26. Der Gaußsche Integralsatz

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1 6 26. Der Gaußsche Integralsatz Im Folgenden sei eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n und a Tangentialvektoren. Ein Vektor v 2 R n heißt Tangentialvektor an in a, falls es eine stetig differenzierbare Kurve :] ", "[! gibt (" > geeignet) mit der Eigenschaft, dass () = a und () = v. Die enge T a aller Tangentialvektoren in a wird als der Tangentialraum in a bezeichnet Satz. (a) T a ist k-dimensionaler Unterraum des R n. (b) Ist ' : T! V (T offen in R k ) eine lokale Karte in einer Umgebung von a und ist t 2 T mit '(t) =a, so bilden die Vektoren (t),..., n eine Basis von T a. (c) Ist U eine offene Umgebung von a in R n,undsindf 1,...,f n k : U! R stetig differenzierbare Funktionen (a) \ U = {x 2 U : f 1 (x) =...= f n k (x) =} und rang = j i=1,...,n k;j=1,...,n k, so gilt T a = {v 2 R n : v? gradf j (a),j =1,...,n k}. Beweis. Es sei T 1 der Vektorraum aus (b) und T 2 der aus (c). Wir zeigen, dass T 1 T a T 2. Wegen dimt 1 =dimt 2 = k folgt dann Gleichheit. T 1 T a : Es sei v = 1 (t)+...+ k (t). Definiere :] ", "[! durch ( ) ='(t 1 + 1,...,t k + k ). Dann ist ( ) 2 für hinreichend kleine, und () = '(t) =a. Ferner ist () = ' (t) = v. T a T 2 : Nun sei v 2 T a und :] ", "[! stetig differenzierbar mit () = a und () = v. Da in verläuft, gilt f j ( ( )) =. Differenzieren liefert somit v 2 T 2. =f j( ()) () = hgradf j (a),vi, Normalenvektoren. Ein Vektor w 2 R n heißt Normalenvektor an in a, falls w? T a. us 26.2 sehen wir sofort: Die Normalenvektoren bilden einen (n des R n,dermitn a bezeichnet wird und der von den Vektoren aufgespannt wird. gradf 1 (a),...,gradf n k (a) k)-dimensionalen Unterraum Definition. Es sei R n kompakt. Wir sagen, habe glatten Rand, falls es zu jedem Randpunkt a von eine offene Umgebung U und eine stetig differenzierbare Funktion : U! R mit folgenden Eigenschaften gibt: (i) \ U = {x 2 U : (x) apple }

2 61 (ii) grad (x) 6= für alle x 2 U Satz. it den Bezeichnungen von 26.3 \ U = {x 2 U : (x) =}. an nennt daher eine randdefinierende Funktion. Insbesondere folgt, eine (n 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n ist. Beweis. Istx 2 U mit (x) <, soistauch (y) < für alle y in einer Umgebung von x. Wegen (i) liegt diese Umgebung in, somit ist x kein Randpunkt. Istx 2 U mit (x) =,undistv = grad (x) 6=, so betrachte 7! (t + v)= (t)+hgrad (a), vi + o(k vk) =+ kvk 2 + o(k vk). Diese Funktion wechselt in =das Vorzeichen. Damit enthält jede Umgebung von x Punkte y mit (y) > ; diese liegen nicht in. Daher ist x Randpunkt Satz. Es sei R n ein Kompaktum mit glattem Rand und a Dann existiert ein eindeutig bestimmter Vektor 2 R n mit folgenden Eigenschaften: (i)? T (ii) k k =1. (iii) 9" >: a + v /2 für < <". an nennt = (a) den äußeren (Einheits-)Normalenvektor an in a. Beweis. Existenz: Ist eine randdefinierende Funktion nahe a, so hat (a) = die gewünschten Eigenschaften (vgl. Beweis 26.5). grad (a) kgrad (a)k Eindeutigkeit. Es ist dim N a (@) =n =1.lsoistv = grad (a) für ein 6=. Wegen (ii) ist = ±kgrad (a)k 1. us (iii) folgt, dass > Folgerung. Die äußeren Normalenvektoren an eine kompakte enge mit glattem Rand bilden ein stetig differenzierbares Vektorfeld R n \{} Beispiel. Es sei = {x 2 R n : kxk appler} die Vollkugel vom Radius r. ls randdefinierende Funktion kann man (x) =kxk 2 r 2 wählen. Hier = {x : kxk = r}; der Normalenvektor an a ist (a) = a r Graphdarstellung. Ist kompakt mit glattem Rand und a sokann nahe a als enge unterhalb des Graphen einer Funktion von n 1 Variablen (obd der ersten n 1) dargestellt werden: Es sei : U! R eine randdefinierende Funktion auf einer Umgebung U von a. Dann ist grad (x) 6= auf U. OBd xn (x) >. Nach dem Satz von der impliziten Funktion finden wir U R n 1 offen und I =], [ mit U I U sowie eine stetig differenzierbare Funktion g : U! I, so dass für (x,x n ) 2 U I gilt: Dann ist (x,x n )=, x n = g(x ). \ (U I) ={(x,x n ) 2 U I : (x,x n ) apple } = {(x,x n ) 2 U I : x n apple g(x )}.

3 62 it (x) =x n g(x ) haben wir dann eine weitere randdefinierende Funktion. Das zugehörige äußere Normalenfeld ist also grad (x) ( grad g, 1) = = p kgrad (x)k. 1+kgrad gk Definition. Es sei f : R n! m eine Funktion. Der Träger von f ist die enge supp f = {x : f(x) 6= } (bschluss in R n ) Lemma. Ist U R n offen und hat die stetig differenzierbare Funktion g kompakten Träger in U, xj g(x) dx =, j =1,...,n. U Beweis. OBd j = n. Wir setzen durch Null fort und fassen g als stetig differenzierbare Funktion auf R n auf. Dann ist xn g(x) dx xn g(x) dx xn g(x) dx n dx = dx =. U R n R n 1 1 R n Lemma. (Spezialfall des Satzes von Gauß) Es sei U R n 1 offen, I =], [ ein Intervall und g : U! I stetig differenzierbar. Wir setzen = {(x,x n ) 2 U I : x n apple g(x )} = {(x,x n ) 2 U I : x n = g(x )}. Dann gilt für jede stetig differenzierbare Funktion f : U I! R mit kompaktem Träger in U I und alle j xj f(x)dx = f(t) j (t)ds(t), wobei j die j-te Komponente des Normalenvektors ist. Beweis. Wir unterscheiden zwei Fälle. Fall 1: 1 apple j apple n 1. Wir beobachten zunächst, dass nach der Kettenregel g(x xj f(x) dx n = Dann folgt, da nach 26.9 und j (x) = g(x xj f(x) dx n + f(x,g(x xj g(x xj g(x ) p 1+kgrad g(x )k 2 und ds(x) = p 1+kgrad g(x )k xj f(x) dx Fubini = = U = + xj g(x ) g(x xj f(x) dx n! f(x) dx n! f(x) j (x)ds(x). dx dx U f(x,g(x xj g(x ) dx

4 Fall 2: j = n. Hier ist n (x) = p 1+kgrad g(x )k 2 1 und ds(x) = p 1+kgrad g(x )k 2 dx, somit xn f(x) dx )) f(x,) dx = f(x) U {z } n (x) ds(x). = erlegung der Eins. Es sei K kompakt und {U j : j =1,...,N} eine Überdeckung durch offene engen. Wir setzen U " j = {x 2 U j j ) >"}. Da {U " j : j =1,...,N; ">} ebenfalls eine offene Überdeckung von K ist, und da U " j U j für ">, finden wir ein "> mit der Eigenschaft, dass K S N j=1 U " j. Indem wir eine zu {U j " } gehörige grobe erlegung der Eins nach mit einer geeigneten glatten Funktion falten (!Übung), erhalten wir eine der Überdeckung {U j } untergeordnete erlegung der Eins. Unter Kartenwechseln bleiben diese glatten Funktionen -mal differenzierbar Gaußscher Integralsatz. R n sei kompakt mit glattem Rand und R n die äußere Normale. Ferner sei U offen und F : U! R n ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann ist divf (x) dx = hf (x), Erweiterung. an nennt a regulär, wenn es eine Umgebung U von a gibt, so eine glatte annigfaltigkeit ist, sonst singulär. Der Satz von Gauß gilt auch noch, wenn die enge der singulären Randpunkte den (n 1)-dimensionalen inkowski-inhalt Null hat, die Funktion F auf stetig ist und div F auf dem Inneren von stetig ist. (ohne Beweis) Beweis. Wir überdecken mit endlich vielen offenen engen U j so, dass entweder (a) U j (U j schneidet den Rand nicht) oder (b) nach evtl. Umnummerierung der Koordinaten ist U j = U I mit U offen in R n 1 und I =], [ und U j \ = {(x,x n ) 2 U I : x n apple g(x ).} it Hilfe einer untergeordneten erlegung der Eins können wir annehmen, dass F seinen Träger in einer dieser engen hat. Im Fall (i) gilt, weil nach Lemma die linke Seite Null ist und die rechte ohnehin Null ist (F Im Fall (ii) folgt die ussage durch Summation über j =1,...,n aus Lemma Beispiel. Wir betrachten auf R n das Vektorfeld F (x) =x mit div F (x) = P n j=1 1=n für alle x. Für jede kompakte enge mit glattem Rand ist dann nach Gauß vol = 1 div F (x) dx = 1 hx, ids(x). n Greensche Formel in der Ebene. Es sei ' :[a, b]! R 2 eine stetig differenzierbare, überschneidungsfreie geschlossene Kurve, die den Rand der kompakten enge G R 2 im positiven Sinn durchläuft, d.h. es = '([a, b]), ' (t) 6= für alle t und für x = '(t) sei die äußere Normale (x) = (' 2 (t), ' 1 (t)) k'. (t)k 63

5 64 Das Oberflächenmaß auf ' ist ds(t) =k' (t)k dt. lso folgt nach vol G = 1 i ds(x) = 1 b ' 1 (t)' 2 2(t) ' 2 (t)' 1(t) dt. a Dies ist aber gerade ein Kurvenintegral. it der üblichen Schreibweise (x, y) für die Variablen in R 2 und für Kurvenintegrale ( R hf,dxi = P R b a f j( (t)) j (t) dt) erhalten wir also vol G = 1 xdy ydx. 2 Bemerkung. Es langt hier, dass ' stückweise stetig differenzierbar ist. ' rchimedisches Prinzip. Ein fester Körper sei eingetaucht in eine Flüssigkeit der konstanten Dichte c>, deren Oberfläche mit der Ebene x 3 =in R 3 zusammenfalle. Die Physik sagt uns, dass im Punkt x die Flüssigkeit einen Druck der Stärke cx 3 (x) ausübt, wobei die äußere Normale ist (man beachte, dass x 3 negativ ist und der Druck nach innen gerichtet ist). Die Gesamtauftriebskraft ist F = cx 3 (x) ds(x); für jede Komponente F j von F gilt also F cx 3 j (x) ds(x). Dies ist ein Integral der Form c hf j, ids, wobei f 1 (x) x 1 3,f 2 (x) 1 x 3,f 3 (x) 1. Folglich ist nach Gauß F j = hf j (x), (x)i ds(x) =c x 3 divf j (x) dx j dx. Damit ist F 1 = F 2 =, während F 3 = c 1 dx = c vol() ist. Der Körper erfährt also eine nach oben gerichtete uftriebskraft, die gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit ist.