Finanzmathematik I Die Martingaltheorie erlaubt eine simultane Behandlung verschiedenartiger Konzepte; sie ist unentbehrlich für die moderne Stochastik. Auch in der modernen Finanzmathematik spielt sie eine entscheidende Rolle. So besagt der sogenannte Hauptsatz der Preistheorie für zeitlich diskrete Finanzmärkte: Ein Finanzmarkt ist genau dann arbitragefrei, wenn die zeitliche Entwicklung der diskontierten Finanzanlagen bzgl. eines zum Ausgangsmaß äquivalenten W-Maßes ein Martingal bildet. Die Martingaltheorie beruht auf dem Begriff des bedingten Erwartungswertes. Der Übersichtlichkeit halber stellen wir daher die wichtigsten Eigenschaften der bedingten Erwartungswerte aus 3 noch einmal zusammen. Wir betrachten immer einen festen W-Raum (Ω, A, P ) und eine Sub-σ-Algebra A 0 A. Es bezeichnet E(X A 0 ) bzw. E A 0(X) einen bedingten Erwartungswert von X gegeben A 0 für eine P -integrierbare Zufallsvariable X : Ω R (siehe 3.3). Nach 3 gilt (E1) (E2) X A 0 -messbar X = E A 0(X) P -f.s.; E A 0(αX + βy ) = αe A 0(X) + βe A 0(Y ) P -f.s.; (E3) X Y P -f.s. E A 0(X) E A 0(Y ) P -f.s.; (E4) E A 0(X 0 X) = X 0 E A 0(X) P -f.s. für A 0 -messbares X 0 ; (E5) ϕ(e A 0(X)) E A 0(ϕ X) P -f.s., falls ϕ : R R konvex; (E6) E A 0(E A 1(X)) = E A 0(X) P -f.s. falls A 0 A 1 ; (E7) E(X) = E A 0(X) P -f.s., falls X unabhängig von A 0. In (E1) (E7) werden die jeweils betrachteten Funktionen X, Y, X 0 X, ϕ X als P -integrierbar vorausgesetzt. Das folgende Beispiel soll zur Veranschaulichung des Konzepts der Martingale dienen (siehe 4.3 und 4.10). 4.1 Beispiel zur Motivation des Martingalbegriffs Es seien X n : Ω { 1, 1}, n N, P -unabhängige Zufallsvariable. Für ein p [0, 1] sei P {X n = 1} = p für alle n N. Es wird dabei (X n ) n N als ein Spiel z. B. gegen eine Spielbank interpretiert und es bedeutet X n = 1 bzw. 1 Gewinn oder Verlust im n-ten Spiel. Es gilt (1) E(X n ) = 2p 1 für alle n N. Der Spieler legt nun vor jedem neuen Spiel fest, welchen Betrag er in Abhängigkeit von den bisherigen Spielausgängen setzen will. Er wählt also eine Funktion b n : { 1, 1} n [0, [, n N, wobei b n (X 1 (ω),..., X n (ω)) seinen Einsatz im (n + 1)-ten Spiel angibt, wenn die Spielausgänge der ersten n-spiele durch X 1 (ω),..., X n (ω) gegeben sind. Die erste Runde werde mit dem Einsatz 1 gespielt. Bezeichnet S n den Gesamtgewinn des Spielers nach n-runden, so gilt (2) S 1 = X 1,..., S n+1 = S n + b n (X 1,..., X n )X n+1. [4] 2 C5(WS08/09)

3 Setze Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale (3) A n := σ(x 1,..., X n ) = A σ ( n i=1 X 1 i (B(R)), n N. Dann erhält man (a) A n A σ-algebren mit A m A n für m < n, (b) S n ist A n -messbar und P -integrierbar. Dabei folgt (b) induktiv mit Hilfe von (2) und (3) unter Berücksichtigung der Beschränktheit von b n (beachte, dass der Definitionsbereich von b n endlich ist). Wir zeigen nun, dass P -f.s. gilt (i) E An (S n+1 ) S n, falls p < 1/2; (ii) E An (S n+1 ) = S n, falls p = 1/2; (iii) E An (S n+1 ) S n, falls p > 1/2. Beweis. Da S n und b n (X 1,..., X n ) A n -messbar und X n+1 unabhängig von A n = σ(x 1,..., X n ) ist, erhält man P -f.s. E An (S n+1 ) (2) = E2, E4 = E1, E7 = (1) E An (S n ) + b n (X 1,..., X n )E An (X n+1 ) S n + b n (X 1,..., X n )E(X n+1 ) S n + b n (X 1,..., X n )(2p 1). Hieraus folgt (i) (iii) unter Berücksichtigung von b n 0. Ein Spiel mit der Eigenschaft (ii) ist fair; im Sinne der späteren Definition liegt hier ein Martingal vor. Bei (i) liegt eine Begünstigung der Spielbank, bei (iii) eine des Spielers vor. Im Falle (i) werden wir von einem Super- im Falle (iii) von einem Submartingal sprechen. Im Beispiel 4.1 beschreibt A n die Gesamtheit aller beobachtbaren Spielergebnisse bis zum Zeitpunt n einschließlich. Im Allgemeinen wird A t in der folgenden Definition die Gesamtheit aller beobachtbaren Ergebnisse bis zum Zeitpunkt t beschreiben. 4.2 Filtrationen und kanonische Filtrationen Sei = I R und seien A t A σ-algebren für t I. Dann heißt (A t ) t I eine Filtration in A oder ein aufsteigendes System von σ-algebren, wenn gilt t, u I t < u A t A u. Sind S t : Ω R d A-messbar für t I, so heißt A S t := σ(s r : r t, r I) = A σ ( I r t S 1 r (B(R d ))), t I, die kanonische Filtration zu S t, t I. C5(WS08/09) [4] 3

4 Finanzmathematik I Da S t als A, B(R d )-messbar vorausgesetzt sind, gilt A S t A und somit ist AS t, t I, eine Filtration in A. Es ist A S t - nach Übungaufgabe 12(ii) - die kleinste σ-algebra bzgl. derer alle S r, r t messbar sind. Im Beispiel 4.1 ist I := N und A t σ(x 1,..., X t ) für t N. Die Eigenschaften (i) (iii) in 4.1 werden wir nun als Definition eines Supermartingals, bzw. Martingals, bzw. Submartingals verwenden (siehe auch 4.10). Grundsätzlich sei in diesem Paragraphen I R vorausgesetzt. 4.3 Supermartingale, Martingale bzw. Submartingale bzgl. der Filtration (A t ) t I Sei (Ω, A, P ) ein W-Raum. Seien S t : Ω R, t I, und sei (A t ) t I eine Filtration in A. Es sei S t A t -messbar für t I, man sagt hierzu (S t ) t I ist zu (A t ) t I adaptiert. Sind S t, t I, P -integrierbar, dann heißt (i) (S t ) t I, ein Supermartingal bzgl. (A t ) t I, wenn für alle t, u I mit t < u eine der äquivalenten Bedingungen gilt (α) E A t (S u ) S t P -f.s.; (β) S u dp S t dp für alle A A t. A A (ii) (S t ) t I ein Martingal bzgl. (A t ) t I, wenn in (α) bzw. (β) = statt steht. (iii) (S t ) t I, ein Submartingal bzgl. (A t ) t I, wenn in (α) bzw. (β) statt steht. Beweis. Zu (i)(α) (i)(β): Für A A t gilt A S udp = A EA t (S u )dp (α) A S tdp. (i)(β) (i)(α) Für alle A A t gilt A EA t (S u )dp = A S udp A S tdp. (β) Da E A t (S u ), S t A t -messbar sind, folgt E A t (S u ) S t P -f.s.. Aus 4.10 wird folgen, dass (S n ) n N aus Beispiel 4.1 (i) (iii) ein Supermartingal bzw. Martingal, bzw. Submartingal zur Filtration A n = σ(x 1,..., X n ), n N, in A ist. Aus der Definition 4.3 folgt unmittelbar mit A := Ω A t : Ist (S t ) t I ein Supermartingal bzw. Martingal bzw. Submartingal, so gilt für t < u, dass E(S t ) E(S u ) bzw. E(S t ) = E(S u ) bzw. E(S t ) E(S u ) ist. [4] 4 C5(WS08/09)

5 Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale 4.4 Gleichgradig integrierbare Familien von Zufallsvariablen Eine Familie Y von A-messbaren Funktionen Y : Ω R heißt gleichgradig integrierbar, falls eine der folgenden äquivalenten drei Bedingungen erfüllt ist: (i) Y dp sup Y Y Y c (ii) a) sup Y Y (iii) c 0; Y dp <, b) A A k sup Y Y a) sup Y dp <, Y Y A k Y dp k 0; b) ( ε > 0)( δ > 0)(A A P (A) δ) sup Y Y Y dp ε. A Beweis. Siehe Übungsaufgabe Die gleichgradig integrierbaren Martingale (E A t (X)) t I Sei (A t ) t I eine Filtration in A und X : Ω R P -integrierbar. Dann ist (E A t (X)) t I ein gleichgradig integrierbares Martingal bzgl. (A t ) t I. Beweis. Es ist E A t (X) wegen A t A u A t -messbar und P -integrierbar. Für t, u I mit t < u folgt E A t (E Au (X)) = E6 EA t (X). Also ist (E A t (X)) t I ein Martingal bzgl. (A t ) t I. Zum Beweis der gleichgradigen Integrierbarkeit setze Y t := E A t (X) für t I. Sei ε > 0. Nach 4.4 reicht es ein c = c(ɛ) zu finden mit (1) sup t I Y t dp ε. Y t c Nun gilt (für (3) beachte man, dass Y t = E A t (X) A t -messbar ist) (2) Y t = E A t (X) E A t ( X ), 3.7(i) (3) { Y t c} A t für alle c R, t I. Somit folgt für alle c R, t I, Y t dp Y t c (2) Y t c E A t ( X )dp = (3) Daher ist (1) gezeigt, wenn wir ein c(ε) finden mit (4) sup X dp ε. t I Y t c(ε) Y t c X dp. C5(WS08/09) [4] 5

6 Finanzmathematik I Nach 4.4 (beachte, dass 4.4 (ii) mit Y = {X} gilt) gibt es für ε > 0 ein δ(ε) > 0 mit (5) (A A P (A) δ(ε)) X dp ε. A Wir zeigen, es gibt ein c(ε) mit (6) P { Y t c(ε)} δ(ε) für alle t I. (6) folgt aus der für alle c > 0, t I, gültigen Beziehung P { Y t c} 1 1 c Yt dp c E A t ( X )dp = 1 c X dp (2) mit c(ε) := (1 + X dp )/δ(ε). Also gilt (6) und daher mit (5) auch (4). Ist I = [0, T ], so sind alle Martingale (X t ) t [0,T ] bzgl. (A t ) t [0,T ] von der Form X t = E A t (X) mit X := X T L 1. Ist (X t ) t [0, [ ein gleichgradig integrierbares und rechtsseitig stetiges Martingal, dann ist wiederum X t = E(X A t ) für ein X L 1 (siehe Satz 4.35). 4.6 Supermartingale, Martingale bzw. Submartingale bzgl. der Filtration (A S t ) t I Sei (S t ) t I ein Supermartingal bzgl. (A t ) t I. Dann gilt: (S t ) t I ist ein Supermartingal bzgl. der kanonischen Filtration (A S t ) t I. Entsprechendes gilt für Martingale und Submartingale. Beweis. Es ist S t A S t -messbar für t I. Da ferner S s A s -messbar ist und A s A t für s t gilt, folgt (1) A S t = σ(s s : s t) A t. Seien nun t, u I mit t < u gegeben. Dann ist E A t (S u ) S t, und es folgt daher 4.3 E AS t (S u ) (1) = E6 EAS t (E A t (S u )) E AS t (S t ) = S t. E3 E1 Somit ist (S t ) t I ein Supermartingal bzgl. (A S t ) t I. Der Beweis für Martingale und Submartingale verläuft analog. Man nennt (S t ) t I ein Supermartingal, wenn es ein Supermartingal bzgl. der kanonischen Filtration ist. Entsprechende Bezeichnungen benutzt man für Martingale und Submartingale. 4.7 Funktionen von Submartingalen Seien (S t ) t I, (R t ) t I Submartingale bzgl. (A t ) t I. Dann gilt (i) (αs t + βr t ) t I ist ein Submartingal bzgl. (A t ) t I für α, β 0; (ii) (S t R t ) t I ist ein Submartingal bzgl. (A t ) t I. [4] 6 C5(WS08/09)

7 Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale Beweis. (i) Es ist αs t + βr t A t -messbar und es gilt für t < u E A t (αs u + βr u ) = E2 αe A t (S u ) + βe A t (R u ) αs t + βr t P -f.s.. (ii) Es ist S t R t A t -messbar, und es gilt für t u E A t (S u R u ) E A t (S u ) E A t (R u ) S t R t E3 P -f.s Konvexe Funktionen von Submartingalen Sei (S t ) t I ein Submartingal bzgl. (A t ) t I. Sei ϕ : R R konvex, so dass ϕ S t P -integrierbar für alle t I ist. Dann gilt (i) Ist ϕ monoton nicht fallend, so ist (ϕ S t ) t I ein Submartingal bzgl. (A t ) t I. (ii) Ist (S t ) t I sogar ein Martingal, so ist (ϕ S t ) t I ein Submartingal (auf die Monotonie in (i) kann also verzichtet werden). Beweis. Es ist ϕ S t A t -messbar für jedes t I, da eine konvexe Funktion stetig und somit Borel-messbar ist. Seien nun t < u mit t, u I gegeben. Dann folgt P -f.s. E A t (ϕ S u ) ϕ E A t (S u ) E5 4.3(iii) ϕ S t ; hierbei folgt das letzte für (i) aus der Monotonie von ϕ; bei (ii) gilt hier sogar =. 4.9 Korollar Sei (S t ) t I ein Martingal bzgl. (A t ) t I. Dann gilt (S + t ) t I, (S t ) t I, ( S t ) t I und (S 2 t ) t I (für S t L 2 ) sind Submartingale bzgl. (A t ) t I. Beweis. Wende 4.8 (ii) an auf die konvexen Funktionen ϕ(x) = x +, x, x und x 2. Im Folgenden werden wir zunächst den Fall T := N betrachten Kriterium für eine (Super-, Sub-,) Martingalfolge Seien S n L 1, n N, bzgl. der Filtration (A n ) n N adaptiert. Dann ist (S n ) n N ein Supermartingal bzgl. (A n ) n N, falls gilt: (B) E An (S n+1 ) S n P -f.s. für alle n N. Gilt in (B) die Beziehung bzw. = an Stelle von, so ist (S n ) n N ein Submartingal bzw. Martingal bzgl. (A n ) n N. Beweis. Es ist zu zeigen E An (S n+m ) S n P -f.s. für alle n, m N. C5(WS08/09) [4] 7

8 Finanzmathematik I Für m = 1 folgt dieses aus (B). Der allgemeine Fall ergibt sich induktiv, denn es gilt wegen A n A n+m E An (S n+m+1 ) = E6 E An (E A n+m (S n+m+1 )) (B), E3 E An (S n+m ). Der Beweis für Submartingale und Martingale verläuft analog Beispiel Es sei X n, n N, eine Folge unabhängiger Zufallsvariabler mit Erwartungswert 0. Dann ist S n := n X i, n N, ein Martingal. i=1 Beweis. Nach 4.10 ist E(S n+1 σ(s 1,..., S n )) = S n P -f.s. für alle n N zu zeigen. Nun gilt wegen S n+1 = X n+1 + S n und der Unabhängigkeit von X n+1 und σ(x 1,..., X n ) = σ(s 1,..., S n ) : E(S n+1 σ(s 1,..., S n )) = E1,E2 = E7 E(X n+1 σ(s 1,..., S n )) + S n E(X n+1 ) + S n = S n Also ist S n, n N, ein Martingal bzgl. der kanonischen Filtration. P -f.s. Um zu erkennen, welche Martingale p -konvergent sind (siehe z.b & 4.36), benötigen wir noch einige Ergebnisse über gleichgradig integrierbare Familien von Zufallsvariablen. Nach 4.4 sind gleichgradig integrierbare Familien stets automatisch beschränkte Teilmengen von L 1. Für X, Y L 1, α, β R schreiben wir Y := { Y : Y Y} L 1, 4.12 αx + βy := {αx + βy : X X, Y Y}, X Y : ( X X )( Y Y) X Y. Aus (4.4) ergibt sich unmittelbar 4.13 { Y gleichgradig integrierbar Y gleichgradig integrierbar; X Y Y gleichgradig integrierbar X gleichgradig integrierbar Rechnen mit gleichgradig integrierbaren Familien Seien α, β R. Dann gilt (i) Y L 1 endlich Y gleichgradig integrierbar. (ii) X, Y gleichgradig integrierbar αx + βy gleichgradig integrierbar. (iii) X Y Y gleichgradig integrierbar X gleichgradig integrierbar. [4] 8 C5(WS08/09)

9 Beweis. (i) Für Y L 1 gilt nach dem Satz von Lebesgue Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale A A k A k Y dp k 0, denn Y Y 1 Ak 0. Daher ist jedes endliche Y L 1 gleichgradig integrierbar nach 4.4 (ii). (ii) folgt aus 4.4 (ii), da für alle A A gilt: sup αx + βy dp α sup X X,Y Y X X A sup X X A A X dp + β sup Y dp. Y Y A (iii) folgt ebenfalls aus 4.4 (ii), da X Y und somit für alle A A gilt X dp sup Y dp. Y Y A 4.15 Die Sätze von Fatou und Lebesgue für gleichgradig integrierbare Folgen Sei {Y n : n N} gleichgradig integrierbar und Y : Ω R A-messbar. Dann gilt (i) E(limY n ) lime(y n ) < ; (ii) (iii) (iv) E(limY n ) lime(y n ) > ; Y n Y P -f.s. (Y L 1 E(Y n ) E(Y )); Y n Y stochastisch (Y L 1 E(Y n ) E(Y )). Beweis. Siehe Übungsaufgaben 26 und 27. Das folgende Beispiel zeigt u. a., dass 4.15 eine echte Verschärfung des Satzes von Lebesgue ist, da es gleichgradige integrierbare {Y n : n N} gibt für die jedoch sup Y n nicht P -integrierbar ist Beispiel Es gibt Y n : Ω R (i) (ii) (iii) A-messbar mit {Y n : n N} ist gleichgradig integrierbar. sup Y n dp = = lim Y n dp. n N Y n 0 stochastisch. Beweis. Sei Ω := [0, 1[, A die Borel-σ-Algebra von [0, 1[ und P das Lebesgue-Maß auf A. Sei Y 2 ν +k := ν1 [ k 2 ν, k+1 2 ν [ für k = 0,..., 2ν 1, ν N 0. Dann ist sup Y n = = limy n, und somit gilt (ii). (i) folgt aus (beachte ν/2 ν µ/2 µ für ν < µ) n N C5(WS08/09) [4] 9

10 Finanzmathematik I sup n N Y n ν Y n dp ν/2 ν. Ferner konvergiert Y n stochastisch gegen 0 für n, wegen P { Y n ε} 2 ν für n 2 ν. Das folgende Ergebnis erlaubt es in vielen Fällen, auf einfache Art, die gleichgradige Integrierbarkeit nachzuweisen. In der Regel wählt man ϕ(t) = t p mit geeignetem p > 1 oder ϕ(t) = t ln(1 + t) Für geeignete ϕ gilt: sup E(ϕ Y ) < Y gleichgradig integrierbar Y Y Sei ϕ : [0, [ [0, [ Borel-messbar mit lim ϕ(t)/t =. Sei Y eine Familie A-messbarer Funktionen Y : Ω R. Dann gilt: sup Y Y ϕ Y dp < Y gleichgradig integrierbar. Beweis. Siehe Übungsaufgabe 28. Aus 4.17 erhält man z. B. für p > 1 und A-messbaren Y n : Ω R, n N : Yn p dp < {Y n : n N} ist gleichgradig integrierbar. sup n N Im Beweis von 4.18 benutzen wir mehrfach folgende einfache Ungleichung für reelle Zahlen x R und p 1 x ± y p (2 x ) p + (2 y ) p = 2 p x p + 2 p y p Bedingung für die Äquivalenz von p -Konvergenz und stochastischer Konvergenz Es seien p 1 und Y n, Y L p. Dann gilt: (i) (ii) { Y n p : n N} gleichgradig integrierbar { Y n Y p : n N} gleichgradig integrierbar. Y n Y p 0 Y n Y P -stochastisch und { Y n p : n N} ist gleichgradig integrierbar. Beweis. (i) Sei { Y n p : n N} gleichgradig integrierbar. Wegen Y n Y p 2 p Y n p + 2 p Y p, n N, ist dann { Y n Y p : n N} gleichgradig integrierbar nach 4.14 (i) - (iii). wende mit Y Y n an Stelle von Y n an. [4] 10 C5(WS08/09)

11 Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale (ii) Es konvergiert Y n Y P -stochastisch nach der Markoff-Ungleichung (MK) Nach (i) reicht es noch zu zeigen 1 P { Y n Y ε} ε (MK) p Yn Y p dp 0. (1) { Y n Y p : n N} ist gleichgradig integrierbar. Wegen E( Y n Y p ) = Y n Y p p 0 gilt (2) sup E( Y n Y p ) < n N und sup E( Y n Y p 1 A ) 0. Sei nun ε > 0, dann gibt es ein n(ε) mit A A (3) Y n Y p dp < ε für n n(ε) und alle A A. A Da nach 4.14 (i) auch { Y n Y p : n < n(ε)} gleichgradig integrierbar ist, gibt es nach 4.4 ein δ(ε) mit (4) A Y n Y p dp < ε für A A mit P (A) < δ(ε) und n < n(ε). Aus (2), (3) und (4) folgt (1) nach 4.4 : Aus der Voraussetzung folgt Y n Y p 0 stochastisch. Y n Y p gleichgradig integrierbar. Nach 4.15 (iv) gilt dann Aus 4.18 (ii) folgt insbesondere für p 1 : Y n Y p p = Y n Y p dp 0 dp = 0. Nach (i) ist auch 4.19 Y n Y P -stochastisch und { Y n p : n N} gleichgradig integrierbar Y L p Y n Y p 0. Beweis. Es sind Y n L p für n N und Y n Y P -f.s. für eine Teilfolge N 1 N. Aus dem Lemma von Fatou folgt Y p dp lim Yn p dp sup Yn p dp <. n N 1 n N 4.4 Also ist auch Y L p. Somit folgt die Aussage aus 4.18 (ii). Als Zusammenfassung der letzten Sätze ergibt sich: C5(WS08/09) [4] 11

12 Finanzmathematik I 4.20 Äquivalenzen zur gleichgradigen Integrierbarkeit von Y n p bei stochastisch konvergenten Folgen Y n Seien Y n L p, n N, und Y n Y P -stochastisch. Dann sind für p 1 äquivalent: (i) (ii) (iii) Y L p Y n Y p 0; { Y n p : n N} ist gleichgradig integrierbar; Y L p E( Y n p ) E( Y p ). Beweis. (ii) (i) nach (i) (ii) nach 4.18 (ii). (ii) (iii) nach 4.15 (iv), da auch Y n p Y p P -stochastisch. (iii) (ii). Setze Z n := Y n p und Z := Y p. Es konvergiert Z n stochastisch gegen Z L 1 und (1) Zn dp ZdP <. Zu zeigen ist: (Z n ) n N ist gleichgradig stetig. Es reicht hierzu zu zeigen: (2) (Zn Z)dP ZdP, denn aus (2) folgt Z n Z Z 1 0. Nach 4.18 (ii) ist somit {Z n Z : n N} und daher nach 4.14 (iii) auch {Z n : n N} gleichgradig integrierbar. Da Z n Z Z stochastisch, folgt nach dem Satz von Lebesgue (oder 4.15 (iv)) (3) (Zn Z)dP ZdP. Da nach (1) gilt (4) (Zn + Z)dP 2 ZdP, folgt aus Z n Z + Z n Z = Z n + Z (5) (Zn Z)dP + (Z n Z)dP 2 ZdP. Aus (5) und (3) folgt dann (2). Im Folgenden sei weiter I R. Wir setzen dann I := I { }. [4] 12 C5(WS08/09)

13 Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale 4.21 Stoppzeiten zu Filtrationen (A t ) t I. Es sei (A t ) t I eine Filtration in A. Dann heißt τ : Ω I eine Stoppzeit zu (A t ) t I, falls gilt (I) {ω : τ(ω) t} A t für alle t I. Ist I abzählbar, so ist diese Bedingung äquivalent zu (II) {ω : τ(ω) = t} A t für alle t I. Beweis. Wir zeigen zunächst: Falls τ Stoppzeit zu (A t ) t I ist, gilt für t I folgendes: (1) {ω : τ(ω) < t} A t ; (2) {ω : τ(ω) = t} A t. Zu (1): Sei r I und r < t. Dann gilt (3) {ω : τ(ω) r} A r A t. Ist {ω : τ(ω) < t} =, so gibt es s n I mit s n s n+1 < t und I s < t s s n für ein n. Zum Nachweis hierfür setze s 0 := sup{s I : s < t}. Ist s 0 I und s 0 < t, so ist die Behauptung mit s n = s 0 klar. Andernfalls gibt es (t >) s n I mit s n s 0 und s n < s 0. Ist dann s < t mit s I, so ist s < s 0 und die Behauptung folgt. Somit ist {ω : τ(ω) < t} = da A t eine σ-algebra ist. s I s<t {ω : τ(ω) s}) = {ω : τ(ω) s n } A t, n=1 (3) Zu (2): {ω : τ(ω) = t} = {ω : τ(ω) t} \ {ω : τ(ω) < t} A t. (1) Ist nun I abzählbar und gilt {ω : τ(ω) = s} A s für s I, so ist τ Stoppzeit, da für t I gilt: {ω : τ(ω) t} = {ω : τ(ω) = s} A t. Beachte hierzu A s A t für I s t und {s I : s t} ist abzählbar. s I s t Interpretation für den Fall I = N und A S t : Es wird τ(ω) als der vom Zufall ω abhängige Zeitpunkt interpretiert, an dem der Prozess (S n ) n N z. B. ein Spiel bei dem S n (ω) den Gesamtgewinn nach n Spielen beschreiben möge beendet (= gestoppt) werden soll. Die Bedingung (II) besagt dann, dass τ(ω) = n aus den Werten von S 1 (ω),..., S n (ω), d. h. aus dem Verlauf des Spieles bis zum Zeitpunkt n erkennbar sein soll. Der Spieler soll also nicht in die Zukunft sehen können, d. h. zum Zeitpunkt n noch nicht die Werte von S n+1 (ω),... kennen. Bezeichnet S n (ω) andererseits den Preis einer bestimmten Aktie zum Zeitpunkt n und τ(ω) den Zeitpunkt an dem man die Aktie verkaufen will, so kann die Entscheidung für den Aktienverkauf zum Zeitpunkt n ebenfalls nur von den Werten S 1 (ω),..., S n (ω) und nicht von S n+1 (ω), S n+2 (ω)... abhängen. τ ist also eine Stoppzeit zu (A S n) n N. Dies heißt also {ω : τ(ω) = n} = {ω : (S 1 (ω),..., S n (ω)) B} mit einer Borel-Menge B. C5(WS08/09) [4] 13

14 Finanzmathematik I Es kann jedoch durchaus sinnvoll sein eine größere σ-algebra A n als A S n zu wählen. So könnte in A n etwa die Wertentwicklung anderer Aktien oder die Wirtschaftsentwicklung bis zum Zeitpunkt n einbezogen werden. Für jede Filtration (A t ) t I in A gilt: (1) t 0 I und τ t 0 τ Stoppzeit zu (A t ) t I. (2) τ 1, τ 2 Stoppzeiten zu (A t ) t I τ 1 τ 2 (:= min{τ 1, τ 2 }), τ 1 τ 2 (:= max{τ 1, τ 2 }) Stoppzeiten zu (A t ) t I. (3) Ist I = N und sind τ 1, τ 2 Stoppzeiten zu (A t ) t N, so ist auch τ 1 + τ 2 Stoppzeit zu (A t ) t N. Der Beweis von (1) (3) erfolgt in Übungsaufgabe Die σ-algebra A τ der Ereignisse vor τ Sei τ : Ω I eine Stoppzeit zu (A t ) t I. Dann ist mit A := A σ ( t I A t ) (i) (ii) A τ := {A A : A {τ t} A t für alle t I} eine σ-algebra und heißt σ-algebra der Ereignisse vor τ. Ist I = [0, [, so ist τ A τ -messbar. Es ist A τ = A t0 für τ t 0 I, und sind τ 1, τ 2 Stoppzeiten zu (A t ) t I, so gilt τ 1 τ 2 A τ1 A τ2. Beweis. (i) Ω A τ, da Ω A sowie τ Stoppzeit und somit Ω {τ t} = {τ t} A t für alle t I ist. Wegen ( A n ) {τ t} = (A n {τ t}) ist A n A τ falls n=1 n=1 n=1 alle A n A τ sind. Ist A A τ, so ist A A und somit Ω \ A A sowie (Ω \ A) {τ t} = {τ t} \ (A {τ t}) A t für alle t I, d. h. Ω \ A A τ. Somit ist A τ eine σ-algebra. Sei nun I = [0, [. Für c [0, [ gilt dann {τ c} A c A und {τ c} {τ t} A t c A t. Also ist τ A τ -messbar. (ii) Ist τ t 0, so gilt A A τ A A A {τ t} A t für alle t I A A t0. Also A τ = A t0. Sei A A τ1 und t I. Zu zeigen ist A {τ 2 t} A t. Wegen τ 1 τ 2 ist {τ 2 t} {τ 1 t}, und daher gilt (1) A {τ 2 t} = A {τ 1 t} {τ 2 t}. Da A A τ1 ist, ist A {τ 1 t} A t. Da τ 2 Stoppzeit ist, ist {τ 2 t} A t. Nach (1) folgt daher A {τ 2 t} A t. Ist τ, so ist offenbar A τ auch in diesem Fall nicht. = A. Die Bezeichnungen widersprechen einander also Der Nachweis, dass gewisse Abbildungen τ : Ω [0, ] Stoppzeiten sind, ist teilweise recht schwierig. (Während z. B. im diskreten Fall I = N alle erste Eintrittszeiten in Borel-Mengen Stoppzeiten sind, ist dies für I = [0, [ nicht notwendigerweise der Fall.) [4] 14 C5(WS08/09)

15 Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale Ein Prozess (X t ) t [0, [ heißt rechtsseitig stetig (stetig), wenn für alle ω Ω gilt ist rechtsseitig stetig (stetig). [0, [ t X t (ω) Wir definieren für B R d die erste Eintrittszeit in die Menge B für einen R d -wertigen Prozess (X t ) t 0 : τ B (ω) := inf{t [0, [: X t (ω) B} dann gilt: A B τ B τ A Die erste Eintrittszeit in eine offene Menge ist für rechtsseitig stetige Prozesse eine schwache Stoppzeit Sei O R d offen und (X t ) t [0, [ ein zu (A t ) t [0, [ adaptierter, rechtsseitig stetiger Prozess mit Werten im R d. Dann ist τ O eine schwache Stoppzeit, d.h. für alle t 0 gilt {ω Ω : τ O (ω) < t} A t. Beweis. Zu 0 s < t mit X s (ω) O gibt es, da t X t (ω) rechtsseitig stetig und O offen ist, ein r Q + mit s r < t und X r (ω) O. Die Behauptung folgt daher aus und der Abzählbarkeit von Q +. {τ O < t} = Q + r<t {ω : X r(ω) O} A t Ist τ eine Stoppzeit, so ist τ eine schwache Stoppzeit siehe (1) von Die Umkehrung gilt jedoch i.a. nicht. So ist z.b. τ O i.a. keine Stoppzeit. Rechtsseitig stetige Filtrationen ermöglichen jedoch diesen Schluss Rechtsseitig stetige Filtrationen Eine Filtration (A t ) t [0, [ heißt rechtsseitig stetig, wenn für alle t 0 gilt A t = s>t A s. Setzt man A + t := A t, so ist eine Filtration also genau dann rechtsseitig stetig, s>t wenn A + t = A t für alle t 0 gilt. Ist (A t ) t [0, [ eine Filtration, so ist (A + t ) t [0, [ rechtsseitig stetig: Zunächst ist offensichtlich (A + t ) t [0, [ eine Filtration mit s>t A+ s = A u = A u = A + s>t u>s u>t t. C5(WS08/09) [4] 15

16 Finanzmathematik I 4.25 Für rechtsseitig stetige Filtrationen sind schwache Stoppzeiten auch Stoppzeiten Es sei (A t ) t [0, [ eine Filtration. Für τ : Ω [0, ] sind äquivalent: (i) {τ < t} A t für alle t [0, [; (ii) {τ t} A + t für alle t [0, [. Für rechtsseitig stetige Filtrationen sind schwache Stoppzeiten und Stoppzeiten also dasselbe. Beweis. (i) (ii) Für alle m N gilt: und somit ist {τ t} = n m {τ < t + 1/n} A t+1/m {τ t} m N A t+1/m = A + t. (ii) (i) Für t > 0 gilt nämlich {τ q} A + q A t für q < t und somit {τ < t} = {τ q} A t. Q + q<t Aus 4.23 und 4.25 ergibt sich somit das folgende Korollar Korollar Es sei (A t ) t [0, [ eine rechtsseitig stetige Filtration und (X t ) t [0, [ ein rechtsseitig stetiger, adaptierter Prozess mit Werten im R d. Ist O R d eine offene Menge, dann ist τ O eine Stoppzeit. Der folgende Satz zeigt, dass für stetige Prozesse eine analoge Aussage wie in 4.26 auch für abgeschlossene Mengen sogar ohne rechtsseitige Stetigkeit der Filtration gilt Die erste Eintrittszeit in eine abgeschlossene Menge ist für stetige Prozesse eine Stoppzeit Sei (A t ) t [0, [ eine Filtration. Sei A R d abgeschlossen und (X t ) t [0, [ ein zu (A t ) t [0, [ adaptierter, stetiger Prozess mit Werten im R d. Dann ist τ A eine Stoppzeit. Beweis. Sei A. Für n N setze O n := x A {y R d x y < 1/n}. Dann gilt, wenn On c den Abschluss von O n bezeichnet, nach Übungsaufgabe 30, da A abgeschlossen ist (1) O n offen, O c n+1 O n für alle n N. [4] 16 C5(WS08/09)

17 Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale (2) A = n=1 O n = n=1 O c n. Da für jedes n N die Menge O n nach (1) offen ist, ist τ n := τ On eine schwache Stoppzeit nach Es gilt, da O n, offensichtlich (3) τ 1 τ 2... τ n... τ A. Setze σ := sup τ n. Dann gilt σ τ A. Wir zeigen σ = τ A und hierzu n N (4) τ A σ. Sei also ω Ω mit o.b.d.a. σ(ω) < gegeben. Aus τ k (ω) σ(ω) folgt mit der linksseitigen Stetigkeit von t X t (ω) (5) X τk (ω)(ω) X σ(ω) (ω). Wir zeigen (6) y 0 := X σ(ω) (ω) A. Hieraus folgt dann sofort (4). Zu (6): Sei n N beliebig aber fest gewählt. Wir zeigen y 0 O n. Hieraus folgt (6) mit (2). Zu n existiert nach (5) ein k N mit k > 2n + 1 und X τk (ω)(ω) y 0 < 2n 1. Nun ist X τk (ω)(ω) Ok c, denn zu τ k(ω) gibt es s m mit s m τ k (ω) für m und X sm (ω) O k Ok c. Da Oc k abgeschlossen und der Prozess rechtsseitig stetig ist, folgt daher X τk (ω)(ω) Ok c( O k 1 ). Also existiert nach Definition von O k 1 ein x 0 A mit (1) (7) X τk (ω)(ω) x 0 < k 1 1 Somit gilt x 0 y 0 y 0 X τk (ω)(ω) + X τk (ω)(ω) x 0 < 2n 1 k 1 1 n 1. Da x 0 A ist, folgt hieraus y 0 O n. Es bleibt für t 0 z.z. (8) {τ A t} A t. Für t = 0 folgt dies, da auf Grund der rechtsseitigen Stetigkeit von (X t ) t 0 und der Abgeschlossenheit von A gilt, dass Zum Nachweis von (8) für t > 0 zeigen wir {τ A = 0} = {X 0 A} A 0 ist. (9) {τ A t} = n=1 {τ n < t}. Hieraus folgt (8), da alle τ n schwache Stoppzeiten sind. Zu (9): folgt, da τ A = sup τ n ist. Sei nun umgekehrt τ A (ω) t. Ist τ A (ω) = 0, n N so ist τ n (ω) = 0 und daher τ n (ω) < t wegen t > 0. Ist aber 0 < τ A (ω) t, so ist wegen der rechtsseitigen Stetigkeit X τa (ω)(ω) A O n für jedes n N. Also gibt es wegen der linksseitigen Stetigkeit von t X t (ω) ein s n < τ A (ω) mit X sn (ω) O n, d.h. τ n (ω) < t. C5(WS08/09) [4] 17

18 Finanzmathematik I Satz 4.23 und 4.27 werden häufig auf (A t ) t 0 = (A X t ) t 0 angewandt. Im Folgenden wollen wir Bedingungen angeben, die garantieren, dass für einen adaptierten Prozess (X t ) t 0 gilt, dass X τ A τ -messbar für jede Stoppzeit τ ist Progressive Messbarkeit Es sei (A t ) t [0, [ eine Filtration und (X t ) t [0, [ ein Prozess mit Werten im R d. Dann heißt (X) t [0, [ progressiv messbar, wenn für alle t [0, [ gilt, die Abbildung [0, t] Ω (u, ω) X u (ω) R d ist B([0, t]) A t -messbar. Hierbei ist B([0, t]) die Borel-σ-Algebra über [0, t] und B([0, t]) A t die Produkt-σ-Algebra von B([0, t]) und A t. Ein progressiv-messbarer Prozess ist natürlich insbesondere adaptiert. Es gilt nämlich für t [0, [: {ω : X t (ω) B} = ({(u, ω) : 0 u t, X u (ω) B}) t A t, da nach Stochastik I ein Schnitt einer Produkt-messbaren Menge messbar ist. Wir werden in 6.3 sehen, dass previsible Prozesse progressiv messbar sind. Es sei X eine A := A σ ( t 0 A t )-messbare Abbildung mit Werten in R d. Dann gilt mit X τ definiert durch X τ (ω) := X τ(ω) (ω) für ω Ω : 4.29 Progressive Messbarkeit gewisser Prozesse Es sei (A t ) t [0, [ eine Filtration. Es sei (X t ) t [0, [ ein R d -wertiger Prozess und τ eine Stoppzeit. Dann gilt: (i) Ist (X t ) t [0, [ ein adaptierter und rechtsseitig oder linksseitig stetiger Prozess, so ist (X t ) t [0, [ progressiv messbar. (ii) Ist (X t ) t [0, [ progressiv messbar, so ist X τ A τ -messbar; insbesondere ist also (X t ) t [0, [ adaptiert. Hierbei sei X A -messbar gewählt. Beweis. (i) Wir betrachten nur den rechtsseitig stetigen Fall, da sich der linksseitig stetige Fall analog behandeln lässt. Für t = 0 bedeutet die Bedingung der progressiven Messbarkeit die A 0 -Messbarkeit von X 0. Sei daher t > 0 beliebig aber fest gewählt. Für n N und 0 s t setze { Xs n Xtk/2 n(ω), falls s [t (ω) = k 1 2 n, t 2 k n [ für 1 k 2 n, X t (ω), falls s = t. Da (X t ) t 0 rechtsseitig stetig ist, folgt X n s (ω) X s (ω) auf [0, t] Ω. Es reicht also zu zeigen, dass die Abbildung (s, ω) X n s (ω) B([0, t]) A t -messbar ist. Dies folgt aus der A t -Messbarkeit von X s für s t und der folgenden Gleichung: [4] 18 C5(WS08/09)

19 Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale {(s, ω) : 0 s t, Xs n (ω) B} = [ 2n k 1 k=1 [t 2 n, t 2 k n [ {X kt (ω) B}] ({t} {X 2 n t B}). (ii) Es reicht zu zeigen, dass für jedes t > 0 und jede Borel-Menge B gilt: (1) {ω : X τ (ω) B} {ω : τ(ω) t} A t. Denn, da τ Stoppzeit ist, folgt (2) {τ = } A, und somit (3) {ω : X τ (ω) B} = ({ω : X τ (ω) B} {τ n}) ({X B} {τ = }) A. n=1 (1), (2) Aus (1) und (3) folgt {X τ B} A τ. Zu (1): Setzt man ψ(ω) := X τ(ω) (ω) für ω {τ t}, so reicht es, wegen A t {τ t} A t, zu zeigen (4) ψ ist A t {τ t}-messbar, denn dann gilt Nun ist {ω : X τ (ω) B} {τ t} = {ω {τ t} ψ(ω) B} A t {τ t} A t. (5) ψ = ϕ 2 ϕ 1, wobei (6) { ϕ 1 (ω) := (τ(ω), ω) [0, t] Ω für ω {τ t}, ϕ 2 (s, ω) := X s (ω) für (s, ω) [0, t] Ω. Da (X t ) t [0, [ progressiv messbar ist, ist ϕ 2 eine B([0, t]) A t -messbare Abbildung. Zum Nachweis von (4) reicht es daher zu zeigen: (7) ϕ 1 ist A t {τ t}, B([0, t]) A t -messbar. Zum Nachweis von (7) ist, wegen der Definition von ϕ 1 in (6), zu zeigen: (8) {τ t} ω τ(ω) ist A t {τ t}, B([0, t])-messbar. Sei hierzu s t. Da τ Stoppzeit ist, folgt (8) aus {ω : τ(ω) s} = {ω : τ(ω) s} {ω : τ(ω) t} A s {τ t} A t {τ t} Äquivalente Bedingungen zur Martingaleigenschaft bei stetiger Zeit Es sei X t L 1, t [0, [ bzgl. der Filtration (A t ) t [0, [ adaptiert und [0, [ t X t sei rechtsseitig stetig. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. (i) (X t ) t [0, [ ist ein Martingal bzgl. (A t ) t [0, [. (ii) Für je zwei beschränkte Stoppzeiten σ τ ist X τ L 1, und X σ = E Aσ (X τ ). (iii) Für jede beschränkte Stoppzeit τ ist X τ L 1 und E(X 0 ) = E(X τ ). Eine entsprechende Äquivalenz von (i) und (ii) gilt auch für Submartingale. C5(WS08/09) [4] 19

20 Finanzmathematik I Beweis. Wir zeigen (ii) (iii) (i) (ii) (ii) (iii) durch Integration von (ii) mit σ 0.. (iii) (i) Sei s < t und A A s. Es ist zu zeigen (1) A X sdp = A X tdp. Betrachte die Stoppzeiten σ := s1 A + t1 A, τ := t. Dann gilt nach Voraussetzung E(X σ ) = E(X 0 ) = E(X t ), somit erhalten wir A X sdp + A X tdp = E(X σ ) = E(X t ) = A X tdp + A X tdp. Hieraus folgt (1). (i) (ii) Es reicht z.z. ist σ eine Stoppzeit mit σ N N, so folgt (2) X σ = E Aσ (X N ). Denn aus (2) folgt für zwei Stoppzeiten σ τ N auch X τ = (2) E Aτ (X N ) und somit ist X τ L 1, und es gilt E Aσ (X τ ) = E Aσ (E Aτ (X N )) = 4.22(ii) EAσ (X N ) = (2) X σ. Nach 4.29 ist X σ insbesondere A σ -messbar. Es bleibt für (2) also zu zeigen (3) A X σdp = A X NdP für A A σ. Setze σ n (ω) := inf{ 2 k n : k N 0 σ(ω) 2 k n }. Dann gilt σ n (ω) σ(ω) und aus der rechtsseitigen Stetigkeit von (X t ) t 0 folgt (4) X σn(ω)(ω) X σ(ω) (ω) für alle ω Ω. Es gilt ferner σ n ist eine Stoppzeit, wegen {σ n = 2 k n } = { k 1 2 n < σ 2 k n } A k/2 n und einer Modifikation von 4.21 (II). Daher ist nach 4.22(ii) wegen σ σ n (5) A σ A σn. Wir zeigen später (6) X σn = E(X N A σn ). Nach 4.5 ist dann {X σn : n N} gleichgradig integrierbar. Also folgt mit (4) nach 4.15 (iii), dass (7) A X σ n dp A X σdp und daher insbesondere für A A σ A σn (5) A X NdP = A E(X N A σn )dp = A X σ n dp (7) (6) A X σdp. Also gilt (3). Zu (6): Da σ N N ist, nimmt σ n nach Definition nur Werte 2 k n für k k 0 mit geeignetem k 0 N 0 und k 0 /2 n N N an. Also gilt, da σ n Stoppzeit ist, für A A σn A = A {σ n = 2 k n } mit A {σ n = 2 k n } A k/2 n 0 k k 0 [4] 20 C5(WS08/09)

21 Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale Somit erhalten wir für A A σn. A X σ n dp = A {σ n= k k k 2 n } X k/2 ndp = 0 (i) = A {σ n= k k k 2 n } X NdP = X N dp 0 A und somit ist (6) und daher (2) bewiesen. k k 0 A {σ n= k 2 n } E(X N A k/2 n)dp 4.31 Optional Sampling Theorem für beschränkte Stoppzeiten bei stetiger Zeit Sei (X t ) t [0, [ ein rechtsseitig stetiges Martingal bzgl. (A t ) t [0, [. Ferner seien (τ t ) t [0, [ beschränkte Stoppzeiten zu (A t ) t [0, [ mit τ s τ t für s t. Dann ist (X τt ) t [0, [ ein Martingal bzgl. (A τt ) t [0, [. Beweis. Nach 4.22 (ii) gilt A τs A τt für s < t. Also ist (A τt ) t [0, [ eine Filtration. Nach 4.29 (i) + (ii) sind die X τt A τt -messbar. Die Martingaleigenschaft folgt somit aus 4.30 (i) (ii) Der gestoppte Prozess (X τ t ) t [0, [ Sei (X t ) t [0, [ ein rechtsseitig stetiges Martingal bzgl. (A t ) t [0, [. Ferner sei τ eine Stoppzeit zu (A t ) t [0, [. Dann ist (X τ t ) t [0, [ ein Martingal bzgl. (A τ t ) t [0, [. Beweis. Wende Satz 4.31 an auf die beschränkten Stoppzeiten τ t := τ t. Den Beweis der wichtigen Sätze 4.33, 4.34 findet man z.b. in Karatzas-Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer Verlag Maximalungleichungen für Martingale bei stetiger Zeit (i) Sei p 1 und (X t ) t [0, [ ein rechtsseitig stetiges Martingal bzgl. (A t ) t [0, [. Dann gilt für alle t 0 und α > 0 (1) P { sup X s α} 1 α 0 s t p Xt p dp und (2) P {sup X s α} 1 α s 0 p sup Xt p dp. t 0 (ii) Sei p > 1 und (X t ) t [0, [ ein rechtsseitig stetiges Martingal bzgl. (A t ) t [0, [. Dann gilt für alle t 0 sup X s p dp ( p p 1 )p X t p dp. 0 s t C5(WS08/09) [4] 21

22 Finanzmathematik I Mit Hilfe der Maximalungleichungen werden wir später zeigen können, dass stochastische Integralprozesse rechtsseitig stetig bzw. stetig sind Rechtsseitig stetige Martingale mit sup konvergent t [0, [ E( X t ) < sind f.s. Sei (X t ) t [0, [ ein rechtsseitig stetiges Martingal bzgl. (A t ) t [0, [ mit E( X t ) <. Dann gibt es eine A -messbare P -integrierbare Funktion sup t [0, [ X : Ω R mit X t X P -f.s.. Unter den Bedingungen im Satz 4.34 muss das Martingal nicht 1 -konvergent sein. Es gelten jedoch folgende Äquivalenzen: 4.35 Charakterisierung der 1 -konvergenten, rechtsseitig stetigen Martingale Sei (X t ) t [0, [ ein rechtsseitig stetiges Martingal bzgl. (A t ) t [0, [. Dann sind äquivalent: (i) (ii) (iii) X t X 1 0 für ein A -messbares X L 1. {X t : t [0, [} ist gleichgradig integrierbar. X L 1 mit X t = E A t (X) P -f.s. für jedes t [0, [. Gelten diese Aussagen, so folgt für die A -messbare Funktion X L 1 aus (i): X t X P -f.s. und X t = E A t (X ) P -f.s. für jedes t [0, [. Beweis. (iii) (ii) nach 4.5. (ii) (i) Aus (ii) folgt insbesondere sup E( X t ) <. Nach 4.34 gibt es daher eine t 0 A -messbare P -integrierbare Funktion X mit X t P -f.s.. Ist nun t n, n N eine Folge mit t n, so folgt (1) X tn X aus (ii) folgt P -f.s.. X (2) {X tn : n N} ist gleichgradig integrierbar. Also gilt nach 4.20, dass X tn X 1 0. Da t n eine beliebige gegen konvergente Folge war, ergibt sich X t X 1 0. (i) (iii) Sei t 0 [0, [, dann gilt für t t 0 X t0 E A t 0 X 1 = E A t 0 X t E A t 0 X 1 3.7(ii) X t X 1 0. [4] 22 C5(WS08/09)

23 Also ist X t0 = E A t 0 X P -f.s. Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale Zum Zusatz: Da aus (ii) insbesondere sup E( X t ) < folgt, gilt X t X P -f.s. t 0 nach 4.34 für eine A -messbare, integrierbare Funktion X. Also gilt insbesondere X n X P -f.s., und es gibt nach (i) eine Teilfolge X n X P -f.s. mit X N 1 aus (i). Hieraus folgt X = X P -f.s.. Also gilt X t X P -f.s.. Wie in (i) (iii) gezeigt ist, gilt mit dieser Funktion X, dass X t = E A t X ist Für p > 1 sind p -beschränkte, rechtsseitig stetige Martingale p -konvergent Sei (X t ) t [0, [ ein rechtsseitig stetiges Martingal bzgl. (A t ) t [0, [. Es sei p > 1 und X t p <. Dann ist {X t : t 0} gleichgradig integrierbar und mit X aus sup t gilt: sup X t L p und X t X p 0 sowie X L p. t 0 Beweis. Aus 4.33 (ii) folgt mit t : (1) sup X t p dp = lim sup X t p dp ( p t 0 t 0 s t p 1 )p sup t 0 E( X t p ) <. Also ist sup X t L p L 1 und somit (X t ) t 0 gleichgradig integrierbar nach 4.14 (iii). t 0 Nach 4.35 gilt daher für eine A -messbare Funktion X, dass X t X P -f.s.. Mit t n folgt X tn X p 0 mit X L p nach 4.20, da { X tn p : n N} nach (1), wegen 4.14 (iii), gleichgradig integrierbar ist. Also gilt X t X p 0 mit X L p E( X p ) = lim E( X t p ) für geeignete Martingale Sei (X t ) t [0, [ ein rechtsseitig stetiges Martingal bzgl. (A t ) t [0, [ mit sup t [0, [ X t p < für p > 1 oder gleichgradig integrierbarem {X t : t [0, [} für p = 1. Dann gilt mit A -messbarem X aus 4.35: E( X p ) = lim E( X t p ) mit X L p. Beweis. Nach 4.35 bzw gilt X t X p 0 mit X X t p X p X t X p folgt die Behauptung. L p. Wegen C5(WS08/09) [4] 23

24 Finanzmathematik I 4.38 Optional Sampling Theorem für rechtsseitig stetige p -beschränkte Martingale Sei (X t ) t [0, [ ein rechtsseitig stetiges Martingal bzgl. (A t ) t [0, [ mit X t p < für p > 1 oder gleichgradig integrierbarem {X t : t 0} für sup t [0, [ p = 1. Dann gilt mit dem A -messbarem X aus 4.35: (i) Sind σ, τ zwei Stoppzeiten mit σ τ, so ist X σ = E Aσ (X τ ) mit X τ L 1. (ii) Sei = I [0, [ und {τ i : i I} ein aufsteigendes System von Stoppzeiten. Dann ist (X τi ) i I ein Martingal bzgl. (A τi ) i I und { X τi p : i I} ist gleichgradig integrierbar. Beweis. (i) Da, aus sup t [0, [ X t p < für p > 1, die gleichgradige Integrierbarkeit von {X t : t 0} nach 4.36 folgt, reicht es (i) für ein gleichgradig integrierbares Martingal zu beweisen. Für ein solches gilt nach 4.35 (1) X t X Es reicht z.z. für eine Stoppzeit τ gilt P -f.s., X t X 1 0 mit X t = E A t X. (2) X τ = E(X A τ ), denn aus (2) folgt wegen σ τ und somit A σ A τ X σ = (2) E(X A σ ) = E6 E(E(X A τ ) A σ ) = (2) E(X τ A σ ). Zu (2): Nach 4.30 gilt mit den beschränkten Stoppzeiten σ := τ n und τ := n (3) X τ n = E(X n A τ n ) = (1) E(E(X A n ) A τ n ) = E6 E(X A τ n ). Da nach (1) gilt X τ n X τ P -f.s., und da {E(X A τ n ) : n N} nach 4.5 gleichgradig integrierbar ist, folgt mit (3) nach 4.20: (4) E(X A τ n ) X τ in der 1 -Norm,X τ L 1. Wir zeigen für u 0 gilt: (5) A {τ u} A τ u für A A τ. Hierzu zeigen wir, dass für zwei Stoppzeiten σ, τ gilt: ( ) A σ A τ = A σ τ. folgt aus 4.22 (ii). Sei A A σ, A A τ sowie t 0. Dann gilt A A und A {σ t} A t, A {τ t} A t. Also ist A {σ τ t} = {A {σ t}) (A {τ t}) A t, d.h. A A σ τ. (5) folgt nun aus ( ), da A {τ u} A τ und A {τ u} A u sind. 4.22(i) [4] 24 C5(WS08/09)

25 Aus (4) und (5) folgt nun (2): Es ist für n 0 N X τ dp = lim (4) und somit A {τ < } A {τ n 0 } X τ dp = Gleichgradige Integrierbarkeit, Stoppzeiten und Martingale = (5) A {τ < } n 0 A {τ n 0 } A {τ n 0 } X dp E(X A τ n )dp X dp wegenx τ, X L 1. Wegen X τ dp = dp, folgt insgesamt A {τ = } A {τ= }X X τ dp = X dp für A A τ, A A d.h. X τ = E(X A τ )P -f.s.. (ii) Da für i < j nach Voraussetzung τ i τ j gilt, ist nach (i) X τi = E(X τj A τi ) mit X τj L 1 Also ist (X τi ) i I ein Martingal bzgl. (A τi ) i I (benutze auch 4.29). Eine erneute Anwendung von (i) auf σ := τ i und τ := liefert X τi = E(X A τi ). Nach 3.7 (i) gilt, da X L p nach 4.37 ist: X τi p = E(X A τi ) p E( X p A τi ). 3.7 Also sind X τi L p, und { X τi p : i I} ist, wegen 4.14 (iii) und 4.5, gleichgradig integrierbar Korollar Sei (X t ) t [0, [ ein rechtsseitig stetiges Martingal bzgl. (A t ) t [0, [ mit X t L p für t 0 und ein p 1. (i) Sei I [0, [ und {τ i : i I} ein aufsteigendes System von Stoppzeiten mit sup τ i T <. Dann ist (X τi ) i I ein Martingal bzgl. (A τi ) i I und i I { X τi p : i I} ist gleichgradig integrierbar. (ii) Sei τ eine Stoppzeit. Dann ist X τ := (X τ t ) t [0, [ ein Martingal bzgl. (A t ) t [0, [ mit X τ t L p. Ist τ beschränkt, dann ist { X τ t p : t [0, [} gleichgradig integrierbar. Beweis. (i) Es gilt Xt T := X t T = E(X T A t ) für t 0 mit X T L p.somit ist (Xt T ) t [0, [ ein rechtsseitig stetiges Martingal mit sup Xt T p X T p <. Für t [0, [ 3.7 (iii) p = 1 ist dieses Martingal gleichgradig integrierbar nach 4.5. Daher sind die Voraussetzungen von 4.38 (ii) erfüllt, und somit ist (Xτ T i ) i I ein Martingal bzgl. (A τi ) i I und { Xτ T i p ; i I} ist gleichgradig integrierbar. Da τ i T = τ i und somit Xτ T i = X τi ist, folgt die Behauptung. (ii) Wende (i) an auf I := [0, T ] mit beliebigem T > 0 und τ t := τ t für t I. Da T beliebig ist, folgt nach (i), dass (X τ t ) t [0, [ ein Martingal bzgl. (A τ t ) t [0, [ mit X τ t L p ist. C5(WS08/09) [4] 25

26 Finanzmathematik I Zu zeigen bleibt, dass (X τ t ) t [0, [ auch ein Martingal bzgl. (A t ) t [0, [ ist. Sei also s < t, dann ist zu zeigen (1) X τ s dp = X τ t dp für A A s. A A Es gilt: (2) X τ s dp = X τ t dp für B A τ s. B B { u s Da A A s ist, gilt A {τ > s} A s und somit (A {τ > s}) {τ u} = A u s < u Also ist B := A {τ > s} A τ A s = A τ s. Aus (2) folgt somit (3) X τ s dp = X τ t dp. A {τ >s} A {τ >s} Hieraus erhalten wir wegen s < t und somit X τ s = X τ t auf {τ s} wie folgt (1): X τ s dp = X τ s dp + X τ t dp (3) A A {τ s} A {τ >s} = A X τ t dp. Sei τ T undτ t := τ t. Dann folgt, wegen τ t T, die gleichgradige Integrierbarkeit von { X τ t p : t [0, [} aus (i). Der erste Teil von (ii) stellt eine Verschärfung des Satzes 4.32 dar. [4] 26 C5(WS08/09)