Basis Dreieck 2. x = = y. 14 = y. x = = y. x = x = 28. x = 45. x = x = = 2.1+x y = 2.

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1 3.6 m 1.69 m 6 m 1.69 m Seiten 9 / 10 / 11 1 Vorbemerkung: Alle abgebildeten Dreiecke sind ähnlich (weil sie lauter gleiche Winkel haben). Also gilt jeweils: 2 kurze Seite Dreieck 1 kurze Seite Dreieck 2 a) 1 1 b) 0 c) 30 d) 35 e) 0 32 a) lange Seite Dreieck 1 Basis Dreieck 1 lange Seite Dreieck 2 Basis Dreieck mit Pthagoras: z mit Pthagoras: z (ginge auch mit Ähnlichkeit) b) c) d) e) 9f 5g 5g 9f 6g 6g 7.5f 6g f 6g f g g 9f 3 a) Nach 2. Strahlensatz gilt: HN 3.5 m z 7 6 z (+3.5) vereinfachen : Der Scheinwerfer steht.926m entfernt. b) Nach 2. Strahlensatz gilt: HN 1.69(+15) 3.6 vereinfachen m : z 10.5 a) Der Schatten wird 13.27m lang. 1. Hilfsrechteck mit Seitenlängen cm und 5cm (richtiges Seitenverhältnis) 2. Auf der Diagonale von A aus 5cm abmessen C 3. Strecken des Hilfsrechteckes (Parallelverschieben durch C). Lösung rot markieren LösungenDossierähnlichkeit.doc A. Räz / Seite 1

2 b) Seiten 11 / / 13 c) d) 1. Diagonale BD 5cm 2. Mittelsenkrechte auf diese Diagonale (Im Rhombus stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander) 3. k (B, r 3cm) Mittelsenkrechte C, A Hilfsrhombus mit Verhältnis 5:3 von B D zu B C. Auf der Diagonale BD 7cm abmessen (dies ist, wie man sieht, die längere Diagonale) D 5. Strecken des Hilfsrhombus (D C // durch D und D A // durch D, mit dem Strahl BC rsp. BA schneiden) 6. Lösung rot markieren 1. Hilfstrapez zeichnen (rechtwinklig, Parallelseiten verhalten sich wie 3:2, Höhe zur kürzeren Parallelseite wie 2:1 Also längere Parallelseite 3cm, kürzere 2cm, Höhe cm.) 2. Auf zweiter Schrägseite 5.5 cm abmessen C 3. Strecken des Hilfstrapezes an B.. Lösung rot markieren Hier wäre auch eine umgekehrte Lösung denkbar, wo der rechte Winkel bei B liegt. 1. Hilfsdreieck zeichnen (Winkel β 65, A B 5cm, B C cm) 2. Im Hilfsdreieck die Höhe einzeichnen ( F ) 3. Einen Höhenstreifen // zu A B mit Abstand 5cm (für die Höhe des gesuchten Dreiecks). Strecken des Hilfsdreiecks an B (BC Höhenstreifen C, danach A C durch C parallel verschieben A). 5. Lösung rot markieren e) 5 a) Skizze: C C 1. Hilfshpothenuse mit Länge 9cm zeichnen (wegen Teilverhältnis :5), darauf den Punkt F (A F cm, F B 5cm) 2. Höhe als Senkrechte auf Hpothenuse einzeichnen und mit Thaleskreis über A B schneiden C 3. Das Hilfsdreieck ist fertig. Auf der kürzeren Kathete.5cm abtragen C 5. Hilfsdreieck an A strecken (B C // durch C B) 6. Lösung rot markieren. Wegen der Ähnlichkeit gilt: AB A'B' AC A'C' BC B'C' A cm A 2cm B.5 cm 6.5 cm B 1. AC: AC B C : B'C' AC cm B C cm LösungenDossierähnlichkeit.doc A. Räz / Seite 2

3 5 b) Skizze: A 90cm 2 C C ha 15cm cm B 1cm 21 cm A Seiten 13 / 1 B 1. ha berechnen (damit man zugeordnete Verhältnisse erhält) A ABC ha 15 2 Also ha 10 : 15 cm 2. AB: AB B C : B'C' 15 1 AB 21 1 B C cm 22.5 cm 6 Alle Dreiecke sind ähnlich (gleiche Winkel) 1. Es gilt: AB AB mm mm mm 25mm 2. Ebenso: BC BC 3. und ED 25 ED mm 20 mm. Damit ist der Streckenzug ABCDE mm 7 a) Dies ist eine Strahlensatzfigur (1.Strahlensatz). Daher gilt: 1 cm 15 cm.5 cm hc HN (90) 5(+.5) 6 v Das Dreieck war 27cm hoch (h c +.5). b) 1. Es gilt: a a Ebenso: c a c und b a ED c) Die Dreiecke AFC und CFB sind ähnlich. Dabei haben die Seiten folgende Funktion: 5 AF: kurze Kathete im Dreieck AFC CF: kurze Kathete im Dreieck BFC und lange Kathete im Dreieck AFC FB: lange Kathete im Dreieck BFC. Also gilt: kurze Kathete kurze Kathete lange Kathete lange Kathete AF CF CF FB somit : LösungenDossierähnlichkeit.doc A. Räz / Seite 3

4 Seiten 1 / 15 / 5 d) Die Dreiecke AFC und BFC sind ähnlich. Dabei haben die Seiten folgende Funktion: AF: kurze Kathete im Dreieck AFC CF: kurze Kathete im Dreieck BFC und lange Kathete im Dreieck AFC FB: lange Kathete im Dreieck BFC. 10 AC: Hpothenuse im Dreieck AFC CB: Hpothenuse im Dreieck BFC Mit Pthagoras lässt sich die Seite CF berechnen: CF Durch Ähnlichkeit gilt: kurze Kathete kurze Kathete lange Kathete lange Kathete CF AF BF CF somit : a) Das Flächenverhältnis beträgt 3 : 9. Dies entspricht dem Verhältnis 1: 3. Das heisst, dass das Seitenverhältnis 1 : 3 und damit.5 Seitenverhältnis 1 : 3 Der Streckfaktor ist also k 3 b) Das grössere Quadrat hat eine Fläche von 100cm 2. Also ist die Seitenlänge im grossen Quadrat Das Seitenverhältnis ist 3:5, somit gilt , also 6 cm. anderer Weg: Seitenverhältnis 3:5 Flächenverhältnis 9 : 25. Somit ist die Fläche des kleinen Quadrates cm 2. Also 6cm Das kleinere Quadrat hat eine Seitenlänge von 6cm. c) Seitenverhältnis: 3 :6 Flächenverhältnis 9 :. Das grössere Rechteck hat 50cm 2 Fläche und eine Seite von 2cm. Also ist die andere Seite 50 : 2 cm. Entsprechend die Seitenlängen im kleinen Rechteck: 3 6 Länge 2 Länge 21cm 3 6 Breite Breite 6cm Somit hat das kleine Rechteck die Länge 21cm und die Breite 6cm. Das Flächenverhältnis entspricht 9: oder 1: 9 a) Idee: Vierfache Fläche heisst doppelte Seitenlänge (weil Flächenverhältnis 1: Seitenverhältnis 1:2) 1. AB verdoppeln B 2. Figur von A aus strecken (mit Parallelverschieben zur Lösung kommen!) 3. Lösung rot markieren LösungenDossierähnlichkeit.doc A. Räz / Seite

5 Seiten 9 b) Idee: Doppelte Fläche heisst 2 -fache Seitenlänge (weil Flächenverhältnis 1:2 Seitenverhältnis 1: 2 ). eine um 2 längere Strecke kann mittels Diagonale im Quadrat konstruiert werden (siehe Pthagoras, Die Diagonale im Quadrat 10 a) 1. halbes Quadrat zeichnen (hier z.b. über AC ergibt Punkt H. Die Strecke AH ist jetzt 2 länger als AC. 2. AH auf dem Strahl AC abtragen C 3. Figur strecken (Parallelverschieben ausnützen). Lösung rot markieren. 1. AA und BB schneiden Z 2. TZ mit A B schneiden T b) 1. Parallele zu D C durch C 2. T und D auf die Parallele drehen ( Zentrische Streckung funktioniert nur bei parallelen Geraden, also bringen wir die Strecke CD in eine parallele Lage zu C D. 3. D1 mit D und CC verbinden, schneiden Z. T1 mit Z verbinden, mit C D schneiden T LösungenDossierähnlichkeit.doc A. Räz / Seite 5

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