Sei ω eine symplektische Struktur auf U 2n. Satz 12. In einer Umgebung eines beliebigen Punktes x gibt es

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1 Satz von Darboux Sei ω eine symplektische Struktur auf U 2n. Satz 12. In einer Umgebung eines beliebigen Punktes x gibt es Koordinaten (x 1,..., x n, p 1,..., p n ), sodass ω = n i=1 dp i dx i. Ferner gilt: Für eine der Koordinaten (z.b. p 1 ) kann man eine Funktion H wählen, welche d x H 0 erfüllt, aber ansonsten beliebig ist. Jede symplektische Differentialform ist also lokal kanonisch. Bemerkung. Eine stärkere Aussage ist ebenfalls richtig: Wenn für Funktionen F 1,..., F k die Poisson-Klammer verschwindet, {F i, F j } = 0, und außerdem die Differentiale d x F i linear unabhängig sind, so kann man die Koordinaten (x, p) so wählen, dass p 1 = F 1,..., p k = F k. Wir werden diese stärkere Aussage im Spezialfall k = n auch benötigen und deswegen (für diesen Spezialfall) auch beweisen.

2 Lemma. Betrachte Funktionen F 1,..., F k (auf U n ) mit linear unabhängigen Differentialen d x F 1,...d x F k im Punkt x. Dann gibt es Koordinaten auf einer Umgebung des Punktes x, für die F 1 = x 1,..., F k = x k. Beweis: Dies folgt aus dem Satz über die Umkehrfunktion.

3 Wichtige Beobachtung. Die Funktion H ist konstant entlang des Flusses von X H. Tatsächlich ist: X H (H) = {H, H} = }{{} (Antisymmetrie) {H, H} = 0.

4 Noch eine wichtige Beobachtung: Die Matrix Ω 1. Sei Ω die Matrix von ω in Koordinaten (x 1,..., x 2n ). Man betrachte die Matrix Ω 1. Dann gilt: Beweis. Wir haben die Formel Ω 1 = ({x i, x j }). {G, H} = dgω 1 (dh) T in Vorlesung 7 (Teil 2) bekommen. Für die Koordinatenfunktionen x i ist dx i = (0,..., 1 i, 0,..., 0) = e T i. Es ist aus LA bekannt, und kann rechnerisch sofort hergeleitet werden, dass die (i, j)-stelle von Ω 1 gerade (e i ) T Ω 1 e j ist, woraus die Behauptung folgt.

5 Schritte des Beweises des Satzes von Darboux Beweis für dim 2n = 2. Wir nehmen eine beliebige Funktion H mit d x H 0( und betrachten die 1 Koordinaten aus dem Rektifizierungssatz mit X H =. Wir erinnern 0) uns, dass wir zur Konstruktion dieser Koordinaten die Transversalhyperebene (in Dimension 2: Gerade) betrachtet haben, welche wir G nennen. Man bemerke, dass d x (H G ) 0, also kann man H als Koordinate auf dieser Gerade betrachten und folglich sind unsere Koordinaten t, H. In diesen Koordinaten ist die Matrix von ω eine antisymmetrische Matrix, also ( ) 0 f Ω =. f 0 Da X H = Ω 1 (dh) T = ist f 1 und ω = dt dh. ( 0 1/f 1/f 0 ) ( ) 0 = 1 ( ) 1, 0

6 Induktionsbeweis für beliebige Koordinaten Wir betrachten die beliebige Funktion H mit d x H 0 und die Transversalhyperebene G zur X H. OBdA ist H(x) = 0. Mit Hilfe dieser Transversalhyperebene konstruieren wir die Koordinaten t, H, y 2,..., y 2n wie im Rektifizierungssatz. Dann betrachen wir t als eine Funktion in der Umgebung von x und betrachten das Vektorfeld X x. Wie im Beweis für Dim 2 zeigt man, dass {t, H} = 1, folglich kommutieren die Vektorfelder X t, X H wegen Eigenschaft 5 der Poisson-Klammer. Wir betrachten jetzt die Version des Rektifizierungssatzes mit 2 kommutierenden Vektorfelder, als Anfangshyperebene nehmen wir den Schnitt G {y H(y) = 0}. in Koordinaten t, H, y 2,..., y 2n ist das die Menge {t = 0, H = 0}. Die Matrix von ω hat die Gestalt Ω 2n 2 (y) 0 0

7 Die Matrix von ω hat die Gestalt Ω 2n 2 (y) 0 0 Die Matrix Ω 2n 2 ist nichtausgeartet und die entsprechende 2-Differentialform ist geschlossen (als Einschränkung einer geschlossenen Form). Deswegen kann man nach Induktionsvoraussetzung die Koordinaten y 3,...y 2n so auswählen, dass die Differentialform kanonische Form hat. Folglich hat auch ω kanonische Form.

8 Noch eine Version des Satzes von Darboux Def. Die Funktionen F 1,..., F k auf (U 2n, ω) sind in Involution, oder kommutieren, wenn {F i, F j } = 0. Satz 22. Die Funktionen F 1,..., F n (auf U 2n, ω) seien in Involution. Die Differentiale d x F i im Punkt x seien linear unabhängig. Dann kann man die Koordinaten (x, p) so wählen, dass p 1 = F 1,..., p n = F n und die kanonische Form ω = dp dx ist. Beweis. Wir betrachten die Vektorfelder X Fi. Diese kommutieren (weil [X Fi, X Fj ] = X {Fi,F j } = 0) und sind linear unabhängig in x (weil X Fi (x) = Ω 1 (d x F i ) T, Ω 1 nichtausgeartet und d x F i linear unabhängig ist). Dann kommutieren auch die Flüsse von X Fi und es gibt Koordinaten t 1,..., t n, y 1,..., y n, sodass y i Koordinaten auf einer n-dimensionalen Hyperebene sind, die zu allen X Fi transversal ist. Wir betrachten die Einschränkungen der F i auf die Ebene. Diese haben im Punkt x linear unabhängige Differentiale, weshalb wir die Funktionen F 1,..., F n als Koordinaten auf der Hyperebene ansehen können. Da die Funktionen F i konstant entlang der Flüsse von X Fi sind, haben wir die Koordinaten t 1,..., t n, p 1 = F 1,..., p n = F n.

9 In diesen Koordinaten hat die Matrix Ω 1 die Form ( ) Ω 1 λ(p) 1 =. 1 0 Hier λ ist eine n n-(antisymmetriesche)-matrix sodass die Komponenten nur von der Koordinaten p abhängen. Wir erklären dies: Die Komponenten ( Ω 1) ij mit i n und j = k + n n + 1 sind {t i, F k } = X Fk t i = { 1 für i = k 0 sonst Wegen Antisymmetrie sind die Komponenten mit i = k + n n + 1 und j n gleich { 1 für i = k {F k, t i } = {t i, F k } = 0 sonst Da Flüss von X Fi die symplektische Form erhält, hängen alle Komponente von Ω, und deswegen auch Komponente von Ω 1 nicht von t i ab; deswegen hängt die Matrix λ nur von p ab.

10 In diesen Koordinaten hat die Matrix Ω 1 die Form Ω 1 = ( ) λ(p) Wir ändern jetzt die Koordinaten sodass in neuen Koordinaten (x, p) die kanonische Form dp dx hat. Wir suchen die neuen Koordinaten in der folgenden Form: (x, p) = (x 1 = t 1 + u 1 (p),..., x n = t n + u n (p), p 1,..., p n ). Man merke zuerst dass (für beliebigen glatten Funktionen u die Abbildung (t, p) (x, p) ein lokaler Diffeomorphismus ist. Wegen {p i, p j } 0 und Linearität von Poisson-Klammer gilt: im neuen Koordinatensystem die Komponente von der Matrix Ω 1 mit den folgenden Formeln gegeben sind { 1 für i = k für i n, j = k + n > n wie wir es wünschen { 0 sonst 1 für i = k für j n, i = k + n > n wie wir es wünschen 0 sonst für i n, j n λ ij + u j p i u i p j wir wollen dass sie = 0 Wir bekommen deswegen das PDE-Gleichungssystem λ(p) ij + u j p i u i p j = 0 auf unbekannten Funktionen u(p) i ; es bleibt uns zu zeigen dass das System eine Lösung haben; dabei werden wir die Bedingung, dass ω geschlossen ist, benutzen.

11 Ω 1 = ( ) λ(p) Wir müssen Existenz einer Lösung des PDE-Systems λ(p) ij + u j u i = 0 zeigen p i p j Zuerst bemerke, dass die Matrix Ω = ( Ω 1) ( ) 1 ( ) 1 λ(p) = = λ(p) Da ω geschlossen ist, ist auch die 2-Differentialform auf U R n (p) λ := i<j λ(p) ij dp i dp j geschlossen. Nach Poincare-Lemma (wird auf der nächsten Folie wiederholt und bewiesen) existiert dann lokal eine 1-Differentialform u := u(p) i dp i sodass du = λ λ ij = u j p i u i p j ist. Wir sehen dass diese Bedingung mit dem PDE-Systems oben übereinstimmt; daher gibt es eine Lösung des Systems und damit ist Satz 22 bewiesen (wir müssen noch Poincare-Lemma beweisen)

12 Poincare-Lemma Poincare-Lemma. Sei ω eine geschlossene k-differentialorm. Dann gibt es lokal eine k 1-Differentialform f sodass df = ω. Bemerkung. Spezialfall k = 1 haben wir bereits bewiesen. Wir werden jetzt den Spezialfall k = 2 zeigen; Beweis kann man für beliebiges k verallgemeinern. Beweis. Sei ω eine 2-Differentialform mit dω = 0. Wir arbeiten lokal, in einem Ball. Wir definieren 1-Differentialform α gegeben durch α p (ξ) = 1 0 ω tp (p, tξ)dt. Glattheit ist offensichtlich. Wir merken auch dass α p (p) = 1 0 ω tp(p, tp)dt = 0.

13 Wir betrachten jetzt einen Vektorfeld ξ definiert durch ξ(x) = x p ξ. Man merke dass in Punkten von Form tp wir die Gleichung ξ(tp) = tξ haben, deswegen kann man die Formel für α(p) wie folgt umschreiben: α p (ξ) = 1 0 ω tp (p, ξ)dt. Dass ist Integral von Funktion ω tp (p, ξ) entlang der Verbindungsstecke zwichen 0 und p, und deswegen gilt x p (α x (ξ)) = ω x (p, ξ). ( ) In der Formel oben versteht man x als einen Vektorfeld (deren componenten in Punkt x gleich (x 1,..., x n ) sind) und α x (ξ) als eine Funktion, deren Wert in Punkt x die Zahl α x (ξ) ist. Die Formel ( ) ist dann der (Newton-)Satz über der Stammfunktion t f (s)ds = f (t). 0

14 Wir brauchen noch die Leibnitz-Formel L X (α(y )) = (α(l X Y )) + L X (α) (Y ). Ähnliche Formeln haben wir bereits früher in Vorlesung über Poisson-Klammern bewiesen mit Hilfe des Rektifizierungssatzes. Man merke auch dass L x ξ = [x, ξ] = 0 und deswegen L x (α(ξ)) = L X (α) (ξ).

15 Satz von Liouville Teil 1 Satz 23. Sei U 2n offen. Die Funktionen H := F 1,..., F n haben die folgenden Eigenschaften: 1. Sie kommutieren 2. Für die Werte c 1,..., c n sind in allen Punkten einer Zusammenhangskomponente der Menge {x F 1 (x) = c 1,..., F n (x) = c n } die Differentiale d x F 1,..., d x F n linear unabhängig. 3. Diese Zusammenhangskomponente ist kompakt. Dann gilt: Die Zusammenhangskomponente ist isomorph zu einem Torus R n /Z n und die Einschränkung des Flusses von H auf den Torus ist linear, also Φ X H t (x 1,..., x n ) = (x 1 + c 1 t,..., x n + c n (t)). Dabei sind x 1,..., x n die koordinaten auf R n, die Koordinaten (x 1 mod 1,..., x n mod 1) induzieren.

16 Schritte des Beweises des Satzes von Liouville Def. Die Wirkung (Aktion, Operation) einer Gruppe G auf einer Menge ist ein Homomorphismus α : G {Menge von Bijektionen dieser Menge auf sich selbst}. Z.B. operiert die Matrizengruppe GL(n) auf R n wie folgt: Die Abbildung α ordnet einer Matrix ihre entsprechende lineare Abbildung zu. In unserem Beweis ist G = (R n, +). Die Wirkung konstruiert man mit Hilfe von Flüssen von Vektorfeldern X Fi. Da die Zusammenhangskomponente der Menge {x F 1 (x) = c 1,..., F n (x) = c n }, auf welcher wir arbeiten, kompakt ist, ist die Wirkung wohldefiniert. Diese Gruppe operiert transitiv: Zu je zwei Punkten x, y der Zusammenhangskomponente gibt es ein Element g R n, sodass α g (y) = y.

17 Stabilisator Def. Die Gruppe G operiere auf M. Der Stabilisator des Elements x ist die Teilmenge Es gilt: G x G, G x := {g G α g (x) = x}. Der Stabilisator ist eine Untergruppe. Ist α g (x) = y, dann ist S x = g 1 S y g. In unserem Fall ist G kommutativ, also S x = S y. Die Zusammenhangskomponente der Menge {x F 1 (x) = c 1,..., F n (x) = c n }, auf welcher wir arbeiten, ist dann isomorph zu R n /S x, wobei der Isomorphismus mit der Gruppenwirkung vertauscht (kommutiert). In unserem Fall ist S x ein Gitter, also eine Menge {k 1 v k n v n k 1 Z und v i R n }, wo v 1,..., v n eine Basis des R n ist. Bemerkung. Dieser Teil ist am schwierigsten zu beweisen. Aus diesen Aussagen folgt der Satz von Liouville.