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1 Vektorgeometrie ganz einfach Aufgabensammlung Berechnung von Strecken und Winkeln Hier alle Beispiele aus Teil 5 und 6 als Aufgabensammlung. Datei Nr. 640 Stand. März 0 INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULMATHEMATIK DEM für

2 640 Aufgabensammlung (Winkel, Strecken) Hinweise Damit Schulen, vor allem diejenigen, die meine Mathe-CD in Moodle einsetzen, Aufgabensammlungen für Ihre Schüler haben, ist dieser Text entstanden. Er enthält einfach alle Beispiele und Aufgaben aus den Texten 6400 und 640 Die Lösungen findet man in diesen Texten. Die Kurzergebnisse stehen am Ende des Textes DEM für

3 640 Aufgabensammlung (Winkel, Strecken) Aufgaben aus Text Nummer 6400 Grundaufgabe : Beträge berechnen Berechne die Beträge von folgenden Vektoren, nutze Vereinfachungsmöglichkeiten. u = 5 a = 5 7 v = 8 d) b = 48 6 Grundaufgabe : Berechnung von Streckenlängen (Lös. S. 8/9) Berechne die Seitenlängen des Dreiecks ABC mit A(,B ) ( 0 ),C( 5 ) Wie lang ist die Seitenhalbierende s c? Ergänze das Dreieck ABC mit A( 4 5 ), B( ), C( 5 4) zu einem Parallelogramm ABCD. Wie lang sind seine Diagonalen? Für welches t hat die Strecke AB mit A( 4 ), B( t t t) d) Welcher Punkte der Geraden g mit x = 0 + r. + die Länge 7? hat von A( 4 ) (Lösung S. 8) den Abstand 7? Trainingsaufgaben (Lösungen ab Seite 4) ) Berechne ohne Rechner die Beträge der folgenden Vektoren. Vereinfache wo möglich. a =, 4 4 b = 7, 4 40 c = 0, 40 ) Berechne die Länge der Strecken AB: d = , 5 e = u = v = 0, A( 4 9 ), B( 5), A( 6 9 ), B( 6 9 ) ) Zeige, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist: A( 60 ), B( 960 ), C( 9). Berechne dann den Mittelpunkt M der Seite AB und damit den Inhalt des Dreiecks. 4) Welcher Punkt der Geraden g: 5) Zeige, dass alle Punkte von g: ( ) x = 4 + r 6 x = 6 + r 5 B 7 den gleichen Abstand haben. Welchen Namen könnte man daher dieser Geraden geben? Gib eine zweite Gerade mit derselben Eigenschaft an hat vom Ursprung den Abstand 0 von den Punkten A( 6) und DEM für

4 640 Aufgabensammlung (Winkel, Strecken) 4 6) Man denke sich eine Kugel um den Mittelpunkt M( 4 5) mit dem Radius. Untersuche die Lange der Punkte A( 6 4 ), B( 6 ), C( 5 6) relativ zur Kugel. (Das heißt: Liegen sie innerhalb, außerhalb oder auf der Kugel?) (L. Seite 6) 7) Gegeben ist eine Kugel durch M( 5 ) und r = 7. Bestimme die Lage der Punkte A( 6 4, ) B( 8, ) C( 08). 8) Gegeben ist ein Kreis durch M( 0) und r = 5. Bestimme die Lage der Punkte A ( 4 5 ), B( 0 ), C( 6 ) 5 u =, v =. Grundaufgabe : Winkel zwischen Vektoren 5 u=,v = Grundaufgabe 4: Innenwinkel im Dreieck Berechne die Seitenlängen und Innenwinkel dieser Dreiecke: 6 u =, v = (Lösungen Seite 5) A( 5 0 ), B( 0 7 ), C( ) A( 4 ), B( ), C( ) g: 4 g: x = + r Grundaufgabe 5: Schnittwinkel zweier Geraden 5 x = + r und und h: h: x= + s 8 5 x = + r 0 Grundaufgabe 6: Schnittwinkel zweier Ebenen E : x + 6y 5z = 4 und E : 4x + y + 9z = E : x = 0 + r + s 0 und E : (Lösungen Seite 7/8) (Lösungen Seite 9) 7 4 x = + r + s (Lösungen Seite 0) 7 Grundaufgabe 7: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene E: 4x + y 7z = 8 und g: x = 0 + r 5 (Lösungen Seite ) DEM für

5 640 Aufgabensammlung (Winkel, Strecken) 5 Trainingsaufgaben - (Lösungen ab Seite 9) 9) Berechne die Winkel zwischen den beiden Vektoren u =, v = 4 5 u = 5, v = 6 0) Berechne die Seiten und Innenwinkel der Dreiecke A( 4, ) B( 0, ) C( 5 ) A(, ) B( 0 5 ), C( ) A( 0 5 ), B( 9 ), C( 7 4) ) Berechne die Schnittwinkel zwischen folgenden Geraden. (Überprüfe zuerst, ob sie sich schneiden!!) g: g: g: d) g: x = + r, h: 5 4 x = + r, h: x = + r x = 4 + r 7 4 h: h: 5 x = + r x = + r 5 5 x = 0 + r 6 4 x = 4 + r ) Bestimme t so, dass das Dreieck ABC rechtwinklig wird. ( ) ( ) ( ) A 5, B, C t ) Gegeben sind die Punkte P( 4, ) Q( 04) beliebiger Punkt der Geraden g:. Der Punkt R ist ein x = + r 5 5 Bestimme R so, dass das Dreieck PQR rechtwinklig wird. 4) Gegeben sind: E : x y z =, E : x y + z = 4, E : g: x = + r und h: 6 4 a =, b = x = 0 + r + s 0 x = 4 + r. Berechne die Winkel zwischen: 5 E, E E und E, g und E, d) h und E 5) Für welches k sind E : 4x + ky ( k)z = 4 und E : x y + z = 4 orthogonal? DEM für

6 640 Aufgabensammlung (Winkel, Strecken) 6 Aufgaben aus Text Nummer 640 Grundaufgabe 8/9: Berechne den Abstand des Punktes P von E B Gegeben sind ( ) P 4 sowie die Ebene E durch x y 6z = 75. (Lösung mittels Lotgerade auf Seite 44) (Lösung mittels HNF auf Seite 48) B P( 4 ) sowie die Ebene E durch 4x 4y + 7z = 6. (Lösung auf Seite 44 mittels Lotgerade) (Lösung mittels HNF auf Seite 48) Aufgaben zur Erstellung der HNF: x y 6z = 75 4x 4y + 7z = 6 x x x = 89 d) x + y + x = e) x y + z = 0 B Berechne den Abstand des Punkte P( 4 4 ) (Lösung auf Seite 49 mittels Lotgerade) (Lösung auf Seite 49 mittels HNF) von E: x + 4y z =. B4 Wie weit ist der Ursprung von E: x x x = 89 entfernt? (Lösung auf Seite 50 mittels Lotgerade) (Lösung auf Seite 50 mittels HNF) Grundaufgabe 0: B5 Gegeben ist P( 4 ) Anwendung der HNF zur Berechnung eines Lotfußpunktes und von Spiegelbildpunkten sowie die Ebene E durch 4x 4y + 7z = 6. Berechne den Fußpunkt des Lotes von P auf E. Spiegle P( 4 ) B6: Gegeben ist P( 4 4 ) an E. (Lösung Seite 5) sowie die Ebene E durch x + 4y z = Berechne den Fußpunkt des Lotes von P auf E. Spiegle P( 4 4 ) an E. (Lösung Seite 5) B7: Spiegle den Ursprung an der Ebene E: 6x 9x x = 55 (Seite 5) DEM für

7 640 Aufgabensammlung (Winkel, Strecken) 7 Grundaufgabe : Berechne den Abstand einer Geraden von der zu ihr parallelen Ebene E B8 Zeige, dass g parallel zu E ist und berechne den Abstand der Geraden g von E: B9: g: x = + t g: x = + t, E: x x + x = 7, E: 5 0 x = 8 + r + s (Lösungen Seite 54) Grundaufgabe : Berechne den Abstand paralleler Ebenen B0 Gegeben sind E : 6x + x + 9x = 66 und E : x = 4 + r + s 0 Zeige dass sie parallel sind. Berechne ihren gegenseitigen Abstand. B: Gegeben sind E : 4x + y 4z = 5 und E : x y + z = 8. Zeige dass sie parallel sind. Berechne ihren gegenseitigen Abstand. (Seite 55) Grundaufgabe : Welcher Punkt einer zur Ebene nicht parallelen Geraden hat den Abstand e? B Gegeben sind E: x + x x = 7 und g: x = + r 5. 0 Welche Punkte von g haben von E den Abstand 4? (Lösung Seite 56) Grundaufgabe 4/5/6: B Gegeben g: B4 Gegeben g: und berechne dann den Abstand. x = + r x = + r B5 Gegeben ist die Gerade g: y x und ( ) Fälle das Lot von P auf g (im Raum) P 5. und ( ) (Lösungen Seite 57 ff.) Verwende dazu eine Lotebene. P 5. Verwende dazu die operative Methode = +. Berechne den Abstand des Punktes A( 5,5) von g. DEM für

8 640 Aufgabensammlung (Winkel, Strecken) 8 Grundaufgabe 7: Berechne den Abstand der parallelen Geraden g und h. B6 Gegeben: g: B7 Gegeben: g: x = + r und h: x = 0 + s Grundaufgabe 8: Berechne den kürzesten Abstand der x = + r 0 0 windschiefen Geraden g und h. und h: x = + s (Lösung Seite 60) (Lösung Seite 6) DEM für

9 640 Aufgabensammlung (Winkel, Strecken) 9 Kap. 4 Trainingsaufgaben - (Lösungen ab Seite 65) Abstand eines Punktes von einer Ebene 6) Berechne den Abstand und die Koordinaten des Lotfußpunktes. Die Lösungen werden mit Methoden erstellt: () mit der Lotgeraden () mit der HNF: E: 8x 4y 8z 0 E: x y z 6 + =, P( 4) + = P( 4 6 ) + = P( 0 ) E: 6x y z 9 0 d) E: Kap. 6 x = + r 0 + s 0 ( ) P 0 4 Abstand einer Geraden von einer parallelen Ebene 7) Überprüfe zuerst, ob g und E parallel sind. Berechne dann den Abstand E: x y + z = g: E: 4x + 5y z + 4 = 0 g: E: 0 x = 0 + r + s 0 Kap. 7 g: x = 0 + r 5 x = 0 + r 0 x = + t 0 Abstand paralleler Ebenen 8) Zeige zuerst, dass beide Ebenen parallel sind. Berechne dann den Abstand. E : x y + z = 4 E : x y + z = E : 4x + 5y z + 5 = 0 E : E : x + x x = 8 E : Kap. 8 8 x = 0 + r + s = x x x 0 Geradenpunkte mit bestimmtem Abstand von einer Ebene suchen 9) E: x + y z = 4 g: E: x = r + s 0 5 g: x = + r 4 x = + t mit e =. mit e = DEM für

10 640 Aufgabensammlung (Winkel, Strecken) 0 0) d) e) f) ) Kap g: x = 9 + r 4, 5 4 g: x = 8 + r g: x = + r 5 g: x = + r 0 g: x = + r 7 g: x = + r 0 4 Abstand eines Punktes von einer Geraden Kap. 0 g: x = + r 4 g: x = 7 + r Kap., P( ), P( 54 ) ( ) P 4 ( ) P 5 0 ( ) P 5 ( ) P 45 Abstand paralleler Geraden 0 h: x= + s 6 h: x= 0 + s 8 Kürzester Abstand windschiefer Geraden ) Zeige dass diese Geraden windschief sind und berechne ihre kürzeste Entfernung. Die erste Gerade sei g, die zweite h. x = + r 5, 4 4 = a 6 4 x = 5 + r = u, 0 5 x = 4 + s = b 9 4 x = 0 + s 5 = v d) 9 x = 5 + r x = 0 + t, 8 0, x = 5 + s x = 4 + s 0 DEM für

11 640 Aufgabensammlung (Winkel, Strecken) u = = 5 7 v = 8 = 8 Hier die Ergebnisse zu den Aufgaben aus Text AB = 6, BC = 6, CA = 56 ( ) Die ausführlichen Lösungen stehen dort. Grundaufgabe (Lösung Seite 8) d) 5 a = = 5 b = 48 = 9 6 Grundaufgabe (Lösung Seite 8/9) M, s = CM = 58, ( ) AB D 6 6, e = AC = 55 und f = BD = 4 t = 0, t = d) t = 0, t = ) a = b = 9 ) AB = 90 c AB Trainingsaufgaben (Lösungen ab Seite ) c = 60 d = AB = ) Alle drei Seiten haben die Länge. ( ) 4) Zu 4 5) 5 8 r = gehört ( ) 9 P, zu r AP = BP = 0r + 60r + 59 AB 6) A liegt auf der Kugel, B außen und C im Innern. e = 5 69 = u = 9 9 M 0 Flächeninhalt: A = = gehört P ( 0 ) 7) A liegt außerhalb der Kugel, B auf ihr und C im Innern. v g ist eine Mittelsenkrechte von AB. Forts. Seite 5 8) A liegt innerhalb des Kreises, B außerhalb und C auf dem Kreis. DEM für

12 640 Aufgabensammlung (Winkel, Strecken) γ 47,98, γ,0 γ Grundaufgabe : γ und γ 8 = 90, γ = 70 Viele Tipps zu CAS-Rechnern auf den Seiten 4 6. Grundaufgabe 4 a = CB = 4, b = AC = 6, c = AB = 59 ; α 50,7, β 7,4, γ,49 a = BC = 5, b = AC = 4, c = AB = 6 ;.. α 7,80, β 56,67, γ 5,5 o o Grundaufgabe 5 γ = 68,6 γ =,74, g und h sind windschief γ, 5,9 γ 6, γ und γ 94,7 85, 9 γ, 68,9 γ, 9, Grundaufgabe 6 γ Grundaufgabe 7 Trainingsaufgaben γ, 9, 0 AB = 45, AC = 0, BC = 7 ; AB =, AC = 8, BC = 59 ; AB = 9, AC = 5, BC = 4 ; ) γ = 8,, γ =, 98,9 g und h sind windschief d) 6.5, γ 6,5 γ, 68,7 α,7, α = 90, α = 4,69, γ = 90, β 50,, β 5,7, ) Für t = 4: C ( 4 ) und für t = : C ( ) γ β 0,09, γ =, 90 γ 8,54 γ 6,6 = 68,6, γ =,74 ) Bei R kann nie ein rechter Winkel sein, bei Q, wenn R ( ) ist. oder bei P, wenn R ( ) γ = 70 γ 8, ist, 4) 48,9 und,8 6,0 und 6,98 8,5 und 4,75 d) 90 5) k = - DEM für

13 640 Aufgabensammlung (Winkel, Strecken) Hier die Ergebnisse zu den Aufgaben aus Text 640. Grundaufgabe 8/9 B F( 6 5 8), d = 4 B ( ) F 0 4, d = 9 B d =, F ( 6 40 ) B4 d = 7, F( ) B5 d = 9, F( 0 4 ), Q ( 6 4 ) B6: d=, F ( 6 40 ), Q ( ) B7 d =, F ( ), ( ) Grundaufgabe 0 Grundaufgabe B8 g E, d(g,e) = 4 E: x x + x = 7, g E, d(g,e) = 4 Grundaufgabe B0 E E, d= 7 B E E, d= Grundaufgabe 5 B r = P ( ) und r = P ( ) F 0, d(p,g) = 6 7 B ( ) F, d(p,g) = 6 B4 ( 0,5 0,5) B5 d = 5 B6 F( 0 ) und d = B7 F ( ) und ( ) Grundaufgabe 4 Grundaufgabe 5 Grundaufgabe 6 Grundaufgabe 7 Grundaufgabe F mit FF = = DEM für

14 640 Aufgabensammlung (Winkel, Strecken) 4 Trainingsaufgaben 6) F( ) ; e = ( ) F 7 0, e = + =, ( ) F = P, d = 0 d) E: x y z 7) e = e = 5 e = 8) e = e = 69 e = 4 7 9) P ( 8 9) und P ( 0 5 5) P ( 7 ) und P ( 5 7). 9 0) e = e = 6 e = 0 d) e = 0 e) e = f) e = 09 ) e = 74 e = 5 F, e = 7 0 ) e = e = 9 d) e = 6 DEM für

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