Seite 10 Aufgaben Zentrische Streckung 1 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag):
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- Richard Messner
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1 Seite 10 1 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 2. Die Strecke ZC halbieren (das entspricht der Streckung mit k = 0.5) C 3. Parallelverschieben CB // durch C B 4. AB // durch B A 5. AE // durch A E 6. vervollständigen. 2. Die Strecke ZD verdoppeln (hier mit dem Kreis, es geht auch mit einer anderen Verbindung mit Z). Das entspricht der Streckung mit k = 2 D 3. Parallelverschieben CD // durch D C 4. CB // durch C B 5. BA // durch B A 6. vervollständigen. 2. Die Strecke ZC auf die andere Seite abtragen (hier mit dem Kreis gezeigt) P. Die Strecke ZP halbieren und von P aus noch weiter abtragen (so ergibt sich eine Streckung mit k = (-1.5) C 3. vervollständigen durch Parallelverschieben. d) Konstruktionsbericht (Vorschlag): (Dreiecksseiten verlängern) 2. Die Strecke ZC halbieren M 3. MC auf die andere Seite von C abtragen (hier mit dem Kreis). Das entspricht der Streckung mit k = 1.5 C 4. Parallelverschieben CB // durch C B 5. vervollständigen. LösungenDossierZentrischeStreckung.doc A. Räz / Seite 1
2 Seite 11 2 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. AB verlängern 2. CB // durch C AB B 3. vervollständigen. 4. Z = A = A, weil A Fixpunkt ist (wird auf sich selber abgebildet) 1. AB // durch A 2. ED // durch E 3. AD verbinden, AD // durch A Parallele ED durch E D 4. EB verbinden, EB // durch E Parallele AB durch A B 5. BC // durch B DC // durch D C 6. vervollständigen. 7. Z muss auf AA und EE liegen. Somit genügt es, einen weiteren Punkt mit seinem Bild zu verbinden (hier BB ). Der Schnittpunkt dieser Verbindungen ist Z. 1. AE // durch A DE // durch D E 2. EB verbinden 3. EB // durch E AB // durch A B 4. DC // durch D BC // durch B C 5. vervollständigen. 6. Z muss auf AA und DD liegen. Somit genügt es, einen weiteren Punkt mit seinem Bild zu verbinden (hier EE ). Der Schnittpunkt dieser Verbindungen ist Z. LösungenDossierZentrischeStreckung.doc A. Räz / Seite 2
3 Seiten 11 / 12 3 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. DZ g D 2. DC // durch D CZ C 3. CB // durch C BZ B 4. BA // durch B AZ A 5. vervollständigen 1. EZ g E 2. ED // durch E DZ D 3. DC // durch D CZ C 4. CB // durch C BZ B 5. AB // durch B AZ A 6. vervollständigen. 2. Für jede Lösung jeweils beim jeweiligen Schnittpunkt mit g beginnen und parallel verschieben. So entstehen die drei Lösungen. 3. Die grösste Bildfigur rot markieren, die anderen beiden mit anderen Farben. d) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Alle Bildpunkt mit Z verbinden. 2. Nun betrachten wir die Möglichkeiten und entdecken, dass die Version mit B auf g am kleinsten wird (Die Strecke wird deutlich verkürzt. Bei C auf g würde CZ etwa halbiert, bei A auf g wird die Figur enorm vergrössert). 3. Parallelverschieben 4. Vervollständigen. LösungenDossierZentrischeStreckung.doc A. Räz / Seite 3
4 Seiten 11 / 12 / 13 4 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Die Figur kann als zentrische Streckung bezüglich des markierten Punktes Z betrachtet werden. Wir beginnen mit einem Rechteck (dazu brauchen wir die Winkelhalbierende w und dazu ein Lot D, C ) 2. Ein beliebiges Hilfsrechteck zeichnen, dessen Breite der Hälfte der Länge entspricht (A, B ) 3. Dieses Hilfsrechteck von Z aus strecken, bis A und B auf dem Dreieck liegen. 4. Parallelverschieben 5. Vervollständigen. 1. Den Mittelpunkt des Durchmessers bestimmen (M) 2. Einen Punkt A auf dem Kreisdurchmesser bestimmen, den Punkt A 3. Parallelverschieben 4. Vervollständigen. 5 Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Einen beliebigen Winkel an A anlegen. 2. Auf diesem Schenkel 13 gleiche Stücke abtragen 3. Endpunkt auf dem Schenkel mit B verbinden. 4. Parallelverschieben 6 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Eine beliebige Strecke durch P zeichnen, welche g schneidet (dort liegt A ) 2. Die Strecke PA verdoppeln ( Q) 3. Die Strecke A Q halbieren und A Q um diese Hälfte verlängern (so erzeugen wir die um zweieinhalb mal längere Strecke PB ) 4. g // durch B verschieben h B 5. BP verbinden, der Schnittpunkt mit g ist A. LösungenDossierZentrischeStreckung.doc A. Räz / Seite 4
5 Seite Eine beliebige Strecke durch P zeichnen, welche h schneidet (dort liegt B ) 2. Die Strecke PB auf die andere Seite von P abtragen und verdoppeln ( A ) 3. h // durch A verschieben g A 4. AP verbinden, der Schnittpunkt mit h ist B. 1. Eine beliebige Strecke durch P zeichnen, welche h schneidet (dort liegt B ) 2. Hilfswinkel zeichnen für Streckenteilung. Darauf tragen wir 5 gleiche Stücke ab (das Verhältnis 3:2 ergibt 5 Stücke!) 3. Den dritten Teilpunkt mit B verbinden, diese Strecke parallel durch den letzten Teilpunkt auf dem Hilfswinkel verschieben. Der Schnittpunkt mit der Geraden PB ist A. 4. h // durch A verschieben g A 5. AP verbinden, der Schnittpunkt mit h ist B. 7 Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. An den Punkt C einen Hilfswinkel anlegen. 2. Auf diesem Strahl neun (Verhältnis 5:4 ergibt 9 Stücke) gleiche Stücke abtragen. 3. Den letzten Punkt (9) mit dem Endpunkt D verbinden. 4. Die Strecke 9D // durch den Teilpunkt 5 verschieben. T 8 Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Auf dem Kreis einen beliebigen Punkt P wählen. 2. Den Punkt P und den Kreismittelpunkt M von Z aus mit k= 1.5 strecken. M, P 3. Den Kreis o zeichnen: o (M, r= M P ) LösungenDossierZentrischeStreckung.doc A. Räz / Seite 5
6 Seiten 14 / Parallele zu BC irgendwo in der Nähe von A legen (da eine Seite auf BC liegt, ist die gegenüberliegende Seite dazu parallel 2. Die Seite S P mittels Konstruktion in drei Teile teilen. 3. Einen Teil von S senkrecht abtragen R 4. Hilfsrechteck vervollständigen. 5. Hilfsrechteck von A aus strecken, so dass R und Q auf BC liegen 6. Vervollständigen Parallele zu zur Z gegenüberliegenden Dreieckseite irgendwo in der Nähe von Z legen ( aus der Skizze kann diese Lage entnommen werden) 2. So finden sich A und B. 3. Nun einen Thaleskreis über A B (wegen dem rechten Winkel!) 4. Die Seite A B halbieren und diesen Abstand von A aus abtragen (weil AB = 2 AC) 5. Der Schnittpunkt mit dem Thaleskreis ist C. 6. Das Hilfsdreieck von Z aus strecken, dass C auf der dritten Dreiecksseite liegt. 7. Vervollständigen Jeden Eckpunkt der Originalfigur mit dem Streckzentrum Z verbinden. 2. Eine Verbindungsstrecke (hier EZ) in drei gleichgrosse Teile teilen (konstruktiv). Zwei weitere Teile anhängen auf dem Hilfswinkel und diesen Endpunkt parallel zur Strecke Punkt3-E durch den Endpunkt 5 verschieben P (ist jetzt die um 5 3 gestreckte Strecke EZ) 3. P an Z punktspiegeln (somit ist der Faktor ( 5 3 ) 4. Parallelverschieben und so vervollständigen. LösungenDossierZentrischeStreckung.doc A. Räz / Seite 6
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