Funktionentheorie. Wolfram Decker

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1 Funktionentheorie Wolfram Decker

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3 Inhaltsverzeichnis Kapitel. Grundlagen 7 1. Komplexe Zahlen Der Körper C Konjugation Euklidischer Abstand, C als metrischer Raum Zusammenhang 8 2. Konvergenz von Reihen Konvergente Reihen Absolute Konvergenz und Umordnung Produkte von Reihen Cauchy scher Doppelreihensatz. 11 Kapitel 1. Analytische Funktionen Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen und -reihen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige Konvergenz Lokal-gleichmäßige Konvergenz Funktionenreihen Normale Konvergenz von Funktionenreihen Potenzreihen Formale Potenzreihen Konvergente Potenzreihen Konvergenzradius Identitätssatz für Potenzreihen Analytische Funktionen Definitionen Entwicklungssatz für Potenzreihen Identitätssatz für analytische Funktionen 2 6. Elementare Funktionen exp, sin, cos Polarkoordinaten Epimorphiesatz für exp und Folgerungen 22 Kapitel 2. Holomorphe Funktionen Komplex differenzierbare Funktionen Komplexe Differenzierbarkeit Reelle Differenzierbarkeit Wirtinger Ableitungen Cauchy-Riemann sche Differentialgleichungen 27 3

4 4 Wolfram Decker 8. Holomorphe Funktionen Definitionen Analytische Funktionen sind holomorph Charakterisierung lokal-konstanter Funktionen Stammfunktionen Wegintegrale Integration in reellen Intervallen Integrationswege Integration längs Wegen Wegunabhängigkeit von Integralen, Cauchy scher Integralsatz Wegunabhängig integrierbar Integrabilitätskriterium für Sterngebiete Der Cauchy sche Integralsatz für Sterngebiete Der Cauchy sche Integralsatz für einfach zusammenhängende Gebiete Cauchy scher Integralformel für Kreisscheiben, Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor Cauchy scher Integralformel für Kreisscheiben Entwicklungslemma Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor Holomorphiekriterien Cauchy sche Integralformeln für Ableitungen Cauchy sche Ungleichungen 49 Kapitel 3. Erste Anwendungen der Cauchy-Formel Der Konvergenzsatz von Weierstraß Weierstraß scher Konvergenzsatz Weierstraß scher Differentiationssatz für Reihen Weierstraß scher Doppelreihensatz Offenheitssatz und Maximumprinzip Offenheitssatz Maximum- und Minimumprinzip Wachstum und Fundamentalssatz Wachstumslemma Fundamentalsatz der Algebra Holomorphe Logarithmen und Wurzeln Holomorphe Logarithmen Holomorphe Wurzeln Die Gleichung f(z) = f(c) exp f f γ 16. Riemann scher Fortsetzungssatz, biholomorphe Abbildungen, lokale Nebenform Riemann scher Fortsetzungssatz Biholomorphe Abbildungen Lokales Biholomorphikriterium Lokale Normalform Der Satz von Moutel 63

5 FUNKTIONENTHEORIE Der Satz von Ascoli-Bourbaki Der Satz von Moutel Der Satz von Vitali 64 Kapitel 4. Konforme Abbildungen (Riemann scher Ansatz) Konforme Abbildungen Definitionen Konformitätskriterium Einige Automorphismengruppen Automorphismen des Einheitskreises Automorphismen der oberen Halbebene Automorphismen von C Automorphismen von C 69 Kapitel 5. Isolierte Singularitäten, meromorphe Funktionen, Residuenkalkül Isolierte Singularitäten Definition Riemannscher Hebbarkeitssatz Pole Satz von Casorati-Weierstraß Meromorphe Funktionen Definition und Beispiele Reihen meromorpher Funktionen Laurententwicklung holomorpher Funtionen in Kreisringen Cauchy-Theorie für Kreisringe Laurenttrennungen Laurententwicklung Laurentreihen Charakterisierung isolierter Singularitäten Allgemeine Cauchysche Integralformel Die Indexfunktion Allgemeiner Cauchyscher Integralsatz Allgemeine Cauchysche Integralformel Der Resiudensatz Residuen Residuensatz Anwendungen des Resiudensatzes Anzahlformel für Null- und Polstellen Satz von Rouché Satz von Hurwitz Beispiel Der Riemann sche Abbildungssatz Lemma Riemannscher Abbildungssatz 91 Kapitel 6. Partialbruch- und Produktentwicklungen 95

6 6 Wolfram Decker 27. Der Satz von Miltag-Leffler, Partialbruchzerlegung Satz von Miltag-Leffler Beispiele Der Weierstraßsche Produktsatz Konvergente Produkte Weierstraßscher Produktsatz 99 Kapitel 7. Die Idee der Riemannschen Fläche Analytische Fortsetzung und Monochromiesatz Kreiskettenverfahren Monochromiesatz (Homotopieinvarianz der analytischen Fortsetzung) Beispiel: Der Logarithmus Riemannsche Flächen Definitionen Identitätssatz und Satz von der Gebietstreue Analytische Fortsetzung und Monochromiesatz für Riemannsche Flächen Analytische Fortsetzung Monochromiesatz Die unverzweigte Riemannsche Fläche eines holomorphen Keims Definition und Satz 112 Literaturverzeichnis 115

7 KAPITEL Grundlagen 1. Komplexe Zahlen 1.1. Der Körper C. Auf dem R Vektorraum R 2 mit Elementen z = (x, y) definieren wir eine Multiplikation durch z 1 z 2 = (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ). Dann ist C := (R 2, +, ) ein Körper, der Körper der komplexen Zahlen, mit Nullelement (, ), Einselement (1, ) und Die Abbildung z = (x, y) = (, ) 1 z = z 1 = R C, x (x, ) 1 (x, y). x 2 + y2 ist ein Körpermonomorphismus, wir fassen R C als Unterkörper auf und identifizieren x = (x, ). Für i = (, 1) gilt i 2 = 1, d.h. i ist Nullstelle des Polynoms z Wir haben z = (x, y) C: z = (x, y) = x(1, ) + y(, 1) = x + iy = Re z + i Im z Realteil Imaginärteil Bemerkung. C kann nicht angeordnet werden. Annahme. doch < 1 2 = 1 und < i 2 = 1 < 1 + ( 1) = 1.2. Konjugation. Für z = x + iy sei z := x iy. Dann ist J : C C, z z ein Körperautomorphismus mit J 2 = id und Fixkörper R. Mit anderen Worten z + w = z + w, zw = z w, = z = z, z R z = z. Weiter ist Re z = 1 2 (z + z), Im z = 1 (z z). 2i 7

8 8 Wolfram Decker Anschaulich ist z z die Spiegelung an der reellen Achse: z z 1.3. Euklidischer Abstand, C als metrischer Raum. Wie üblich seien z 1, z 2 := x 1 x 2 + y 1 y 2 das euklidische Skalarprodukt z = x 2 + y 2 der euklidische oder Absolutbetrag und d(z 1, z 2 ) := z 1 z 2 der euklidische Abstand bzw. die euklidische Metrik. Dann gelten die Regeln z = z, Re z z, Im z z, zz = z 2 und z 1 = z für z =. z 2 Der euklidische Abstand d macht C zum metrischen und damit insbesondere zum topologischen Raum. Begriffe wie offen, abgeschlossen, Umgebung, stetig, Konvergenz, Cauchy-Folge, Häufungspunkt oder kompakt sind damit definiert. Ist z C, so schreiben wir U(z) für die Menge aller Umgebungen von z. Wir wiederholen z.b. Konvergenz: a n a ε > n N : a n a < ε n n. Dies ist äquivalent zu (Re a n Re a und Im a n Im a). C ist vollständig, d.h. Cauchy-Folge in C konvergiert gegen komplexe Zahl. Man hat die üblichen Limessätze sowie zusätzlich falls lim a n existiert. lim a n = lim a n, 1.4. Zusammenhang. Sei A C Definition. lim a n = lim a n (i) Eine stetige Abbildung α : [a, b] A heißt Weg mit Anfangspunkt α(a) und Endpunkt α(b). ( α verbindet α(a) mit α(b) ). A heißt wegzusammenhängend, wenn je zwei Punkte in A durch einen Weg verbindbar sind.

9 FUNKTIONENTHEORIE 9 (ii) A heißt zusammenhängend, wenn die Bedingungen des folgenden Satzes erfüllt sind Satz. Es sind äquivalent: (i) Sind A 1, A 2 A offen (bzgl. der induzierten Metrik bzw. Topologie) mit A 1 A 2 =, A 1 A 2 = A, so folgt A 1 = A oder A 2 = A. (ii) Ist B A offen und abgeschlossen (bzgl. der induzierten Metrik bzw. Topologie), so ist B = A oder B =. Beweis. Aufgaben Satz. Stetige Abbildungen bilden (i) wegzusammenhängende Mengen auf ebensolche ab (ii) zusammenhängende Mengen auf ebensolche ab. Beweis. Aufgaben Satz. Für G = A offen sind äquivalent: (i) G wegzusammenhängend ( Gebiet ) (ii) G zusammenhängend. Beweis. Aufgaben Beispiel. Gebiete sind etwa: Offene Kreisscheiben K r (a) := {z C z a < r}, a die obere Halbebene H := {z C Im z > }, C \ R := C \ {x R x }. 2. Konvergenz von Reihen 2.1. Konvergente Reihen Definition. Eine Reihe a ν komplexer Zahlen (i.a. ist k =, 1) heißt konvergent mit Summe s, wenn s n := n dann auch s = a ν. a ν s. Wir schreiben

10 1 Wolfram Decker Satz. Äquivalent: (i) a ν = s ist konvergent. (ii) ε > n k : n ν=m+1 a ν < ε n, m n ( Cauchy- Kriterium ) (iii) Re a ν = Re s und Im a ν = Im s sind konvergent. (iv) Cauchy für Real- und Imaginärteil. Beweis. (i) (ii) bzw. (iii) (iv) ist die Vollständigkeit von C bzw. R. (i) (iii) ergibt sich wegen n a ν = n Re a ν + n Im a ν aus den Limessätzen für Folgen. ν= Beispiel. Geometrische Reihe n z ν = 1 zn z 1 z z C mit z < Absolute Konvergenz und Umordnung. Motivation. Wir betrachten ein Beispiel. Die Reihen bzw sind Umordnungen voneinander, sie sind konvergent, haben aber die verschiedenen Summen 3 ln 2 bzw. 2 ln 2. Will man, unabhängig von Umordnungen, immer denselben Grenzwert erhalten, so braucht man, dass die Reihe absolut konvergiert Definition. a ν heißt absolut konvergent, wenn a ν konvergiert Bemerkung. (i) Jede absolut konvergente Reihe a ν ist konvergent und es gilt a ν a ν. (ii) Majorantenkriterium. Sei r ν eine konvergente Reihe reeller Zahlen r ν. Ist a ν eine Reihe komplexer Zahlen mit a ν r ν für k k fast alle ν k, so ist a ν absolut konvergent. k Beweis. Anwendung des Cauchy-Kriteriums Umordnungssatz. Ist a ν absolut konvergent, so auch jede Umordnung dieser Reihe, genauer gilt a τ(ν) = a ν Bijektion τ : N N. Beweis. Wortwörtlich wie im Reellen.

11 FUNKTIONENTHEORIE Produkte von Reihen. Sind a µ, b ν zwei Reihen, so heißt jede Reihe c λ, wo c, c 1, c 2,... genau einmal die Produkte a µ b ν durchläuft, eine Produktreihe von a µ und b ν. Besonders wichtig für uns ist das Cauchy-Produkt. p λ mit p λ = λ= µ+ν=λ a µ b ν Reihenproduktsatz. Sind a µ, b ν absolut konvergent, so auch Produktreihe c λ und es gilt a µ b ν = c λ. Beweis. l N m N mit {c,..., c l } {a µ b ν µ, ν m}. Also folgt l m m c λ a µ b ν a µ b ν <. λ= µ= ν= Damit ist c λ absolut konvergent und nach dem Umordnungssatz kann man zur Berechnung von c λ jede Anordnung der a µ b ν benutzen, die man durch Ausmultiplizieren von n n a µ b ν erhält. Also ist µ= ν= µ= ν= n n c λ = lim a µ b ν = a µ b ν n λ= µ= ν= 2.4. Cauchy scher Doppelreihensatz. Sei a µν, (µ, ν) N N, eine Doppelfolge komplexer Zahlen. Dann gilt: a µν konvergiert genau µ= ν= dann, wenn a µν konvergiert. In diesem Fall ist ν= Beweis. Aufgaben µ= µ= a µν = ν= ν= µ= a µν. µ= ν=

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13 KAPITEL 1 Analytische Funktionen (Weierstraß scher Ansatz) 3. Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen und -reihen Seien A C und (f n ) n N eine Folge von Funktionen f n : A C Punktweise Konvergenz Definition. f n heißt punktweise konvergent in A (gegen eine Funktion f : A C), falls z A f n (z) konvergiert (gegen f(z)). Wir schreiben dann f n f, f = lim f n Gleichmäßige Konvergenz Definition. f n heißt gleichmäßig konvergent in A (gegen f : A C), falls ε > n N : f n (z) f(z) < ε n n, z A. Wir schreiben dann f n f Bemerkung. (i) f n f (Re f n Re f und Im f n Im f) (ii) (f n f, g n g, a, b C) = (af n + bg n af + bg) (iii) (f n f, g n g, f, g beschränkt) = (f n g n f g). (Übung) Cauchy-Kriterium: f n gleichmäßig konvergent ε > n N :. Beweis. Wie im reellen. f n (z) f m (z) < ε n, m n z A 3.3. Lokal-gleichmäßige Konvergenz. Sei A = Ω offen Definition. f n heißt lokal-gleichmäßig (kompakt) konvergent in Ω (gegen f : Ω C), falls die Bedingungen des folgenden Satzes erfüllt sind. Wir schreiben dann f n = lok f n Satz. Äquivalent: (i) z Ω U U(z) offen, U Ω : f n U f U. 13

14 14 Wolfram Decker (ii) K Ω kompakt: f n K f K. Beweis. (i) = (ii) Sei K Ω kompakt. z K U z U(z): f n U z f n U z. Da K kompakt z 1,..., z r K mit K also auch f n K f K. r U zi i=1 =: U. Dann f n U f U, (ii) = (i) Sei z Ω. Wählen Radien s, r mit K s (z) =: U K r (z) =: K Ω. offen kompakt Dann f n K f K, also auch f n U f U Bemerkung. (f n f) = (f n lok f) = (f n f) Stetigkeitssatz: (f n lok f, fast alle f n stetig) = (f stetig). Beweis. Wie im reellen Funktionenreihen. Obige Definitionen und Aussagen übertragen sich wie üblich auf Funktionenreihen f ν durch Betrachten der Partialsum- men f ν. Außerdem gilt das Majorantenkriterium von Weierstraß: Sei r ν eine konvergente Reihe in R + mit f ν (z) r ν z A, für fast alle ν. Dann konvergiert f ν gleichmäßig auf A. Beweis. Für n > m groß genug gilt n n f ν (z) f ν (z) ν=m+1 ν=m+1 und Behauptung folgt aus Cauchy-Kriterium. n ν=m+1 r ν (z) z A Die bereits in 2 erwähnten Probleme beim Umordnen von Reihen führen zu 3.5. Normale Konvergenz von Funktionenreihen. Sei wieder A = Ω offen Definition. f ν heißt normal konvergent in Ω, falls die Bedingungen des folgenden trivialen Satzes erfüllt sind Satz. Äquivalent: (i) z Ω U U(z) offen, U Ω: fν U konvergiert. (ii) K Ω kompakt: fν K konvergiert. Dabei verwenden wir die Bezeichnung: Funktion und M X, so sei g M := sup g(m). m M Sind X eine Menge, g : X C eine

15 Bemerkung. FUNKTIONENTHEORIE 15 (i) Normal konvergent = lokal-gleichmäßig konvergent. (ii) Für Ω = K r (c) sind obige Bedingungen äquivalent zu: < s < r : f ν Ks (c) konvergiert Umordnungssatz: Konvergiert f ν in Ω normal gegen f, so konvergiert Bijektion τ : N N auch f τ(ν) in Ω normal gegen f. Beweis. Für K Ω kompakt konvergiert f ν K, also auch f τ(ν) K, nach dem Umordnungssatz (2.2.4). Ist z Ω so folgt speziell mit K = {z} : fν (z) = f τ(ν) (z). Analog ergibt sich aus (2.3.1): Reihenproduktsatz: Sind f ν, g ν normal konvergent in Ω, so auch jede ihrer Produktreihen gegen ( f ν )( g ν ).

16 16 Wolfram Decker 4. Potenzreihen 4.1. Formale Potenzreihen. Ist c C ein fester Punkt, so heißt jede Funktionenreihe a ν (z c) ν, a ν C (formale) Potenzreihe mit Entwicklungspunkt c und Koeffizienten a ν. Jedes Polynom n a ν (z c) ν wird als Potenzreihe mit a ν = für ν > n aufgefaßt. Die Potenzreihen mit festem Entwicklungspunkt c werden zu einer C Algebra durch aν (z c) ν + b ν (z c) ν := (a ν + b ν )(z c) ν ( a ν (z c) ν )( b ν (z c) ν ) := ( a µ b ν ). λ µ+ν=λ 4.2. Konvergente Potenzreihen Definition. Eine Potenzreihe a ν (z c) ν heißt konvergent, wenn z = c mit a ν (z c) konvergiert. Wichtiges Beispiel ist die geometrische Reihe z ν, konvergent für z < Abel sches Lemma: Gibt es zu a ν (z c) ν reelle Zahlen r >, M >, so daß a ν r ν M ν, so konvergiert a ν (z c) ν normal in K r (c). Beweis. Wir wenden (3.5.3), (ii) an. Für < s < r gilt s ν M ν := a ν (z c) ν Ks(c) a ν s ν = a ν r ν M s ν. r r Wegen s < 1 konvergiert M r ν Korollar. Konvergiert a ν (z c) ν in z = c, so ist a ν (z c) ν normal konvergent in K z c (c). z c z c Beweis. a ν (z c) ν ist Nullfolge, also beschränkt Konvergenzradius. Sei a ν (z c) ν eine Potenzreihe Definition. R := sup (z c) a ν (z c) konvergent R + { } heißt Konvergenzradius und K R (c) Konvergenzkreis von a ν (z c) ν Konvergenzsatz für Potenzreihen: Ist R >, so konvergiert a ν (z c) ν normal in K R (c) und divergiert in C \ K R (c).

17 FUNKTIONENTHEORIE 17 Beweis. Sei < s < R. Dann z mit s < z c < R. Nach (4.2.3) konvergiert a ν (z c) ν normal in K z c (c) und somit erst recht in K s (c). Ist z / K R (c), so divergiert a ν (z c) ν nach Definition von R. Insbesondere ist die Grenzfunktion K R (c) C, z a ν (z c) ν stetig. Zum Konvergenzverhalten auf dem Rand K R (c) des Konvergenzkreises vergleiche Aufgaben. Für Anwendungen nützlich sind: (i) Formel von Cauchy-Hadamard: Es gilt 1 R = lim ν a ν. (ii) Quotientenkriterium: lim a ν a ν+1 Ist a ν = für fast alle ν, so ist R lim a ν a ν+1. Speziell R = lim aν a ν+1, falls dieser Limes existiert. Beweis. Wie im reellen Beispiele: (i) Exponentialreihe 1) =. exp(z) = (ii) Logarithmische Reihe 1 1. (iii) Arcustangensreihe 1 da a ν = ν= z ν : R = lim aν ν! a ν+1 = lim (ν + ( 1) ν 1 ν z ν : R = lim aν a ν+1 = lim ν+1 ν = ( 1) µ 1 2µ 1 z2µ 1 : R = 1 nach Cauchy-Hadamard, ν gerade 1 ν = 2µ 1 ungerade. 2µ Identitätssatz für Potenzreihen. Von großer Bedeutung für die Funktionentheorie ist die Tatsache, daß eine konvergente Potenzreihe durch ihre Grenzfunktionen bestimmt ist. Wir zeigen zunächst: Satz (Isolierte Nullstellen). Sei f(z) = a ν (z c) ν in K r (c) konvergent. Wenn nicht alle a ν =, so < s < r mit f(z) = z K s (c)\{c}. Insbesondere ist jede Nullstelle isoliert. Beweis. Nach Voraussetzung ist n := min ν a ν = N und f(z) = (z c) n g(z) wo g(z) = a n+ν (z c) ν. Die Funktion g(z) ist stetig in K r (c) ν= mit g(c) = a n =. Also < s < r mit g(z) = und somit auch f(z) = z K s (c) \ {c} Identitätssatz: Seien f(z) = a ν (z c) ν, g(z) = b ν (z c) ν in K r (c) konvergent. Gibt es eine Folge z n c, z n K r (c) \ {c} n, mit f(z n ) = g(z n ) n, so folgt a ν = b ν ν.

18 18 Wolfram Decker Beweis. Mit f, g konvergiert auch h := f g, h(z) = a ν b ν (z c) ν, in K r (c). Wenn nicht alle a ν = b ν, so liefert (4.4.1) ein < s < r mit h(z) = z K s (c)\{c}. Wegen z n c n N mit z n K s (c)\{c} n n im Widerspruch zu h(z n ) =.