8. Kleinsche Geometrie I: Hyperbolische Geometrie. Das Erlanger Programm.

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1 8. Kleinsche Geometrie I: Hyperbolische Geometrie Nach den bisherigen Ergebnissen müssen wir uns nun um die Gruppe PSL 2 C kümmern. Das Studium dieser Gruppe wird uns in dieser Vorlesung zu einem neuen Typus von Geometrie führen - nämlich der Kleinschen Geometrie. Wir werden uns zunächst mit dem allgemeinen Ansatz der Kleinschen Geometrie vertraut machen, bevor wir - nach diesem Programm - eine konkrete Kleinsche Geometrie konstruieren werden. Es wird dann diese neu konstruierte Kleinsche Geometrie sein, die uns helfen wird, die uns interessierende Gruppe PSL 2 C zu verstehen. Das Erlanger Programm. Die Kleinsche Geometrie wurde zuerst von Felix Klein, einem Göttinger Mathematiker und Kollegen von David Hilbert, beschrieben und im sog. Erlanger Programm formuliert [Felix Klein, Das Erlanger Programm, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Bd. 253, Verlag Harri Deutsch]. Unter dem Erlanger Programm versteht man genauer die folgende Formulierung aus dieser Arbeit: Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe gegeben; man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde hinsichtlich solcher Eigenschaften untersuchen, die durch die Transformationen der Gruppe nicht geändert werden. Grundlage des Erlanger Programms ist also der Begriff der Gruppe. Unter einer Transformationsgruppe versteht man eine Gruppe, die auf einer Mannigfaltigkeit operiert. Es würde hier zu weit führen klären zu wollen, was unter einer Mannigfaltigkeit zu verstehen ist. Für unsere Zwecke genügt es unter einer Mannigfaltigkeit eine Menge zu verstehen, etwa die Räume R, R 2, R 3, R 4 oder C. Definition. Sei G eine Gruppe und M eine Menge. Unter einer Operation von G auf M versteht man eine Abbildung mit (1) ϕ(e,m) = m, und ϕ : G M M, ϕ(g,m) = g(m) (2) ϕ(g 2 g 1,m) = (g 2 g 1 )(m) = g 2 (g 1 (m)), für alle m M.

2 62. Geometrie Man sagt G operiert transitiv auf M, wenn, für je zwei m,n M, ein g G existiert mit g(m) = n. Ist G M M eine Gruppen Operation, dann setzt man, für alle m M: Stab m (G) := { g G g(m) = m }. Stab m (G) heißt der Stabilisator der Gruppe G im Punkt m. Satz. Sei G M M eine Gruppen Operation, dann gilt (1) Stab m (G) ist eine Untergruppe von G, und (2) Wenn G transitiv operiert, dann ist Stab m = Stabn (G), für je zwei Elemente m,n M. Beweis. ad (1): Seien g 1,g 2 Stab m (G). Dann ist (g 2 g 1 )(m) = g 2 (g 1 (m)) = g 2 (m) = m und somit g 2 g 1 Stab m (G). Weiter ist e = g 1 g(m) = g 1 (m), für alle g Stab m (G). Also g 1 Stab m (G), für alle g Stab m (G). ad (2): Da G transitiv operiert, gibt es ein h G mit h(m) = n. Die Zuordnung g hgh 1 definiert eine Abbildung ψ : Stab m (G) Stab n (G), denn, wegen ist ψ(g) Stab n (G). Weiter ist hgh 1 (n) = hgh 1 (h(m) = hg(m) = h(m), ψ(g 2 g 1 ) = hg 2 g 1 h 1 = hg 2 h 1 hg 1 h 1 = ψ(g 1 )ψ(g 2 Also ist ψ ein Homomorphismus. Sei g kern(ψ). Dann ist ψ(g) = hgh 1 = id. Also hg = h und so g = id. Also ist ψ injektiv. Schliesslich ist ψ(h 1 gh) = hh 1 ghh 1 = g und so ist ψ surjektiv. Die Operation von PSL 2 C. Betrachte die beiden Matrixgruppen SL 2 C = { A Mat 2 C det(a) = 1 }, PSL 2 C = SL 2 C/±I, d.h. in der zweiten Gruppe werden zwei Matrizen genau dann gleich gesetzt, wenn sie sich nur durch ihr Vorzeichen unterscheiden. Eine dieser Gruppen operiert treu und die andere nicht. vskip0.5cm Definition. Sei G M M eine Gruppen Operation. Diese Gruppen Operation heißt treue Operation, wenn g = h, falls g(m) = h(m), für alle m M.

3 Die Gruppe G = Sl 2 C operiert auf C durch 10 Kleinsche Geometrie I 63 G C C, (A,z) = az + b cz + d, [ ] a b wobei A =. Diese Operation ist aber nicht treu. Es ist nämlich c d Satz. Die Operation az + b cz + d = az b cz d. z az + b cz + d definiert eine treue und transitive Operation, für die Gruppe G = PSL 2 C. Sie heißt die Operation von PSL 2 C durch gebrochen lineare Transformationen. Beweis. Klar. Wir werden jetzt die Operation durch gebrochen lineare Transformationen etwas genauer untersuchen. Konforme Transformationen. Die für uns grundlegende Eigenschaft der gebrochen linearen Transformationen ist die im folgenden Satz bewiesene Tatsache, dass sie Kreise in Kreise abbilden. Abbildungen mit dieser Eigenschaft nennt man konforme Abbildungen. Satz. Die Abbildung ϕ(z) = az+b cz+d bildet Kreise in C auf Kreise in C ab. Bemerkung. In diesem Satz zählen Geraden auch als Kreise - es sind Kreise die durch durch den Punkt gehen. Beweis. Die allgemeine Gleichung für einen Kreis ist oder mit A,b 1,b 2,C R. Nun erhält man aus (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 A(x 2 + y 2 ) + b 1 x + b 2 y + C = 0, z = x + iy, z = x iy die Ausdrücke x = 1 2 (z + z), y = i 2 ( z z), z z = x2 + y 2.

4 64. Geometrie Setzt man dies oben ein, dann erhält man Az z (b 1 ib 2 )z (b 1 + ib 2 ) z + C = 0. Setzt man weiter B = 1 2 (b 1 ib 2 ), dann ergibt sich folgende allgemeine Kreisformel: Az z + Bz + B z + C = 0 wobei A, C R. Um Mittelpunkt und Radius dieses Kreises zu finden, beachte man, dass man die obige Gleichung auch wie folgt umschreiben kann: ( z + B )( z + B ) = B B AC A A A 2, Also ist die obige Gleichung die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt B A und Radius B B AC A. Wir können annehmen, dass B B > AC, da wir nur reelle Kreise betrachten. 2 Wir betrachten jetzt die Bilder unter ϕ von Kreisen. Dazu setzen wir die obigen Ausdrücke für z und z in die allgemeine Kreisgleichung ein und erhalten: A ( dw + b)( d w + b) (cw a)( c w ā) A ( dw + b)( d w + b) (cw a)( c w ā) (Ad d B cd Bc d + Cc c)w w + ( A bd + Bād + B bc Cāc)w + B dw + b cw a + B d w + b c w ā + C = 0 ( dw + b)( c w ā) + B (cw a)( c w ā) + B ( d w + b)(cw a) ( c w ā)(cw a) + C = 0 + ( Ab d + Bb c + Ba d Ca c)w + Ab b Bāb Ba b + Caā = 0 Hier ist w w R, da d d,c c R. Weiter ist B cd + Bc d R als Summe einer Zahl und ihrer Konjugierten. Aus dem gleichen Grund sind die konstanten Terme reell. Schließlich ist der Koeffizient von w das Konjugierte des Koeffizienten von w. Also hat der letzte der obigen Ausdrücke die Form der Gleichung des allgemeinen Kreises. Dies beweist den Satz. Kleinsche Geometrie für PSL 2 C. Man nutzt nun die Konformität der gebrochen linearen Transformationen aus, um für PSL 2 C eine Kleinsche Geometrie zu definieren. Definition. Eine Kleinsche Geometrie für PSL 2 C ist ein Tripel (P, G, E), wobei

5 10 Kleinsche Geometrie I 65 (1) Die Elemente von P sind Tripel von Kreisen in R 2, die paarweise nicht disjunkt sind, modulo der unten gegebenen Äquivalenzrelation. Die Elemente von P heißen Punkte. (2) Die Elemente von G sind Paare von nicht disjunkten Kreisen in R 2, modulo der unten gegebenen Äquivalenzrelation. Diese Element heißen Geraden. (3) Die Elemente von E sind Kreise in R 2. Diese Elemente heißen Ebenen. Punkt Gerade Ebene Definition. Zwei Paare von nicht disjunkten Kreisen heißen äquivalent, wenn sie dieselben Schnittpunkte haben. Also könnte man G mit der Menge der Punkte Paare von R 2 identifizieren. Um die Äquivalenzrelation zwischen Tripel von Kreisen zu erklären, bezeichne die Strecke, die die beiden Schnittpunkte von einem nicht disjunkten Paar von Kreisen verbindet, als Mittelstrecke des Kreispaares. Dann gilt: Satz. Sei (K 1,K 2,K 3 ) ein Tripel von paarweise nicht disjunkten Kreisen. Dann schneiden sich die Mittelstrecken der drei Mittelstrecken für (K 1,K 2 ),(K 1,K3),(K 2,K 3 ) in einem Punkt, dem Zentrum des Kreis Tripels. Das Zentrum zerlegt jede Mittellinie in zwei Strecken. Da Produkt dieser Strecken ist für alle Mittellinien gleich, es heißt der Modulos des Kreis Tripels. Beweis. Siehe unten. Definition. Zwei Tripel von paarweise nicht disjunkten Kreisen heißen äquivalent, wenn sowohl Zentrum als auch Modulos übereinstimmen.

6 66. Geometrie Zentrum und Mittelstrecken Mittelstrecke Wir haben die folgenden Relationen (im Hilbertschen Sinne): Ein Punkt ist zu einer Geraden inzident, wenn sein Zentrum auf der Mittelstrecke der Geraden liegt und diese Strecke in zwei Strecken so zerlegt, dass ihr Produkt gleich dem Modulos des Punktes ist. Eine Gerade ist zu einer Ebene Inzident, wenn ihre Endpunkte auf dem Kreis der Ebene liegen. Seien drei Punkte P 1,P 2,P 3 auf einer Geraden gegeben. Dann liegt P 2 zwischen P 1,P 2, wenn einer seiner Kreise zwischen Kreisen von P 1 und P 2 liegt. Q P g g R Ein Punkt, Q, zwischen zwei anderen Punkten, P.R, einer Geraden, g Zwei Strecken sind kongruent, wenn eine auf die andere durch ein Element von PSL 2 C abgebildet wird. Zwei Winkel sind kongruent, wenn einer auf den anderen durch ein Element von PSL 2 C abgebildet wird. Man überzeugt sich leicht, dass diese geometrischen Objekte alle Hilbertschen Axiome erfüllen - außer dem Parallelenaxion. Deswegen nennt man diese Geometrie eine nicht- Euklidische Geometrie.

7 Hyperbolische Geometrie. 10 Kleinsche Geometrie I 67 Um aus der obigen Kleinschen Geometrie (deren Grundelemente gewisse Mengen von Kreisen in R 2 bzw. C sind), die hyperbolische Geometrie zu machen, müssen wir eine Dimension borgen. Wir betrachten als jetzt R 2 R 3 als Koordinaten Unterraum von R 3. Sei R 3 + := { x = [x 1,x 2,x 3 ] R 3 x 3 > 0 } Jedem Kreis K R 2 ordnen wir die Halbkugel in R 3 + zu, deren Mittelpunkt in R 2 liegt und die R 2 in K trifft. Definition. Der obere Halbraum R 3 + heißt hyperbolischer Raum. Die hyperbolische Geometrie ist ein Tripel (P, G, E), wobei die Ebenen aus E die obigen Halbkugeln in R 3 +, die Geraden aus G die Punkte aus P die Schnitte von zwei Ebenen und die Schnitte von drei Ebenen sind. Jede Gerade ist Schnitt von zwei Ebenen Mit dieser Konvention können wir eine Operation G R 3 + R 3 + von G = PSL 2 C auf dem hyperbolischen Raum R 3 + angeben. Hierfür definieren wir das Bild g(p) eines Punktes P R 3 + unter dem Element g PSL 2 C wie folgt. Zunächst wähle drei hyperbolische Ebenen im hyperbolischen Raum, die sich in P schneiden. Die Bilder dieser Ebenen sind durch die Bilder der Randkreise unter der gebrochenen linearen Transformation von g auf R 2 gegeben. Also bildet g ein Tripel von hyperbolischen Ebenen auf ein Tripel von hyperbolischen Ebenen ab. Damit ist aber die Operation auf den Punkten des hyperbolischen Raumes definiert, da sich drei hyperbolische Ebenen in höchstem einen Punkt treffen. Aus dem folgenden Korollar zum Pythagoräischen Lehrsatz lässt sich dann schnell beweisen, dass die Äquivalenzrelationen in den Definitionen von Punkten und Geraden der Kleinschen Geometrie von PSL 2 C gerade den Punkten und Geraden der hyperbolischen Geometrie entsprechen.

8 68. Geometrie Satz. Sei ein rechtwinkliges Dreieck. Sei h seine Höhe. Seien p,q die Strecken in die die Hypothenuse von durch den Aufpunkt von h zerlegt wird. Dann ist h 2 = p q Beweis. a h b p q Der Höhensatz a 2 = h 2 + p 2 und b 2 = h 2 + q 2. Also (h 2 + p 2 ) + (h 2 + q 2 ) = a 2 + b 2 = (p + q) 2 = p 2 + 2pq + q 2 und so h 2 = p q. Dies beweist Satz. Die Kleinsche Geometrie von PSL 2 C ist der hyperbolischen Geometrie von PSL 2 C äquivalent. Beweis. Klar. Damit ist die Geometrie des hyperbolischen Raumes auf synthetische Weise gegeben. Man sieht tatsächlich leicht, dass alle Axiome der Hilbertschen Geometrie erfüllt sind - bis auf das Parallelaxiom. Wir können aber - wie in der Hilbertschen Geometrie - noch nicht messen. Es bleibt die Aufgabe aus der hyperbolischen Geometrie eine cartesische hyperbolische Geometrie zu machen in der man dann auch Längen und Winkel messen kann. Auf dieses Problem kommen wir in der übernächsten Vorlesung zurück. Zunächst müssen wir noch die orthogonalen Abbildungen, d.h. die Isometrien der hyperbolischen Geometrie studieren. Für diesen Abschnitt wurde das Buch [L. R. Ford, Automorphic Functions, Chelsea] herangezogen.