Lösung: Mathematisches Denken in Arithmetik und Geometrie1 Funktionen und Abbildungen mit GeoGebra

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1 Hinweis: Alle Grafiken dieser Lösung finden Sie auch als GeoGebra-Dateien zum Ausprobieren. 1. Verschiebung: Zeichnen Sie einen beliebigen Vektor zwischen 2 Punkten. a) Verschieben Sie den Graphen von f ( x) x² um den Vektor (verschiebe Objekt um Vektor). b) Wie wirkt sich die Verschiebung des Graphen auf die Funktionsgleichung aus? c) Zeichnen Sie einen neuen Punkt auf den Graphen von f und verschieben Sie ihn um den Vektor wie in 1 a). Verbinden Sie Punkt und Bildpunkt mit einer Strecke. d) Bewegen Sie den Punkt auf dem Graphen von f, vergleichen Sie dabei die Strecke mit dem Vektor, was fällt auf? e) Verändern Sie Ihren Vektor, indem Sie ihn an einem der Enden anfassen. Was fällt Ihnen auf? Wiederholen Sie auch Teil d) dieser Aufgabe. Lösungsbeispiel 1: Die rote Strecke ist immer parallel zu dem Vektor und genauso lang wie der Vektor. 2. Setzen Sie einen Schieberegler, den Sie m nennen und einen weiteren, den Sie c nennen. a) Zeichnen Sie die Funktion f ( x) mx c b) Verändern Sie nun die Parameter m und c mithilfe der Schieberegler. Wie beeinflussen diese Parameter das Aussehen des Graphen? c) Zeichen Sie die Funktion g( x) ax² mit dem Parameter a, indem Sie einen entsprechenden Schieberegler a setzen. Wie beeinflusst der Wert von a das Aussehen des Funktionsgraphen?

2 Lösung 2 a) und b) m gibt die Steigung des Graphen an (d.h. um wie viele Einheiten der Graph pro Einheit steigt), c gibt den y-achsenabschnitt an (d.h. an welcher Stelle der Graph die y-achse schneidet). Lösung 2 c: Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten. Für a <1 wird die Parabel offener, für a >1 geschlossener. Man sagt hier auch, dass die Parabel für a <1 in Richtung der y-achse gestaucht und für a >1 gestreckt wird. Zur Erinnerung: a bedeutet a bis auf Vorzeichen, d.h. -0,5 = 0,5 und 0,5 = 0,5

3 3. Zentrische Streckung: Zeichnen Sie den Punkt Z (0 0) und das Dreieck (Vieleck) mit den Eckpunkten A (1 1), B (5 2) und C (2 3). a) Strecken Sie das Dreieck zentrisch mit dem Faktor 2 und dem Ursprung als Streckzentrum. (Stecke Objekt zentrisch von Punkt aus.) b) Legen Sie durch Punkt und dazugehörigen Bildpunkt jeweils eine Gerade (Gerade durch zwei Punkte). Was fällt Ihnen auf? c) Strecken Sie das Ur-Dreieck (das erste) jetzt noch einmal mit dem Faktor 1,5 und einmal mit dem Faktor 1. Was fällt Ihnen auf? d) Verändern Sie das Ur-Dreieck, indem Sie das ganze Dreieck oder einen der Eckpunkte anfassen und bewegen. Was können Sie feststellen? Lösung 3: Die 3 Geraden (orange, gelb, grün) gehen bei allen Dreiecken durch die jeweiligen Eckpunkte und treffen sich im Streckzentrum. Das gilt für alle beliebigen Ur-Dreiecke. Je größer der Streckfaktor, desto weiter ist das Bild-Dreieck vom Streckzentrum entfernt. Bei einem negativen Streckfaktor entsteht das Bilddreick auf der anderen Seite des Streckzentrums. 4. Spiegelung an einer Geraden oder an einem Punkt: Zeichnen Sie die Gerade durch zwei Punkte P(1 3) und Q( 1 3) und das Dreieck (Vieleck) mit den Eckpunkten A (1 1), B (5 2) und C (2 3). a) Spiegeln Sie das Dreieck an der Geraden (spiegele Objekt an Gerade). b) Verbinden Sie jeweils Punkt und Bildpunkt mit einer Strecke (Strecke zwischen zwei Punkten). Messen Sie jeweils den Winkel zwischen Strecke und Gerade. Was fällt Ihnen auf? c) Überprüfen Sie Ihre Beobachtung, indem Sie das Ur-Dreieck wie in Aufgabe 3 d) verändern. Verändern Sie auch die Gerade, indem Sie einen der Punkte P und Q anfassen und verschieben. d) Spiegeln Sie jetzt das Dreieck an dem Punkt Q. (Spiele Objekt an Punkt).

4 Lösung 4: e) Verbinden Sie wieder jeweils Punkt und Bildpunkt mit einer Strecke. Vergleichen Sie den Abstand (Abstand oder Länge) der Eckpunkte des Ur-Dreiecks vom Punkt Q mit dem Abstand der Eckpunkte des Bild-Dreiecks vom Punkt Q. Was fällt Ihnen auf? Verändern Sie auch hier wieder das Ur-Dreieck. a) b) c) Bei diesem und bei allen anderen Ur-Dreiecken beträgt der Winkel zwischen den Verbindungsstrecken und der Spiegel-Geraden immer 90. (So ist die Spiegelung an einer Geraden definiert.) d) e) Bei der Punktspiegelung treffen sich die 3 Strecken im Spiegel-Punkt, der Abstand des Spiegelpunktes Q vom Punkt und Bild-Punkt ist jeweils gleich. (So ist die Spiegelung an einem Punkt definiert.) Übrigens: Auch bei der Geradenspiegelung ist der Abstand des Punktes und des zugehörigen Bildpunktes von der Geraden immer gleich. 5. Drehung: Zeichnen Sie den Punkt Z(1 1) und das Dreieck (Vieleck) mit den Eckpunkten A (1 1), B (5 2) und C (2 3). a) Drehen Sie das Dreieck einmal um 45, einmal um 60 und einmal um 90 im mathematisch positiven Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) um das Drehzentrum Z (drehe Objekt um Punkt mit Drehwinkel). b) Zeichnen Sie einen Kreis mit Mittelpunkt Z durch den Punkt A (Kreis mit Mittelpunkt durch Punkt), sowie zwei weitere mit Mittelpunkt Z durch B bzw. C. Was fällt Ihnen auf? Lösung 5:

5 Die Punkte und die zugehörigen Bildpunkte liegen jeweils alle auf einem Kreis. (Das bedeutet: Die Punkte haben jeweils den gleichen Abstand vom Drehzentrum Z.) 6. Additum Drehung: Zeichnen Sie wieder den Punkt Z(1 1) und das Dreieck (Vieleck) mit den Eckpunkten A (1 1), B (5 2) und C (2 3). a) Setzen Sie einen Schieberegler α, bei dem Sie die Option Winkel wählen. Drehen Sie das Ur-Dreieck um diesen Winkel α. b) Zeichnen Sie je eine Strecke vom Punkt A zum Drehzentrum Z und vom Bildpunkt von A aus Teil a) ebenfalls zu Z. Messen Sie den Winkel zwischen diesen beiden Strecken. Verfahren Sie genauso für B und C. Verändern Sie dann den Drehwinkel mithilfe des Schiebereglers. Was fällt Ihnen auf? c) Verändern Sie auch hier das Ur-Dreieck und beobachten Sie, was sich verändert und was nicht. Lösungsbeispiel 6

6 Die Winkel sind jeweils gleich groß und entsprechen dem Drehwinkel. Das gilt für jedes beliebige Ur-Dreieck. 7. Geben Sie in die Eingabezeile unten die Funktionsgleichung f ( x) x² ein. a) Bewegen Sie den Graphen. Beobachten Sie, wie sich die Funktionsgleichung im Algebrafenster verändert. Können Sie vorhersagen, wie die Funktionsgleichung sich ändert? b) Geben Sie in die Eingabezeile die Funktionsgleichung g(x)=x³ ein und verfahren Sie genauso. c) Können Sie Ihre Erfahrungen auf die Funktion h(x)=0,5x³-2x² übertragen? Lösungsbeispiel 7: siehe nächste Seite

7 Die gegebenen Funktionen sind verschoben, an den Funktionsgleichungen erkennt man wie: ist um 1,55 nach links und um 1,21 nach oben verschoben. ist um 1,4 nach rechts und um 0,53 nach oben verschoben. ist um 1,27 nach rechts und um 1,6 nach unten verschoben.

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