Mathematik für Physiker 3 Inhaltsübersicht

Transkript

1 Goethe-Universität Frankfurt Wintersemester 2013/2014 Institut für Mathematik Hans Crauel Mathematik für Physiker 3 Inhaltsübersicht I. Differentialgleichungen II I.1 Explizit lösbare Differentialgleichungen; Trennung der Variablen Rechenverfahren, eispiele für Explosion: ẋ = x 2 und Nicht-Eindeutigkeit der Lösungen von AWP: ẋ = x I.2 Weitere explizit lösbare skalare Dgl getrennte Variablen nach ubstitution, homogene Dgl, ernoulli- und Ricatti-Dgl I.3 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz, atz von Picard-Lindelöf Äquivalenz von Dgl und Integralgleichung, (globale/lokale) Lipschitz-tetigkeit, Fixpunktsatz für Integralgleichung, Lemma von Gronwall, maximale Lösungen, lineares Wachstum für rechte eite I.4 Lineare Differentialgleichungen Allgemeines ẋ = A(t)x + b(t): Fundamentalsystem und Fundamentalmatrix für homogene ẋ = A(t)x, Wronski-Determinante, Variation der Konstanten für die inhomogene ẋ = A(t)x + b(t) I.5 Einführung in tabilitätstheorie: stabil, attraktiv, asymptotisch stabil (= stabil und attraktiv) tabilität linearer ysteme: attraktiv impliziert stabil, autonomone Dgl ẋ = Ax: tabilität durch Eigenwerte von A bestimmt I.6 tabilität von Ruhelagen nichtlinearer Dgl tabilität an Linearisierung ablesbar, sofern keine EW Realteil Null, atz von Grobman-Hartman I.7 Lyapunov-Funktionen II. Funktionentheorie Erinnerung komplexe Zahlen, Real-/Imaginärteil, etrag komplex konjugiert, Potenzreihen, Konvergenzradius

2 II.1 Analytische Funktionen komplexe Differenzierbarkeit, holomorph/analytisch, Holomorphie von Potenzreihen, Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, harmonische Funktionen II.2 Der Cauchy-Integralsatz komplexe Kurvenintegrale, Cauchy für Ableitungen analytischer Funktionen, für Integrale über Dreiecke, für Integrale in konvexen Gebieten, Homotopie-Version II.3 Hauptsätze zu analytischen Funktionen spezielle Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben, Äquivalenz von holomorph und analytisch, allgemeine Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben, Identitätssatz, Existenz von tammfunktionen, atz von Liouville, Fundamentalsatz der Algebra, Maximumprinzip der komplexe Logarithmus, Haupt- und Nebenzweige II.4 Isolierte ingularitäten hebbar, Pol, wesentlich; Riemann-Hebbarkeitssatz, atz von Casorati-Weierstraß, Großer atz von Picard meromorphe Funktionen, Laurent-Reihe zu einem Pol, Hauptteil und Residuum zu einem Pol, Ordnung eines Pols, Residuensatz, eispiele Verwendung Residuensatz III. Integration von Funktionen mehrerer Veränderlicher Nichtexistenz Lebesgue-Maß auf Potenzmenge von R ( Auswahlaxiom) III.1 Messbare Mengen σ-algebra, pur-σ-algebra, erzeugte σ-algebra, Generator/Erzeugendensystem orel-σ-algebra allgemein, orel-σ-algebra von R d, Erzeugendensysteme R d und R III.2 Maße σ-additiv, Dirac-Maß, Zählmaß, endliche sowie speziell Wahrscheinlichkeits-Maße, diskrete W-Räume Existenz Lebesgue-Maß: atz von Carathéodory, offene dichte Mengen in R Lebesgue-Maß ε tetigkeit von Maßen III.3 Messbare Abbildungen: Messbarkeit, orel-messbare Funktionen, stetig impliziert messbar, Grenzwerte messbarer Funktionenfolgen sind messbar Treppen- (Elementar-) Funktionen, Approximation nichtnegativer messbarer Funktionen durch monotone Folgen von Treppenfunktionen III.4 Integration, integrierbare Funktionen Definition Integral erst für Treppenfunktionen, dann für nichtnegative Funktionen atz von der monotonen Konvergenz

3 Rechenregeln für Integrale über nichtnegative Funktionen Integrierbarkeit von f = f + f oder gleichbedeutend von f Übereinstimmung Lebesgue- und Riemann-Integral für stetige Funktionen Maße Dichten Lemma von Fatou, atz von der majorisierten Konvergenz Nullmengen und fast überall Lebesgue-Räume, L p - und L p -Räume, Hölder-Ungleichung Produktmaße, atz von (Tonelli und) Fubini Transformationssatz f d(t µ) = f T dµ, Transformationsformel Lebesgue-Maß: Ist Φ : X Y ein C 1 -Diffeomorphismus zwischen X R d und Y R d, so ist f dλ = (f Φ) det DΦ dλ für f : X R int bar X Y IV. Untermannigfaltigkeiten Definition k-dimensionale C r -Untermannigfaltigkeit von R d ; insb. Kurven (k = 1), Flächen (k = 2), Hyperflächen k = d 1 Karten, Atlanten, Kartenwechsel Untermannigfaltigkeiten als Urbilder regulärer Werte von f : R d (d k)-dimensionale Untermannigfaltigkeit Tangentialraum T p M in p M, Normalenraum N p = (T p M) R k : f 1 (c) ist Lebesgue-Maß auf Untermannigfaltigkeiten als ildmaß von Karten-Abbildungen (nur erwähnt, ohne Details) V. Vektoranalysis; Integralsätze von Green, Gauß, tokes ätze im R 2 R 2 ein Green-ereich atz von Green: rot f(x, y) d(x, y) = f Vektorfeld im R 2, rot f = f 2 x f 1 y R, rechte eite Kurvenintegral zweiter Art = f(x, y) d(x, y) b a f(γ(t)), γ(t) dt, γ Kurve, die den eindimensionalen Rand in mathematisch positiver Richtung parametrisiert

4 Umformulierungen sind atz von tokes in der Ebene: rot f(x, y) d(x, y) = T Tangenteneinheitsvektor an, T = atz von Gauß in der Ebene: divf(x, y) d(x, y) = n = f, T ds, γ(t), Integral rechts über die ogenlänge γ(t) f, n ds, [ ] [ ] T2 T 1 Normalenvektor an, T = T1 T 2 der Tangenteneinheitsvektor an ätze im R 3 bzw. im R d atz von tokes im R 3 : F rot f(x), n(x) dσ = F f(x) dx, F R 3 Fläche (zweidimensionale Untermannigfaltigkeit) im R 3, n Normaleneinheitsvektor auf F, σ Flächenintegral über F, rechte eite Kurvenintegral zweiter Art über den (eindimensionalen) Rand F R 3, Umlaufsinn und Richtung von n müssen zusammenpassen atz von Gauß im R 3 (und allgemeiner im R d ): divf(x) dx = f(x), n(x) dσ, R 3 ein (dreidimensionaler) tandardbereich, dessen Rand aus endlich vielen glatten Flächenstücken besteht auf der linken eite ein richtiges Integral im R 3, auf der rechten ein Flächenintegral, n wieder die äußere Normale auf der Fläche, dort als Kreuzprodukt von Tangentialvektoren darstellbar; die Aussage gilt auch im R d n Normale auf der Hyperfläche

5 Unter enutzung von div grad f = f für reellwertiges f erhält man weitere Formulierungen. Aus dem atz von Gauß erhält man die Green-Formeln: Für f, g : R 3 R C 2, R 3 tandardbereich stückweise glattem Rand, gilt 1. Green-Formel ( f(x) g(x) + f(x), g(x) ) dx = f(x) g n dσ, der Laplace-Operator und g die Richtungsableitung von g in Richtung der n äußeren Normale n auf ist. 2. Green-Formel ( ) f(x) g(x) g(x) f(x) dx = ( g f(x) (x) g(x) f n n (x)) dx; diese folgt direkt aus der ersten Green-Formel durch Vertauschen der Rollen von f und g und nachfolgender ubtraktion. Die Green-Formeln gelten entsprechend auch im R d.