Itô s Lemma. Sandro Grunert. SS 09 Seminar Finanzmathematik Technische Universität Chemnitz. Kiyosi Itô

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1 Itô s Lemma Sandro Grunert SS 9 Seminar Finanzmathematik Technische Universität Chemnitz Kiyosi Itô Quelle: Kurzbiographie: Itô wurde am 7. September 1915 im heutigen Inabe (Japan geboren und verstarb am 1. November 28 in Kyoto (Japan. 194 und 1942 stellte er, ohne vorher promoviert zu haben, seine Ideen in den beiden Arbeiten Über Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf kompakten Gruppen und Über stochastische Prozesse und unendlich teilbare Verteilungen dar. Diese beiden Aufsätze, die heutzutage als revolutionär eingestuft werden, fanden damals wenig Anerkennung (auch in Folge der japanischen Isolation während und nach dem Pazifikkrieg. Sie bilden die Grundlage für die Theorie der stochastischen Integration und der stochastischen Differentialgleichungen. Deshalb gilt Itô heute als Begründer der stochastischen Analysis. Auszeichnungen: Wolf-Preis (1987, Kyoto-Preis (1998, Carl-Friedrich-Gauß-Preis (26.

2 Inhaltsverzeichnis 2 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 3.1 Motivation für das Itô-Integral Das Itô-Integral bezüglich einer Brownschen Bewegung Das Itô-Integral bezüglich Diffusionen Die Itô-Formel Itô-Prozess und Itô s Lemma Itô s Lemma in höheren Dimensionen Anwendung von Itô s Lemma: Die Geometrische Brownsche Bewegung als Ausblick auf das Black-Scholes-Modell 22

3 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 3 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung.1 Motivation für das Itô-Integral Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P und eine Indexmenge I. Definition 1 (Filtration Eine Familie von σ-algebren F = (F t t I mit F t F für jedes t I heißt Filtration, falls F s F t s, t I mit s t. Definition 2 (adaptiert, erzeugte Filtration Ein stochastischer Prozess X = (X t t I heißt adaptiert an die Filtration F, falls X t für jedes t I bezüglich F t messbar ist. Gilt F t = σ(x s, s t t I, so heißt F die von X erzeugte Filtration. Man schreibt hierfür F = σ(x und die Filtration wird in diesem Fall nicht immer explizit genannt. Es ist leicht zu sehen, das ein stochastischer Prozess stets an seine erzeugte Filtration adaptiert ist ( kleinste Filtration, an die ein Prozess adaptiert ist. Definition 3 (vorhersehbar / previsibel Sei I = N. Ein stochastischer Prozess X = (X t t N heißt vorhersehbar bzw. previsibel bezüglich der Filtration F = (F t t N, falls X konstant ist und für alle t N gilt: X t ist F t 1 -messbar. Definition 4 (Martingal, Submartingal, Supermartingal Seien I R und X = (X t t I ein reellwertiger, adaptierter stochastischer Prozess mit E( X t < für jedes t I. X heißt F-Martingal, falls E(X t F s = X s für alle s, t I mit s t fast sicher gilt, F-Submartingal, falls E(X t F s X s für alle s, t I mit s t fast sicher gilt, F-Supermartingal, falls E(X t F s X s für alle s, t I mit s t fast sicher gilt. Offenbar ist für Martingale die Abbildung t E(X t konstant, für Submartingale monoton wachsend und für Supermartingale monoton fallend.

4 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 4 Betrachtet man nun das Finanzmarktmodell M = {(Ω, F, P, F, S} mit dem Preisprozess S = (S t t N = (S t,, S t,1,..., S t,m T der m gehandelten Wertpapiere und nimmt an, dass sich ein Investor risikoavers verhält, wird er seine Preiserwartungen unter einem zum realen Maß P äquivalenten Martingalmaß Q festlegen. Ist θ = (θ t t N = (θ t,, θ t,1,..., θ t,m T eine selbstfinanzierende Handelsstrategie des Investors, das heißt θ T t S t = θ T t+1s t für alle t N, so lautet der Wert der Strategie θ im Zeitpunkt t V θ t := θ T t S t = V θ + t j=1 (V θ j V θ j 1 = V θ + t θ T j (S j S j 1 j=1 (Gewinne und Verluste aufsummiert. Mit S j = S j S j 1 kann man Vt θ als diskretes stochastisches Integral von θ bezüglich S interpretieren. Dabei ist S ein Martingal bezüglich Q und θ ist vorhersehbar bzw. previsibel. Beobachtung 1 Ist S ein Martingal und ist θ vorhersehbar, so ist der Prozess I S t (θ := t θ T j S j j=1 wieder ein Martingal. Beweis: Zunächst ist E(I S t+1(θ F t = E ( t+1 θ T j S j F t = j=1 t θ T j S j + E(θ T t+1 S t+1 F t. j=1 Zudem ist θ previsibel und S ist ein Martingal, also E(θ T t+1 S t+1 F t = θ T t+1e(s t+1 S t F t = θ T t+1 (E (S t+1 F t S t = und somit E(I S t+1(θ F t = I S t (θ. # Der Wertprozess ist somit ein faires Spiel für den Investor, sofern dieser die Zukunft risikoneutral bemisst. Beim Übergang von diskreter zu stetiger Finanzmathematik (kontinuierlicher Handelsprozess möchte man die Martingaleigenschaft des Integrals erhalten. Das Itô-Integral erlaubt es, stochastische Prozesse bezüglich der Zuwächse einer Brownschen Bewegung oder allgemeinerer Prozesse zu integrieren.

5 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 5.2 Das Itô-Integral bezüglich einer Brownschen Bewegung Definition 5 (Pfad eines stochastischen Prozesses Seien I R und X = (X t t I ein stochastischer Prozess mit Werten in einem messbaren Raum (E, E. Für jedes ω Ω heißt die Abbildung I E, t X t (ω ein Pfad von X. Man sagt, dass X fast sicher stetige Pfade hat,bzw. kurz, dass X f.s. stetig ist, falls für fast jedes ω Ω der Pfad t X t (ω stetig ist. Definition 6 (Brownsche Bewegung Ein reellwertiger, adaptierter stochastischer Prozess B = (B t t [, heißt (Standard- Brownsche Bewegung, falls (i B = fast sicher, (ii B hat unabhängige, stationäre Zuwächse, das heißt (B t B s hat die gleiche Verteilung wie (B t s B = B t s und (B t B s ist unabhängig von F s für s < t, (iii (B t B s ist N (, t s-verteilt für s < t, (iv t B t ist fast sicher stetig. Ist (B t eine Standard-Brownsche Bewegung, so nennt man den stochastischen Prozess X t = µt + σb t eine Brownsche Bewegung mit Drift µ und Volatilität σ. Beobachtung 2 Die Brownsche Bewegung ist ein Martingal. Beweis: Es gilt wegen der unabhängigen Zuwächse mit Erwartungswert für s < t: E(B t F s = E(B t B s F s + B s = E(B t B s + B s = B s. # Die Brownsche Bewegung eignet sich hervorragend für die Simulation eines Aktienkurses und ist wegen ihrer Martingaleigenschaft interessant als Integrator für das Itô-Integral. Bei der Konstruktion des Integrals soll erreicht werden, dass dieses die Martingaleigenschaft der Brownschen Bewegung erbt.

6 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 6 Das Ziel ist es, für eine möglichst große Klasse von sinnvollen Integranden H : Ω [, R, (ω, t H t (ω ein Integral I B t (H = H s db s zu definieren. Da fast alle Pfade s B s (ω der Brownschen Bewegung lokal unendliche Variation haben (nicht als Verteilungsfunktion behandelbar, kann man I B t (H nicht im klassischen Rahmen der Integrationstheorie (Lebesgue, Riemann, Stieltjes definieren. Definition 7 (Raum aller messbaren und adaptierten Prozesse Seien (F t t [,T ] die Filtration bezüglich des Brownschen Prozesses (B t und B die Borelsche σ-algebra auf [, T ]. Es bezeichnet H 2 [, T ] (kurz: H 2 den Raum aller messbaren und adaptierten Prozesse aus L 2 (Ω [, T ]. Konkret: Eine Abbildung H : Ω [, T ] R gehört zu H 2 [, T ], falls (i H ist F T B-messbar, (ii H t ist F t -messbar für alle t [, T ], ( T (iii E H2 s ds < fast sicher. Damit ist H 2 ein abgeschlossener linearer Unterraum von L 2 (Ω [, T ]. Der Raum aller Treppenfunktionen aus H 2 [, T ] der Form H t (ω = h i 1 (ω1 (ti 1,t i ] mit n N, = t < t 1 <... < t n = T, h i 1 ist F i 1 -messbar und E(h 2 i 1 <, sei mit H 2 [, T ] bezeichnet. Definition 8 (Vorstufe des Itô-Integrals mit Treppenfunktionen Für H H 2 und eine Brownsche Bewegung B setzt man für t k 1 t t k k 1 It B (H := h i 1 (B ti B ti 1 + h k 1 (B t B tk 1 und für t = T I B T (H := h i 1 (B ti B ti 1. Beobachtung 3 Für H H 2 ist der Prozess (I B t (H t ein L 2 -beschränktes, stetiges F-Martingal.

7 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 7 Beweis: Sei H H 2. Zur Vereinfachung der Notation sei t = t k ein Gitterpunkt der Zerlegung = t < t 1 <... < t n = T, das heißt I B t (H = k h i 1 (B ti B ti 1 und sei i := B ti B ti 1. Es ist E(I B t (H 2 = k E(h i 1 h j 1 i j = i,j k E(h 2 j 1 2 j + j=1 k E(h i 1 h j 1 i j [Laut Definition 7 ist h i 1 bezüglich F i 1 messbar. Laut Definition 6 (ii ist i unabhängig von F i 1. Folglich ist i unabhängig von h i 1. Außerdem ist i von j für i j unabhängig und daher sind auch h i 1 h j 1 i und j unabhängig. Laut Definition 6 (iii ist E( j = und E( 2 j = t j t j 1.] = = k j=1 E(h 2 j 1 E( 2 }{{ j + } =t j t j 1 k i j ( k k E(h 2 j 1(t j t j 1 = E j=1 i j E(h i 1 h j 1 i E( j }{{} j=1 j t j 1 H 2 s ds = ( = E Hs 2 ds <. Also ist I B t (H L 2 -beschränkt. Die Stetigkeit von I B t (H folgt aus der Stetigkeit von B und Definition 8. Für die Martingaleigenschaft sei s t. O.B.d.A. gibt es Stellen t l und t k mit t l 1 s t l und t k 1 t t k. Dann ist l 1 It B (H = h i 1 (B ti B ti 1 + h l 1 (B tl B tl 1 k 1 + h i 1 (B ti B ti 1 + h k 1 (B t B tk 1. i=l+1 Es werden die bedingten Erwartungen aller 4 Summanden auf der rechten Seite einzeln betrachtet: E ( l 1 l 1 h i 1 (B ti B ti 1 F s = h i 1 (B ti B ti 1. E ( h l 1 (B tl B tl 1 Fs = hl 1 (E(B tl Fs B tl 1 = h l 1 (B s B tl 1. Diese beiden ersten Ausdrücke zusammen addiert, ergeben I B s (H. Also ist noch zu zeigen, dass die bedingten Erwartungen des 3. und des 4. Summanden

8 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 8 gleich sind: ( k 1 E h i 1 (B ti B ti 1 F s = i=l+1 k 1 i=l+1 ( ( Fs E E h i 1 (B ti B ti 1 F ti 1 k 1 ( ( = E h i 1 E Bti Fti 1 Bti 1 F s. }{{} i=l+1 = ( ( ( E h k 1 (B t B tk 1 F s = E h k 1 E Bt Ftk 1 Btk 1 F s. }{{} = # Die Idee ist nun, die Abbildung IT B : H2 L 2 (Ω auf H 2 fortzusetzen. Dazu benötigt man das Resultat der Itô-Isometrie (aus dem Beweis von Beobachtung 3 auf H, 2 das heißt It B (H 2 L 2 (Ω = E ( It B (H 2 ( = E Hs 2 ds = H 2 L 2 (Ω [,T ] t, und dass H 2 in H 2 bezüglich der L 2 -Norm dicht liegt, das heißt, für H H 2 exisitiert eine Folge (H n n N H 2 mit H n H L 2 (Ω [,T ] (zum Beweis vgl. (6, Kapitel 6.6, Approximation in H 2. Für jedes n N sind die Integrale I B T (Hn wohldefinierte Elemente des L 2 (Ω, explizit gegeben in Definition 8. Das Ziel ist es, I B T (H für H H2 als Grenzwert der Folge (I B T (Hn n N in L 2 (Ω zu definieren. Um sicher zu gehen, dass diese Definition korrekt ist, muss man sich Folgendes überlegen: H n H L 2 (Ω [,T ] muss implizieren, dass (IB T (Hn n N in L 2 (Ω einen Grenzwert besitzt. Dies ist der Fall, denn H n H L 2 (Ω [,T ] besagt, dass (H n n N eine Cauchy-Folge in L 2 (Ω [, T ] ist und mit der Itô-Isometrie folgt, dass (IT B(Hn n N eine Cauchy-Folge in L 2 (Ω ist. Nun ist L 2 (Ω ein vollständiger metrischer Raum, das heißt, jedes Cauchy-Folge in L 2 (Ω ist konvergent. Demzufolge konvergiert (IT B(Hn n N gegen ein Element aus L 2 (Ω, welches mit IT B (H bezeichnet sein soll. IT B(H für H H2 ist in dem Sinne wohldefiniert, dass falls (G n n N eine weitere Folge mit G n H L 2 (Ω [,T ] ist, die Folge (IB T (Gn n N den gleichen L 2 (Ω- Grenzwert wie (IT B(Hn n N besitzt. Mit Hilfe der Dreiecksungleichung folgt, dass für eine solche Folge (G n n N die Eigenschaft G n H n L 2 (Ω [,T ] erfüllt ist und aus der Itô-Isometrie folgt IT B(Gn IT B(Hn L 2 (Ω.

9 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 9 Definition 9 (Itô-Integral Für H H 2 definiert man das Itô-Integral T H s db s := I B T (H durch die stetige Fortsetzung der Abbildung IT B : H2 L 2 (Ω auf H 2. Mit anderen Worten: Ist (H n n N H 2 mit H n H L 2 (Ω [,T ], so definiert man (in L 2 (Ω. Intuitiv bezeichnet man mit s I B T (H := lim I B T (H n H r db r := I B t (H I B s (H für s t das Itô-Integral von s bis t von H H 2 bezüglich der Brownschen Bewegung B. Insbesondere ist das Itô-Integral bezüglich einer Brownschen Bewegung für Integranden aus H 2 ein stetiges Martingal (vgl. (5, Satz Als letzten Schritt soll sich von der strengen Integrierbarkeitsbedingung ( T E Hs 2 ds < gelöst werden, da diese schon für einfache Funktionale der Brownschen Bewegung nicht mehr erfüllt ist. Definition 1 Es sei H 2 loc der Raum der adaptierten stochastischen Prozesse H mit fast sicher für jedes T >. T H 2 s ds < Die Wahl von Hloc 2 als Raum für die Integranden wird mittels Beobachtung 6 begründet. Eine Lokalisierung durch Stoppzeiten 1 bezahlt man i.a. mit dem Verlust der Martingaleigenschaft des Itô-Integrals (wird nur ein lokales Martingal sein. Definition 11 (lokales Martingal Sei τ eine Stoppzeit. Ein adaptierter, reeller stochastischer Prozess M = (M t t heißt lokales Martingal bis τ, falls es eine wachsende Folge (τ n n N von Stoppzeiten mit τ n τ f.s. derart gibt, dass die gestoppten Prozesse Mt τn = M τn t M für jedes n Martingale sind. Eine solche Folge (τ n n N heißt lokalisierende Folge für M. M heißt lokales Martingal, falls M ein lokales Martingal bis τ ist. 1 vgl. (4, Definition A.2.1

10 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 1 Offenbar ist laut Definition jedes Martingal insbesondere ein lokales Martingal. Die Umkehrung gilt i.a. nicht! Beobachtung 4 Für jedes H H 2 loc existiert eine lokalisierende Folge (τ n n N von Stoppzeiten mit τ n f.s. und τ n H 2 s ds <, also mit H τn H 2 für jedes n N. Beweis: Man setze τ n := inf { t : } Hs 2 ds n. Nach Definition 1 gilt τ n f.s. und nach Konstruktion ist ( τn H τn L 2 (Ω [,T ] = E Hs 2 ds n. Definition 12 (Itô-Integral als lokales Martingal Seien H Hloc 2 und (τ n n N eine lokalisierende Folge von Stoppzeiten mit { } τ n := inf t : Hs 2 ds n. Das Itô-Integral wird für t definiert als der fast sichere Grenzwert H s db s := lim H τn s db s. # Definition 13 (Quadratischer Variations- bzw. Kovariationsprozess Sei X = (X t t [,T ] ein stochastischer Prozess und Z n T = { = t t 1... t n = T } eine Zerlegung von [, T ]. Falls ein Prozess X t mit (X ti X ti 1 2 P X t (Konvergenz in Wahrscheinlichkeit existiert, so heißt dieser quadratischer Variationsprozess von X = (X t t [,T ]. Allgemeiner heißt X, Y t quadratischer Kovariationsprozess zweier Prozesse X = (X t t [,T ] und Y = (Y t t [,T ] auf [,T], falls P (X ti X ti 1 (Y tj Y tj 1 X, Y t (Konvergenz in Wahrscheinlichkeit i,j=1 gilt.

11 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 11 Beobachtung 5 (1 Sei M = (M t t [,T ] ein quadratisch integrierbares F-Martingal, das heißt E(M 2 t < für alle t [, T ]. Dann existiert der quadratische Variationsprozess M t und (M 2 t M t t [,T ] ist ein Martingal. (2 Ist M = (M t t [,T ] ein lokales Martingal, dann existiert der quadratische Variationsprozess M t und ist ein lokales Martingal. (M 2 t M t t [,T ] (3 Sind M = (M t t [,T ] und N = (N t t [,T ] lokale Martingale, dann existiert der quadratische Kovariationsprozess M, N t und ist ein lokales Martingal. (M t N t M, N t t [,T ] Beweis: (1 Die Existenz (und Eindeutigkeit von M t folgt aus der Doob-Meyer- Zerlegung von M 2 t. Sei s t T. Zunächst ist Nun folgt E((M t M s 2 = E(M 2 t 2M t M s + M 2 s = E(Mt 2 2 E(M t M s }{{} +E(Ms 2 =E(E(M t Ms Fs =E(MsE(M t Fs=E(Ms 2 = E(M 2 t E(M 2 s. E(Mt 2 F s Ms 2 = E(Mt 2 Ms 2 F s = E((M t M s 2 F s ( = E (M ti M ti 1 2 F s [Hierbei ist {t i } eine Zerlegung von [s, t]. Nun erfolgt der Grenzübergang t i für n.] = E( M t M s F s = E( M t F s M s, also ist (M 2 t M t t [,T ] ein Martingal. (2 Folgt aus (1 mittels Lokalisierung: M = (M t t [,T ] ist ein lokales Martingal. lokalisierende Folge (τ n n N, sodass Mt τn ein Martingal ist. M τn t existiert und ((Mt τn 2 M τn t t [,T ] ist ein Martingal. (Mt 2 M t t [,T ] ist ein lokales Martingal.

12 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 12 (3 Folgt aus (2 mittels Polarisierungsidentität: M, N t = 1 4 ( M + N t M N t. Beobachtung 6 Ist H Hloc 2, so ist das Itô-Integral M t = H s db s ein stetiges lokales Martingal mit quadratischem Variationsprozess M t = H 2 s ds. # Beweis: H H 2 loc laut Beobachtung 4: lokalisierende Folge (τ n n N mit τn H 2 s ds <. E ( τ n H 2 s ds <. Ht τn H 2. Mt τn = τ n Martingal n. M t ist ein stetiges lokales Martingal. H τn s db s ist ein stetiges Zu zeigen ist noch, dass für H Hloc 2 und ein quadratintegrierbares stetiges lokales Martingal M t = H s db s (t der Prozess ( N = (N t t := Mt 2 Hs 2 ds ein stetiges lokales Martingal mit N = ist. Offenbar ist N adaptiert. Sei (τ n n N eine lokalisierende Folge für M t. Dann gilt mit der Itô-Isometrie: ( τn E(Nt τn = E (Mt τn 2 Hs 2 ds ( ( τn 2 ( τn = E H s db s E Hs 2 db s = = E(N τn. Damit sind Nt τn als Martingal und N als lokales Martingal erkannt. [vgl. (2, Satz und (4, Satz A.2.3.] t #

13 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 13 Beobachtung 7 Sei B eine Brownsche Bewegung. Dann ist (B 2 t t t ein Martingal, das heißt B t = t für alle t (da eindeutig bestimmt. Beweis: Sei s < t. Es werden die unabhängigen Zuwächse (B t B s mit Erwartungswert und Varianz t s genutzt: E(B 2 t t F s = E((B t B s + B s 2 F s t = E((B t B s 2 + 2(B t B s B s + B 2 s F s t = E((B t B s 2 + 2B s E(B t B s + B 2 s t = Var(B t B s + [E(B t B s ] B 2 s t = t s B 2 s t = B 2 s s. #

14 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 14.3 Das Itô-Integral bezüglich Diffusionen Nachdem nun die Klasse der Integranden für das Itô-Integral erweitert wurde, sollen auch allgemeinere Prozesse als die Brownsche Bewegung als Integratoren betrachtet werden. Zunächst ist für eine Brownsche Bewegung B und H H 2 (Treppenfunktionen Folgendes bekannt (Itô-Isometrie auf H 2 und Beobachtung 7: E ( It B (H 2 ( ( = E Hs 2 ds = E Hs 2 d B s. Für H H 2 ist das elementare Integral (Itô-Vorstufe I M t (H = h i 1 (M ti t M ti 1 t ein Martingal (bzw. lokales Martingal, falls M ein Martingal (bzw. lokales Martingal ist und es gilt E ( I M T (H 2 = = E ( h 2 i 1(M ti M ti 1 2 ( T = E ( E h 2 i 1( M ti M ti 1 H 2 t d M t, falls der Ausdruck auf der rechten Seite endlich ist. Also kann man die Prozedur aus Abschnitt.2, mit der das Itô-Integral bezüglich einer Brownschen Bewegung mit Integranden aus H 2 definiert wurde, wiederholen, um ein Integral bezüglich M für eine große Klasse von Integranden zu definieren. Für eine Norm auf H 2 muss die quadratische Variation dt der Brownschen Bewegung durch d M t ersetzt werden: ( H 2 M := E Ht 2 d M t. Mit Beobachtung 6 folgt für dass und Z t := H s dm s, Z t = Z (1, Z (2 t = Z (i t := H s (i dm s (i, i = 1, 2, H 2 s d M s H (1 s H (2 s d M (1, M (2 s.

15 Grundlegende Definitionen zur Vorbereitung 15 Definition 14 (Diffusion(-sprozess Seien B eine Brownsche Bewegung und σ sowie b adaptierte stochastische Prozesse mit (σ2 s + b s ds < f.s. t. Dann heißt der Prozess X mit X t = σ s db s + b s ds für t verallgemeinerte(r Diffusion(-sprozess mit Diffusionskoeffizienten σ und Drift b. Haben σ und b die spezielle Gestalt σ s = σ (X s und b s = b (X s für Abbildungen σ : R [, und b : R R, so heißt X eine Diffusion (im engeren Sinne. Eine Diffusion X hat stets die Gestalt X = M + A mit stetigem lokalen Martingal M t = σ s db s mit quadratischer Variation M t = σ2 s ds (nach Beobachtung 6 und einem stetigen Prozess A t = b s ds von lokal endlicher Variation. Auf dem Weg zum Itô-Integral H s dx s bezüglich der Diffusion X s sei Folgendes für H H 2 betrachtet: H s dm s = = h i 1 (M ti t M ti 1 t i t h i 1 σ s db s = t i 1 t (H s σ s db s. Für messbares H mit T H2 s d M s = T (H sσ s 2 ds < für alle T wird daher das Itô-Integral bezüglich dem lokalen Martingalanteil einer Diffusion definiert als Nun kann man allgemein formulieren: H s dm s := (H s σ s db s. Satz 1 (Itô-Integral bezüglich einer verallgemeinerten Diffusion Sei X = M + A eine verallgemeinerte Diffusion mit σ und b und H messbar mit T (H sσ s 2 ds < für alle T. Dann ist der durch Y t := H s dx s := H s dm s + H s da s := H s σ s db s + H s b s ds definierte Prozess Y (das Itô-Integral bezüglich einer verallgemeinerten Diffusion wieder eine verallgemeinerte Diffusion mit Diffusionskoeffizienten (H s σ s s und Drift (H s b s s. Speziell ist N t := H s dm s ein stetiges lokales Martingal mit Variationsprozess N t = H2 s d M s = H2 s σs 2 ds. Beweis: vgl. (2, Abschnitt #

16 1 Die Itô-Formel 16 1 Die Itô-Formel 1.1 Itô-Prozess und Itô s Lemma Es soll nun ein wesentliches Hilfsmittel zur Berechnung des Itô-Integrals als stochastisches Analogon zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung vorgestellt werden. Ist t X t eine differenzierbare Abbildung mit Ableitung X und f C 1 (R mit Ableitung f, so gilt die klassische Substitutionsformel (Kettenregel f(x t f(x = f (X s dx s = f (X s X s ds. (1.1 Man kann zeigen: Diese Formel bleibt korrekt, wenn X stetig und von lokal endlicher Variation ist, das heißt, die Verteilungsfunktion eines absolut stetigen signierten 2 Maßes auf [, ist. Denn dann existiert die Ableitung X als Radon-Nikodym-Ableitung 3 fast überall. Allerdings sind die Pfade der Brownschen Bewegung B nirgends differenzierbar und haben (folglich überall lokal unendliche Variation. Es ist also keine einfache Substitutionsformel wie in (1.1 zu erwarten. Beispiel 1 Sei in (1.1 der stochastische Prozess X mit der Brownschen Bewegung B ersetzt und f(x = x 2. Dann ist Bt 2 B 2 = }{{} = 2B s db s. Die rechte Seite ist also ein Martingal. Die linke Seite hingegen ist B 2 t, also ein Submartingal, das erst durch Subtraktion von t (quadratischer Variationsprozess der Brownschen Bewegung zu einem Martingal wird. Definition 15 (Itô-Prozess Seien B eine Brownsche Bewegung, b ein adaptierter und lokal integrierbarer Prozess (d.h. b s ds ist definiert und σ ein adaptierter Prozess mit E( σ2 s ds < (vgl. Definition 7 (iii. Der stochastische Prozess X mit X = x und heißt Itô-Prozess. X t := x + b s ds + σ s db s 2 Ein Maß heißt absolut stetig, falls es für die mittels des Maßes definierte stetige Verteilungsfunktion eine Verteilungsdichte gibt. Ein Maß heißt signiert, falls für dieses auch negative Werte zugelassen sind. 3 Satz von Radon-Nikodym: Sei µ ein σ-endliches Maß auf dem messbaren Raum (X, A und sei ν ein signiertes und bezüglich µ absolut stetiges Maß. Dann gibt es eine Funktion f, so dass Z E A : ν(e = f dµ. f heißt Radon-Nikodym-Ableitung von ν bezüglich µ. E

17 1 Die Itô-Formel 17 Ein Itô-Prozess wird oft als Lösung der stochastischen Differentialgleichung dx t = b t dt + σ t db t, X = x (1.2 formuliert. Sei f : R R aus C 2 (R. Betrachtet man erneut (1.1, so ist also eine Formel für f(x t f(x mit Itô-Prozess X gesucht, das heißt eine Beschreibung des stochastischen Differentials df(x t des Prozesses f(x t. Gegeben sei eine Zerlegung Z n t des Intervalls [, t], das heißt = t < t 1 <... < t n = t. Mit der Taylor-Formel erhält man f(x t f(x = = ( f(xti f(x ti 1 f (X ti 1 X ti f (X ti 1 ( X ti 2 (f (θ i 1 f (X ti 1 ( X ti 2 }{{} =Rt n i 1 (1.3 mit X ti = X ti X ti 1 und X ti 1 < θ i 1 < X ti. Das Restglied R n t i 1 soll nun wie folgt abgeschätzt werden: Da X stetig ist, ist C := {X s : s [, t]} kompakt und f auf C gleichmäßig stetig. Zu jedem ε > gibt es also ein δ > mit f (X r f (X s < ε r, s [, t] mit X r X s < δ. Da auch X auf [, t] gleichmäßig stetig ist und die Feinheit der Zerlegung Zt n gegen gehen soll, das heißt t i, gibt es zu jedem δ > ein N δ, sodass sup n N δ sup t i 1 Z n t X ti X ti 1 < δ. Also ist für n N δ und t i 1 Z n t Für die Restgliedsumme in (1.3 erhält man Rt n i 1 ε Da ε > beliebig ist, gilt also R n t i ε ( X ti X ti 1 2. (X ti X ti 1 2 P ε X t <. Rt n P i 1. Die erste Summe in (1.3 ist für n nichts anderes als eine Approximation eines stochastischen Integrals, das heißt f (X ti 1 X ti f (X s dx s.

18 1 Die Itô-Formel 18 Laut Definition 13 gilt n ( X t i 2 P X t (Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und mit etwas mehr Aufwand sieht man 1 2 f (X ti 1 ( X ti 2 [vgl. (2, Beweis von Satz oder (5, Beweis von Theorem ] wobei (1.4 hier für den einfacheren Fall X t := B t gezeigt werden soll: 1 2 f (X s d X s, (1.4 Es gilt B ti B ti 1 N (, t und es sei die linke Seite von (1.4 mit X n t := B t wie folgt zentriert: A n := 1 f (B ti 1 [( B ti 2 (t i t i 1 ] + 1 f (B ti 1 (t i t i Wegen der Stetigkeit von f (B s (ω als Funktion von s konvergiert die zweite Summe von A n als Riemann-Integral ω: lim f (B ti 1 (t i t i 1 = Bezeichnet man die erste Summe von A n mit Ãn, so folgt Zusammengefasst: Satz 2 (Itô-Formel E(Ã2 n = 1 4 f (B s ds. E{f (B ti 1 2 [( B ti 2 (t i t i 1 ] 2 } 1 4 f 2 = 1 4 f 2 E{[( B ti 2 (t i t i 1 ] 2 } Var[( B ti 2 ] }{{} = 2t2 n 2 = t2 2n f 2 (L2 -Konvergenz. Falls X die stochastische Differentialgleichung (1.2 löst und f C 2 ist, dann hat f(x das stochastische Differential df(x t = f (X t dx t f (X t d X t bzw. für f(x t f(x in Integralschreibweise f(x t = f(x + f (X s dx s f (X s d X s.

19 1 Die Itô-Formel 19 Das Prädikat X ist ein Itô-Prozess wird somit zu einem stochastischen Pendant zum Begriff der Differenzierbarkeit. Korollar 1 (Itô-Formel für die Brownsche Bewegung Speziell für eine Brownsche Bewegung B gilt: f(b t = f( + f (B s db s f (B s ds. Es erfolgt also eine Zerlegung von f(b t in ein Martingal (Erwartungswert, welches als Fehler interpretiert werden kann und in einen zweiten Teil, den man als Drift interpretieren kann. Beispiel 2 Mit f(x = x 2 folgt also Bt 2 B 2 = }{{} = 2B s db s ds = B s db s = 1 2 B2 t 1 2 t. 2B s db s + t, In der Finanzmathematik ist der Preis einer Aktienoption (allgemein eines Derivates eine Funktion des Preises der zugrunde liegenden Aktie (Underlying und der Zeit. Es wird also eine Itô-Formel für Funktionen mehrerer Veränderlicher benötigt. Es sei die Funktion f : R 2 R einmal stetig differenzierbar in ihrer ersten Komponente und zweimal stetig differenzierbar in ihrer zweiten Komponente, kurz f C 1,2. Wiederum mit der Taylor-Formel erhält man für t nahe t : f(t, X t =f(t, X t + f t (t, X t (t t + f In Differentialschreibweise: f 2 t (t, X 2 t (t t f t x (t, X t (t t (X t X t +... x (t, X t (X t X t 2 f x (t, X 2 t (X t X t 2 df = f t dt + f x dx t f tt (dt 2 + f tx dt dx t f xx (dx t Für einen Itô-Prozess X substituiert man dx t = b t dt + σ t db t (vgl. (1.2 und erhält df = f t dt+f x (b t dt+σ t db t f tt (dt 2 +f tx dt(b t dt+σ t db t f xx (b t dt+σ t db t

20 1 Die Itô-Formel 2 Mit den Rechenregeln dt dt =, dt db t = und db t db t = dt (Eigenschaften der quadratischen Variation, vgl. (1, ersetzt man (b t dt + σ t db t 2 = b 2 t (dt 2 + 2b t σ t dt db t + σ 2 t dt = σ 2 t dt + Differentiale höherer Potenzen und erhält schließlich df = (f t + b t f x + 12 σ2t f xx dt + σ t f x db t + Differentiale höherer Potenzen. Die Differentiale höherer Potenzen sind für t nahe an t irrelevant. Satz 3 (Itô s Lemma Falls X die stochastische Differentialgleichung (1.2 löst und f C 1,2 ist, dann hat f = f(t, X t das stochastische Differential df = (f t + b t f x + 12 σ2t f xx dt + σ t f x db t. Integralschreibweise: f(t, X t =f(, x + + ( f s (s, X f s + b s x (s, X s f 2 σ2 s x (s, X s ds 2 σ s f x (s, X s db s. Korollar 2 Es gilt E(f(t, X t = f(, x + E (f s + b s f x + 12 σ2sf xx ds. Beweis: f(, x ist konstant, σ sf x db s ist ein stochastisches Integral, also insbesondere ein Martingal, also ist dessen Erwartung konstant, hier sogar =, da es für t = bei startet. Bemerkung: Ein Itô-Prozess ist als Diffusionsprozess ein spezielles Semimartingal 4. Itô s Lemma zeigt also, dass für ein Semimartingal X und glattes f der Prozess f(t, X t wieder ein Semimartingal (speziell ein Itô-Prozess ist. 4 Ein Semimartingal ist ein stochastischer Prozess X, der an die gegebene Filtration adaptiert, rechtsseitig stetig mit linkseitig existierendem Grenzwert ist und für den eine Darstellung X = X + M + A existiert, wobei X f.s. endlich und F -messbar, M ein lokales Martingal und A ein Prozess von endlicher Variation ist. Diese Zerlegung ist i.a. nicht eindeutig. #

21 1 Die Itô-Formel Itô s Lemma in höheren Dimensionen Für eine mehrdimensionale Verallgemeinerung von Satz 2 seien t X t = (X 1 t,..., X d t stetige Abbildungen (Pfade der Prozesse, sodass für k, l = 1,..., d die quadratischen Kovariationsprozesse X k, X l t existieren und stetig sind (das heißt, die Xk t sind insbesondere Martingale. Sei C 2 (R d der Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen auf R d. Satz 4 (Mehrdimensionale Itô-Formel Seien f C 2 (R d und X t = (Xt 1,..., Xt d wie oben. Dann gilt f(x t = f(x + f(x s dx s + 1 ( t d 2 f 2 k l (X s d X k, X l. s k,l=1 Dabei ist f(x s dx s := d k=1 f k (X s dx k s. Beweis: Analoges Vorgehen zum eindimensionalen Fall (Zerlegung, Taylor, Konvergenz. Korollar 3 (Partielle Integration (Produktregel Für f(x, y = xy folgt aus Satz 4: X t Y t = X Y + Y s dx s + X s dy s + X, Y t. # Korollar 3 ist das stochastische Pendant zur partiellen Integration (Produktregel im bekannten Integrationskalkül. Korollar 4 (Itô s Lemma in höheren Dimensionen Für f C 1,2 (R R d und ein stetiges Vektormartingal M t = (M 1 t,..., M d t folgt aus Satz 4: f(t, M t hat das stochastische Differential df(t, M t = f (t, M t dt + d f i (t, M t dmt i d f ij (t, M t d M i, M j t i,j=1 (wobei f i die erste partielle Ableitung von f nach der i-ten Komponente ist und f ij die zweiten partiellen Ableitungen sind. Bemerkung: Man erhält weitere Aussagen, wenn man für das stetige Vektormartingal einen d-dimensionalen Itô-Prozess (mit einer d-dimensionalen Brownschen Bewegung einsetzt (vgl. (2, Satz

22 2 Anwendung von Itô s Lemma: Die Geometrische Brownsche Bewegung als Ausblick auf das 22 Black-Scholes-Modell 2 Anwendung von Itô s Lemma: Die Geometrische Brownsche Bewegung als Ausblick auf das Black-Scholes-Modell Mit der Brownschen Bewegung und Itô s Lemma zur Hand, ist es nun möglich, den ökonomisch vielleicht wichtigsten stochastischen Prozess einzuführen: Die Geometrische Brownsche Bewegung. Um die Preisentwicklung eines Wertpapiers S t im Zeitablauf zu modellieren (wie es im Black-Scholes-Modell geschieht, betrachtet man, wie sich S in einem kleinen Zeitintervall [t, t + dt] vom gegenwärtigen Zeitpunkt t bis zur nahen Zukunft dt verhält. Schreibt man für die Preisänderung ds t := S t+dt S t, so beträgt die Rendite des Wertpapiers in diesem Intervall gerade ds t S t. Es ist ökonomisch sinnvoll, die Rendite in zwei Teile zu zerlegen, einen deterministischen (zu erwartenden Teil µ dt und einen unbeherrschbaren zufälligen Teil σ db t. µ sei ein Parameter für die erwartete Rendite des Wertpapiers, db t bezeichnet den Störfaktor, der den Preis fluktuieren lässt (Zuwächse einer Brownschen Bewegung und σ beschreibt, wie viel Einfluss der Störfaktor auf die Preisfluktuation hat bzw. wie volatil der Preis ist. Deshalb bezeichnet man σ auch als Volatilität (Risiko des Wertpapiers. σ db t soll demnach die Einflüsse der ökonomischen Geschehnisse auf den Preis des Wertpapiers modellieren, das heißt die Auswirkungen von Angebot und Nachfrage. Zusammengefasst erhält man die stochastische Differentialgleichung ds t = S t (µ dt + σ db t, S >, (2.1 die Itô 1944 einführte und welche Motivation für den Itô-Kalkül lieferte. Beobachtung 8 (Geometrische Brownsche Bewegung Die stochastische Differentialgleichung (2.1 besitzt die eindeutige Lösung ] S t = S exp [(µ σ2 t + σb t, 2 welche als Geometrische Brownsche Bewegung bezeichnet wird. Beweis: Der Beweis erfolgt mit Hilfe von Itô s Lemma (Satz 3. Man wählt X t = B t für den Prozess aus Satz 3, der (1.2 erfüllt, also b t = und σ t = 1 in (1.2. Dann lautet Itô s Lemma für f = f(t, B t : ( df = f t f xx dt + f x db t.

23 2 Anwendung von Itô s Lemma: Die Geometrische Brownsche Bewegung als Ausblick auf das 23 Black-Scholes-Modell Sei Dann ist f t = f(t, x := exp ] [(µ σ2 t + σx. 2 (µ σ2 f, f x = σf, f xx = σ 2 f 2 und mit x = B t ergibt Itô s Lemma ( df(t, B t = f t f xx dt + f x db t = ((µ σ2 f σ2 f dt + σf db t = f (µ dt + σ db t. Also löst f(t, B t mit f(, B = S und B = die Gleichung (2.1. Eindeutigkeit: vgl. (1, 5.1. # Zusammenfassend ist S t aus Beobachtung 5 das stochastische Exponential von µt + σb t, einer Brownschen Bewegung mit Drift µ und Volatilität σ. Insbesondere ist also ln S t = ln S + (µ 12 σ2 t + σb t normalverteilt. Demzufolge ist der Preis S t des Wertpapiers im Zeitverlauf logarithmisch normalverteilt 5. Dieses Modell der Geometrischen Brownschen Bewegung liefert die Grundlage für das Black-Scholes-Modell für Wertpapierpreise in stetiger Zeit. 5 Eine stetige Zufallsgröße X unterliegt der logarithmischen Normalverteilung LN (µ, σ 2 mit den Parametern µ R, σ R, σ >, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte ( i 1 (ln x µ2 f(x = 2πσx exp h, falls x >, 2σ 2, falls x, besitzt.

24 Literatur 24 Literatur [1] Nicholas H. Bingham, Rüdiger Kiesel. Risk-Neutral Valuation. Pricing and Hedging of Financial Derivatives. Springer Verlag, London, 24. [2] Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 28. [3] John C. Hull. Options, Futures and Other Derivatives. Pearson Studium (deutsche Übersetzung, München, 6. Auflage, 26. [4] Thorsten Schmidt, Rüdiger Frey. Vorlesungsskript Finanzmathematik I. Universität Leipzig, Version vom 18. Januar 28. [5] Thorsten Schmidt. Vorlesungsskript Finanzmathematik II. Universität Leipzig, TU München, Version vom 24. Juni 28. [6] J. Michael Steele. Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 21.