} Symmetrieachse von A und B.

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1 5 Symmetrieachsen Seite 1 von 6 5 Symmetrieachsen Gleicher Abstand von zwei Punkten Betrachtet man zwei fest vorgegebene Punkte A und B, drängt sich im Zusammenhang mit dem Abstandsbegriff eine Frage auf, die der im vorigen Pargraphen gestellten ähnelt: Welche Punkte haben von A und B denselben Abstand? Im Unterschied zu der Frage Welche Punkte haben von einem Punkt M denselben Abstand? ist diese auch dann sinnvoll, wenn der gleiche Abstand nicht vorgegeben wird, sondern frei wählbar ist. In der Euklidischen Geometrie wird mit Hilfe der Kongruenzsätze bewiesen: (1) Wenn ein Punkt P von A und B denselben Abstand hat, dann liegt P auf der Symmetrieachse 1 von A und B. () Wenn ein Punkt P auf der Symmetrieachse der Punkte A und B liegt, dann hat P von A und B denselben Abstand. A B Beide Sätze können zu einer Aussage zusammengefasst werden: Ein Punkt P hat genau dann von A und B denselben Abstand, wenn er auf der Symmetrieachse von A und B liegt. Daraus ergibt sich die folgende Punktmengenbeschreibung der Symmetrieachse: Die Symmetrieachse der Punkte A und B ist die Menge der Punkte, die von A und B denselben Abstand haben. zu (1) P zu () P A M B A M B Dieser Maßgabe der Klassischen Geometrie folgend, definieren wir in der Analytischen Geometrie: Definition Gegeben seien zwei verschiedene Punkte A und B. Dann heißt die Punktmenge m AB = { P d ( P, A) = d ( P,B) } Symmetrieachse von A und B. Beispiel Gegeben seien die Punkte A = ( 1; 5) und B = (3; 1). Dann gilt für jeden Punkt P = (x; y) : d(p, A) = d(p, B) (x +1) + (y 5) = (x 3) + (y +1) x + x +1 + y 10y + 5 = x 6x y + y + 1 8x 1y = 16 x 3y = 4 1 In der Klassischen Geometrie versteht man unter der Symmetrieachse zweier Punkte die Gerade, die die Verbindungsstrecke der beiden Punkte senkrecht halbiert. Sie ist damit identisch mit der Mittelsenkrechten der Verbindungsstrecke.

2 5 Symmetrieachsen Seite von 6 Die Rechnung lässt vermuten, dass die Gleichung einer Symmetrieachse immer die Form besitzt, wobei die Koeffizienten a, b und c feste reelle Zahlen sind, die von den Koordinaten der beiden vorgegebenen Punkten herrühren. Satz (Zwei-Punkte-Gleichung einer Symmetrieachse) ( ) und B = ( x B ; y B ) zwei verschiedenen Punkte, so liegt ein Punkt P = (x; y) Sind A = x A ;y A genau dann auf der Symmetrieachse m AB, wenn seine Koordinaten die Gleichung (x B x A )x + (y B y A )y = (x B xa ) + (yb ya ) erfüllen. Beweis: d(p, A) = d(p, B) (x x A ) + (y y A ) = (x x B ) + (y y B ) ( ) + y ( yy A + y A ) = x ( xx B + x B ) + y ( yy B + y B ) x xx A + x A xx A xx B + yy A yy B = x A xb + ya yb xx B xx A + yy B yy A = x B xa + yb ya (x B x A )x + (y B y A )y = (x B xa ) + (yb ya ) Damit ist gezeigt, dass sich jede Symmetriachse durch eine Gleichung der Form beschreiben lässt. Die Zwei-Punkte-Gleichung macht darüber hinaus deutlich, dass a = 0 und b = 0 nicht gleichzeitig gelten kann, wenn die Punkte A und B verschieden sind. Im Anhang zu diesem Pragraphen wird gezeigt, dass auch umgekehrt jede Gleichung der Form wiederum eine Symmetriachse zweier Punkte A und B beschreibt, wenn wenigstens einer der beiden Koeffizienten a oder b von 0 verschieden ist. Wir fassen den oben notierten Satz mit seiner (noch zu beweisenden) Umkehrung zusammen: Theorem Eine Punktmenge ist genau dann eine Symmetrieachse von zwei verschiedenen Punkten A und B, wenn sie durch eine Gleichung der Form beschrieben werden kann, wobei einer der reellen Koeffizienten a und b von 0 verschieden ist. Anmerkung Die Gleichung 0 x + 0 y = c wird von allen Punkten (x; y) erfüllt, falls c = 0 gilt. Ist c 0, so wird die Gleichung 0 x + 0 y = c von keinem Punkt (x; y) erfüllt. Es ist allseits bekannt, dass der Mittelpunkt M eines Kreises k(m; r) kein Punkt des Kreises ist, den er erzeugt, denn es gilt d(m, M) = 0 und nicht d(m, M) = r. Analog dazu gilt: Anmerkung Sind A und B zwei verschiedene Punkte, so gehören sie nicht zu ihrer Symmetrieachse m AB. Beweis: Es gilt d(a; A) d(a; B) und d(b; A) d(b; B).

3 5 Symmetrieachsen Seite 3 von 6 Übungen zu 5 Aufgabe 5.1 Gegeben sind die Punkte A = ( 5; 1) und B = (7; 5) sowie R = (0; 6), S = (; 0) und T = (4; 6). (a) Trage die fünf Punkte in ein Koordinatensystem ein und miss die Abstände von R, S und T jeweils zu A und zu B. (b) Zeige rechnerisch, dass die Punkte R, S und T jeweils gleich weit von A und B entfernt sind. (c) Ermittle aus dem Ansatz d(p, A) = d(p, B) die Gleichung der Symmetrieachse m AB. (d) Zeige, dass die Koordinaten von R, S und T die Gleichung der Symmetriachse erfüllen. Aufgabe 5. Trage die Punkte A und B in ein Koordinatensystem ein und konstruiere ihre Symmetrieachse mit Zirkel und Lineal. Trage dann die Punkte P und Q in die Zeichnung ein. Bestimme die Gleichung der Symmetrieachse m AB der Punkte A und B mit Hilfe der Definition, d.h. über den Ansatz m AB : d ( x; y ), A ( ), B ( ) = d ( x;y ), und überführe sie in die Form. Prüfe mit Hilfe der vereinfachten Gleichung, ob die Punkte P und Q auf der Symmetrieachse liegen. (a) A = ( 3; ), B = (9; ), P = ( 1; 1), Q = (5; 6) (b) A = ( 3; 4), B = (6; 8), P = (4; 0), Q = ( 9; 10) (c) A = ( ; 1), B = (8; 1), P = (3; 6), Q = (5; 1) (d) A = (3; 7), B = (3; 3), P = (7; 3), Q = ( 7; ) Aufgabe 5.3 Gegeben seien die Punkte A = ( 4; 4) und B = (8; ). Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein, konstruiere mit Zirkel und Lineal ihre Symmetrieachse m AB. (a) Bestimme die Gleichung von m AB. Löse die folgenden Teilaufgaben zunächst zeichnerisch und überprüfe dann die Lösungen rechnerisch. (b) Welche Punkte der Abszisse liegen auf der Symmetrieachse m AB? (c) Welche Punkte der Gitterlinie v: x = 1 liegen auf m AB? (d) Welche Punkte mit Koordinaten der Form (t; t) liegen auf m AB? (e) Gibt es Punkte auf m AB, die vom Ursprung den Abstand 18 haben? (f) Welche Punkte des Kreises um S = (5; ) mit dem Radius 50 liegen auf m AB? [ 18 und 50 können zeichnerisch als Längen von Rechteckdiagonalen gewonnen werden.] Bei allen folgenden Aufgaben können die geforderten Symmetrieachsengleichungen mit Hilfe der Formel für die Zwei-Punkte-Gleichung einer Symmetrieachse ermittelt werden. Aufgabe 5.4 (s. auch Lehrbuch Seite 5, Aufgabe 9) Gegeben sind die drei Punkte A = (; 4) [(1; 1)], B = (1; 3) [(3; 1)] und C = ( 6; ) [(9; 5)]. (a) Zeige zeichnerisch, dass sich die drei Symmetrieachsen m AB, m AC und m BC in einem Punkt M schneiden. (b) Bestimme die Gleichungen von m AB, m AC und m BC. (c) (d) (e) (f) Zeige, dass m AB und m AC genau einen gemeinsamen Punkt M haben. Weise nach, dass M auch auf m BC liegt. Berechne die Abstände, die M zu A, B und C hat. Begründe weshalb A, B und C auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt M liegen.

4 5 Symmetrieachsen Seite 4 von 6 Aufgabe 5.5 Gegeben sind die Punkte A = ( 5; ), B = (3; 6), C = (9; ) und D = (1; 6). (a) Bestimme zeichnerisch und rechnerisch den Schnittpunkt S der Symmetrieachsen m AB und m BC sowie den Schnittpunkt T der Symmetrieachsen m CD und m DA. (b) Überlege anschaulich, welche Bedingungen an das Viereck ABCD gestellt werden müssen, damit die Punkte S und T übereinstimmen. * * * * * * * Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf die Fragestellung, die im Anhang des Paragraphen näher untersucht wird: Beschreibt eine Gleichung der Form immer eine Symmetrieachse? Aufgabe 5.7* Gib zwei Punkte A und B an, die (a) die Abszisse [Gleichung: y = 0] (b) die Ordinate [Gleichung: x = 0] (c) die horizontale Gitterlinie h: y = 3 (d) die vertikale Gitterlinie v: x = 5 als Symmetrieachse besitzen. Stelle jeweils für die angegebenen Punkte A und B die Zwei-Punkte-Gleichung ihrer Symmetrieachse auf und prüfe auf diese Weise, ob die Punkte A und B korrekt angegeben worden sind. Die Aufgabe verdeutlicht am Beispiel folgenden Sachverhalt: (i) (ii) Aufgabe 5.8* Jede Gitterlinie lässt sich als Symmetrieachse zweier Punkte deuten; genauer: Zu jedem Punkt, der nicht auf der betrachteten Gitterlinie liegt, kann genau ein zweiter Punkt gefunden werden, so dass die beiden Punkte zusammen die vorgegebene Gitterlinie als Symmetrieachse besitzen. ( ) habe die Gleichung 3x 5y = 4. Die Symmetrieachse der Punkte A = (6; 4) und B = x B ; y B Bestimme die Koordinaten von B. Die Aufgabe verdeutlicht am Beispiel folgenden Sachverhalt: (i) Ist eine Symmetrieachsengleichung und ein Punkt A vorgegeben, so kann genau ein Punkt B gefunden werden, der zusammen mit A eine Symmetrieachse besitzt, die die gegebene Gleichung hat; anders ausgedrückt: (ii) Ist eine (Symmetrie-)Achse gegeben, so kann jeder Punkt A, der nicht auf dieser Achse liegt, auf eindeutige Weise auf einen Spiegelpunkt B abgebildet werden. Aufgabe 5.9* Zeige, dass das durch die Gleichung x + y = 3 beschriebene Objekt g die Symmetrieachse zweier Punkte A und B beschreibt. [Hinweis: Finde einen Punkt A, der nicht zu g gehört, und verfahre dann wie in Aufgabe 5.8.] Die Aufgabe verdeutlicht am Beispiel folgende Sachverhalte: (i) Jede Gleichung der Form ist die Gleichung einer Symmetrieachse zweier Punkte A und B, falls einer der Koeffizienten a und b von 0 verschieden ist; genauer: (ii) Ist eine Gleichung der Form vorgegeben, so kann zu jedem Punkt A, der die Gleichung nicht erfüllt, genau ein zweiter Punkt B gefunden werden, so dass die Symmetrieachse dieser beiden Punkte A und B durch die vorgegebene Gleichung beschrieben wird.

5 5 Symmetrieachsen Seite 5 von 6 Anhang zu 5 Jeder Kreis wird durch eine Gleichung der Form ax + by + cx + dy + e = 0 beschrieben. Die Umkehrung dieses Satzes ist jedoch, wie wir festgestellt haben, falsch. Ein Gegenbeispiel liefert die Gleichung y = 0. Im Hauptteil dieses Paragraphen haben wir nun festgestellt, dass jede Symmetrieachse durch eine Gleichung des Typs beschrieben wird. Aufgrund unserer Erfahrung mit Kreisgleichungen könnte es gut möglich sein, dass auch dieser Satz nicht umkehrbahr ist, weil es Gleichungen des Typs gibt, die keine Symmetrieachsen beschreiben. Tatsächlich gilt aber das folgende Theorem: Kehrsatz des Satzes über die Zwei-Punkte-Gleichung einer Symmetrieachse Gegeben seien drei reelle Zahlen a, b, c aus, wobei a und b nicht gleichzeitig gleich 0 sind. Sei g die Punktmenge, die durch die Gleichung beschrieben wird: g := ( x; y) Dann gilt: { } ( ), der nicht zu g gehört. (1) Es gibt in der Ebene immer (mindestens) einen Punkt A = x A ;y A () Zu jedem Punkt A, der nicht zu g gehört, gibt es einen Punkt B, so dass die Symmetrieachse von A und B mit g übereinstimmt. Beweis: zu (1): Nach Voraussetzung gilt a 0 oder b 0. O.B.d.A. kann angenommen werden, dass a 0 gilt. Wählen wir nun als. Koordinate des Punkts A den Wert y A = 0, so gilt offenbar: A g a x A = c x A = c a Wählen wir für die 1. Koordinate von A den Wert x A = auf g liegt. c a +1, so sind wir uns sicher, dass A nicht zu (): ( ) irgendein Punkt, der nicht auf g liegt. Wir müssen einen Punkt B = ( x B ; y B ) Sei nun A = x A ;y A finden, so dass die Symmetrieachse von A und B m AB : (x B x A )x + (y B y A )y = (x B xa ) + (yb ya ) mit g: übereinstimmt. Die beiden Koordinatengleichungen sind äquivalent, falls es eine von 0 verschiedene Zahl t gibt, so dass die Gleichung von g durch Multiplikation mit t in die Gleichung von m AB überführt werden kann. Das wiederum ist der Fall, wenn für eine von 0 verschiedene Zahl t die drei folgenden Gleichungen erfüllt sind: ( ) = t a x B = x A + a t (1) x B x A () ( y B y A ) = t b y B = y A + b t ( ) + y B ( ya ) = t c (3) x B xa o.b.d.a. (ohne Beschränkung der Allgemeinheit): Diese Floskel wird in der mathematischen Theorie immer dann verwandt, wenn darauf hingewiesen werden soll, dass eigentlich mehrere Fälle zu untersuchen wären, jedoch aus Bequemlichkeit nur einer dieser Fälle bearbeitet wird, weil die übrigen sich völlig analog (meist durch Austauschen von Bezeichnungen) erledigen lassen.

6 5 Symmetrieachsen Seite 6 von 6 ( ) x A (1),() (3) x A + a t + ya + b t ( ) y A = t c ax A t + a 4 t + by A t + b 4 t = c t a 4 + b 4 t + ax A + by A c ( ) t = 0 t = 0 t = ax A + by A c a + b = 4 ( c ax A by A ) a + b 4 Die Lösung t = 0 ist zu verwerfen, da mit t = 0 aus (1) und () sofort B = A folgen würde. In der letzten Zeile wird deutlich, warum der Punkt A nicht auf g liegen darf, wenn ein von 0 verschiedener Wert für t gefunden werden soll, der das Gleichungssystem löst: A g a x A + b x B = c a x A + b x B c = 0 Nur weil vorausgesetzt ist, dass A nicht auf g liegt, ist gesichert, dass t = 4(c ax A by A ) a + b 0 ist. Damit folgt: ( ) (1): x B = x A + a t = x A + a c ax A by A a + b (4) ( ) (): y B = y A + b t = y A + b c ax A by A a + b (5) Zur Probe bestimmen wir die Symmetrieachse der Punkte A und B; diese hat die Gleichung: ( ) x + ( y A + b t y A ) y = ( x A + a t ) x A + ( ya + b t ) y A at x + bt y = at x A + ( a t ) + bt y A + ( b t ) x A + a t x A ax + by = ax A + a 4 t + by A + b 4 t ax + by = ax A + by A + a + b ax + by = ax A + by A + c ax A by A 4 4 ( c ax A by A ) a + b Es kann gezeigt werden, dass der durch die Gleichungen (4) und (5) ermittelte Punkt der einzige ist, der den Bedingungen des Theorems genügt. Wir werden auf diesen Sachverhalt später zurückkommen. Die folgende Aufgabe demonstriert die Bedeutung der Gleichungen (4) und (5): Aufgabe 5.10* Gegeben ist die Gerade g: x 3y = 1 und der Punkt A = ( 1; 4). (a) Zeige, dass A nicht auf g liegt. (b) Bestimme B mit Hilfe der Gleichungen (4) und (5) aus dem Beweis des Kehrsatzes. (c) Bestimme die Gleichung der Symmetrieachse von A und B und zeige, dass diese zur o.a. gegebenen Gleichung von g äquivalent ist.