9 Die Ito-Formel und ihre Anwendungen

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1 9 Die Ito-Formel und ihre Anwendungen 9.1 Die eindimensionale Ito-Formel 9. Die Formel der partiellen Integration 9.3 Die quadratische Variaton eines stetigen Semimartingals 9.4 Die eindimensionale Ito-Formel für eine C -Funktion und ein stetiges Semimartingal 9.5 Integration bzgl. des stetigen Semimartingals (f(m t, V t )) t 9.6 Exponentialprozesse 9.7 Lokale Martingale sind in der Regel Supermartingale 9.8 Aus E(M, λ) d = E(M, λ) T d < folgt die Martingaleigenschaft von (E(M, λ)) t T. 9.1 Eigenschaften des Kovariatonsprozesses 9.11 Der Kovariationsprozess einer d-dimensionalen normalen, Brownschen Bewegung 9.1 Komposition von stetigen, lokalen Martingalen und Charakterisierung von [M, N] 9.13 Der Kovariatonsprozess zweier durch Integration bzgl. stetiger Semimartingale gegebenen rozesse 9.14 Die mehrdimensionale Ito-Formel 9.15 Die mehrdimensionale Ito-Formel für C -Funktionen und stetige Semimartingale 9.16 Die Formel der partiellen Integration für stetige Semimartingale 9.17 Bedingte Erwartungswerte von komplex-wertigen Funktionen und Integration von komplex-wertigen Funktionen bzgl. Martingalen 9.19 Die Charakterisierung der Brownschen Bewegung nach Levy mit Hilfe der quadratischen Variation 9. Der Dichteprozess (L t ) t 9.1 Lokale Martingale bei äquivalenten W-Maßen mit Dichteprozessen 9. Der Satz von Girsanov 9.5 Der Satz von Girsanov mit Exponentialprozessen als Dichten 9.7 Für linksseitig stetige rozesse mit rechtsseitigem Grenzwert ist XdS ein Grenzwert von Zwischensummen 9.8 Integrale bzw. αs 1 + βs 9.9 Der Begriff des stochastischen Differentials Eine der bedeutendsten Resultate in der Theorie der stochastischen Integration ist die Ito-Formel. Sie ist benannt nach Ito, der sie als Erster für die Integration bzgl. einer C4 9 1

2 Finanzmathematik II Brownschen Bewegung bewiesen hat. Den wichtigsten unkt der Ito-Formel erkennt man an folgendem Spezialfall. Sei M ein stetiges, lokales Martingal und f : R R zweimal stetig differenzierbar. Dann lautet die Ito-Formel für (f(m t )) t f(m t ) = f(m ) + f (M)dM + 1/ f (M(s, ω))[m](ds, ω). Vergleichen wir diese Formel mit 5.37, so erkennen wir, dass hier ein zusätzlicher Term 1/ f (M(s, ω))[m](ds, ω) auftaucht. Sollte M jedoch selbst ein l.b.v. rozess sein, und definiert man dann [M] t ebenfalls durch Mt M M dm, so ist [M] t = nach Ist f = x, so erhalten wir M t = M + MdM + [M] t, also die Definition des quadratischen Variationsprozesses [M]. Nach 7.16 (ii) β ist f(m ) + f (M)dM ein stetiges lokales Martingal, und nach 5.35 (i) + (ii) ist 1/ f (M(s, ω))[m](ds, ω) ein stetiger, l.b.v.-rozess. Also ist f(m t ) ein Semimartingal. Die Ito-Formel gilt auch für stetige Semimartingale S, an Stelle eines lokalen Martingals M, und zeigt somit insbesondere, dass eine C -Funktion eines stetigen Semimartingals wieder ein Semimartingal ist. 9.1 Die eindimensionale Ito-Formel Sei M ein stetiges, lokales Martingal bzgl. (A t ) t und V ein stetiger, adaptierter rozess, der für alle ω von lokal-beschränkter Variation ist. Es sei O R offen, und f : O R sei stetig mit stetigen partiellen Ableitungen x, y, f. Ferner x sei (M t (ω), V t (ω)) O für alle t und ω Ω. Dann gilt f(m t, V t ) f(m, V ) = x (M, V )dm + y (M, V )dv + 1/ f (M, V )d[m]. x Ferner ist (f(m t, V t )) t ein stetiges Semimartingal. Beweis. Es sind x (M, V ), y (M, V ) und f (M, V ) nach Voraussetzung stetige, adaptierte rozesse. Nach 7.16 (ii)β) ist dann x x (M, V )dm ein stetiges, lokales Martingal und die punktweise gebildeten Integrale y (M s(ω), V s (ω))v (ds, ω), f (M x s (ω), V s (ω))[m](ds, ω) sind nach 5.35 (i), (ii) stetige, l.b.v.-rozesse. Ist also die Ito-Formel bewiesen, so ist klar, dass f(m t, V t ) f(m, V ) und daher auch f(m t, V t ) ein stetiges Semimartingal ist. Der Beweis der Ito-Formel beruht auf einer Taylor-Entwicklung (T.E.) und der Berechnung von Integralen nach 8.1 und 8.13: Da beide Seiten der Formel stetige rozesse sind, reicht es die -f.s. Gleichheit der Formel für ein festes t > zu beweisen. Sei also t > vorgegeben und Zn t eine reguläre 9 C4

3 Die Ito-Formel und ihre Anwendungen Zerlegungsfolge von [, t]. Die Differenz f(m t, V t ) f(m, V ) kann man folgendermaßen berechnen: f(m t, V t ) f(m, V ) = kn [f(m t n ν, V t n ν ) f(m t n, V t n )] = kn [{f(m t n ν, V t n ν ) f(m t n ν, V t n )} + {f(m t n ν, V t n ) f(m t n, V t n )}] (T.E.) [ = kn + kn + 1 k n [ f y (M t n, V ν s n) + ν y (M t n, V t n ) y (M t n, V t n )] (V t n V ν t n ) x (M t n, V t n )(M t n ν M t n ) (M x u n ν, V t n ) + f (M x t n, V t n ) f (M x t n, V t n )](M t n ν M t n ) mit s n ν := s n ν (ω) [t n, tn ν ] und u n ν := u n ν (ω) [t n, tn ν ]. Man beachte für die Anwendung des Mittelwertsates f(m t n ν (ω), y) f(m t n ν (ω), x) = x (M t n ν (ω), ξ) mit ξ [x, y] und x := V t n (ω) O, y := V t n ν (ω) O, dass [x, y] O auf Grund des Zwischenwertsatzes für stetige Funktionen ist. Ferner ist ξ = V s n ν (ω)(ω) mit s n ν (ω) [t n, tn ν ] auf Grund des Zwischenwertsatzes für stetige Funktionen. Wir können s n ν so wählen, dass gilt (1) Es ist nämlich y (M t n, V ν s n ν ) ist messbar. y (M t n ν, V s n ν ) = [f(m t n ν, V t n ν ) f(m t n ν, V t n )]/(V t n ν V t n ) für V t n ν (ω) V t n (ω). Auf V t n ν (ω) = V t n (ω) wähle man etwa s n ν (ω) = t n. Entsprechend können wir u n ν so wählen, dass gilt () Setze f x (M u n ν, V t n ) ist messbar. (3) R n ν := y (M t n ν, V s n ν ) y (M t n, V t n ), ν = 1,... k n. (4) S n ν := f x (M u n ν, V t n ) f x (M t n, V t n ), ν = 1,..., k n. Nach (1) und () sind R n ν, S n ν messbar, und es gilt nach der ersten Berechnung der Differenz von f(m t, V t ) f(m, V ): f(m t, V t ) f(m, V ) = + kn + 1 k n (3), (4) x (M t n, V t n )(M t n ν M t n ) f x (M t n, V t n )(M t n ν M t n ) + 1 y (M t n, V t n )(V t n V ν t n )+ kn S n ν (M t n ν M t n ). Aus dieser Zerlegung wird mit 5.9 (iii), 7.3 (i) und 8.13 die Ito-Formel folgen. R n ν (V t n ν V t n ) C4 9 3

4 Finanzmathematik II (5) y (M t n, V t n )(V t n V ν t n ) 5.9(iii) n y (M, V )dv, hierbei wird 5.9 (iii) für jedes feste ω angewandt auf die stetige Funktion f(t) := y (M t(ω), V t (ω)) und die stetige Funktion g(t) := V t (ω) von lokalbeschränkter Variation. Aus 7.3 (i) angewandt auf den stetigen, adaptierten rozess X t := x (M t, V t ) folgt (6) x (M t n, V t n )(M t n M ν t n ) stochastisch Schließlich folgt aus 8.13 mit Y t := f x (M t, V t ) (7) n f (M x t n, V t n )(M t n ν M t n ) stochastisch n x (M, V )dm. f x (M, V )d[m]. Aus der Darstellung von f(m t, V t ) f(m, V ) und (5) (7) folgt dann die Ito-Formel, wenn wir noch zeigen (8) (9) R n ν (V t n ν V t n ) n punktweise. Sν n (M t n ν M t n ) stochastisch. n Nach Voraussetzung sind für jedes ω Ω die Funktionen (u, s) y (M u(ω), V s (ω)) (u, s) f x (M u (ω), V s (ω)) gleichmäßig stetig auf [, t] [, t]. Hieraus folgt (1) k n sup R n ν n punktweise. (11) k n sup da nach Voraussetzung δ(z t n) n gilt. S n ν n punktweise, Es folgt (8) mit (1), da V von lokalbeschränkter Variation ist, aus kn Rν n (V t n ν V t n ) kn sup R ν kn (9) folgt mit (11) und 8.1 (i) aus V t n ν V t n (1) n. kn Sν n (M t n ν M t n ) sup kn S n ν kn (M tν n M t n ) stochastisch [M] t =. n Es sollen nun eine Reihe von Anwendungen der Ito-Formel gegeben werden. 9 4 C4

5 Die Ito-Formel und ihre Anwendungen 9. Die Formel der partiellen Integration Es sei M ein stetiges, lokales Martingal und V ein stetiger, adaptierter rozess der für alle ω von lokal beschränkter Variation ist. Dann gilt (i) V dm + MdV = M t V t M V. (ii) Es ist V dm ein ( starkes ) Riemann-Stieltjes Integral, d.h. ist Zt n eine reguläre Zerlegungsfolge mit ξ n ν [t n, tn ν ], so gilt punktweise V (ξν n, ω)[m(t n ν, ω) M(t n, ω)] n V dm. Beweis. (i) Wende die Ito-Formel auf f(x, y) = x y an. Es ist x = y, f x =, y = x. Also folgt nach 9.1: (ii) Sei (1) M t V t M V = V dm + MdV. V dm so gewählt, dass für alle ω gilt V dm = M tv t M V MdV. Nun gilt nach der Abelschen Summationsformel (oder durch Nachrechnen) für jedes ω Ω () mit ξ n :=, ξn k n+1 := t. V ξ n ν (M t n ν M t n ) = M t V t M V kn M t n ν (V ξ n ν+1 V ξ n ν ) Da M stetig und V von lokal-beschränkter Variation ist, gilt wegen ξ n = tn ξn 1 t n 1... ξn k n t n k n ξk n n+1 nach 5.9 (iii) (3) ν= Aus (1) - (3) folgt die Behauptung. ν= M t n ν (V ξ n ν+1 V ξ n ν ) MdV. Man beachte, dass 9. (ii) für (X t ) t := (V t ) t, welches von lokalbeschränkter Variation ist, den Satz 7.3 (i) verschärft, C4 9 5

6 Finanzmathematik II 9.3 Die quadratische Variation eines stetigen Semimartingals Es sei S = M + V die Zerlegung eines stetigen Semimartingals. Definiere die quadratische Variation von S durch [S] t = St S SdS für t. Dann gilt (i) [S] = [M]. (ii) (iii) Ist Z t n = (t n,..., tn k n ) eine reguläre Zerlegungsfolge, so folgt (S t n ν S t n ) konvergiert stochastisch gegen [S] t. [S] ist ein stetiger, monoton nicht fallender rozess. Beweis. Nach 8.1 (i) existiert SdS und ist ein stetiges Semimartingal. (i) Nach Definition der Integration bzgl. eines Semimartingals gilt (1) SdS = SdM + SdV = MdM + V dm + MdV + V dv. Also ist nach Definition von [S] t und (1) [S] t = Mt + M tv t + Vt M M V V MdM V dm MdV V dv. Aus dieser Gleichung folgt mit 8.1 (i), 9. und 5.38 [S] t = 8.1 (i) [M] t + {M t V t M V V dm MdV } +V t V V dv = 9. [M] t + V t V V dv = 5.38 [M] t. (ii) Es gilt () (S t n ν S t n ) = kn (M t n ν M t n ) + kn (M t n ν M t n )(V t n ν V t n ) + kn (V t n ν V t n ). Nach 8.1 (i) gilt (3) (M t n ν M t n ) [M] t stochastisch. Da nach (i) gilt [S] t = [M] t reicht es wegen () und (3) zu zeigen (4) (5) (V t n ν V t n ) stochastisch; (M t n ν M t n )(V t n ν V t n ) stochastisch. 9 6 C4

7 Die Ito-Formel und ihre Anwendungen Nun folgt (4) aus 5.18, und (5) aus (3) und (4) mit Hilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung. (iii) folgt aus (i) und Die eindimensionale Ito-Formel für eine C -Funktion und ein stetiges Semimartingal Sei S ein stetiges Semimartingal und f : O R zweimal stetig differenzierbar mit O R offen und S t (ω) O für alle t und ω Ω. Dann gilt f(s t ) f(s ) = f (S)dS + 1 f (S)d[S]. Insbesondere ist (f(s t )) t ein stetiges Semimartingal. Beweis. Es sei S = M + V die Zerlegung in ein stetiges, lokales Martingal M und einen stetigen l.b.v. rozess V. Setze g(x, y) := f(x + y) für (x, y) O := {(x, y) : x + y O}. Es ist O R offen sowie g stetig, und g x (x, y) = f (x + y), g y (x, y) = f (x + y), g x = f (x + y) sind stetig. Nach 9.1 angewandt auf f := g und O := O ist f(s t ) = g(m t, V t ) ein stetiges Semimartingal, und es gilt f(s t ) f(s ) = g(m t, V t ) g(m, V ) g = x (M, V )dm + g y (M, V )dv + 1 = f (S)dM + f (S)dV + 1 Def. = = 9.3(i) f (S)dS + 1 f (S)dS + 1 f (S)d[M] f (S)d[S]. f (S)d[M] g x (M, V )d[m] 9.5 Integration bzgl. des stetigen Semimartingals (f(m t, V t )) t Für M, V und f mögen die Voraussetzungen von 9.1 gelten. Es sei (X t ) t ein stetiger, adaptierter rozess. Dann gilt: Xdf(M, V ) = X x (M, V )dm + X y (M, V )dv + 1 X f (M, V )d[m]. x Beweis. Es ist (f(m t, V t )) t ein stetiges Semimartingal nach 9.1. Nach 8.1 (i) ist daher ( Xdf(M, V )) t ein stetiges Semimartingal. Es ist Y t := f(m, V ) + x (M, V )dm ein stetiges, lokales Martingal und Z t := y (M, V )dv + 1 f (M, V )d[m] ein stetiger x C4 9 7

8 Finanzmathematik II l.b.v. rozess (siehe Beweisanfang von 9.1). Wegen f(m, V ) = 9.1 Y +Z gilt nach Definition der Integration bzwgl. eines Semimartingals (siehe 8.7) (1) Xdf(M, V ) = XdY + XdZ. Nun ist das Ito-Integral bzgl. Y gleich dem Ito-Integral bzgl. x (M, V )dm (siehe 7.16 (iv)). Nach 7.16 (ii) β) und 7.17 (ii) gilt daher () XdY = X x (M, V )dm. Setzt man Z t = Zt 1 + Z t mit Z1 t = y (M, V )dv und Z t = 1 f (M, V )d[m], so ist x XdZ = XdZ1 + XdZ. Nach 5.35 (iii) gilt daher (3) XdZ = X y (M, V )dv + X 1 f (M, V )d[m]. x aus (1), () und (3) folgt die Behauptung. Ist (B t ) t eine Brownsche Bewegung und λ R, so ist exp(λb t νt) t ein Martingal für ν = λ nach 5.15 (iii). Ist ν λ /, so ist exp(λb t νt) = exp(λb t λ kein Martingal, da für t exp(λbt νt)d = exp( λ t νt) exp(λb t λ t)d } {{ } =:c Nach 8.3 ist also exp(λb t λ [B] t) ein stetiges Martingal. Wir betrachten nun allgemeiner t) exp( λ t νt) = c exp( λ t νt) c. 9.6 Exponentialprozesse Sei M = (M t ) t ein stetiges, lokales Martingal. Dann ist E(M, λ) := (exp(λm t λ [M] t) t ein stetiges, lokales Martingal. Es gilt E(M, λ) t E(M, λ) = λ λ exp(λm [M])dM. Man schreibt E(M) := E(M, 1) = (exp(m t 1 [M] t) t, und nennt E(M) den zu M gehörigen Exponentialprozess. Beweis. Wir wenden die Ito-Formel 9.1 an auf f(x, y) := exp(λx λ y), die stochastischen rozesse M und V := [M]. Dann sind die Voraussetzngen für die Anwendungen der Ito-Formel erfüllt. Also ist E(M, λ) = f(m, [M]) ein stetiges Semimartingal nach 9.1, und es gilt nach 9.1 E(M, λ) t E(M, λ) = f(m t, [M] t ) f(m, ) 9 8 C4

9 = λ λ exp(λm exp(λm λ + λ Somit erhalten wir [M])dM λ [M])d[M] = λ Die Ito-Formel und ihre Anwendungen λ exp(λm [M])d[M] exp(λm λ [M])dM. E(M, λ) t E(M, λ) = λ λ exp(λm [M])dM, also ist E(M, λ) sogar ein stetiges, lokales Martingal. Ein Exponentialprozess liefert also stets ein nicht negatives, stetiges lokales Martingal. Das folgende Lemma zeigt, dass solche rozesse bei integrierbarem E(M, λ) auch Supermartingale sind. 9.7 Lokale Martingale sind in der Regel Supermartingale Es sei M ein lokales Martingal mit integrierbarem M. Es sei Y eine integrierbare Zufallsvariable mit M t Y für alle t. (i) (ii) Es sind alle M t integrierbar, und (M t ) t ist ein Supermartingal. Gilt für ein T >, dass E(M ) = E(M T ) ist, so ist (M t ) t [,T ] ein Martingal. Beweis. Übungsaufgabe 9.8 Aus E(M, λ) d = E(M, λ) T d < folgt die Martingaleigenschaft von (E(M, λ)) t T. Es sei M ein stetiges, lokales Martingal. Dann gilt (i) Ist E(M, λ) d <, dann ist E(M, λ) ein Supermartingal. (ii) Gilt E(M, λ) d = E(M, λ) T d < für ein T >, so ist (E(M, λ)) t T ein Martingal. Nach 9.6 ist Y := E(M, λ) t und E(M, λ) ein stetiges, lokales Martingal. (i) folgt daher aus 9.7 (i) und (ii) aus 9.7 (ii). 9.9 Der Kovariationsprozess Es seien S 1, S zwei stetige Semimartingale. Dann wird der Kovariationsprozess [S 1, S ] definiert durch [S 1, S ] := 1 4 ([S1 + S ] [S 1 S ]). Es ist [S 1, S ] ein stetiger l.b.v.-rozess mit [S 1, S ] = [M 1, M ], wenn S i = M i +V i für i = 1, die bis auf Ununterscheidbarkeit eindeutige Zerlegung in ein stetiges, lokales Martingal und einen l.b.v.-rozess ist. C4 9 9

10 Finanzmathematik II Es ist [S 1, S ] ein stetiger l.b.v.-rozess nach 9.3 (iii) und [S 1, S ] = [M 1, M ] folgt aus 9.3 (i). 9.1 Eigenschaften des Kovariationsprozesses Es seien S 1, S, S 3 stetige Semimartingale. Dann gilt für α, β R (i) [S 1, S 1 ] = [S 1 ]. (ii) Sei Zn t = (t n,... tn k n ) eine reguläre Zerlegungsfolge, dann konvergiert (St 1 n S1 ν t n )(S t n S ν t n ) n [S1, S ] stochastisch. (iii) [S 1, S ] = [S, S 1 ]. (iv) [αs 1 + βs, S 3 ] = α[s 1, S 3 ] + β[s, S 3 ]. Beweis. (i) Nach 9.3 (i) und 8.1 (iv) ist [αs] = [αm] = α [M] = α [S] für ein stetiges Semimartingal S = M + V. Hieraus folgt (i) nach Definition 9.9. (ii) Wegen a b = 1 4 {(a + b) (a b) } folgt (St 1 n S1 ν t n )(S t n S ν t n ) = 1 4 { kn {St 1 n + S ν t ν (St 1 n + S t n )} kn {S 1 t n ν S t n ν (S1 t n S t n )} }. Die Behauptung folgt daher durch zweimalige Anwendung von 9.3 (ii). (iii) folgt, da [S 1 S ] = [S S 1 ] nach dem Beweis in (i). (iv) Es reicht für festes t zu zeigen Dies folgt unmittelbar aus (ii). [αs 1 + βs, S 3 ] t = α[s 1, S 3 ] t + β[s, S 3 ] t -f.s Der Kovariationsprozess einer d-dimensionalen Brownschen Bewegung Es sei B = (B 1,..., B d ) eine d-dimensionale Brownsche Bewegung. Dann gilt [B i, B j ] t = δ i,j t für i, j = 1,..., d. Beweis. Für i = j gilt mit 9.1 (i) und 8.3, da B i reelle Brownsche Bewegungen sind [B i, B j ] t = [B i ] t = t = δ ii t. Sei nun i j. Nach Übungsaufgabe 7 gilt (1) σ(bt 1 : t )..., σ(bd t, t ) sind unabhängig. Sei Zn t eine reguläre Zerlegungsfolge. Zu zeigen reicht nach 9.1 (ii) 9 1 C4

11 Die Ito-Formel und ihre Anwendungen () Y n := kn (Bt i n Bi ν t n )(Bj t n Bj ν t n ) stochastisch. n Zum Nachweis von () zeigen wir (3) E(Y n ) n. Nun ist E(Yn ) = kn E[(Bt i n Bi ν t n ) (B j t n Bj ν t n ) ] + E[(Bt i n Bi ν t n )(Bj t n Bj ν t n )(Bi t n Bi µ t n )(Bj µ 1 t n Bj µ t n )] µ 1 = (1) ν µ k n E(Bt i n Bi ν t n ) E(B j t n Bj ν t n ) + E[(Bt i n Bi ν t n )(Bi t n Bi µ t n )]E[(Bj µ 1 t n Bj ν t n )(Bj t n Bj µ t n )] µ 1 ν µ = kn (t n ν t n )(tn ν t n ) + δ(zt n) kn (t n ν t n ) = δ(zt n)t Also gilt (3) und der Satz ist bewiesen. n. 9.1 Komposition von stetigen, lokalen Martingalen und Charakterisierung von [M, N] Es seien M, N stetige, lokale Martingale. Dann gilt (i) (ii) (iii) (iv) M + N, M N sind stetige, lokale Martingale. (M + N) [M + N], (M N) [M N] sind stetige, lokale Martingale. M N [M, N] ist ein stetiges, lokales Martingal. [M, N] ist der eindeutig bestimmte stetige l.b.v. rozess V für den M N V ein lokales Martingal ist. Sind M und N stetige L -Martingale, so ist M N [M, N] sogar ein Martingal. Beweis. (i) hatten wir schon im Anschluss an 7.8 notiert. (ii) Da mit N auch N ein stetiges lokales Martingal ist, reicht es zu zeigen (M +N) [M + N] ist ein stetiges, lokales Martingal. Nach Definition 8.1 gilt (M + N) t [M + N] t = (M + N) + (M + N)d(M + N) wobei die rechte Seite ein stetiges, lokales Martingal nach 7.16 (ii) β) ist (benutze (i)). (ii) folgt auch aus (i) und 8.8 (i). (iii) M N [M, N] = M N 4 1 ([M + N] [M N]) = 1 4 {(M + N) (M N) ([M + N] [M N])} = 1 4 {(M + N) [M + N]} 1 4 {(M N) [M N]}. C4 9 11

12 Finanzmathematik II Hieraus folgt mit (ii) und (i) die Behauptung. (iv) Nach (iii) und 9.9 ist [M, N] ein solcher rozess V. Sei nun V ein stetiger l.b.v. rozess, so dass M N V ein lokales Martingal ist. Da M N V auch stetig ist, haben wir die Zerlegung des stetigen Semimmartingals M N als M N = (M N V ) + V = (M N [M, N]) + [M, N]. Nach 8.7 folgt V = [M, N]. Zum Nachweis der Martingaleigenschaft benutze die Darstellung in (iii): M N [M, N] = 1/4{(M + N) [M + N]} 1/4{(M N) [M N]} und verwende 8.8 (ii). Der folgende Satz verallgemeinert Satz Der sehr aufwändige Beweis steht z.b. in Chung, Introduction to Stochastic Integration, Theorem Der Kovariationsprozess zweier durch Integration bzgl. stetiger Semimartingale gegebenen rozesse Es seien S 1, S stetige Semimartingale und X 1 bzgl. S 1 und X bzgl. S integrierbar. Setze ferner Y 1 := ( X1 ds 1 ) t, Y := ( X ds ) t. Dann gilt für alle t [Y 1, Y ] t = X1 X d[s 1, S ]. Mit Hilfe der Kovariation erhalten wir nun eine mehrdimensionale Ito-Formel. Diese kann ähnlich wie die eindimensionale Ito-Formel bewiesen werden, allerdings mit erheblich größerem Schreibaufwand Die mehrdimensionale Ito-Formel Es seien M 1,..., M m stetige, lokale Martingale und V 1,..., V n stetige, adaptierte rozesse, die für alle ω von lokalbeschränkter Variation sind. Es sei O R m+n offen, und f : O R sei stetig mit stetigen partiellen Ableitungen für i, j = 1,..., m, y l für l = 1,..., n. Ferner sei (Mt 1(ω),..., M t m(ω), V 1 (ω)) O für alle t und ω Ω. V n t Dann gilt f(m 1 t,..., M m t, V 1 t,..., V n t ) f(m 1,..., M m, V 1,..., V n m = i=1 m + 1 i,j=1 x i (M 1,..., V n )dm i + n l=1 f x i x j (M 1,..., V n )d[m i, M j ]. ) y l (M 1,..., V n )dv l Ferner ist (f(m 1 t,..., M m t, V 1 t,..., V n t )) t ein stetiges Semimartingal. x i, f x i x j t (ω),..., 9 1 C4

13 Die Ito-Formel und ihre Anwendungen Hieraus ergibt sich 9.15 Die mehrdimensionale Ito-Formel für C -Funktionen und stetige Semimartingale Sei f : R d R zweimal stetig differenzierbar. (i) Es seien S 1,..., S d d-stetige Semimartingale. Dann gilt f(s 1 t,... Sd t ) f(s1,..., Sd ) = d +1/ d i,j=1 i=1 f x i x j (S 1,..., S d )d[s i, S j ]. x i (S 1,..., S d )ds i Ferner ist (f(s 1 t,..., Sd t )) t ein stetiges Semimartingal. (ii) Es sei (B 1,..., B d ) eine d-dimensionale Brownsche Bewegung. Dann gilt (iii) f(bt 1,..., Bd t ) f(,..., ) = d i=1 x i (B 1,..., B d )db i + 1 ( f)(b1 s,..., Bs d )ds. Hierbei ist der Laplace-Operator f = d i=1 f. x i Ist f harmonisch, d.h. f =, so ist f(bt 1,..., Bd t ) ein stetiges, lokales Martingal. Beweis. (i) Da f eine C -Funktion ist, ist f stetig und alle partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung existieren und sind stetig. Setzt man g(x 1,..., x d, y 1,..., y d ) := f(x 1 + y 1,..., x d + y d ) so erfüllt g die Voraussetzungen an f im Satz 9.14 mit O := R d+d und (1) g x i = x i, g x i x j = f x i x j, g y j = x j. Seien M 1,..., M d, V 1... V d die stetigen lokalen Martingale und stetigen l.b.v.-rozesse der Zerlegung der Semimartingale S j = M j + V j. Dann ist nach 9.14 f(st 1,..., Sd t ) = g(mt 1,..., V t d ) ein stetiges Semimartingal, und es gilt f(st 1,..., Sd t ) f(s1,..., Sd ) = g(m t 1,..., M t d, V t 1,..., V t d) g(m 1,..., M d, V 1... V d) = d + d i=1 Nach (1) gilt g i=1 y i (M 1,..., V d )dv i + 1/ g x i (M 1,..., V d )dm i d i,j=1 g x i x j (M 1,..., V d )d[m i, M j ]. C4 9 13

14 Finanzmathematik II () (3) (4) g x i (M 1,..., V d ) = x (1) i (M 1 + V 1,..., M d + V d ) = x i (S 1,..., S d ). g y i (M 1,..., V d ) = x (1) i (S 1,..., S d ). g x i x j (M 1,..., V d ) = f x (1) i x j (S 1,..., S d ). Ferner ist nach 9.9 (5) [M i, M j ] = [S i, S j ]. Setzt man () (5) in obige Formel ein, so erhält man f(s 1 t,..., Sd t ) f(s1,..., Sd ) = + 1/ d i,j=1 d i=1 f x i x j (S 1,..., S d )d[s i, S j ]. x i (S 1,..., S d )dm i + d i=1 x i (S 1,..., S d )dv i Nach Definition der Integration bzgl. des stetigen Semimartingals S i = M i + V i, folgt die Behauptung. (ii) Wende (i) an auf S i := B i und beachte, dass [S i, S j ] t = [B i, B j ] t = δ ij t nach 9.11 ist. Hieraus folgt die Behauptung. (iii) folgt aus (ii), da x i (B 1,... B d )db i nach 7.16 (ii) α) ein stetiges, lokales Martingal ist. Insbesondere sagt 9.15 (i) aus, dass f(s 1 t,..., Sd t ), für eine C -Funktion f, ein stetiges Semimartingal ist Die Formel der partiellen Integration für stetige Semimartingale Es seien S 1, S zwei stetige Semimartingale. Dann gilt S1 ds + S ds 1 + [S 1, S ] t = St 1S t S1 S. Beweis. x 1, f x =, Wende 9.15 an auf f(x 1, x ) := x 1 x. Dann ist x 1 f x 1 x = 1. Also folgt nach 9.15 (i) = x, f x 1 S 1 t S t S1 S = S ds 1 + S1 ds + 1/ 1d[S1, S ] + 1/ 1d[S, S 1 ]. Wegen 1d[S1, S ] = 1d[S, S 1 ] = [S 1, S ] t folgt die Behauptung. =, x = 9 14 C4

15 Die Ito-Formel und ihre Anwendungen 9.17 Bedingte Erwartungswerte von komplex-wertigen Funktionen und Integration von komplex-wertigen Funktionen bzgl. Martingalen Sei X = X 1 + ix mit X 1, X : Ω R. (i) Seien X 1, X -integrierbar und F A eine Teil-σ-Algebra.Dann setzt man E(X F) := E(X 1 F) + ie(x F). (ii) Sei M ein stetiges, lokales Martingal. Das lokale Ito-Integral von X 1, X bzgl. M existiere. Dann setzt man für t XdM = X 1dM + i X dm. (iii) Ist V ein v.l.b.v. rozess, dann setzt man für t XdV = X 1dV + i wenn X 1, X X dv, -f.s. bzgl. V lokal Lebesgue-Stieltjes integrierbar sind. Die eindimensionale Ito-Formel gilt dann auch für komplexwertige Funktionen f = f 1 + if, wie man durch Zerlegung in Real- und Imaginärteile unter Anwendung von Definition 9.17 zeigt. Das folgende Lemma ist, bei Benutzung von regulären bedingten Verteilungen, einfach zu beweisen (siehe Aufgabe 9) Lemma Seien Y eine reellwertige Zufallsvariable auf einem W-Raum (Ω, A, ) und F A eine Teil-σ-Algebra von A mit den folgenden zwei Eigenschaften: (i) Für jedes ω Ω ist R x ϕ(x, ω) die charakteristische Funktion eines W-Maßes Q ω auf (R, B(R)). (ii) ϕ(x, ω) E(e ixy F) für jedes x R. Dann gilt für jede Borel-Menge B {Y B F} = Q ω (B) -f.s.. Mit Lemma 9.18 erhalten wir 9.19 Die Charakterisierung der Brownschen Bewegung nach Levy mit Hilfe der quadratischen Variation Es sei M ein stetiges, lokales Martingal bzgl. (A t ) t mit M = -f.s. und [M] t = t für alle t. Dann ist M eine Brownsche Bewegung bzgl. (A t ) t. C4 9 15

16 Finanzmathematik II Beweis. Nach Definition einer Brownschen Bewegung (siehe 5.1) bleibt für s < t zu zeigen (1) M t M s ist nach N(, t s) verteilt; () M t M s ist unabhängig von A s. Wir zeigen später für jedes x R ist (3) (e ixm t+ x t ) t ein Martingal bzgl.(a t ) t. Also gilt für s < t und somit für jedes x E(e ixm t+ x t x A s ) = eixms+ s (4) E(e ix(m t M s) A s ) = e x (t s). Nach Stochastik II ist x e x (t s) die charakteristische Funktion der Normalverteilung N(, t s). Aus Lemma 9.18 folgt wegen (4) mit Y := M t M s und F := A s sowie ϕ(x, ω) := e x (t s) für jede Borel-Menge B (5) N(, t s)(b) = {(M t M s ) B A s )}. Durch Integration von (5) nach dem W-Maß folgt zunächst (1). Sei nun A s A s. Dann folgt für jede Borel-Menge B ({M t M s B} A s ) = A s 1 {Mt M s B}d = A s {(M t M s ) B A s }d N(, t s)(b) (A s ) = (5) = (1) (M t M s B) (A s ). Somit sind M t M s und A s unabhängig, d.h. es gilt () und es verbleibt (3) zu beweisen. Zu (3): Wir wenden die Ito-Formel 9.1 auf die komplexwertige Funktion f(y, t) := x eixy+ t an. Es gilt y = ixf, f y der Ito-Formel wegen [M] t = t e ixm t+ x t e ixm = ix ix f(m, V )dm. = x f, t f(m, V )dm + x = x f, und somit mit V (t) = t nach f(m s, V s )ds x t f(m s, V s )ds = Also ist (e ixm t+ x t e ixm ) t ein stetiges, lokales Martingal nach 7.16 (ii) β), und somit auch (e ixm t+ x t ) t. Nun gilt x sup eixms+ s = e x t. s [,t] Also ist für eine lokalisierende Folge (τ n ) n N sup e ixm τn t+ x (τn t) e x t, n N und daher ist (e ixm t+ x t ) t ein Martingal nach 7.3 (i) C4

17 Die Ito-Formel und ihre Anwendungen 9. Der Dichteprozess (L t ) t Es seien und Q zwei äquivalente W-Maße, d.h. es gilt ( A A)( (A) = Q(A) = ). Es sei q die Dichte von Q bzgl.. Setze für die Filtration (A t ) t L t := (q A t ) für t. Es sei L t > für alle t und t L t (ω) sei rechtsseitig stetig für jedes ω. Ein solches (L t ) t heißt Dichteprozess. (i) Sind σ, τ zwei Stoppzeiten mit σ τ, so gilt mit A -messbarem und integrierbarem L := lim t L t L σ = (L τ A σ ) = (q A σ ). (ii) Ist σ eine Stoppzeit, und X A σ -messbar sowie L σ X -integrierbar, so gilt Lσ X d = X dq. Beweis. Nach 4.5 ist (L t ) t ein gleichgradig integrierbares Martingal, da q -integrierbar ist. Nach 4.35 existiert daher ein A -messbare, -integrierbare Funktion L mit (1) L t L -f.s. und L t = (L A t ). (i) für zwei Stoppzeiten σ τ gilt nach 4.38 (i) dann () L σ = (L τ A σ ) -f.s.. Wir zeigen ferner (3) L = (q A ) -f.s.. Sei A A t. Dann gilt A L d = A (L A t )d = A L td = A (q A t)d = A qd (1) = A (q A )d. Somit gilt diese Gleichung für A, die Elemente der Algebra t A t sind. Also auch für A A = A σ ( t A t ). Da L und (q A ) A -messbar sind, folgt daher (3). Aus A σ A und () mit τ =, sowie (3) folgt (4) L σ = () (L A σ ) = (3) ( (q A ) A σ ) = (q A σ ). Aus () und (4) folgt (i). (ii) Für A A σ gilt: 1A dq = Q(A) = A qd = A (q A σ)d = Lσ 1 A d. (i) Hieraus folgt die Behauptung in dem man X = X + X betrachtet, und die Aussage für nicht negative A σ -messbare Funktionen X beweist, wobei man X als monotonen Limes nicht-negativer, elementarer A σ -messbarer Funktionen darstellt. C4 9 17

18 Finanzmathematik II 9.1 Lokale Martingale bei äquivalenten W-Maßen mit Dichteprozessen Es seien Q und zwei äquivalente W-Maße mit Dichteprozess (L t ) t. Ist dann für einen rozess (X t ) t der rozess (L t X t ) t ein rechtsseitig stetiges, lokales Martingal bzgl., so ist (X t ) t ein rechtsseitig stetiges, lokales Martingal bzgl. Q. Beweis. Da mit (L t ) t auch ( 1 L t ) t ein rechtsseitig stetiger, adaptierter rozess ist, ist wegen X t = 1 L t (L t X t ) mit (L t X t ) t auch (X t ) t ein rechtsseitig stetiger, adaptierter rozess. Sei zunächst X und (τ n ) n N eine lokalisierende Folge, so dass (1) (L τn t Xτn t Es reicht dann zu zeigen für jedes n N gilt ) t ein -Martingal für jedes n N ist. () (Xt τn ) t ist ein Q-Martingal. Sei nun τ eine beschränkte Stoppzeit, dann ist nach 4.3 für () zu zeigen (3) Xτn τ dq = X dq(= ). Aus (1) folgt nach 4.3 für jede solche beschränkte Stoppzeit τ (4) L τn τ X τn τ L 1 L τn τ X τn τ d = L X d (= ). Es reicht daher zu zeigen Xτn τ dq = L τn τ X τn τ d. Nun ist σ := τ n τ eine beschränkte Stoppzeit und X := X τn τ ist A σ -messbar nach 4.9 (i), sowie L σ X -integrierbar nach (4). Also ist zu zeigen XdQ = Lσ Xd. Dies folgt aus 9. (ii). Ist nun X beliebig A -messbar. Wir zeigen (5) (L t X ) t ist ein rechtsseitig stetiges, lokales Martingal bzgl.. Aus (5) folgt dann mit dem Bewiesenen die Behauptung: Es ist nämlich wegen (5) und Voraussetzung bzgl. dann L t (X t X ) ein rechtsseitig stetiges, lokales Martingal bzgl. Q. Nach dem vorher Bewiesenen ist dann X t X und somit auch X t ein rechtsseitig stetiges, lokales Martingal bzgl. Q. Zu (5): Setze τ n (ω) = {, wenn X (ω) n, wenn X (ω) > n. Da X A -messbar ist, sind τ n Stoppzeiten mitτ n. Also ist (τ n ) n N eine lokalisierende Folge, und für festes n ist L τn t X L X (L t L )X 1 { X n} also ein Martingal bzgl., da (L t L ) t ein Martingal bzgl. und X 1 { X n} A - messbar und beschränkt ist. Somit gilt (5), da (τ n ) n N eine lokalisierende Folge ist C4

19 Die Ito-Formel und ihre Anwendungen 9. Der Satz von Girsanov Es seien Q und zwei äquivalente W-Maße. Q besitze einen stetigen Dichteprozess (L t ) t bzgl.. Dann gilt (i) (ii) S = (S t ) t ist genau dann ein stetiges Semimartingal bzgl. Q, wenn S ein stetiges Semimartingal bzgl. ist, und es gilt für die quadratischen Variationen Q [S] von S bzgl. Q und [S] von S bzgl., dass Q [S] = [S] ist. Ist M = (M t ) t ein stetiges, lokales Martingal bzgl., so ist (M t D t ) t ein stetiges, lokales Martingal bzgl. Q mit D t := L 1 d[l, M]. Beweis. (ii) Nach 9.9 ist[l, M] ein stetiger l.b.v.-rozess und nach Vorraussetzung ist L t > sowie t L t (ω) stetig. Daher existiert das punktweise gebildete lokale Lebesgue- Stieltjes Integral D t = L 1 s [L, M](ds, ω) und ist ein stetiger l.b.v.-rozess nach 5.35 (i) + (ii). Wir wenden die Ito-Formel 9.14 an auf O := R 3 und sowie die stetigen, lokalen Martingale f(x 1, x, y) := x 1 (x y) M 1 := L, M := M und den stetigen rozess V 1 := D von lokalbeschränkter Variation. Nun gilt x 1 = x y, x = x 1, y = x 1 f x 1 = f x =, Also ist nach 9.14, wegen [M, L] = [L, M] f x 1 x = f x x 1 = 1. L t (M t D t ) L (M D ) = f(mt 1, M t, V t 1) f(m 1, M, V 1 ) t = 9.14 (M D)dL + LdM LdD + 1 1d[L, M] + 1 1d[M, L] = (M D)dL + LdM LdD + 1 d[l, M]. Nach der Substitutionsformel für l.b.v.-rozesse 5.35 (iii) gilt (1) LdD = L L 1 d[l, M] = 1d[L, M]. Aus der Gleichungskette und (1) folgt () L t (M t D t ) = L (M D ) + (M D)dL + LdM. Nach 7.16 (ii) β) sind (M D)dL und LdM zwei stetige, lokale Martingale. Aus () folgt daher, dass (L t (M t D t )) t ein stetiges, lokales Martingal bzgl. ist. Nach 9.1 ist somit (M t D t ) t ein stetiges, lokales Martingal bzgl. Q. C4 9 19

20 Finanzmathematik II (i) Sei S = M + V ein stetiges, lokales Semimartingal bzgl. mit stetigem, lokalem Martingal M bzgl. und einem stetigen l.b.v.-rozess V. Nach (ii) gilt dann S = (M D) + (D + V ) mit einem stetigen, lokalen Martingal M D bzgl. Q und einem stetigen l.b.v.-rozess D + V. Also ist S ein stetiges, lokales Martingal bzgl. Q. Nach 9.3 (ii) gilt für eine reguläre Zerlegungsfolge Z t n (3) (4) (S t n ν S t n ) (S t n ν S t n ) n [S] t n Q [S] t -stochastisch. Q-stochastisch. Da die stochastische Konvergenz bzgl. und Q, wegen der Äquivalenz von und Q, gleichbedeutend ist, folgt aus (3) und (4) für jedes t. Hieraus folgt [S] = Q [S]. [S] t = Q [S] t -f.s.. Sei nun S ein stetiges Semimartingal bzgl. Q. Um zu zeigen, dass S auch ein stetiges Semimartingal bzgl. ist, reicht es zu zeigen (5) ( 1 L t ) t ist ein (stetiger) Dichteprozess von bzgl. Q. Da q eine Dichte von Q bzgl. mit o.b.d.a. q > (da und Q äquivalent sind) ist 1/q eine Dichte von bzgl. Q. Für (5) ist also zu zeigen (6) 1 Lt = Q( 1 q A t) Q-f.s.. Es ist also für A A t wegen L t = (q A t ) zu zeigen 1 A (q A t ) dq = (A)(= A 1 q dq). Dies folgt aus A 1 (q A t ) dq = A 1 (q A t ) q d = A 1 (q A t ) (q A t)d = (A). Im Folgenden betrachten wir häufig rozesse (X t ) t ],T ], also mit eingeschränktem Zeitbereich ], T ]. Wir bilden dann (9.3) X(t, ω) := { X(t, ω) für t ], T ], ω Ω, für t > T, ω Ω 9.4 Formale Erweiterung des Ito-Integrals In den folgenden aragrafen werden wir für festes T > über ], T ] Ω definierte rozesse (X t ) t ],T ] bzgl. eines stetigen Semimartingals integrieren. Wir setzen hierzu (siehe 9.3) (1) ( XdS) t := ( XdS) t. Es existiert also ( XdS) t genau dann, wenn für die Zerlegung S = M + V gilt X Λ(M), und T XdV = T XdV existiert für -f.a. ω. Nach Definition ist insbesondere 9 C4

21 Die Ito-Formel und ihre Anwendungen () XdS = XdM + XdV für t T und (3) XdS = T XdS für t T. Nun ist X pevisibel genau dann, wenn X previsibel ist, dies folgt, da für B B(R) mit B gilt. X 1 (B) = X 1 (B) und (], T ] Ω) Nach 8.6 erhalten wir daher für stetige, lokale Martingale M := (M t ) t (4) {(X t ) t ],T ] X Λ(M)} = {(X t ) t ],T ] previsibel T X d[m] < -f.s.}. Für previsibles (X t ) t ],T ] mit T X d[m] < -f.s. gilt daher nach 7.16 (ii) (5) ( XdM) t ist ein stetiges, lokales Martingal bzgl. (A t ) t Für S = M + V und falls zusätzlich T X(s, ω)v (ds, ω) -f.s. existiert, ist (6) ( XdS) t ein stetiges Semimartingal nach 8.7 und 8.9. Häufig sind nun auch die Integralprozesse nur über [, T ] gegeben, und insbesondere ist auch nur eine Filtration (A t ) t [,T ] definiert. Dann setzen wir (7) A T t := A T t = { At, für t T A T, für t > T. Es ist (A T t ) t dann eine Filtration über Ω. (A T t ) t ist nun augmentiert, wenn N A T = A ist. (A T t ) t [, [ ist rechtsseitig stetig genau dann, wie man sofort sieht, wenn gilt (8) A s = T t>s A t für s < T. Ist (S t ) t [,T ] ein bzgl. (A t ) t [,T ] adaptierter rozess, so definieren wir den bzgl. (A T t ) t adaptierten rozess { (9) St T St für t T, = S T t = S T für t > T. Es ist (M t ) t [,T ] ein Martingal bzgl. (A t ) t [,T ] genau dann, wenn (M T t ) t ein Martingal bzgl. (A T t ) t ist, oder gleichbedeutend bzgl. (A t ) t ist, falls die Filtration (A t ) t definiert ist. Entsprechend ist (M t ) t [,T ] rechtsseitig stetig (stetig) genau dann, wenn (M T t ) t rechtsseitig stetig (stetig) ist. Wir definieren nun passend (1) (M t ) t [,T ] heißt lokales L p -Martingal bzgl. (A T t ) t [,T ] : (M T t ) t ist ein lokales L p -Martingal bzgl. (A T t ) t es existiert eine lokalisierende Folge von Stoppzeiten (τ n ) n N bzgl. (A t ) t, so dass (M τn t M ) t [,T ] ein L p -Martingal bzgl. (A t ) t [,T ] für jedes n N ist. Ist nur (A t ) t [,T ] gegeben, so wählt man (A T t ) t für (A t ) t. C4 9 1

22 Finanzmathematik II Sei ferner (τ n ) n N eine lokalisierende Folge von Stoppzeiten bzgl. (A t ) t. Dann ist τ n := τ n 1 {τn T } + 1 {τn>t } eine lokalisierende Folge von Stoppzeiten bzgl. (A T t ) t und (M τn t) t [,T ] = (M τ n t) t [,T ]. Also können wir in der Definition eines lokalen L p - Martingals (M t ) t [,T ] auch eine lokalisierende Folge von Stoppzeiten bzgl. (A t ) t wählen, d.h. auch fordern (Mt T ) t ist ein lokales L p -Martingal bzgl. (A t ) t. (11) (S t ) t [,T ] heißt stetiges Semimartingal bzgl. (A t ) t [,T ] : (S T t ) t ist stetiges Semimartingal bzgl. (A T t ) t (= bzgl. (A t ) t falls definiert) [, T ] t S t (ω) ist stetig für jedes ω und es gilt -f.s., S t = M t + V t mit einem stetigen, lokalen Martingal (M t ) t [,T ] bzgl. (A t ) t [,T ] und einem stetigen, adaptierten rozess (V t ) t [,T ], der über [, T ] von beschränkter Variation ist, und V = erfüllt. Beweis der letzten Äquivalenz: Haben wir die zuletzt angegebene Darstellung von (S t ) t [,T ], so ist St T = Mt T + Vt T -f.s. für alle t und (Mt T ) t ist ein stetiges, lokales Martingal bzgl. (A T t ) t und bzgl. (A t ) t, sowie (Vt T ) t ein stetiger l.b.v. rozess bzgl. (A T t ) t. Also ist (St T ) t ein stetiges lokales Martingal bzgl. (A T t ) t und bzgl. (A t ) t. Ist umgekehrt S T = M + V -f.s. mit einem stetigen, lokalen Martingal M bzgl. der Filtration (A t ) t und V ein l.b.v. rozess bzgl. (A t ) t, so erfüllt (V t ) t [,T ] die angegebene Bedingungen, und (M t ) t [,T ] ist ein stetiges, lokales Martingal bzgl. (A t ) t [,T ]. Also ist die angegebene Darstellung für (S t ) t [,T ] bewiesen. Ist (S t ) t [,T ] ein stetiges Semimartingal, so setzen wir (1) [S] t := [S T ] t für t [, T ]. Sind (U t ) t [,T ] und (V t ) t [,T ] zwei stetige Semimartingale so setzen wir (13) [U, V ] t := [U T, V T ] t für t [, T ]. Sind nun im bisherigen Sinne (U t ) t und (V t ) t zwei stetige Semimartingale bzgl. (A t ) t, so gilt nach 8.1 (iii) [U, V ] t = [U T, V T ] t für t T, und wir erhalten durch (13) keinen Widerspruch zur Definition der Kovariation von (U t ) t [,T ] und (V t ) t [,T ]. Sei nun (S t ) t [,T ] ein stetiges Semimartingal bzgl. (A t ) t [,T ] mit S T = M + V. Sei ferner X :], T ] Ω R. Dann nennen wir (14) X bzgl. (S t ) t [,T ] integrierbar: X bzgl. (S T t ) t integrierbar ist und setzen (15) XdS := XdST = XdS T = XdM + XdV für t, (1) wenn X bzgl. (S T t ) t -integrierbar ist. Es gilt ferner (16) XdS = XT ds T für t T. 9 C4

23 Zu zeigen ist XdS T = XT ds T für t T. Dies folgt, da für t T gilt 1 ],t] X = 1 ],t] X T. Die Ito-Formel und ihre Anwendungen Für stetige, lokale Martingale (M t ) t [,T ] ist (X t ) t ],T ] bzgl. (M t ) t [,T ] integrierbar, wenn (X t ) t ],T ] Λ(M) ist, mit Λ(M) := {(X t ) t ],T ] : ( X t ) t> Λ(M T )}. Wir erhalten wegen [M] t = [M T ] t für t T nach (4) und (5): (17) Ist (M t ) t [,T ] ein stetiges lokales Martingal bzgl. (A t ) t [,T ], so ist für M integrierbares (X t ) t ],T ] durch ( XdM) t ein stetiges, lokales Martingal bzgl. (A t ) t und (A T t ) t gegeben. Ferner ist Λ(M) = {(X t ) t ],T ] previsibel: T X d[m] < -f.s.} (18) Ist (S t ) t [,T ] ein stetiges Semimartingal bzgl. (A t ) t [,T ], so ist für S-integrierbares (X t ) t ],T ] ( X ds) t = ( X ds T ) t ein stetiges Semimartingal bzgl. (A t ) t und (A T t ) t. Wir sprechen von einer Brownschen Bewegung (B t ) t [,T ] bzgl. der Filtration (A t ) t [,T ], wenn B = -f.s. und die Bedingungen in 5.1 (ii) und (iii) für s < t T gelten, sowie [, T ] t B t (ω) stetig für alle ω Ω ist. Es gilt dann, und lässt sich wie in 9.19 beweisen: Es sei M = (M t ) t [,T ] ein stetiges, lokales Martingal mit M = -f.s. und [M] t = t für alle t [, T ]. Dann ist (M t ) t [,T ] eine Brownsche Bewegung. An Stelle von (3) im Beweis von 9.19 ist zu zeigen (e ixm t+ x t ) t [,T ] ist ein Martingal. Entsprechend wie in 9.19 hierzu nur bewiesen werden muss H zeigt man, dass (e ixm t+ x t ) t [,T ] ist ein lokales Martingal. Dies folgt aus der modifizierten Ito-Formel: Man setze in 9.1 voraus, dass (M t ) t [,T ] ein stetiges, lokales Martingal und (V t ) t [,T ] ein stetiger, adaptierter rozess ist, der für alle ω Ω von beschränkter Variation ist. Es gelte (M t (ω), V t (ω)) O für alle t [, T ]. Dann sind die Voraussetzungen von 9.1 für M T, V T erfüllt und es gilt daher nach 9.1 für t f(mt T, V t T ) f(m, V ) = x (M T, V T )dm T + y (M T, V T )dv T + 1/ f (M T, V T )d[m T ]. x C4 9 3

24 Finanzmathematik II Für t T ist Mt T = M t, Vt T = V t. Nach Definition ist ferner [M T ] t = [M] t für t T. Somit erhalten wir für t T f(m t, V t ) f(m, V ) = [ x (M, V )]T dm T + + y (M, V )dv + 1/ f (M, V )d[m]. x Nun ist für t T nach 9.4 (16) ( x (M, V ))T dm T = x (M, V )dm. Also gilt 9.1 für stetige, lokale Martingale (M t ) t [,T ] und den angegebenen rozessen (V t ) t [,T ]. Somit gilt auch 9. für auf [, T ] eingeschränkte rozesse lassen sich entsprechend beweisen; 9.17 und 9.18 haben mit rozessen nichts zu tun hatten wir schon übertragen. Den Satz von Girsanov beweisen wir jetzt für das Zeitintervall [, T ] durch Zurückführung auf den Satz von Girsanov T Der Satz von Girsanov für das Zeitintervall [, T ] Es sei (A t ) t [,T ] eine Filtration und und Q zwei äquivalente W-Maße mit Dichte q. Es sei L t := (q A t ) > und [, T ] t L t sei ein stetiger rozess. Ist M = (M t ) t [,T ] ein stetiges, lokales Martingal bzgl., so ist (M t D t ) t [,T ] ein stetiges lokales Martingal bzgl. Q, wobei D t := L 1 d[l, M] für t T. Die quadratische Variation Q [M D] von M D bzgl. Q ist gleich der quadratischen Variation [M] von M bzgl. für t T. Beweis. Wir betrachten die Filtrationen (A T t ) t. Dann ist (L T t ) t ein stetiger Dichteprozess im Sinne von Definition 9. bzgl. der Filtration (A T t ) t. Ferner ist nach Definition (Mt T ) t ein stetiges, lokales Martingal bzgl. der Filtration (A T t ) t und. Mit D t = 1 d[l T, M T ] gilt dann nach 9. (ii): L T (1) (M T t D t ) t ein stetiges, lokales Martingal bzgl. der Filtration (A T t ) t und Q. Es ist nach Definition () [L, M] t = [L T, M T ] t für t T, (3) L T t = L t für t T, (4) D t = D T für t T. Hierbei folgt (4) aus [L T, M T ] t = [L T, M T ] T für t T (benutze hierzu 9.1 (ii)). Aus (1) und (4) folgt (Mt T D t) t = (M t D t ) T t ist ein stetiges lokales Martingal bzgl. der Filtration (A T t ) t und Q, d.h. (M t D t ) t [,T ] ist ein stetiges, lokales Martingal bzgl. (A t ) t [,T ] mit D t = L 1 d[l, M] für t T nach () und (3). Nach 9. (i) gilt, da (M D) T t ein stetiges Q-Semimartingal ist, für t T Q [M D] t = Q [(M D) T ] t = [(M D) T ] t = [M T ] t = [M] t. Def (i) Def. 9 4 C4

25 Die Ito-Formel und ihre Anwendungen 9.5 Der Satz von Girsanov mit Exponentialprozessen als Dichten Es sei (A t ) t [,T ] eine Filtration über Ω und ein W-Maß über A. Ferner sei (M t ) t [,T ] ein stetiges, lokales Martingal bzgl. (A t ) t [,T ] und, sowie Z Λ(M). Setze N t := ZdM. Es sei exp(nt 1 [N] T )d = 1. Setze Q(A) := A exp(n T 1 [N] T )d für A A. Dann ist Q A ein zu A äquivalentes W-Maß mit der Dichte q := exp(n T 1 [N] T ). Es gilt (i) (ii) (M t Zd[M]) t [,T ] ist ein stetiges, lokales Martingal bzgl. Q mit quadratischem Variationsprozess [M] t [,T ] bzgl. Q. Ist M = (B t ) t [,T ] eine reelle Brownsche Bewegung bzgl. (A t ) t [,T ] und, so gilt für previsibles Z mit -f.s. endlichem T Z s ds und exp( T ZdB 1 T Z s ds)d = 1 : (B t Z sds) t [,T ] ist eine Brownsche Bewegung bzgl. Q mit Dichte exp[ T ZdB 1 T Z s ds] bzgl.. Beweis. (i) Es soll der Satz von Girsanov 9. T angewandt werden. Nach 9.4 (17) ist (N t ) t = ( ZdM) t = ( ZdM T ) t, ein stetiges, lokales Martingal bzgl. (A T t ) t. Ferner ist exp(n 1[N] ) = 1 und nach Voraussetzung gilt exp(n T 1 [N] T )d = 1. Somt ist nach 9.8 (1) (exp(n t 1 [N] t)) t [,T ] ein Martingal. Also gilt für t T (q A t ) = (exp(n T 1 [N] T ) A t ) = exp(n t 1 [N] t) > und [, T ] t (q A t ) =: L t ist stetig wählbar mit L t >. Da (M t ) t [,T ] ein stetiges, lokales Martingal ist, sind alle Voraussetzungen von 9. T erfüllt. Wir zeigen () Z d[m] = L 1 d[l, M] für t [, T ]. Dann folgt aus 9. T, dass (M t Z d[m]) t [,T ] ein lokales Martingal bzgl. Q ist, mit quadratischem Variationsprozess [M]. Zu (): Nun folgt mit den auf [, T ] eingeschränkten Sätzen L t = exp(n t 1 [N] t) = exp(n 1 [N])dN = 1 + LdN = 7.17(ii) M t = M + 1dM. 1 + LZdM C4 9 5

26 Finanzmathematik II Also ergibt sich aus 9.13 (3) [L, M] t = LZd[M, M] = LZd[M]. Daher erhalten wir nach 5.35 (iii) L 1 d[l, M] = L 1 LZd[M] = Zd[M], d.h. es gilt (). (ii) Eine reelle Brownsche Bewegung (B t ) t [,T ] ist ein stetiges, lokales Martingal. Nun ist Z Λ(B) genau dann, wenn Z previsibel und T Z s ds < -f.s. ist (siehe 9.4 (17) und 8.3). Ferner ist [ ZdB] t = ( Z s ds) t nach 8.11 und 8.3. Die Voraussetzungen von (i) sind also erfüllt. Also ist (B t Z sds) t [,T ] ein stetiges, lokales Martingal. Nach der Modikation von 9.19 reicht es daher zu zeigen Nun ist nach (i) und 8.3 Q [B Zds] t = t für t [, T ]. Q [B Zds] t = [B] t = t. 9.6 Bemerkung Sind Q und zwei äquivalente W -Maße, so lässt sich auch ohne Annahme über die Dichtefunktion beweisen, dass S genau dann ein stetiges Semimartingal bzgl. ist, wenn S ein stetiges Semimartingal bzgl. Q ist. (siehe etwa Satz 1.1.8, Seite 49 von Weizsäcker, Winkler: Stochastic Integrals in Vieweg Advanced Lectures in Mathematics). Ferner gilt wieder Q [S] = [S]. Ist dann (X) t, ein stetiger, adaptierter rozess, so ist nach 8.1 der im W-Raum (Ω, A, ) gebildete stochastische rozess ( XdS) t mit dem -Semimartingal S gleich dem im W-Raum (Ω, A, Q) gebildete stochastische rozess ( XdS) t mit dem Q- Semimartingal S, da die stochastische Konvergenz bzgl. und Q äquivalent ist. Stetige Semimartingale S haben also eine Reihe von Abgeschlossenheitseigenschaften: (1) Ist (X t ) t ein stetiger, adaptierter rozess, so ist ( XdS) t wieder ein stetiges Semimartingal (Satz 8.1 (i)). () Ist f eine C -Funktion, so ist f(s) wieder ein stetiges Semimartingal (Satz 9.4). (3) Ist Q so ist S ein stetiges Semimartingal bzgl. genau dann, wenn S ein stetiges Semimartingal bzgl. Q ist, und es gilt Q [S] = [S]. (4) Für eine große Klasse von adaptierten rozessen (X t ) t ist ( XdS) t, in (Ω, A, ) gebildet, gleich dem in (Ω, A, Q) gebildeten stochastischen rozess, wenn Q ist. In der Regel wird die Filtration nicht nur als augmentiert, sondern auch als rechtsseitig stetig vorausgesetzt. In diesem Fall lässt sich für (4) zeigen 9 6 C4

27 Die Ito-Formel und ihre Anwendungen 9.7 Für linksseitig stetige rozesse mit rechtsseitgem Grenzwert ist XdS ein Grenzwert von Zwischensummen Sei S ein stetiges Semimartingal bzgl. einer rechtsseitig stetigen, augmentierten Filtration. Es sei X = (X t ) t ein linksseitig stetiger, adaptierter rozess mit rechtsseitigen Grenzwerten. Dann gilt (i) (ii) (X t ) t> Λ(S) und ( XdS) t ist ein stetiges Semimartingal. Für jede reguläre Zerlegungsfolge Zn t von [, t] gilt: X n t (S t n ν S t n ) n XdS -stochastisch. Beweis. (i) Sei S = M + V, dann gilt ( XdV ) t existiert sowohl als Riemann- Stieltjes Integral also auch als Lebesgue-Stieltjes Integral und beide Integrale sind gleich (siehe 5.9 (i) und 5.9 (ii)). Aus Ersterem folgt kn Xt n (V t n ν V t n ) XdV. Für ein stetiges, lokales Martingal M gilt (X t ) t> Λ(M) nach 7.5. Also gilt (X t ) t> Λ(S), und ( X ds) t ist ein stetiges Semimartingal nach 8.9. (ii) Es bleibt zu zeigen X t n (M t n ν M t n ) n XdM stochastisch. Der Beweis erfolgt analog zum Fall des stetigen rozesses wie in 7.3. Benutze jedoch die lokalisierende Folge von Stoppzeiten (siehe 4.6) τ k = inf{t : max{ X t ; M t } > k}. Dabei gilt τ k, da max{ X t (ω), M t (ω)} auf jedem beschränkten Intervall beschränkt ist. Unter den Voraussetzungen in 9.7 ist daher ( XdS) t gebildet bzgl. gleich dem ( XdS) t gebildet bzgl. eines äquivalenten W-Maßes Q. Wir verallgemeinern nun Satz 7.4 von stetigen lokalen Martingalen auf stetige Semimartingale. 9.8 Integrale bzw. αs 1 + βs Seien S 1, S stetige Semimartingale. Dann sind αs 1 und S 1 + S stetige Semimartingale. (i) (ii) Ist X bzgl. S 1 -integrierbar, so ist X bzgl. αs 1 integrierbar mit ( Xd(αS 1)) t = (α XdS 1) t. Ist X bzgl. S 1 und S integrierbar, so ist X bzgl. S 1 + S -integrierbar mit ( Xd(S1 + S ) t = ( XdS1 ) t + ( XdS ) t. C4 9 7

28 Finanzmathematik II Beweis. Übungsaufgabe Wir führen zunächst den Begriff des stochastischen Differentials ein. Danach geben wir einige Rechenregeln für die stochastischen Differentiale an, die auf Ito zurückgehen. 9.9 Der Begriff des stochastischen Differentials Ist X = (X t ) t ein stochastischer rozess, so ist dx = ((dx) t ) t der stochastische rozess der durch definiert ist. (dx) t (ω) := X t (ω) X (ω) für t Sind X, Y stochastische rozesse und α R, so setzt man wie üblich Dann gilt (dx + dy ) t := (dx) t + (dy ) t (αdx) t := α(dx) t. dx + dy = d(x + Y ) αdx = d(αx) Beweis. (d(x+y )) t = (X+Y ) t (X+Y ) = X t X +Y t Y = (dx) t +(dy ) t = Def. dy ) t für t. Entsprechend folgt die Aussage für αdx. Sind X und Y zwei stochastische rozesse, so gilt 9.3 (dx) t (dy ) t = (d(xy )) t X (dy ) t Y (dx) t. Beweis. Es ist (dx) t (dy ) t = (X t X )(Y t Y ) = X t Y t X Y t X t Y + X Y = (d(xy )) t X Y t X t Y + X Y = (d(xy )) t X (dy ) t Y (dx) t. Def. (dx Multiplikation mit stochastischen rozessen und Multiplikation von Differentialen Es seien S, S 1, S stetige Semimartingale. (i) Ist X bzgl. S integrierbar, so setzen wir X t ds t := (X ds) t := XdS. (ii) (ds 1 ds ) t := (d(s 1 S )) t (S 1 ds ) t (S ds 1 ) t ; es ist (ds 1 ds ) t = [S 1, S ] t. 9 8 C4

29 Beweis. Nach Definition ist Die Ito-Formel und ihre Anwendungen (1) (ds 1 ds ) t = S 1 t S t S1 S S1 ds S ds 1 = 9.16 [S 1, S ] t. Einige Sätze und Formeln lassen sich dann mit diesen Definitionen intuitiver beschreiben lautet dann: Ist f : R d R eine C -Funktion und sind S 1,..., S d stetige Semimartingale, so gilt df(s 1,..., S d ) = d i= lautet mit zwei stetigen Semimartingalen S 1, S Mit den Bezeichnungen von 9.6 gilt x i (S 1,..., S d ) ds i + 1 f x i x j d[s i, S j ]. i,j S 1 ds + S ds 1 + [S 1, S ] = d(s 1 S ). de(m, λ) = λ exp(λm λ [M]) dm. 9.3 Rechenregeln für die in 9.31 eingeführten Operationen Es seien S 1, S, S 3 stetige Semimartingale. (i) (ii) (iii) Ist X bzgl. S 1 und S integrierbar, so auch bzgl. S 1 + S und es gilt X d(s 1 + S ) = X (ds 1 + ds ) = X ds 1 + X ds. Sind X und Y bzgl. S 1 integrierbar, so auch X + Y, und es gilt (X + Y ) ds 1 = X ds 1 + Y ds 1. Sind X bzgl. S 1 und Y bzgl.x ds 1 integrierbar oder Y X bzgl.s 1 integrierbar so gilt Y (X ds 1 ) = (Y X) ds 1. (iv) ds 1 ds = ds ds 1. (v) ds 1 (ds + ds 3 ) = ds 1 ds + ds 1 ds 3. (vi) Ist X bzgl. S 1 integrierbar und α R, so ist X bzgl. αs 1 und αx bzgl. S 1 integrierbar, und es gilt X d(αs 1 ) = α(x ds 1 ) = (αx) ds 1. (vii) Ist (X t ) t stetig und adaptiert, so existiert X ds 1. Beweis. (i) Nach 9.9 ist ds 1 + ds = d(s 1 + S ) und es bleibt zu zeigen: X ist bzgl. S 1 + S integrierbar, und es gilt Xd(S1 + S ) = XdS1 + XdS. Dies ist Satz 9.8 (ii). (ii) Es ist zu zeigen X + Y ist bzgl. S 1 -integrierbar, und es gilt (X + Y )ds1 = XdS1 + Y ds1. C4 9 9

30 Finanzmathematik II Dies folgt mit Satz 7.16 (i) β) und der Zerlegung von S 1 = M + V. (iii) Zunächst ist X ds 1 = ( XdS1 ) t nach 8.9 ein stetiges Semimartingal und Y ist nach 8.9 bzgl. ( XdS1 ) t integrierbar genau dann, wenn Y X bzgl. S 1 integrierbar ist. Es gilt ferner nach 8.9 Y (X ds 1 ) = Def. = Def. Y d(x S1 ) = (Y X)dS1 (Y X) ds 1. (iv) + (v) Es ist ds 1 ds = [S 1, S ] nach 9.31 (ii) und ds 1 (ds + ds 3 ) = 9.9 ds 1 (d(s + S 3 )) = [S 1, S + S 3 ]. (iv) folgt daher aus 9.1 (iii), und (v) aus 9.1 (iii) + (iv). (vi) X d(αs 1 1 ) = (αx) ds1 folgt aus 9.8 (i), α(x ds 1 ) = (αx) ds 1, d.h. α XdS1 = αxds1 folgt aus 7.16 (i) β) mit der üblichen Zerlegung S 1 = M + V. (vii) folgt aus 8.1 (i) Bemerkung Sind (S 1 t ) t [,T ], (S t ) t [,T ] und (S 3 t ) t [,T ] stetige Semimartingale, so gelten die Aussagen 9.3 entsprechend. 9 3 C4