Mathematik für Physiker C Aufgabenblatt 1

Transkript

1 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 1 Alle Aufgaben sind Präsenzaufgaben für die Übungsstunde. Aufgabe 1 Ist die Exponentialfunktion periodisch? Aufgabe 2 Bestimme größtmögliche offene Teilmengen D C, in denen f (z), z = x + iy, eine holomorphe Funktion darstellt. (a) f (z) = y + ix (b) f (z) = (z 2 z i) 1 Aufgabe 3 Sei f : C C holomorph mit f = konstant. Zeige, dass f konstant ist. Aufgabe 4 Sei f eine in D C holomorphe Funktion. Setze D = {z ; z D}. Zeige auf zweierlei Weise, dass auch die Funktion g : D C, z f ( z) holomorph ist. Aufgabe 5 Welche Bedingungen muss eine reelle 2 2-Matrix erfüllen, damit die durch sie gegebene R-lineare Abbildung C-linear auf C = R 2 ist? Was hat dies mit den Cauchy- Riemann schen Differentialgleichungen zu tun?

2 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 2 Aufgabe 6 Zeige, dass v : C = R 2 R, v(x,y) = sinx sinhy, eine harmonische Funktion ist, und bestimme eine holomorphe Funktion f : C C mit Im f (x + iy) = v(x,y). Aufgabe 7 Verifiziere für z C folgende Formeln: (i) cosh 2 z sinh 2 z = 1 (ii) sinh2z = 2sinhzcoshz Aufgabe 8 Berechne die Potenzen i 2i, (2i) i und (1 + i) 1 i. Aufgabe 9 Berechne das komplexe Kurvenintegral ze z2 dz längs des Viertelkreisbogens Γ Γ : z = z(t) = e it, 0 t π/2.

3 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 3 Am 13. November findet in den ersten 20 Minuten der Übung der erste Test statt. Aufgabe 10 auf ihr liegt? Welche Windungszahl hat die abgebildete Schleife um einen Punkt, der nicht Aufgabe 11 (a) z =1 dz z(z + 2) Berechne folgende Kurvenintegrale: (b) z =3 dz z(z + 2) Aufgabe 12 Sei f : D C holomorph. Seien Γ 1 und Γ 2 in D enthaltene Kurven, die denselben Anfangspunkt und denselben Endpunkt haben. Formuliere eine Bedingung, die die Wegunabhängigkeit der Kurvenintegrale impliziert: f (z) dz = f (z) dz. Γ 1 Γ 2 Aufgabe 13 Welche Zahlen können als Werte von Γ dz 1 z 2 vorkommen, wenn Γ eine glatte Kurve mit Anfangspunkt i und Endpunkt i ist, d.h. Γ : z = z(t), a t b, z(a) = i, z(b) = i, und der Imaginärteil von z(t) mit t streng monoton wächst?

4 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 4 Aufgabe 14 Aufgabe 15 Berechne das Kurvenintegral I = Γ dz (2z + i) 2, Γ : z = eit, π t 2π. Berechne mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes das Integral I = 0 π e (cost+isint) (cost + isint)dt. Aufgabe 16 Bestimme die Konvergenzradien folgender Potenzreihen: a) 4 k z 2k b) k=0 k 3 z k k=1 Aufgabe 17 Bestimme für die Funktion f (z) = 1 + lnz den Konvergenzradius der Taylorreihe um den Entwicklungspunkt z 0 = 1.

5 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 5 Aufgabe 18 Bestimme die Taylorreihe von (z i) 1 um den Entwicklungspunkt z 0 = 0 und die Laurentreihe von f (z) = 1 in 0 < z < 1. z(z i) Aufgabe 19 Klassifiziere die Singularitäten, und bestimme alle Residuen von f. a) f (z) = z a z b b) f (z) = z a (z b) 2 c) f (z) = sinz z 4 1 d) f (z) = z2 e 1/z Aufgabe 20 Bestimme mit Hilfe des Residuensatzes die Funktion g : R C, g(t) = z =3 e tz z 2 (z 2 + 2z + 2) dz. Aufgabe 21 f (z) sei holomorph in C \ {0}. Zeige, dass für jede Schleife Γ, die nicht durch den Nullpunkt geht, gilt: f (z 2 )dz = 0. Γ

6 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 6 Aufgabe 22 (a) (b) 0 Berechne mit Hilfe des Residuenkalküls die Integrale dx x 4 + 5x 2 + 4, dx 1 + x 6. Aufgabe 23 Beweise folgende Integralformel: 2π 0 dt a + sint = 2π a 2 1 für a > 1 Aufgabe 24 Sei z 0 eine isolierte Nullstelle einer holomorphen Funktion f (z). Bestimme das Residuum Res( f / f,z 0 ).

7 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 7 Aufgabe 25 Bestimme die Fourierreihen folgender gleichgerichter Sinusschwingungen: (i) f (t) = sint (ii) f (t) = max(0,sint) Aufgabe 26 Sei f : R R eine 2π-periodische C 1 -Funktion mit der reellen Fourierreihe f (t) a ( ak coskt + b k=1 k sinkt). Bestimme die reelle Fourierreihe ihrer Ableitung f (t). Aufgabe 27 Bestimme die Fourierreihe der 2π-periodischen Funktion f mit f (t) = (π t) 2 /4 für 0 t 2π. Gibt es Zusammenhänge zwischen f (t) und der Sägezahnwelle s(t)? Aufgabe 28 Die Funktion f (t) := k= e t 2πk ist stückweise glatt und 2π-periodisch. Bestimme ihre Fourierreihe.

8 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 8 Aufgabe 29 Untersuche folgende Differentialgleichungen mit einem Fourierreihenansatz auf 2π-periodische Lösungen, und bestimme die Reihen gegebenenfalls. (i) y + 2y + 2y = sint (ii) y + ω 2 y = sint Stelle für die 2π-periodische Funktion f (t) = sin(t/2) die Parseval sche Glei- Aufgabe 30 chung auf. Aufgabe 31 Die Fourier sche Methode in der mathematischen Behandlung der Schwingung einer Saite der Länge π führt auf die Aufgabe, eine stetige Funktion v : [0,π] R mit v(0) = 0 = v(π) in eine Sinusreihe zu entwickeln: v(x) = k=1 β k sin(kx), 0 x π. Man kann die Koeffizienten β k so bestimmen, dass die Reihe im quadratischen Mittel gegen v konvergiert. Warum? Dücke β k durch v und k aus. Gilt zusätzlich v C 2 [0,π] mit v (0) = 0 = v (π), dann konvergiert die Sinusreihe sogar gleichmäßig gegen v. Warum? Anmerkung: Die Differentialgleichung einer schwingenden Saite soll zu einem späteren Zeitpunkt in der Vorlesung behandelt werden; v(x) ist dann die Auslenkung der Saite aus ihrer Ruhelage an der Stelle x zum Anfangszeitpunkt t = 0.

9 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 9 Aufgabe 32 Bestimme die Fouriertransformationen folgender Funktionen. Verwende dabei soweit möglich die aus der Vorlesung bekannten Beispiele und Rechenregeln. (i) f (t) = 1 falls 1 t 2 und f (t) = 0 anderenfalls. (ii) f (t) = te t2 (iii) f (t) = { t, t < 1, 0, sonst Aufgabe 33 Sei f eine absolut integrierbare Funktion auf der reellen Achse. Zeige für die Fouriertransformierte, dass ˆf (ω) + ˆf ( ω) reell ist für alle ω R, wenn f reellwertig ist. Aufgabe 34 Sei f : R C absolut integrierbar mit absolut integrierbarer Fouriertransformation ˆf. Es sei bereits gezeigt, dass die Fourier sche Inversionsformel für f gilt. Seien a,b R, a 0. Folgere die Gültigkeit der Fourier schen Inversionsformel für f a,b (t) := f (at + b). Anmerkung: Der Satz 2.25 über die allgemeine Gültigkeit der Inversionsformel darf hier natürlich nicht benutzt werden.

10 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 10 Aufgabe 35 Ein Beweis der Heisenberg schen Unschärferelation kann zurückgeführt werden auf folgende Ungleichung: π/2 f (t) 2 dt ( t f (t) 2 dt ) 1/2( ω ˆf (ω) 2 dω ) 1/2. (Siehe Satz 2.35 im Skript.) Verifiziere diese Ungleichung für f (t) = e t. Aufgabe 36 (i) (ii) Bestimme alle Lösungen folgender Anfangswertprobleme y 1 = y 1 + y 2, y 2 = y 2 /t, y 1 (1) = y 2 (1) = 1. y = e t + (y e t ) 4, y(0) = 1. (iii) d dt ( y1 y 2 ) = ( y1 ) 3y 2 y 2, 1 ( ) y1 (0) = y 2 (0) ( ) 1. 1 Aufgabe 37 Bestimme alle Lösungen y C 0 (I), wobei I R ein offenes Intervall mit 0 I ist, der Integralgleichung t y(t) = 1 + y(s) 2 ds. 0 Wie groß kann I maximal gewählt werden?

11 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 11 Aufgabe 38 ]0, [. A(t) = Löse das Anfangswertproblem y = A(t)y + b(t), y(2) = y 0 auf dem Intervall 1 ( t 1 t 2 (1 +t 2 ) t 4 t(2t 2 + 1) ) ( 1, b(t) = t ) ( 1, y 0 = 1 Hinweis: Eine Fundamentalmatrix wurde in der Vorlesung angegeben; siehe Beispiel 3.13 im Skript. Aufgabe 39 Sei y = A(t)y ein homogenes lineares n n-differentialgleichungssystem auf einem offenen Intervall I mit schiefsymmetrischer Matrix, d.h. es gilt A(t) T = A(t) für alle t I. Seien y 1, y 2 Lösungen und Y eine Fundamentalmatrix für y = A(t)y. Zeige: (i) Das Skalarprodukt y 1 y 2 ist konstant. (ii) Ist Y (t) orthogonal für ein t I, dann für alle t I. Aufgabe 40 Seien Y und Ỹ Fundamentalmatrizen für ein homogenes lineares n n-system y = A(t)y auf einem Intervall I R. Zeige, dass es eine invertierbare Matrix C R n n gibt, sodass Ỹ (t) = Y (t)c für alle t I gilt. ).

12 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 12 Aufgabe 41 Berechne exp(a) (a) A = (b) A = [ ] Aufgabe 42 Bestimme die Lösung folgender Anfangswertaufgabe: ẋ 1 = x 1 + 5x 2, x 1 (0) = 2, ẋ 2 = 3x 1 + 3x 2, x 2 (0) = 3. Aufgabe 43 Sei A = (a i j ) R n n mit a i j = 0, wenn i j. Zeige, dass jede Lösung von ẋ = Ax ein vektorwertiges Polynom mit Grad kleiner n ist. Aufgabe 44 Zeige, dass die durch A Z := max i=1,...,n n j=1 a i j für A = (a i j ) gegebene Zeilensummennorm eine Matrixnorm auf R n n ist.

13 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 13 Aufgabe 45 Löse die Airy sche Differentialgleichung ÿ = ty für die Anfangswerte y(0) = 1 und ẏ(0) = 0 durch einen Potenzreihenansatz y(t) = k=0 y kt k. Leite eine Rekursionsformel für die Koeffizienten y k her. Zusatzaufgabe: Bestimme auch den Konvergenzradius der Potenzreihe. Aufgabe 46 Bestimme mit einem Separationsansatz möglichst viele Eigenfunktionen u(x, y) und Eigenwerte λ > 0 des folgenden Randwertproblems (Dirichletproblem) für den Laplaceoperator auf dem Quadrat Q = [0,π] 2 : u xx + u yy + λ 2 u = 0 in Q, u = 0 auf Q. Aufgabe 47 Ein wärmeleitfähiger Draht der Länge L > 0 wird durch ein Wärmebad an seinen Enden auf gleicher Temperatur gehalten. (Nach geigneter Eichung der Temperaturskala kann angenommen werden, dass diese Temperatur Null ist.) Gesucht ist die Temperaturverteilung u(t,x) zur Zeit t an der Stelle x des Drahtes. Diese Situation wird modelliert durch ein Anfangsrandwertproblem für die Wärmeleitgleichung: u t (t,x) = u xx (t,x) für t > 0 und 0 < x < L, u(t,0) = 0 = u(t,l) für t > 0, u(0,x) = v(x) für 0 < x < L. Die gegebene Anfangstemperaturverteilung v : [0, L] R sei stetig, und es gelte v(0) = 0 = v(l). Leite eine Reihendarstellung her für eine (die) Lösung u. Anleitung: Finde Lösungen der Differentialgleichung mit einem Separationsansatz, und gehe aus von einer Fourierreihendarstellung (siehe Aufgabe 31) für v.

14 Hansen / Krauß Aufgabenblatt 14 Aufgabe 48 Sei 0 v C c (R), v 0. Sei u(t,x) die durch den Wärmeleitungskern gegebene Lösung des Anfangswertproblems u t = u xx in t > 0, u(0,x) = v(x). Zeige, dass u(t,x) > 0 für alle t > 0 und x R gilt. Aufgabe 49 Sei Ω R n eine offene Menge mit C 1 -Rand Ω, ν das ins Äußere von Ω weisende Einheitsnormalenfeld an Ω. Das klassische Neumann sche Randwertproblem in Ω besteht darin, zu einer gegebenen stetigen Funktion g : Ω R eine C 2 -Funktion u : Ω R zu finden, die von der Klasse C 1 auf dem Abschluss Ω ist und folgendes Randwertproblem löst: u = 0 in Ω, ν u = g auf Ω. Zeige, dass im Falle Ω g ds 0 dieses Problem keine Lösung besitzt. Aufgabe 50 Sei u eine in einer Umgebung des Nullpunktes harmonische Funktion. Beweise die Mittelwerteigenschaft u(0) 1 ds(x) = u(x) ds(x) x =r x =r für 0 < r hinreichend klein.