Wahrscheinlichkeitstheorie

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1 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3., überarbeitete und ergänzte Auflage ~ Springer Spektrum

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Maßtheorie. 1.1 Mengensysteme. 1.2 Mengenfunktionen, Fortsetzung von Maßen Messbare Abbildungen Zufallsvariablen Unabhängigkeit Unabhängigkeit von Ereignissen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Kolmogorov'sches 0-1 Gesetz Beispiel: Perkolation Erzeugendenfunktion Definition und Beispiele Poisson-Approximation Verzweigungsprozesse Das Integral Konstruktion und einfache Eigenschaften Monotone Konvergenz und Lemma von Fatou Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral Momente und Gesetze der Großen Zahl Momente Schwaches Gesetz der Großen Zahl 110

3 X Inhaltsverzeichnis 5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl Konvergenzrate im starken GGZ Der Poissonprozess Konvergenzsätze Fast-überall- und stochastische Konvergenz Gleichgradige Integrierbarkeit Vertauschung von Integral und Ableitung Lp Räume und Satz von Radon-Nikodym Definitionen Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz Hilberträume Lebesgue'scher Zerlegungssatz Ergänzung: Signierte Maße Ergänzung: Dualräume., Bedingte Erwartungen Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten Bedingte Erwartungen Reguläre Version der bedingten Verteilung Martingale Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten Martingale Diskretes stochastisches Integral Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell Optional Sampling Sätze Doob-Zerlegung und quadratische Variation Optional Sampling und Optional Stopping Gleichgradige Integrierbarkeit und Optional Sampling Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen

4 Inhaltsverzeichnis XI 11.1 Die Doob'sche Ungleichung Martingalkonvergenzsätze Beispiel: Verzweigungsprozess Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit Austauschbare Familien von Zufallsvariablen Rückwärtsmartingale Satz von de Finetti Konvergenz von Maßen Wiederholung Topologie Schwache und vage Konvergenz Der Satz von Prohorov Anwendung: Satz von de Finetti - anders angeschaut W-Maße aufprodukträumen Produkträume Endliche Produkte und Übergangskerne Satz von Ionescu-Tulcea und Projektive Familien Markov'sche Halbgruppen Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz Trennende Funktionenklassen Charakteristische Funktionen: Beispiele Der Levy'sche Stetigkeitssatz Charakteristische Funktion und Momente Der Zentrale Grenzwertsatz MehrdimensionalerZentralerGrenzwertsatz Unbegrenzt teilbare Verteilungen Die Uvy-Khinchin Formel Stabile Verteilungen Markovketten 357

5 XII Inhaltsverzeichnis 17.1 Begriffsbildung und Konstruktion Diskrete Markovketten, Beispiele Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit Diskrete Markovketten, Rekurrenz und Transienz Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten Invariante Verteilungen Anwendung: Stochastische Ordnung und Kopplung Konvergenz von Markovketten Periodizität von Markovketten Kopplung und Konvergenzsatz Markovketten Monte Carlo Methode Konvergenzgeschwindigkeit Markovketten und elektrische Netzwerke Harmonische Funktionen Reversible Markovketten Endliche Elektrische Netzwerke, Rekurrenz und Transienz, Netzwerkreduktion Irrfahrt in zufälliger Umgebung Ergodentheorie Begriffsbildung Ergodensätze Beispiele Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten Mischung Entropie Die Brown'sche Bewegung Stetige Modifikationen Konstruktion und Pfadeigenschaften 474

6 Inhaltsverzeichnis XIII 21.3 Starke Markoveigenschaft Ergänzung: FeUer Prozesse Konstruktion durch L2-Approximation Der Raum C([O, (0)) Konvergenz von W-Maßen auf C([O, (0)) Satz von Donsker Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen* OQuadratische Variation und lokale Martingale Gesetz vom iterierten Logarithmus Iterierter Logarithmus für die Brown'sche Bewegung Skorohod'scher Einbettungssatz Satz von Hartman-Wintner Große Abweichungen Satz von eramer Prinzip der großen Abweichungen Satz von Sanov Varadhan'sches Lemma und Freie Energie Der Poisson'sche Punktprozess Zufällige Maße Eigenschaften des Poisson'schen Punktprozesses Die Poisson-Dirichlet-Verteilung* Das Ito-Integral Das lw-integral bezüglich der Brown'schen Bewegung ltö-integral bezüglich Diffusionen Die Itö-Formel Dirichlet-Problem und Brown'sche Bewegung Rekurrenz und Transienz der Brown'schen Bewegung Stochastische Differentialgleichungen Starke Lösungen 597

7 XIV Inhaltsverzeichnis 26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität 613 Literatur Notation 631 Glossar englischer Ausdrücke 635 Namensregister 637 Sachregister