Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik

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Hansl Justus Frei
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1 Friedrich Sauvigny Partie I le Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik Grundlagen und Integraldarstellungen Unter Berücksichtigung der Vorlesungen von E. Heinz Springer

2 Inhaltsverzeichnis von Band 1. Grundlagen und Integraldarstellungen I Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten... 1 $1 Der Weierstraßsche Approximationssatz Parameterinvariante Integrale und Differentialformen Die äußere Ableitung von Differentialformen Der Stokessche Integralsatz für Mannigfaltigkeiten Der Gaußsche und der Stokessche Integralsatz Kurvenintegrale Das Poincarésche Lemma Die Coableitung und der Laplace-Beltrami-Operator II Grundlagen der Funktionalanalysis Das Daniellsche Integral mit Beispielen Fortsetzung des Daniell-Integrals zum Lebesgue-Integral Meßbare Mengen Meßbare Funktionen Das Riemannsche und Lebesguesche Integral auf Quadern Banach- und Hilberträume Die Lebesgueschen Räume LP(X) Beschränkte lineare Funktionale auf LP(X) und schwache Konvergenz III Der Brouwersche Abbildungsgrad mit geometrischen Anwendungen Die Umlaufszahl Der Abbildungsgrad im Rn Geometrische Existenzsätze Der Index einer Abbildung Der Produktsatz Die Sätze von Jordan-Brouwer

3 X Inhaltsverzeichnis von Band 1 IV Verallgemeinerte analytische Funktionen Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung Holomorphe Funktionen im Cn $3 Geometrisches Verhalten von holomorphen Funktionen in C Isolierte Singularitäten und der allgemeine Residuensatz Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung Pseudoholomorphe Funktionen Konforme Abbildungen Randverhalten konformer Abbildungen V Potentialtheorie und Kugelfunktionen Die Poissonsche Differentialgleichung im Rn Die Poissonsche Integralformel mit ihren Folgerungen Das Dirichletproblem für die Laplacegleichung im Rn Die Theorie der Kugelfunktionen: Fourierreihen Die Theorie der Kugelfunktionen in n Variablen VI Lineare partielle Differentialgleichungen im Rn Das Maximumprinzip für elliptische Differentialgleichungen Quasilineare elliptische Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung Charakteristische Flächen Die Wellengleichung im Rn für n = 1,3, Die Wellengleichung im Rn für n > Die inhomogene Wellengleichung und ein Anfangsrandwertproblem Klassifikation, Transformation und Reduktion partieller Differentialgleichungen Literaturverzeichnis Sachverzeichnis

4 Inhaltsverzeichnis von Band 2 - Funkt ionalanalyt ische Lösungsmet hoden VII Operatoren im Banachraum 1 Fixpunktsätze 2 Der Leray-Schaudersche Abbildungsgrad 3 Fundamentaleigenschaften des Abbildungsgrades $4 Lineare Operatoren im Banachraum VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum 1 Verschiedene Eigenwertprobleme $2 Integralgleichungsprobleme $3 Der abstrakte Hilbertraum $4 Beschränkte lineare Operatoren im Hilbertraum $5 Unitäre Operatoren $6 Vollstetige Operatoren im Hilbertraum $7 Spektraltheorie vollstetiger Hermitescher Operatoren $8 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblern $9 Das Weylsche Eigenwertproblem IX X Lineare elliptische Differentialgleichungen $1 Die Differentialgleichung (x,y) +P(Z,Y)4Z(Z,Y) + dz,y)4,(z,y) $2 Die Schwarzsche Integralformel $3 Das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem $4 Potentialtheoretische Abschätzungen $5 Die Schaudersche Kontinuitätsmethode $6 Existenz- und Regularitätssätze $7 Die Schauderschen Abschätzungen = T(Z,Y) Schwache Lösungen elliptischer Differentialgleichungen $1 Sobolevräume $2 Einbettung und Kompaktheit $3 Existenz schwacher Lösungen

5 xii Inhaltsverzeichnis von Band 2 $4 Beschränktheit schwacher Lösungen $5 Hölderstetigkeit schwacher Lösungen $6 Schwache potentialtheoretische Abschätzungen $7 Randregularität schwacher Lösungen XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen $1 Die Fundamentalformen und Krümmungen einer Fläche $2 Zweidimensionale parametrische Integrale $3 Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung (Charakteristische Parameter) $4 Das Cauchysche Anfangswertproblem für quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung 55 Die Riemannsche Integrationsmethode $6 Das Bernsteinsche Analytizitätstheorem XII Nichtlineare elliptische Systeme $1 $2 $3 4 5 $6 7 8 $9 Maximumprinzipien für das H- Flächensystem Gradientenabschätzungen für nichtlineare elliptische Systeme Globale Abschätzungen für nichtlineare Systeme Das Dirichletproblem für nichtlineare elliptische Systeme Verzerrungsabschätzungen für ebene elliptische Systeme Eine Krümmungsabschätzung für Minimalflächen Globale Abschätzungen für konforme Abbildungen bezüglich einer Riemannschen Metrik Einführung konformer Parameter in eine Riemannsche Metrik Die Uniformisierungsmethode bei quasilinearen elliptischen Differentialgleichungen

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Inhaltsverzeichnis. vii Inhaltsverzeichnis 1 Riemann-Integrale... 1 1.1 Eigentliche und uneigentliche Riemann-Integrale... 1 1.2 Aufgaben... 7 Die Integration wichtiger Sprungfunktionen... 7 Eigentliche und uneigentliche Riemann-Integrale...