Finanzmathematik. Inhalt: Martin Keller-Ressel Satz: Martin Haubold 17. November 2014
|
|
- Bertold Peters
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Finanzmathematik Inhalt: Martin Keller-Ressel Satz: Martin Haubold 17. November 2014 Inhaltsverzeichnis 0 Einführung und Motivation Zentrale Fragestellungen der Finanzmathematik Mathematisches Finanzmarktmodell Anleihe und elementare Beispiele für Derivate Elementare Replikations- und Arbitrageargumente Mathematische Grundlagen Bedingte Erwartung und Martingal Anlagestrategien und stochastisches Integral Stoppzeiten und Martingalungleichungen i
2 0 Einführung und Motivation 0.1 Zentrale Fragestellungen der Finanzmathematik Bewertung von Derivaten und Absicherung gegen aus deren Handel entstehenden Risiken Definition. Ein Derivat ist ein Finanzprodukt dessen Auszahlung sich vom Preis eines oder mehrerer gehandelter Basisgüter ( underlying ) ableitet. Beispiel. Recht in drei Monaten Schweizer Franken gegen EUR zu erhalten. (Basisgut: Wechselkurs EUR/CHF; Derivat: Call-Option ) Recht innerhalb des nächsten Jahres 100 Daimler-Aktien zum Preis von 60 EUR/Stück zu erwerben. (Basisgut: Daimler-Aktie; Derivat: amerikanische Call-Option ) Versicherung gegen Zahlungsausfall spanischer Staatsanleihen mit Laufzeit 5 Jahre. (Basisgut: Kurs spanischer Staatsanleihen; Derivat: CDS (credit default swap)) Recht in den nächsten 6 Monaten MWh elektrische Energie zum Preis von 30 EUR/MWh zu kosumieren mit Mindestabnahme von MWh (Underlying: Strompreis; Derivat: Swing-Option ) Auszahlungsvereinbahrungen für Derivate können sehr komplex sein... zu komplex? Rolle von CDOs (Partizipationsrechte an gebündelten Kredite) in Finanzkrise. Zugehörige Fragestellungen: Was ist der faire Preis für ein solches Derivat ( Pricing )? Fair: für Käufer und Verkäufer akzeptabel. Wie kann sich der Verkäufer gegen Risiken aus der eigenen Verpflichtung absichern ( Hedging )? Zusammenstellung von Portfolios die nach Risiko- und Ertragsgesichtspunkten optimal sind. Zugehörige Fragestellungen: Wie vergleiche ich unsichere zukünftige Gewinn- und Verlustmöglichkeiten? Wie wäge ich Risiko gegen Ertrag ab? 1
3 Was bedeutet optimal? Bemerkung. Abgrenzung zur Versicherungsmathematik: Auszahlungen von Versicherungsverträgen hängen i.a. nicht von gehandelten Basisgütern ab. Beispiel: Kfz-Versicherung, Hausratsversicherung Mischformen möglich: z.b. fondsgebundene Lebensversicherung Mathematische Werkzeuge dieser Vorlesung: Hauptsächlich Wahrscheinlichkeitstheorie, etwas lineare Algebra, Optimierung und Maßtheorie 0.2 Mathematisches Finanzmarktmodell Wir betrachten: W-Raum (Ω, F, P) später auch weitere W-Maße Q auf demselben Messraum (Ω, F) ω Ω... Elementarereignisse, Szenarien Zeitachse I entweder I = {0, 1,..., T }... diskretes Modell (T-Perioden-Modell) I = [0, T ]... zeitstetiges Modell T... Zeithorizont Eine messbare Abbildung (Ω, I) R d, (ω, t) S t (ω) heißt stochastischer Prozess. Insbesondere ist t S t (ω) Funktion I R 0 ( ω Ω) ω S t (ω) Zufallsvariable ( t I) beide Sichtweisen sind wichtig Eine Filtration ist eine Folge (F t ) t I von σ-algebren F t F mit F s F t s t, s, t I Interpretation. F t ist dem Marktteilnehmer zum Zeitpunkt t verfügbare Information, Ereignisse A F t gelten als zum Zeitpunkt t bekannt. Zusätzlich werden wir stets annehmen, dass F 0 die triviale σ-algebra ist. Aus W-Theorie: Eine R d -wertige Zufallsvariable X heißt messbar bzgl. F t, wenn für alle Borel-Mengen B R d X 1 (B) F t 2
4 gilt. Schreibweise. X F t (Beachte: X ist kein Element von F t im Sinne der Mengenlehre) Definition. Ein stochastischer Prozess S = (S t ) t I auf (Ω, F, P) heißt adaptiert an (F t ) t I wenn S t F t, t I gilt. Interpretation. Der Wert S t ist zum Zeitpunkt t bekannt. Da F 0 trivial ist, ist für jeden adaptieren Prozess X der Anfangswert X 0 deterministisch. Für das Finanzmarktmodell, modellieren wir d Wertpapiere (assets) als stochastische Prozesse S i : Ω I R 0, (ω, t) S i t(ω) S i t... Preis des i-ten Wertpapiers zum Zeitpunkt t, i {0,..., d} typischerweise ist S i (i {1,..., d}) eine Aktie (stock), könnte auch Wechselkurs, etc. sein. S 0 trägt Sonderrolle: Verrechnungskonto, Numeraire, beschreibt die Verzinsung von nicht in Wertpapieren angelegtem Kapital. Definition. Ein Finanzmarktmodell mit Zeitachse I ist gegeben durch einen filtrierten W-Raum ( Ω, F, (F t ) t I, P ) einen an (F t ) t T adaptierten, R d+1 wertigen stochastischen Prozess (S t ) t I Beispiel. Cox-Ross-Rubinstein-Modell (zeitdiskret) R t... Rendite der t-ten Periode, Zufallsvariable mit zwei möglichen Werten b > a definiere S 0 t := (1 + r) t (Verzinsung mit konstanter Zinsrate r) und S 1 t := S 1 0 T t=1 (1 + R t) rekombinierender Baum 3
5 Ereignisse ω = Pfade in diesem Baum ( Ω < ) zeitdiskretes Mehrperiodenmodell auf endlichem W-Raum Samuelson-/ Black-Scholes-Modell (zeitstetig) Brownsche Bewegung: Stochastischer Prozess (B t ) t 0 in stetiger Zeit, sodass - B t B s N (0, (t s)), t s 0 - (B t B s ) ist unabhängig von (B s B r ), t s r 0 - t B t (ω) ist stetig ω A mit P[A] = 1 (genauere Behandlung gegen Ende des Semesters) St 0 = exp(rt) ( ) St 1 = exp (µ σ2 2 )t + σb t (µ σ2 2 )t... Trend, σb t... stoch. Fluktuation) Ω = zeitstetiges Modell auf unendlichen W-Raum große Unterschiede in mathematischer Handhabung 0.3 Anleihe und elementare Beispiele für Derivate Hier betrachten wir nur ein Wertpapier S t = S 1 t Anleihe (bond), genauer Null-Kupon-Anleihe: Der Verkäufer einer Anleihe mit Endfälligkeit T und Nominale N verspricht dem Käufer zum Zeitpunkt T den Betrag von N Währungseinheiten zu zahlen. Anleihen können auf dem Sekundärmarkt weiterverkauft werden. Preis bei Erstauflage: B(0, T ) Preis bei Weiterverkauf: B(t, T ), (t T ) Wir normieren stets N = 1 B(T, T ) = 1 4
6 Anleihen können statt Bankkonto als Numeraire S 0 t = B(t, T ) genutzt werden. Es existieren auch Kupon-Anleihen bei denen zu Zeitpunkten T 1, T 2, T 3,..., T n weitere Zahlungen (Kupons) erfolgen. Terminvertrag (forward contract) aus Käufersicht: Vereinbarung zu einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt T eine Einheit des Basisgutes zum Preis K zu kaufen. Bemerkung. Kaufverpflichtung!! Auszahlungprofil: S T K T... Laufzeitende (maturity) K... Ausübungspreis (strike) Europäische Call-Option: Recht zu bestimmten zukünftigem Zeitpunkt T eine Einheit des Basisgutes zum Preis K zu kaufen Bemerkung. keine Kaufverpflichtung!! Auszahlungsprofil (zum Zeitpunkt T): 0 wenn S T K, (keine Ausübung) S T K wenn S T K, (Ausübung) = (S T K) + Preis zum Zeitpunkt t: C t Europäische Put-Option: Recht zu bestimmten zukünftigem Zeitpunkt T eine Einheit des Basisgutes zum Preis K zu verkaufen Bemerkung: keine Verkaufsverpflichtung!! Auszahlungsprofil: (K S T ) + 5
7 Amerikanische Put-/Call-Option: Recht zu beliebigem zukünftigem Zeitpunkt τ [0, T ] eine Einheit des Basisgutes zum Preis K zu verkaufen/kaufen. Auszahlungsprofil (zum Zeitpunkt τ): (K S τ ) +, (S τ K) + Der optimale Ausübungszeitpunkt τ [0, T ] muss als Lösung eines Optimierungsproblems bestimmt werden! Preis zum Zeitpunkt t: Ct AM, Pt AM 0.4 Elementare Replikations- und Arbitrageargumente Was können wir (mit elementaren Mitteln) über faire Preise F t, P t, C t, B(t, T ) aussagen? Für die Überlegungen verwenden wir: Replikationsprinzip: Zwei Investitionsstrategien mit derselben zukünftigen Auszahlung haben heute den selben Wert. No-Arbitrageprinzip: Ohne Kapitaleinsatz kann kein sicherer Gewinn ohne Risiko eines Verlustes erzielt werden. Arbitrage... zu gut um wahr zu sein Manchmal ist auch folgende schwächere Form des Replikationsprinzips nützlich: Superreplikationsprinzip: Hat eine Investitionsstrategie in jedem Fall eine größere zukünftige Auszahlung als eine weitere Strategie, so hat sie auch heute den größeren Wert. Lemma 0.1. Für den Preis C t des europäischen Calls gilt: (S t B(t, T )K) + C t S t 6
8 Beweis. untere Schranke(Widerspruchsbeweis): Angenommen es gilt dann ergibt sich folgende Tabelle: S t B(t, T )K C t = ɛ > 0 Portfolio Wert in t Wert in T S T K S T > K Kaufe Call C t 0 S T K Verkaufe Basisgut S t S T S T Kaufe Anleihe ɛ + B(t, T )K ɛ B(t,T ) + K ɛ B(t,T ) + K Σ 0 K S T + ɛ B(t,T ) > 0 ɛ B(t,T ) > 0 kein Anfangskapital sicherer Gewinn Widerspruch zu No-Arbitrageprinzip C t S t B(t, T )K da außerdem C t 0 (C t S t B(t, T )K) + Obere Schranke(Widerspruchsbeweis): Angenommen es gilt dann ergibt sich folgende Tabelle: C t S t = ɛ > 0 Portfolio Wert in t Wert in T S T K S T > K Verkaufe Call C t 0 (S T K) Kaufe Basisgut S t S T S T Kaufe Anleihe ɛ ɛ B(t,T ) ɛ B(t,T ) Σ 0 S T + ɛ B(t,T ) > 0 K + ɛ kein Anfangskapital sicherer Gewinn Widerspruch zu No-Arbitrageprinzip C t S t B(t,T ) > 0 Lemma 0.2. (Put-Call-Parität) Für die Preise des Puts (P t ), Calls (C t ) und des Basisgutes (S t ) gilt: C t P t = S t KB(t, T ) 7
9 Beweis. Wir benutzen das Replikationsprinzip und erstellen zwei Portfolios mit derselben Auszahlung. Portfolio 1 Wert in t Wert in T S T K S T > K Kaufe Call C t 0 S T K Kaufe Anleihe KB(t, T ) K K Σ C t + KB(t, T ) K S T Portfolio 1 Wert in t Wert in T S T K S T > K Kaufe Put P t K S T 0 Kaufe Basisgut S t S T S T Σ P t + S t K S T Gleiche Auszahlung gleicher Wert in t C t + KB(t, T ) = P t + S t 8
10 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Bedingte Erwartung und Martingal Sei (Ω, F, P) W-Raum. Wir definieren für p 1 L p (P) = L p (Ω, F, P) = {X : Ω R d X ist F messbar, E [ X p ] < } X p := E [ X p ] 1 p... L p Norm Die Räume (L p (P), p ) sind vollständige, normierte Vektorräume, d.h. Banachräume. Besonders wichtig: L 2 (Ω, F, P)... Raum der quadratintegrierbaren Zufallsvariablen, ist Hilbertraum mit Skalarprodukt X, Y L 2 = E [XY ] Es gilt: L p (Ω, F, P) L q (Ω, F, P) für p q L p (Ω, G, P) L p (Ω, F, P) für G F Definition. Seien P, Q zwei W-Maße auf (Ω, F). Dann heißt Q äquivalent zu P (Q P), wenn P[A] = 0 Q[A] = 0, A F absolutstetig bzgl. P (Q P), wenn P[A] = 0 Q[A] = 0, A F singulär zu P (Q P), wenn A F existiert mit Q[A] = 0 und P[A] = 1 Bemerkung. Die Relationen und sind symmetrisch Es gilt: Q P (Q P P Q) Theorem 1.1 (Satz von Radon-Nikodym). Seien Q, P W-Maße auf (Ω, F) mit Q P. Dann existiert eine Dichte dq dp L(Ω, F, P) sodass [ E Q [X] = E P X dq ], X L(Ω, F, Q) dp Die Dichte dq dp ist P-f.ü. eindeutig. 9
11 Korollar 1.2. Seien Q, P W-Maße auf (Ω, F) mit Q P. Dann existieren die Dichten und es gilt dq dp, dp dq dq dp > 0, dp dq > 0 f.s und dq dp = ( ) 1 dp dq Frage. Gegeben sei eine Zufallsvariable X : Ω R und eine σ-algebra G F. Was ist die beste G-messbare Schätzung für X, d.h. was ist die beste Prognose für X mit der durch G gegebenen Information? Proposition 1.3. Sei X L 2 (Ω, F, P). Dann exitiert eine fast sicher eindeutige Orthogonalprojektion von X auf L 2 (Ω, G, P), welche wir mit E [X G] bezeichnen. Es gilt: a) E [X G] minimiert den Abstand von X zu L 2 (Ω, G, P), d.h. X E [X G] 2 = min Z L 2 (P) X Z 2 b) (X E [X G]) ist orthogonal zu L 2 (Ω, G, P), d.h. E [1 A (X E [X G])] = 0, A G Beweis (Skizze). L 2 (Ω, G, P) ist abgeschlossener Teilraum von Hilbertraum L 2 (Ω, F, P). Mit Sätzen der Funktionalanalysis folgt: Orthogonalprojektion Y von X auf L 2 (Ω, G, P) Y ist eindeutig a) und b) gelten wichtige Beobachtung. b) macht auch Sinn, wenn X L 1 (P) Definition. Sei X L 1 (Ω, F, P) und G F. Die Zufallsvariable Y L 1 (Ω, G, P) mit E [1 A (X)] = E [1 A (Y )], A G 10
12 heißt bedingte Erwartung von X und wir schreiben E [X G] := Y. Bemerkung. Wieso existiert E [ X G] und ist eindeutig? Übungsaufgabe. Zwei Beweis-Methoden: Satz von Radon-Nikodym oder Satz von Hahn-Banach Proposition 1.4 (Eigenschaften der bedingten Erwartung). Seien X, Y L 1 (Ω, F, P) und G F. Dann gilt: a) (Linearität): E [αx + Y G] = αe [X G] + E [Y G], (α R) b) (Monotonie): X Y f.s. E [X G] E [Y G] c) Sei X G, so gilt E [X G] = X. Ist außerdem E [ XY ] < so gilt: E [XY G] = XE [Y G] d) (Turmeigenschaft): Sei H G. Dann gilt: E [E [X G] H] = E [X H] e) Ist X unabhängig von G so gilt: E [X G] = E [X] Beweis. a) Übungsaufgabe. b) Übungsaufgabe. c) Nehme an X 0, Y 0, der allgemeine Fall folgt durch aufteilen X = X + X und Linearität. Approximiere X monoton z.b. mit X n = 2 n 2 n X. Es gilt X n X f.s. und Mit monotoner Konvergenz: X n E [Y G] X E [Y G] f.s. (wegen X, Y 0) lim E [1 AX n E [Y G]] = E [1 A X E [Y G]] n 11
13 Andererseits: E [1 A X n E [Y G]] = = k2 n E [ 1 A 1 (Xn=k2 n )E [Y G] ] k=1 k2 n E [ 1 A 1 (Xn=k2 n )Y ] k=1 = E [1 A Y X n ] n E [1A XY ] E [1 A X E [Y G]] = E [1 A XY ] E [XY G] = X E [Y G] d) Sei A H (und daher auch A G). Dann gilt: E [1 A E [E [X G] H]] = E [1 A E [X G]] = E [1 A X] = E [1 A E [X H]] E [X H] = E [E [X G] H] f.s. e) Übungsaufgabe. Proposition 1.5 (Maßwechsel bei bedingten Verteilungen). Auf dem W-Raum (Ω, F, P) sei eine σ-algebra G, F und ein äquivalentes Maß Q P gegeben. Dann gilt: für alle X L 1 (Ω, F, Q). Der Beweis ist Übungsaufgabe. [ E Q [X G] = EP X dq dp G ] E [ P dq G ] Bemerkung. Wichtiger Spezialfall: Sei (Ω, F, (F t ) t 0, P) ein filtrierter W-Raum und X F T. Dann heißt [ ] dq M t := E P dp F t Maßwechselprozess zu Q und es gilt E Q [X F t ] = 1 M t E P [X M T F t ], t [0, T ] dp 12
14 Mit der bedingten Erwartung können wir nun den Begriff des Martingals definieren. Wir verwenden Indexmenge/Zeitachse I R (meist I = N, I = R 0 oder I = [0, T ]) und Filtration (F t ) t I. Definition. Sei X ein bzgl. (F t ) t I adaptierter R-wertiger stochastischer Prozess. X heißt Martingal, wenn gilt: a) E [ X t ] <, t I b) X s = E [X t F s ], s t; s, t I Interpretation. Gegeben die heutige Information (F s ) ist die beste Schätzung für X zum Zeitpunkt t (E [X t F s ]) der heutige Wert (X s ). Definition. Falls in Punkt b) statt = die Ungleichung bzw. gilt, so heißt X Submartingal bzw. Supermatingal. Bemerkung. Für die Indexmenge I = N reicht es statt b) die Eigenschaft b ) X n 1 = E [X n F n 1 ] n N zu zeigen (wegen Turmeigenschaft). Mit Turmeigenschaft folgt auch - X Martingal t E [X t ] ist konstant - X Submartingal t E [X t ] ist steigend - X Supermartingal t E [X t ] ist fallend Das Leben ist ein Supermatingal, die Erwartungen fallen mit der Zeit. Einen R d -wertigen Prozess nennen wir Martingal, wenn jede Komponente ein Martingal ist. Beispiel. a) Seien (Y n ) n N unabhängige Zufallsvariablen mit E [Y n ] = 0. Definiere S n = n k=1 Y k und F n = σ(y 1,..., Y n ) dann ist S ein Martingal bzgl. (F n ), denn S n ist F n -messbar adaptiert E [ S n ] n k=1 E [ Y k ] < integrierbar E [S n F n 1 ] = E [Y n F n 1 ] + S n 1 = E [Y n ] + S n 1 = S n 1 13
15 b) Seien (Y n ) n N unabhängige Zufallsvariablen mit E [Y n ] = 1. Definiere M n = n k=1 Y k und F n = σ(y 1,..., Y n ) dann ist M ein Martingal bzgl. (F n ), denn M n ist F n -messbar adaptiert E [ M n ] = n k=1 E [ Y k ] < integrierbar E [M n F n 1 ] = E [Y n M n 1 F n 1 ] = E [Y n F n 1 ] M n 1 = E [Y n ] M n 1 = M n 1 c) Sei (Ω, F, (F t ) t I, P) ein filtrierter W-Raum, Q P ein absolutstetiges W-Maß und [ ] dq M t = E P dp F t, t I der zugehörige Dichteprozess. Dann ist M ein P-Martingal, denn E [ ] P dq dp Ft Ft M adaptiert E P [ M t ] E [ P E [ P dq ]] dp F [ t = E P dq ] dp < integrierbar E P [M t F s ] = E [ P E [ ] ] P dq [ ] Ft Fs = E P dq Fs = Ms dp dp 14
16 1.2 Anlagestrategien und stochastisches Integral Wir wollen nun das Konzept einer Anlagestrategie mathematisch formalisieren. Annahme. I = N, d.h diskretes Marktmodell Anlagestrategie bleibt zwischen den Zeitpunkten n 1 und n unverändert Eine Anlagestrategie kann nur auf Information aus der Vergangenheit basieren (kein in die Zukunft schauen oder Insiderinformation) Definition. Eine Strategie ξ n = ( ) ( ) ξn, 0 ξ n = ξ 0 n,..., ξn d n N ist ein Rd+1 -wertiger stochastischer Prozess für den gilt. Bemerkung. ξ n F n 1, n N ( ) Eigenschaft ( ) heißt Vorhersehbarkeit (vorhersehbar = predictable). ξ i n steht für die Anzahl der Wertpapiere S i, die im Zeitraum (n 1, n] gehalten werden. Negative Werte von ξ i n stehen für Leerverkäufe (short sale) und werden durch Lieferverpflichtung gegen Kaution (collateral) realisiert. Durch diese Definition ist ξ zum Zeitpunkt 0 nicht definiert, wir verwenden daher die Konvention ξ 0 = ξ 1 Definition. Der Strategie ξ wird der Wertprozess (WP) zugeordnet. V n = ξ n S n = d ξns i n i Im allgemeinen muss beim Umschichten des Portfolios zum Zeitpunkt n Geld zugeschossen oder abgezogen werden, und zwar i=0 δ n := ξ n+1 S n }{{} ξ n S n }{{} W ert nach Umschichten W ert unmittelbar vor Umschichten 15
17 Definition. Eine Strategie ξ heißt selbstfinanzierend (SF), wenn δ n = ξ n+1 S n ξ n S n = 0, n N Interpretation. Einer selbstfinanzierenden Strategie wird kein Geld zugeschossen oder abgezogen. Ziel. Verbindung zwischen SF-Eigenschaft, diskretem stochastischem Integral und Martingaleigenschaft herstellen. Lemma 1.6. Sei ξ eine selbstfinanzierende Strategie. Dann lässt sich der Wertprozess V schreiben als n V n = V 0 + ξ k (S k S k 1 ) ( ) Beweis. V n = V 0 + k=1 n ( ) SF= ξk S k ξ k 1 S k 1 V0 + k=1 n ξ k (S k S k 1 ) k=1 Definition. Sei X ein adaptierter und H ein vorhersehbarer stochastischer Prozess bzgl. der Filtration (F n ) n N. Dann heißt (H X) n := n H k (X k X k 1 ) (n N) k=1 diskretes stochastisch Integral von H bzgl. X. Bemerkung. Mit dieser Definition können wir ( ) kompakt schreiben als V n = V 0 + ( ξ S ) n Definition. Ein stochastischer Prozess (H n ) n N heißt lokal beschränkt, wenn jedes H n eine beschränkte Zufallsvariable ist, d.h. B n R : H n B n, n N Theorem 1.7. Sei X ein adaptierter stochastischer Prozess. Dann ist X ein Martingal genau dann, wenn auch das stochastische Integral (H X) für jeden lokal beschränkten vorhersehbaren Prozess H ein Martingal ist. 16
18 Interpretation. stochastische Integration erhält Martingaleigenschaft Ein fairer Finanzmarkt lässt sich auch durch ausgeklügeltste Anlagestrategien nicht in einen vorteilhaften Finanzmarkt verwandeln. Beweis. Adaptiertheit von (H X) folgt aus Definition H n B n E [ H n (X n X n 1 ) ] B n E [ X n + X n 1 ] < E [(H X) n ] < [ n ] E [(H X) n F n 1 ] = E H k (X k X k 1 ) F n 1 k=1 = (H X) n 1 + E[ H }{{} n (X n X n 1 ) F n 1 ] F n 1! = (H X) n 1 + H n E [(X n X n 1 ) F n 1 ] }{{} =0 = (H X) n 1 Fixiere N N und betrachte lokal beschränkten vorhersehbaren Prozess H n = 1 {n=n} Es gilt: (H X) N 1 = 0 und (H X) N = X N X N 1 Da (H X) Martingal folgt: 0 = E [(H X) N F N 1 ] = E [(X N X N 1 ) F N 1 ] = E [X N F N 1 ] X N 1 X N 1 = E [X N F N 1 ] N N Zur Erinnerung: (S 1,..., S d )... Wertpapiere, S 0... Numeraire/Verrechnungskonto Nicht in Wertpapieren investiertes Kapital kann auf Verrechnungskonto angelgt werden. 17
19 Vergleich von Vermögenswerten zu unterschiedlichen Zeitpunkten k, n nur in Relation zu Numeraire sinnvoll Definition. Der R d -wertige stochastische Prozess X n = ( X 1 n,..., X d n heißt diskontierter Wertpapierprozess. ( ) ) S 1 = n Sn 0,..., Sd n Sn 0, n N Gegeben die Strategie ξ mit Wertprozess V, dann heißt diskontierter Wertprozess zu ξ. Lemma 1.8. Ṽ n = V n S 0 n a) Der diskontierte Wertprozess einer selbstfinanzierenden Strategie ξ = (ξ 0, ξ) erfüllt Ṽ n = V 0 + (ξ X) n, n N b) Sei ξ ein R d -wertiger vorhersehbarer Prozess. Dann ist ξ = (ξ 0, ξ) eine selbstfinanzierende Strategie genau dann, wenn ξ 0 n = V 0 + (ξ X) n ξ n X n, n N Interpretation. Wenn wir mit diskontierten Größen arbeiten ist es nicht nötig ξ 0 anzugeben. Stattdessen reicht es ξ und das Anfangskapital V 0 anzugeben. Beweis. a) Ṽ n = V 0 + = V 0 + n (Ṽk Ṽk 1) k=1 n k=1 ( ξ k S k Sk 0 ξ ) k 1 S k 1 Sk
20 SF = V0 + = V 0 + n k=1 ( Sk ξ k Sk 0 S ) k 1 Sk 1 0 n ξ k (X k X k 1 ) k=1 = V 0 + (ξ X) n b) δ n =ξ 0 n+1s 0 n ξ 0 ns 0 n + ξ n+1 S n+1 ξ n S n δ n Sn 0 =ξn+1 0 ξn 0 + ξ n+1 X n+1 ξ n X n : δ n Sn 0 = 0, n N Aufsummieren: n 0 =ξn+1 0 ξ0 0 ξ k (X k X k 1 ) k=1 +ξ n+1 X n+1 ξ 0 X 0 ξn+1 0 =V 0 + (ξ X) n+1 ξ n+1 X n+1 : δ n Sn 0 =ξ n+1 (X n+1 X n ) + ξ n X n ξ n+1 X n+1 +ξ n+1 X n ξ n X n = 0 Korollar 1.9. Sei der diskontierte Wertpapierprozess X ein Martingal und ξ eine selbstfinanzierende Strategie. Dann ist auch der diskontierte Wertprozess ein Martingal. Ṽ n = V 0 + (ξ X) n Korollar Sei X ein adaptierter stochastischer Prozess. Wenn für jeden lokal 19
21 beschränkten vorhersehbaren Prozess H E [(H X) T ] = 0 gilt, dann ist (X n ) n {0,...,T } ein Martingal. 1.3 Stoppzeiten und Martingalungleichungen Definition. Eine Zufallsgröße τ : Ω I {+ } heißt Stoppzeit bzgl. der Filtration (F t ) t I, wenn {τ t} F t, t I Interpretation. Zu jedem Zeitpunkt t ist mit Sicherheit bekannt ob τ bereits vorbei ist ( τ t ) oder noch nicht ( τ > t ). Bemerkung. τ darf den Wert annehmen! Mit der Notation t τ := min{t, τ} können wir den gestoppten Prozess X t τ : ω X t τ(ω) (ω) definieren. Für f.s. endliche Stoppzeiten (P [τ < ] = 1) ist auch die Zufallsgröße X τ : ω X τ(ω) (ω) wohldefiniert. Sie lässt sich (für I = N 0 ) als schreiben. Ab jetzt sei I = N X τ = 1 {τ=t} X t t=0 Theorem 1.11 (Optionales Stoppen). Sei X ein Martingal und τ eine Stoppzeit bzgl. einer Filtration (F t ) t I. Dann ist auch der gestoppte Prozess X t τ ein Martingal bzgl. (F t ) t I. Beweis ist Übungsaufgabe. Anwendung. Betrachte Wette auf unabhängige faire Münzwürfe: Y := laufender Gewinn: S t = t i=0 Y i natürliche Filtration: F t := σ(y 0,..., Y t ) { +1, mit W-keit 1 2 1, mit W-keit
22 Frage: Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass S den Wert +A vor dem Wert B erreicht? Ansatz: Definiere Ereignis: Definiere Stoppzeit: Es gilt D := {S erreicht + A vor B} τ := min{t N 0 : S t = A oder S t = B} {τ t} = t ({S k = A} {S k = B}) F t }{{} F k F t k=0 d.h. τ ist Stoppzeit. Des weiteren ist S ein (F t )-Martingal. (S t τ ) ist (F t )-Martingal E [S t τ ] = E [S 0 τ ] = E [S 0 ] = 0, t 0 Wir wollen t gehen lassen. Definiere Ereignis: E k := {Y i = +1, i {k(a + B),..., (k + 1)(A + B) 1}} = (A + B) Gewinne hintereinander P [E k ] = 2 (A+B) (wg. Unabhängigkeit) Wenn E k eintritt, dann gilt τ < k + 1 Umkehrung: P [τ > k(a + B)] = P [ E0 c E1 c... Ek 1 c ] = (1 P [E 0 ]) k (wg. Unabhängigkeit) = (1 2 (A+B) ) k k 0 P [τ = ] lim P [τ > k(a + B)] = 0 k P [τ < ] = 1 21
23 Des weiteren S t τ max(a, B) E [S τ ] = lim t E [S t τ ] = 0 Andererseits gilt: E [S τ ] = B P [S τ = B] + A P [S τ = A] = B + (A + B) P [S τ = A] = 0 P [S τ = A] = B A + B Die Wahrscheinlichkeit, dass S den Wert +A vor B erreicht ist also B A+B Lemma 1.12 (Bedingte Jensen sche Ungleichung). Sei Φ : R R eine konvexe Funktion, X L 1 (Ω, F, P), Φ(X) L 1 (Ω, F, P) und G F. Dann gilt: Φ(E [X G]) E [Φ(X) G] f.s. Beweis. Sei L := {L(x) = ax + b : L(x) Φ(x), x R} (lineare Funktionen, die unter dem Graph von Φ liegen) Für Φ : R R konvex gilt Φ(x) = sup L(x) L L Daher: [ E [Φ(X) G] = E sup L L ] L(X) G sup E [L(X) G] L L = sup L(E [ X G]) L L = Φ(E [X G]) (Monotonie) (Linearität) Theorem Sei X ein Martingal, Φ : R R konvex und E [ Φ(X t ) ] < t I. Dann ist (Φ(X t )) t I ein Submartingal. 22
24 Beweis. Φ(X t 1 ) Marting. = Φ(E [X t F t 1 ]) Jensen E [Φ(X t ) F t 1 ] Bemerkung. Insbesondere gilt: X Martingal X Submartingal X Martingal, E [ X t p ] < X p Submartingal (p > 1) Theorem 1.14 (Doobsche Maximalungleichung). Sei X ein Martingal oder ein nichtnegatives Submartingal und λ > 0. Dann gilt: [ ] P (max X k ) λ k t E [ X t ], t I λ Bemerkung. Die Ungleichung liefert eine Abschätzung des laufenden Maximums durch den Endwert. Beweis. Wir setzen Y t = X t, Z t = max k t X t. Nach Theorem 1.13 ist Y ein nichtnegatives Submartingal. Definiere Stoppzeit τ = min{k : Y k λ} Es gilt: P [Z t λ] = P [τ t] (I) Des weiteren: λ 1 (τ t) Y τ 1 (τ t) (II) t = Y k 1 (τ=k) k=0 Außerdem: [ ] E[Y t 1 (τ=k) ] = E E [Yt F k ] 1 (τ=k) (III) }{{} F k E [ ] Y k 1 (τ=k) für k t 23
25 Wir folgern: λ P [Z t λ] (I) = λ P [τ t] = E [ λ 1 (τ t) ] (II) = (III) = E t E [ ] Y k 1 (τ=k) k=0 t E [ ] Y t 1 (τ=k) k=0 [ Y t ] t 1 (τ=k) k=0 = E [Y t P [τ t]] (I) = E [ ] Y t 1 (Zt λ) (Y 0) E [Y t ] Bemerkung. Als Nebenresultat erhalten wir aus dem Beweis λ P [Z t λ] E [ ] Y t 1 (Zt λ) ( ) Theorem 1.15 (Doob s L p -Ungleichung). Sei X ein Martingal oder nichtnegatives Submartingal und p > 1. Dann gilt: [ ] 1 E (max X k ) p p p k t p 1 E [ X t p ] 1 p d.h. max X k k t p p p 1 X t p Bemerkung. X p := E [ X p ] 1 p Wichtigster Fall: p = 2 ist die Norm des Banachraums L p (Ω, F, P). Beweis. Setze Y t = X t, Z t = max k t X t wie im Beweis von Theorem Definiere: Z n := max(z t, n) für n N 0 Es gilt: z p = p z 0 x p 1 dx = p 0 x p 1 1 (x z) dx 24
26 Einsetzen von Z n für z Bilden von Erwartungen: Z p n = p 0 x p 1 1 (x Zn)dx Höldersche Ungleichung: E [Z p n] = p p 0 x p 1 P [x Z n ] dx x p 2 E [ Y t 1 (x Zn)] dx 0 [ ] = p E Y t x p 2 1 (x Zn)dx 0 [ ] = p E Y t Zn 0 x p 2 dx = p p 1 E [ Y t Zn p 1 ] E [A B] A p B q, für 1 p + 1 q = 1, p, q [1, ) Lemma von Fatou liefert: E [Zn] p p p 1 Y t p Z p 1 n 1 p + 1 = 1 p = q(p 1) q [ ] 1 Z p 1 q p = E = E [Zn] p 1 q = E [Zn] p 1 1 p n Z n p = E [Z p n] 1 p Z q(p 1) n E [Z p n] 1 p p p 1 Y t p q = lim inf n E [Zp n] 1 p p p 1 Y t p 25
27 Literatur 26
Kapitel 6 Martingale
Kapitel 6 Martingale Martingale spielen eine große Rolle in der Finanzmathematik, und sind zudem ein wichtiges Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer Prozesse, insbesondere auch für Zählprozesse
Mehr2 Das Marktmodell C1(WS08/09) [2] 1
2 Das Marktmodell 2.1 Ein allgemeines Finanzmarktmodell 2.2 Aufsteigende Systeme von σ-algebren und adaptierte Prozesse 2.3 Elementare Handelsstrategien im Finanzmarktmodell 2.4 Die σ-algebra der previsiblen
MehrFinanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/
Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08 http://code.google.com/p/mitgetexed/ Stand: 4. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und erste Begriffe 2 2 Endliche Finanzmärkte 4 3 Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell
MehrÜbungen zu bedingten Erwartungswerten. Tutorium Stochastische Prozesse 13. Dezember 2016
Übungen zu bedingten Erwartungswerten Tutorium Stochastische Prozesse 13. Dezember 2016 Bedingter Erwartungswert Definition Sei X eine reellwertige Zufallsvariable auf (Ω, A, P), so dass E[ X ]
MehrBewertung von amerikanischen Optionen im CRR Modell. Seminararbeit von Nadja Amedsin
Bewertung von amerikanischen Optionen im CRR Modell Seminararbeit von Nadja Amedsin 22.05.10 i Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 2 Amerikanischer Claim 1 2.1 Beispiele................................ 2
MehrStochastische Analysis
Stochastische Analysis SS1 von Steffen Dereich Fachbereich Mathematik und Informatik Philipps-Universität Marburg Version vom 6. Mai 21 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation / Einführung 4 1.1 Motivation anhand
Mehr1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit
1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit 1.1 Grundlagen Wir betrachten zufällige Prozesse, definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P), welche Werte in einen fest gewählten Zustandsraum annehmen.
MehrVorlesung im SoSe 2010 Stochastische Analysis & Zeitstetige Finanzmathematik
Univ. Leipzig Mathematisches Institut Vertretung Professur Stochastische Prozesse Max v. Renesse email: mrenesse@math.tu-berlin.de Vorlesung im SoSe 2010 Stochastische Analysis & Zeitstetige Finanzmathematik
Mehrx, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω
5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,
Mehralso ist Sx m eine Cauchyfolge und somit konvergent. Zusammen sagen die Sätze 11.1 und 11.2, dass B (X) ein abgeschlossenes zweiseitiges
11. Kompakte Operatoren Seien X, Y Banachräume, und sei T : X Y ein linearer Operator. Definition 11.1. T heißt kompakt, enn T (B) eine kompakte Teilmenge von Y ist für alle beschränkten Mengen B X. Wir
MehrAmerikanischen Optionen
Die Bewertung von Amerikanischen Optionen im Mehrperiodenmodell Universität-Gesamthochschule Paderborn Fachbereich 17 Seminar Finanzmathematik SS 2001 Referentin: Christiane Becker-Funke Dozent: Prof.
MehrBeweis. Bauer (4. Auflage, 1991), S , Hoffmann-Jørgensen, Vol. I, S. 457.
Exkurs A: Bedingte Erwartungswerte, bedingte Verteilungen (Ω, A, P ) sei W-Raum, X : Ω IR P-quasiintegrierbar, F A Unter - σ- Algebra. E(X F) = E P (X F) (Version des) bedingter Erwartungswert von X unterf
MehrOptimale Steuerung, Prof.Dr. L. Blank 1. II Linear-quadratische elliptische Steuerungsprobleme
Optimale Steuerung, Prof.Dr. L. Blank 1 II Linear-quadratische elliptische Steuerungsprobleme Zuerst: Zusammenstellung einiger Begriffe und Aussagen aus der Funktionalanalysis (FA), um dann etwas über
MehrVarianz und Kovarianz
KAPITEL 9 Varianz und Kovarianz 9.1. Varianz Definition 9.1.1. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω eine Zufallsvariable. Wir benutzen die Notation (1) X L 1, falls E[ X ]
Mehr2. Stetige lineare Funktionale
-21-2. Stetige lineare Funktionale Die am Ende von 1 angedeutete Eigenschaft, die ein lineares Funktional T : D(ú) 6 verallgemeinerten Funktion macht, ist die Stetigkeit von T in jedem n 0 0 D(ú). Wenn
Mehri=1 i=1,...,n x K f(x).
2. Normierte Räume und Banachräume Ein normierter Raum ist ein Vektorraum, auf dem wir Längen messen können. Genauer definieren wir: Definition 2.1. Sei X ein Vektorraum über C. Eine Abbildung : X [0,
MehrZusammenfassung der Lebesgue-Integrationstheorie
Zusammenfassung der Lebesgue-Integrationstheorie Das Lebesguesche Integral verallgemeinert das Riemannsche Integral. Seine Vorteile liegen für unsere Anwendungen vor allem bei den wichtigen Konvergenzsätzen,
MehrMathematische Ökonometrie
Mathematische Ökonometrie Ansgar Steland Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum, Germany ansgar.steland@ruhr-uni-bochum.de Skriptum zur LV im SoSe 2005. Diese erste Rohversion erhebt keinen Anspruch
MehrKapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden
MehrTU Darmstadt FB Mathematik, AG 9 WS 2004/2005 Jakob Creutzig (1 + ρ)
TU Darmstadt FB Mathematik, AG 9 WS 2004/2005 Jakob Creutzig 9..04 Lösungsvorschläge zum 3. Aufgabenblatt der Vorlesung,,Einführung in die Finanzmathematik Gruppenübungen Aufgabe : Es sei Ω = {, +} n,
Mehrist reelles lineares Funktional. x(t) ϕ(t) dt ist reelles lineares Funktional für alle ϕ L 2 (0, 1).
Kapitel 4 Stetige lineare Funktionale 4.1 Der Satz von Hahn - Banach Definition 4.1. Sei X ein linearer normierter Raum über dem Körper K (R oder C). Ein linearer Operator f : X K heißt (reelles oder komplexes)
Mehr11 Stochastisches Integral und Itô-Formel
11 Stochastisches Integral und Itô-Formel Im diskreten Finanzmodell bei selbstfinanzierender Strategie ϑ = {ϑ n n=,...,n mit Anfangswert V gilt : Ṽ n ϑ = V + n ϑ T j S j. j=1 Dieser diskontierte Wertprozess
MehrDefinition 3.1. Sei A X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U i ) i I offener Mengen U i X mit U i
3 Kompaktheit In der Analysis I zeigt man, dass stetige Funktionen f : [a, b] R auf abgeschlossenen, beschränkten Intervallen [a, b] gleichmäßig stetig und beschränkt sind und dass sie ihr Supremum und
MehrSeminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen
Seminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen Geometrie und die Summe von Quadraten Clara Brünn 25. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 1.1 Geometrie allgemein.................................
MehrDer Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt.
Kapitel 3 Konvexität 3.1 Konvexe Mengen Der Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt. Definition 3.1 Konvexer Kegel. Eine Menge Ω R n heißt konvexer Kegel, wenn mit x
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume
CONTENTS CONTENTS Konvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume Contents 1 Ziel 2 1.1 Satz........................................ 2 2 Endlich dimensionale Vektorräume 2 2.1 Defintion: Eigenschaften
MehrProf. Dr. Thilo Meyer-Brandis. Finanzmathematik 1 WS 2012/13
Prof. Dr. Thilo Meyer-Brandis Finanzmathematik 1 WS 2012/13 Dieses Skript gibt den Inhalt der Vorlesung Finanzmathematik I: Eine Einführung in diskreter Zeit wieder und basiert auf dem Buch Stochastic
MehrMartingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele
Kapitel 6 Martingale In der Statistik modellieren Martingale z.b. Glücksspiele oder Handelsstrategien in Finanzmärkten und sind ein grundlegendes Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer
MehrBeispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt
Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt ( ( ) (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n + 1 + n, woraus folgt a n = (n2 + 5n + 1) n 2 n2 + 5n + 1 + n = 5n + 1 n2
MehrStochastische Prozesse Gliederung zur Vorlesung im Sommersemester 2006
Stochastische Prozesse Gliederung zur Vorlesung im Sommersemester 26 Markus Reiß Universität Heidelberg reiss@statlab.uni-heidelberg.de VORLÄUFIGE FASSUNG: 28. Juli 26 Inhaltsverzeichnis 1 Der Poissonprozess
MehrMAA = MAB + B AA = B CA + CAA BA A Nun sehen wir mit Proposition 10.7 aus dem Skript, dass A M AB gelten muss.
1. Konvexität in der absoluten Ebene In einem Dreieck in der Euklidischen Ebene hat die Strecke zwischen zwei Seitenmittelpunkten die halbe Länge der dritten Seite. In der absoluten Ebene hat man eine
MehrZufallsvariablen: Die allgemeine Definition
KAPITEL 8 Zufallsvariablen: Die allgemeine Definition 8.1. Zufallsvariablen Bis zu diesem Zeitpunkt haben wir ausschließlich Zufallsvariablen mit endlich oder abzählbar vielen Werten (also diskrete Zufallsvariablen)
MehrStochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume
Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.
MehrStochastische Analysis. Karl-Theodor Sturm
Stochastische Analysis Karl-Theodor Sturm Literatur: I. Karatzas, S. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus. 2nd ed. Springer 91 D. Revuz, M. Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion,
MehrArbitrage Free Pricing
Beim CAPM wurde gezeigt, dass man Finanztitel basierend auf der Verteilung ihres künftigen Preises bewerten kann. Dabei haben wir [unter der Annahme gewisser Präferenzen des Es] den Preis eines Finanztitels
Mehr4.5 Schranken an die Dichte von Kugelpackungen
Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 19. Juli 2009 341 4.5 Schranken an die Dichte von Kugelpackungen Schon in Abschnitt 1.4 hatten wir die Dichte einer Kugelpackung, speziell eines Gitters bzw. einer quadratischen
Mehr3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit
3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.
MehrIII Stochastische Analysis und Finanzmathematik
III Stochastische Analysis und Finanzmathematik Ziel dieses Kapitels ist es, eine Einführung in die stochastischen Grundlagen von Finanzmärkten zu geben. Es werden zunächst Modelle in diskreter Zeit behandelt,
MehrLösungen zur 1. Klausur Diskrete Stochastische Finanzmathematik ( , SoSe 2014) am , Zeit: 10-12, Raum: W
Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik Lösungen zur. Klausur Diskrete Stochastische Finanzmathematik (5..862, SoSe 24 am 5.8.24, Zeit: - 2, Raum: W--6 Name:... Matr.-Nr.:... Geb.-Datum:... Studiengang:...
Mehr9 Vektorräume mit Skalarprodukt
9 Skalarprodukt Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 79 9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9.1 Normierte Körper Sei K ein Körper. Definition: Eine Norm auf K ist eine Abbildung : K R 0, x x mit den folgenden
MehrLehrstuhl IV Stochastik & Analysis. Stochastik II. Wahrscheinlichkeitstheorie I. Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler
Fachschaft Mathematik Uni Dortmund Lehrstuhl IV Stochastik & Analysis Stochastik II Wahrscheinlichkeitstheorie I Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler Letzte Änderung: 26. November 2002
MehrDarstellungsformeln für die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen
Kapitel 8 Darstellungsformeln für die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen Wir hatten im Beispiel 5. gesehen, dass die Wärmeleitungsgleichung t u u = f auf Ω (0, ) (8.1) eine parabolische Differentialgleichung
MehrEigenschaften kompakter Operatoren
Eigenschaften kompakter Operatoren Denition Seien X, Y normierte Räume und sei A : X Y linear. Dann heiÿt A kompakt (vollstetig), wenn für jede beschränkte Menge B X die Menge A(B) kompakt ist. Eigenschaften
MehrEuklidische und unitäre Vektorräume
Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition 7.1.1 Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein
MehrReelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 11. Oktober 2013
Reelle Analysis Vorlesungsskript Enno Lenzmann, Universität Basel 11. Oktober 2013 3 Fortsetzung von Prämassen zu Massen Der Begriff des Prämasses ist nicht ausreichend, um eine geschmeidige Integrationstheorie
MehrDie Kopplung von Markovketten und die Irrfahrt auf dem Torus
Die Kopplung von Markovketten und die Irrfahrt auf dem Torus Verena Monschang Vortrag 20.05.20 Dieser Seminarvortrag thematisiert in erster Linie die Kopplung von Markovketten. Zu deren besseren Verständnis
Mehr2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert
2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments
MehrKaplan-Meier und Nelson-Aalen Schätzer II Konsistenz und Vertrauensintervall
Kaplan-Meier und Nelson-Aalen Schätzer II Konsistenz und Vertrauensintervall Christian Reichlin Michael Stadelmann 29. Mai 26 Statistik-Seminar bei Frau Prof. Dr. Sara van de Geer, Herrn Dr. Prof. Barbour,
MehrLösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung
Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastische Dynamische Optimierung vom 18.01.2008 Datum : 18.01.2008 Verfasser: Martin Schymalla
MehrGesetze der großen Zahlen
Kapitel 0 Gesetze der großen Zahlen 0. Einführung Im ersten Kapitel wurde auf eine Erfahrungstatsache im Umgang mit zufälligen Erscheinungen aufmerksam gemacht, die man gewöhnlich als empirisches Gesetz
MehrInstitut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban
Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Lösungsvorschlag 8. Übungsblatt zur Vorlesung Finanzmathematik I Aufgabe Hedging Amerikanischer Optionen Wir sind in einem arbitragefreien
MehrLineare Abhängigkeit
Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x
MehrFinanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013
Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 3 1 / 46 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Betrachtet wird nun ein Wertpapiermarkt mit
Mehr1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere
Mehr1 Euklidische und unitäre Vektorräume
1 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt betrachten wir reelle und komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt. Dieses erlaubt uns die Länge eines Vektors zu definieren und (im Fall eines reellen
MehrEinleitung. Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste. von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären.
Einleitung Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste Modell, um die Idee der Preisgebung von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären. naive Idee der Optionspreisbestimmung: Erwartungswertprinzip
MehrKapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen
Kapitel III Stetige Funktionen 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 16 Konvergenz von Funktionen 17 Logarithmus und allgemeine Potenz C 1 14 Stetigkeit
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung
Konvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung Skript zum Vortrag im Proseminar Analysis bei Prof Dr Picard, gehalten von Helena Malinowski In vorhergehenden Vorträgen und dazugehörigen
MehrII. Bewertung von Derivaten in diskreter Zeit
II. Bewertung von Derivaten in diskreter Zeit 2.1. Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen 2.1.1. Bedingte Erwartungswerte Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für A, B F mit P(B) > 0 ist die
Mehrα + x x 1 F c y + x 1 F (y) c z + x 1 F (z) für alle y, z M. Dies folgt aus
4. Dualräume und schwache Topologien Den Begriff des Dualraums hatten wir bereits in Kapitel 2 definiert. Der Dualraum X eines Banachraums X ist X = B(X, C). X ist mit der Abbildungsnorm F = sup x =1 F
Mehr3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel:
MehrMengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße
Kapitel 1 Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Der Großteil der folgenden fundamentalen Begriffe sind schon aus der Vorlesung Stochastische Modellbildung bekannt: Definition 1.1 Eine Familie A von Teilmengen
Mehr7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt.
7 KONVERGENTE FOLGEN 35 und die größe untere Schranke mit bezeichnet haben. inf M = Infimum von M Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt der Limes superior der Folge, und lim
Mehreine Folge in R, für die man auch hätte schreiben können, wenn wir alle richtig raten, was auf dem Pünktchen stehen sollte.
Analysis, Woche 5 Folgen und Konvergenz A 5. Cauchy-Folgen und Konvergenz Eine Folge in R ist eine Abbildung von N nach R und wird meistens dargestellt durch {x n } n=0, {x n} n N oder {x 0, x, x 2,...
MehrVorlesung. Finanzmathematik I. Steffen Dereich und Marcel Ortgiese. Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS2013/14. Version: 31.01.
Vorlesung Finanzmathematik I Steffen Dereich und Marcel Ortgiese Westfälische Wilhelms-Universität Münster WS2013/14 Version: 31.01.2014 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1 1.1. Das Finanzmarktmodell...........................
MehrOutline. 1 Vektoren im Raum. 2 Komponenten und Koordinaten. 3 Skalarprodukt. 4 Vektorprodukt. 5 Analytische Geometrie. 6 Lineare Räume, Gruppentheorie
Outline 1 Vektoren im Raum 2 Komponenten und Koordinaten 3 Skalarprodukt 4 Vektorprodukt 5 Analytische Geometrie 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende
MehrKapitel 5 KONVERGENZ
Kapitel 5 KONVERGENZ Fassung vom 21. April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 75 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X X! R + heißt Metrik oder Distanz
MehrGrundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.
MehrDie Bewertung der eingebetteten Optionen in der Lebensversicherung
Die Bewertung der eingebetteten Optionen in der Lebensversicherung Prüfungskolloquium 19.11.2010 Beat Wäfler Eingebettete Optionen In Lebensversicherungsprodukten können für den Versicherungsnehmer beispielsweise
MehrMaße auf Produkträumen
Maße auf Produkträumen Es seien (, Ω 1 ) und (X 2, Ω 2 ) zwei Meßräume. Wir wollen uns zuerst überlegen, wie wir ausgehend davon eine geeignete σ-algebra auf X 2 definieren können. Wir betrachten die Menge
Mehr18 Höhere Ableitungen und Taylorformel
8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a
MehrLösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II
Christian Fenske Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II Blatt 6 1. Seien 0 < b < a und (a) M = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 4 + z 4 = 1}. (b) M = {(x, y, z) R 3 x 3 + y 3 + z 3 = 3}. (c) M = {((a+b sin
MehrSimulation von Zufallsvariablen und Punktprozessen
Simulation von Zufallsvariablen und Punktprozessen 09.11.2009 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Pseudozufallszahlen 3 Punktprozesse Zufallszahlen Definition (Duden): Eine Zufallszahl ist eine Zahl, die
MehrSpickzettel Mathe C1
Spickzettel Mathe C1 1 Mengenlehre 1.1 Potenzmenge Die Potenzmenge P (Ω) einer Menge Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Dabei gilt: P (Ω) := {A A Ω} card P (Ω) = 2 card Ω P (Ω) 1.2 Mengenalgebra Eine
Mehr11 Logarithmus und allgemeine Potenzen
Logarithmus und allgemeine Potenzen Bevor wir uns mit den Eigenschaften von Umkehrfunktionen, und insbesondere mit der Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ep : R R + beschäftigen, erinnern wir an den
MehrInhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS 1
INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Die Parabel 2 1.1 Definition................................ 2 1.2 Bemerkung............................... 3 1.3 Tangenten................................ 3 1.4
MehrDer Satz von Cramér (1938) Ausarbeitung zu einem Vortrag im Seminar Große Abweichungen am Maren Urner
Der Satz von Cramér (1938) Ausarbeitung zu einem Vortrag im Seminar Große Abweichungen am 04.12.2010 Maren Urner In diesem Vortrag soll der Satz von Cramér als ein Prinzip großer Abweichungen (LDP) vorgestellt
MehrJan Kallsen. Mathematical Finance Eine Einführung in die zeitdiskrete Finanzmathematik
Jan Kallsen Mathematical Finance Eine Einführung in die zeitdiskrete Finanzmathematik AU zu Kiel, WS 13/14, Stand 10. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Hilfsmittel 4 1.1 Absolutstetigkeit
Mehr3 Bedingte Erwartungen und Wahrscheinlichkeiten (Version November 2011)
3 Bedingte Erwartungen und Wahrscheinlichkeiten (Version November 2011) 3.1 Definition der bedingten Erwartung und grundlegende Eigenschaften Erinnerung: Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (
MehrTopologische Begriffe
Kapitel 3 Topologische Begriffe 3.1 Inneres, Rand und Abschluss von Mengen Definition (innerer Punkt und Inneres). Sei (V, ) ein normierter Raum über K, und sei M V eine Menge. Ein Vektor v M heißt innerer
Mehr1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:
Klausur zur Analysis I svorschläge Universität Regensburg, Wintersemester 013/14 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dr. Mihaela Pilca 0.0.014, Bearbeitungszeit: 3 Stunden 1. Aufgabe [ Punte] Seien X, Y zwei nicht-leere
Mehr16.3 Rekurrente und transiente Zustände
16.3 Rekurrente und transiente Zustände Für alle n N bezeichnen wir mit f i (n) = P(X n = i,x n 1 i,...,x 1 i,x 0 = i) die Wahrscheinlichkeit, daß nach n Schritten erstmalig wieder der Zustand i erreicht
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 3.2 Konvergenzkriterien
MehrFolgen und Reihen. 1 Konvergenz
Folgen und Reihen Man betrachte viele Zahlen hintereinander geschrieben. Solche Folgen von Zahlen können durch nummeriert werden. Es entsteht eine Zuordnung der natürlichen Zahlen zu den Gliedern der Folge.
MehrSatz 16 (Multiplikationssatz)
Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.
MehrP (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...
2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel
MehrRegulär variierende Funktionen
KAPITEL 4 Regulär variierende Funktionen Unser nächstes Ziel ist es, die Max-Anziehungsbereiche der Extremwertverteilungen zu beschreiben. Dies wird im nächsten Kapitel geschehen. Wir haben bereits gesehen,
MehrFolgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Folgen und Reihen Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band, 7. Auflage,
MehrWas kosten Garantien?
Alternative Zinsgarantien in der Lebensversicherung, Köln, 1. Juni 2012 Was kosten Garantien? Prof. Dr. Ralf Korn Technische Universität Kaiserslautern, Fachbereich Mathematik EI-QFM und Fraunhofer ITWM
Mehr9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
MehrSchätzer und Konfidenzintervalle
Kapitel 2 Schätzer und Konfidenzintervalle Bisher haben wir eine mathematische Theorie entwickelt, die es uns erlaubt, gewisse zufällige Phänomene zu modellieren. Zum Beispiel modellieren wir die Anzahl
MehrÜbung zu Forwards, Futures & Optionen
Übung zu Forwards, Futures & Optionen Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft Dr. Eric Nowak SS 2001 Finanzwirtschaft Wahrenburg 15.05.01 1 Aufgabe 1: Forward auf Zerobond Wesentliche Eckpunkte des Forwardgeschäfts:
MehrZufallsvariablen [random variable]
Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
MehrKapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen
Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,
MehrItô s Lemma. Sandro Grunert. SS 09 Seminar Finanzmathematik Technische Universität Chemnitz. Kiyosi Itô
Itô s Lemma Sandro Grunert SS 9 Seminar Finanzmathematik Technische Universität Chemnitz Kiyosi Itô Quelle: www.math.ru/history/people/portrait/99.thumb.jpg. Kurzbiographie: Itô wurde am 7. September 1915
Mehr5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen
47 5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen Zur Charakterisierung von Verteilungen unterscheidet man Lageparameter, wie z. B. Erwartungswert ( mittlerer Wert ) Modus (Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion,
Mehr34 5. FINANZMATHEMATIK
34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
Mehr