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1 9 Spezielle Geradengleichungen und ihre Koeffizienten Seite 1 von 7 9 Spezielle Geradengleichungen und ihre Koeffizienten Die Geraden in der Modellebene sind von uns als diejenigen Objekte definert worden, die sich durch eine Gleichung 1 der Form ax + by = c darstellen lassen, wobei a und b nicht gleichzeitig gleich 0 sein dürfen. Wir haben gezeigt, dass zwei lineare Gleichungen mit den Variablen x und y dieselbe Gerade beschreiben können, obgleich sich ihre Koeffizienten voneinander unterscheiden. Das liegt daran, dass beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl multipliziert werden können, ohne dass sich ihre Lösungsmengen ändern. Daraus folgt aber sofort, dass aus den Werten der Koeffizienten a, b oder c, jeweils isoliert betrachtet, keine Informationen über die Lage der Geraden im Koordinatensystem gewonnen werden können, denn diese können ja durch Multiplikation beliebig abgeändert werden (Ausnahme: Der betrachtete Koeffizient hat den Wert 0). x = 4 5x = 20 2x + 3y = 6 4x 6y = 12 Beispiel Die Gerade g: 2x + 3y = 6 wird auch durch die Gleichung 4x 6y = 12, durch die Gleichung 10x + 15y = 30 und viele andere Gleichungen mehr beschrieben. Glücklicherweise konnte aber auch gezeigt werden, dass lineare Gleichungen nur dann dieselbe Gerade beschreiben, wenn sie durch Multiplikation beider Seiten mit derselben Zahl auseinander hervorgehen. Die Gleichungen 2x + 3y = 6 4x + 6y = 12 6x 9y = 12 10x + 15y = 30 liefern daher vier verschiedene Geraden, wie sich durch Punktproben sofort nachweisen lässt. Eine Änderung eines Koeffizienten (z.b. Verdopplung) muss immer von der gleichen multiplikativen Änderung der anderen beiden Koeffizienten begleitet sein, wenn sich nicht die Gerade verändern soll, die die Gleichung beschreibt: 2x + 3y = 6 6x +...y =... ist nur richtig für 6x 9y = 18 Aus diesem Gedankengang ergibt sich, dass bei Festsetzung eines Koeffizienten, die anderen beiden automatisch auch festgelegt sind. Verändert man die anderen beiden Koeffizienten trotz Festsetzung eines Koeffizienten, so verändert sich die beschriebene Gerade. Wir werden nun im Folgenden zeigen, wie nach Festsetzung eines Koeffizienten (z.b. auf den Wert 1) aus den anderen beiden Koeffizienten, die ja dann unveränderbar sind, Informationen über die Lage der Gerade entnommen werden können. Achsenabschnittsgleichung einer Geraden Seien a und b zwei reelle Zahlen, von denen wenigstens eine von 0 verschieden ist. Dann beschreibt die Gleichung ax + by = 1 eine Gerade, die 1 - die Abszisse im Punkt ( a ; 0 ) schneidet, falls a 0 gilt, und - die Ordinate im Punkt o; 1 b ( ) schneidet, falls b 0 gilt. 1 Aus diesem Grund heißt eine Gleichung der Form ax + by = c (wobei a 0 oder b 0 gelte) lineare Gleichung mit den beiden Variablen x und y und den Koeffizienten a, b und c.

2 9 Spezielle Geradengleichungen und ihre Koeffizienten Seite 2 von 7 Offenbar kann jede lineare Gleichung ax + by = c durch Division durch c in eine Achsenabschnittsgleichung überführt werden, falls c 0 ist. Ist hingegen c = 0, so verläuft die Gerade durch den Ursprung. Die Umkehrung dieser Feststellung ist offenbar auch richtig. Fortsetzung des Beispiels 2x + 3y = x y = x y = 1 g schneidet daher die Abszisse im Punkt ( 3; 0) und die Ordinate im Punkt (0; 2). Haben die Achsenabschnitte 1 a und 1 günstige Werte, so können sie verwandt werden, um die Gerade b zu zeichnen. Oft genug sind die Achsenabschnitte jedoch wenig hilfreich, wie beispielsweise die Gleichung 13x + 17y = 1 verdeutlicht. In diesen Fällen ist es günstiger, einen der beiden Koeffizienten a oder b zu normieren. Fortsetzung des Beispiels (a) 2x + 3y = 6 x 3 2 y = 3 x = 3 2 x 3 (b) 2x + 3y = x + y = 2 y = 2 3 x + 2 Im ersten Fall ist der Koeffizient a, im zweiten Fall der Koeffizient b auf den Wert 1 normiert worden. Anschließend wurde die Gleichung nach der frei liegenden Variablen aufgelöst. Ist eine Geradengleichung aber nach einer Variablen aufgelöst, so können offenbar durch die Wahl von Werten für die andere Variable zügig die Koordinaten von Punkten bestimmt werden, die auf der Geraden liegen und daher zum Zeichnen der Geraden benutzt werden können. Fortsetzung des Beispiels (a) y = 2 x = = 0 y = 4 x = 3 ( 4) 3 = 9 2 (b) x = 3 y = = 4 x = 6 y = 2 ( 6) + 2 = 2 3 Die Möglichkeit, die nach einer Variablen aufgelösten Gleichungen funktional, d.h. Werte produzierend, verwenden zu können, führt zu folgender Namensgebung: Funktionsgleichung(en) einer Geraden Seien m und n zwei reelle Zahlen. Dann beschreibt die Gleichung y = mx + n [x = my + n] ( ) [Abszissenschnittpunkt N = ( n;0) ] hat und ( ) [M = ( m + n;1) ] verläuft. eine Gerade, die den Ordinatenschnittpunkt N = 0;n durch den Punkt M = 1;m + n Die Gleichung y = mx + n [x = mx + n] heißt Funktionsgleichung mit der Argumentvariablen x [y] der Geraden. In der Regel werden nur Funktionsgleichungen mit der Argumentvariablen x betrachtet, weil üblicherweise die Werte für die erste Koordinate x frei wählbar sein und die zugehörigen Werte für die zweite Koordinate y in Abhängigkeit von x berechnet werden sollen.

3 9 Spezielle Geradengleichungen und ihre Koeffizienten Seite 3 von 7 Anmerkung Eine Gerade kann genau dann durch eine Funktionsgleichung mit der Argumentvariablen x [y] beschrieben werden, wenn sie keine vertikale [horizontale] Gitterlinie ist. Sei g : ax + by = c eine Gerade. Dann ist a 0 oder b 0. Ist b 0, so gilt: ax + by = c by = ax + c y = a b x + c b. Ist hingegen b = 0, so muss a 0 sein. g hat dann die Gleichung ax = c bzw. x = c a daher eine vertikale Gitterlinie. und ist Wir ergänzen diesen lakonischen algebraischen Beweis durch geometrisch-konstruktive Überlegungen: Ist eine Gerade g keine vertikale Gitterlinie, so schneidet sie die Ordinate in einem Punkt N = (0; n). Außerdem schneidet die Gerade die vertikale Gitterlinie mit der Gleichung x = 1 in einem Punkt M. Wählt man als Wert für m genau die Ordinatendifferenz der Punkte M und N, so ist M = (1; n+m). m und n sind nun so gewählt, dass die Gerade mit der Gleichung y = mx + n durch die Punkte N und M verläuft. Da zwei verschiedene Punkte N und M eine Gerade eindeutig festlegen, muss g die Gerade sein, die durch die Gleichung y = mx + n beschrieben wird. nicht darstellbar m+n = n = 2 n = 1 m+n = m = 2 3 m = 1 2 y = 2 3 x + 2 y = 1 2 x +1 y = 0x 1 y = 1 2 x + 0 Die Bedeutung des Koeffizienten m wird ansatzweise durch die Erkenntnis erfasst, dass m den Wertzuwachs bzw. Wertverlust der y-koordinate eines Geradenpunktes P wiedergibt, dessen x- Koordinate ausgehend vom Wert 0 (d.h. P = N) auf den Wert 1 (d.h. P = M) anwächst. In Verallgemeinerung dieses Sachverhalts gilt das Wachstumstheorem für Geraden Seien A = (x A ;y A ) und B = (x B ;y B ) zwei verschiedene Punkte auf einer Geraden g: y = mx + n. (1) Ist x B = x A +1, so gilt y B = y A + m. (2) Ist x B = x A + Δx, wobei x irgendeine reelle Zahl sei, so gilt y B = y A + m Δx. Offenbar ist die Aussage (1) nur ein Spezialfall der Aussage (2), so dass es genügt, die Aussage (2) zu beweisen. Da A und B auf der Geraden g liegen, müssen ihre Koordinaten die Geradengleichung erfüllen. Daher gilt: (1) y A = mx A + n (2) y B = mx B + n und nach Voraussetzung (3) x B = x A + x

4 9 Spezielle Geradengleichungen und ihre Koeffizienten Seite 4 von 7 Es folgt damit der Reihe nach: (3) (2) y B = m(x A + Δx) + n = mx A + m Δx + n = (mx A + n) + m Δx (4) (1) (4) y B = y A + m Δx Die Untersuchungen zeigen, dass der Koeffizient m in der Geradengleichung y = mx + n ganz allgemein den Wertzuwachs bzw. Wertverlust angibt, den die y- Koordinate eines auf der zugehörigen Geraden wandernden Punktes P immer dann erfährt, wenn dessen x-koordinate um eine Einheit wächst. Damit gibt der Koeffizient m wieder, wie stark die Gerade, von links nach rechts betrachtet, steigt oder fällt. Definition Gegeben sei eine Gerade g: y = mx + n. Dann heißt der Koeffizient m Steigung der Geraden g. x A A x x B B y A y B m x y = mx + n Als direkte Folgerung aus dem Wachstumstheorem ergibt sich, dass der Koeffizient m aus der Geradengleichung y = mx + n für je zwei beliebig gewählte Geradenpunkte deren Koordinatendifferenzenquotient wiedergibt: Satz über den Koordinatendifferenzenquotient Gegeben sei eine Gerade g : y = mx + n. Dann gilt für je zwei verschiedene Punkte A = (x A ;y A ) und B = (x B ;y B ), die auf g liegen: y B y A x B x A = m. [Im Sonderfall x B x A = 1 gilt y B y A = m.] Wir setzen x := x B x A. Dann gilt x B = x A + Δx. Mit dem Wachstumstheorem folgt daraus y B = y A + m Δx und deshalb y B y A = m x. Insgesamt folgt y B y A = m Δx x B x A Δx = m Eine weitere für die Anwendungen besonders wichtige Folgerung aus dem Wachstumstheorem liegt in der Erkenntnis, dass eine Gerade durch die Angabe ihrer Steigung m bereits festgelegt ist, wenn sie durch einen vorgegebenen Punkt A = ( x A ;y A ) verlaufen soll. Zu jeder Abszissenänderung x, die zur x- Koordinate von A addiert wird, ist nämlich die Ordinatenänderung y = m x die einzige, die zur y-koordinate von A addiert werden kann, so dass der Punkt (x A + Δx; y A + Δy) wiederum auf der Geraden liegt. Daraus folgt jedoch, dass aus den Koordinaten eines vorgegebenen Punktes A = ( x A ;y A ) und einer vorgegebenen Steigung m direkt eine Gleichung für die zugehörige, durch diese Angaben bestimmte Gerade gebildet werden kann. Das drückt der folgende Lehrsatz aus. y A A x A x y = m x

5 9 Spezielle Geradengleichungen und ihre Koeffizienten Seite 5 von 7 Punktsteigungsgleichung einer Geraden ( ) ein Punkt und m eine reelle Zahl. Dann gibt es nur eine Gerade, die durch A Sei A = x A ;y A verläuft und die Steigung m besitzt. Diese Gerade wird durch die Gleichung ( ) y y A = m x x A beschrieben. ( ) verläuft. Dann gilt ( ) + n = mx A + m + n = ( mx A + n) + m = y A + m. ( ) auf der Geraden g liegen. Sei g: y = mx + n eine Gerade mit der Steigung m, die durch A = x A ;y A y A = mx A + n. Daraus folgt m x A +1 Also muss auch der Punkt B = x A +1; y A + m Im Zusammenhang mit dem ersten Euklidischen Geradenaxiom haben wir geprüft, dass es nur eine Gerade gibt, die durch die beiden Punkte A und B verläuft. Ihre Zwei-Punkte-Gleichung lautet: ( x A + 1) x A ( ) = ( y A + m) y A ( ) y y A = m ( x x A ). ( ) y y A ( ) x x A Der gedankliche Kreis schließt sich, wenn man erkennt, dass die Zwei-Punkte-Gleichung einer Geraden durch eine einfache Division direkt in die Punktsteigungsgleichung überführt werden kann, wenn die beiden vorgegebenen Punkte nicht auf derselben vertikalen Gitterlinie liegen. Anmerkung: ( ) und B = (x B ;y B ) zwei Punkte in der Modellebene für die x A x B gilt. Dann Seien A = x A ;y A besitzt die Gerade AB die Punktsteigungsgleichung y y A = y B y A x B x A (x x A ) Wir beschließen den Paragraphen mit Aussagen über die Lagebeziehung zweier Geraden, die mit Hilfe von Funktionsgleichungen beschrieben werden. Satz Gegeben seien zwei Geraden g 1 : y = m 1 x + n 1 und g 2 : y = m 2 x + n 2. Dann gilt: (1) g 1 und g 2 sind genau parallel oder identisch, wenn m 1 = m 2 gilt. (2) g 1 und g 2 sind genau identisch, wenn m 1 = m 2 und n 1 = n 2 gilt. zu (1): y = m 1 x + n 1 m 1 x + y = n 1 ; y = m 2 x + n 2 m 2 x + y = n 2 Das System m 1 x + y = n 1 m 2 x + y = n 2 hat die Determinante m 1 1 ( m 2 ) 1 = m 1 + m 2. zu (2): Offenbar gilt: m 1 + m 2 = 0 m 1 = m 2 g 1 und g 2 sind genau identisch, wenn die Gleichung von g 2 durch Multiplikation mit einer Konstanten t aus der Gleichung von g 1 hervorgeht. Da in beiden Gleichungen der Koeffizient von y den Wert 1 hat, kann der Faktor t nur den Wert 1 haben. Das bedeutet aber, dass g 1 und g 2 genau identisch sind, wenn m 1 = m 2 und n 1 = n 2 gilt.

6 9 Spezielle Geradengleichungen und ihre Koeffizienten Seite 6 von 7 Übungen zu 9 Übung 9.1 Überführe, soweit möglich, die folgenden Geradengleichung in die Achsenabschnittsgleichung und in die beiden Funktionsgleichungen der zugehörigen Geraden. Zeichne die Geraden mit Hilfe der aus den Gleichungen gewonnenen Informationen. Illustriere die diversen Koeffizienten der Geradengleichungen in der Zeichnung (Achsenabschnitte, Steigungen) auf geeignete Weise. (a) 4x + 7y = 28 (b) 7x + 6y = 14 (c) 15x + 20y = 0 (d) 4y = 12 Übung 9.2 Zeichne die Gerade nur mit Hilfe der gegebenen Koeffizienten. Konstruiere dazu mit Hilfe der Steigung einen zweiten Punkt mit ganzzahligen Koordinaten. (a) y = 2 5 x + 7 (b) y = 8 5 x 2 (c) y = 2 x + 3 (d) y = 0,3x 6 3 Übung 9.3 Lege ein Koordinatensystem an (1 Einheit = 1 Kästchen). Zeichne die Gerade g mit der gegebenen Gleichung unter Verwendung des gegebenen Punktes P und ihrer Steigung m. (a) y = 3x + 5 P = ( 0;y) (b) y = 7 3 x 5 P = ( 3; y) (c) y = 4 9 x (e) y = x P = ( 5;y) (d) y = 7 P = ( 3; y) P = ( 6;y) (f) x = 5 P = ( 5; y) Übung 9.4 Lies die Gleichungen der Geraden aus der Zeichnung ab. j i h g l k

7 9 Spezielle Geradengleichungen und ihre Koeffizienten Seite 7 von 7 Übung 9.5 (Aus dem Lehrbuch für die Jahrgangsstufe 8) (a) Die Stadtwerke verlangen für die Lieferung von elektrischer Energie x [kwh] einen Preis y [Euro], der sich aus einer jährlichen Grundgebühr von 30 Euro und zusätzlich 0,13 Euro pro kwh zusammensetzt. Die Rechnungssumme beläuft sich auf 486,30 Euro. (b) Beim Start einer Rakete mit einer Startmasse von 800 t werden 612 t Treibstoff in den ersten 120 Sekunden verbrannt. Welche Masse hat die Rakete eineinhalb Minuten nach dem Start? (c) In einer Klinik wird einem Kranken gleichmäßig aus einer Infusionsflasche eine Kochsalzlösung zugeführt. Nach einer halben Stunde sind noch 0,8l in der Flasche, nach 2 Stunden sind es nur noch 0,2l. Wieviel war bei Infusionsbeginn, wieviel nach einer Stunde in der Flasche? Wann ist sie leer? Übung 9.6 Gegeben sind jeweils zwei Punkte. Zeichne die Gerade durch diese Punkte, bestimme deren Steigung und gib eine Punktsteigungsgleichung an. (a) A = ( 6; 8), B = ( 4; 3) (b) C = (2; 1), D = (10; 5) (c) E = (3; 11), F = (8; 1) (d) G = ( 12; 0), H = (0; 8) (e) I = ( 7; 3), J = (2; 3) (f) K = (4; 7), L = (4; 5) Übung 9.7 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A = ( 3; 1), B = (2; 2) und C = (4; 3). Wird durch jeden Eckpunkt des Dreiecks ABC eine Parallele zur gegenüberliegenden Seite gezogen, so entsteht das Umdreieck A'B'C' des Dreiecks ABC. Bestimme die Eckpunkte des Umdreiecks. Übung 9.8 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A = ( 4; 5), B = (3; 2) und C = ( 1; 2). Ergänze das Dreieck zu einem Parallelogramm ABCD, zu einem Parallelogramm ABFC und zu einem Parallelogramm AEBC. Ist eines der Parallelogramme eine Raute? Anhang zu 9: Steigung von Strecken Der Koordinatendifferenzenquotient y B y A kann x B x A selbstverständlich auch dann für zwei Punkte A und B betrachtet werden, wenn diese nicht auf einer vorgegebenen Geraden g liegen. Allerdings ist der Quotient nur dann definiert, wenn die x-koordinaten von A und B verschieden sind. A und B dürfen also nicht auf derselben vertikalen Gitterlinie liegen. Der Quotient gibt für einen Ortswechsel von A nach B an, wie sich der Ordinatenwert im Verhältnis zum Abszissenwert, d.h. pro Abszisseneinheit, ändert. A x A y B y A x x B B y Definition: Seien A = x A ;y A ( ) und B = (x B ;y B ) zwei Punkte in der Modellebene für die x A x B gilt. Dann heißt der Quotient y B y A Steigung der Strecke AB. x B x A Der Satz über den Koordinatendifferenzenquotient kann nun wie folgt formuliert werden: Alle Strecken, die auf einer Geraden abgegriffen werden können, haben dieselbe Steigung; diese stimmt mit der Steigung der Geraden überein.