Lösungen Geometrie-Dossier Kreis 2 - Kreiskonstruktionen. Diese Aufgabe entspricht genau der Grundkonstruktion 2 (Genaueres kannst du dort nachlesen).
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- Ferdinand Dresdner
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1 Seiten Aufgaben Kreiskonstruktionen (Achtung, Lösungen z.t. verkleinert gezeichnet) Mittelsenkrechte von PQ (Der Kreismittelpunkt muss auf der Mittelsenkrechten von zwei Kreispunkten liegen) 2. Hilfskreis h (P, r = 3.5cm) m PQ M 1, M 2 (Der Hilfskreis hat den Radius des gesuchten Kreises, da der Mittelpunkt des gesuchten Kreises 3.5 cm von P (oder Q) entfernt liegt.) 3. Lösungen einzeichnen (2 Lösungen) Mittelsenkrechte von TS (Der Kreismittelpunkt muss auf der Mittelsenkrechten von zwei Kreispunkten liegen) 2. MS verlängern mit m TS schneiden M (Da der gesuchte Kreis den gegebenen Kreis in S berühren muss, steht die gemeinsame Tangente auf MS senkrecht. Also muss der gesuchte Kreisradius auf der Verlängerung von MS liegen) 3. Lösung einzeichnen: k 2 (M, r = MT) Thaleskreis über M 1A 2. Thaleskreis k1 B 1, B 2 3. Tangenten t 1 und t 2 einzeichnen 4. Thaleskreis über M 2A 5. Thaleskreis k2 B 3, B 4 6. Tangenten t 3 und t 4 einzeichnen Diese Aufgabe entspricht genau der Grundkonstruktion 2 (Genaueres kannst du dort nachlesen). LösungenDossierKreis2 A. Räz / Seite 1
2 4. 1. Winkelhalbierende von g, h (wh 1) 2. Winkelhalbierende von h, i (wh 2) 3. wh 1 wh 2 M 4. Lot auf h durch M ( Radius = LM) 5. Lösung einzeichnen Hier wird eine Erweiterung der Grundkonstruktion 3 verwendet. Die Wahl der Winkelhalbierenden ist hier zufällig, es müssen einfach 2 Winkelhalbierende gezeichnet werden. Ebenfalls kann das Lot zur Bestimmung des Kreisradius auf jede der drei Geraden gefällt werden k 1 (A, r = 1.5cm) und k 2 (B, r = 3cm) 2. P auf k 1 wählen, PA verbinden. 3. PA // durch B verschieben P, P 4. PP AB Z 1 5. Thaleskreis über AZ 1 k 1 T 1, T 2 6. Z 1T 1 verlängern, Z 1T 2 verlängern 7. Berührungspunkte mit k 2 einzeichnen (Lot auf t durch B) 8. Lösung einzeichnen Diese Aufgabe entspricht der weiteren Konstruktion 1 aus dem Dossier. Ab dem Schritt 4 würde auch eine zweite Lösung entstehen (PP AB Z2). Bei dieser Disposition ist diese Lösung allerdings sehr schwierig zu finden, darum verzichte ich auf die Konstruktion davon Winkelhalbierende von g, h wh 1 2. wh1 k T 1, T 2 3. Lot auf wh 1 durch T 1 t 1 4. Lot auf wh 1 durch T 2 t 2 5. Winkelhalbierende t 1, g wh 2 6. Winkelhalbierende t 2, g wh 3 7. wh 1 wh 2 M 1 8. wh 1 wh 3 M 2 9. Lösung einzeichnen Diese Aufgabe entspricht der Grundkonstruktion 4 aus dem Dossier. LösungenDossierKreis2 A. Räz / Seite 2
3 7. 1. Auf dem Kreis k wählen wir einen Punkt S1 2. Hilfssehne t von S1 aus einzeichnen (S1S2 = 5cm) 3. Lot auf t durch M B1 4. Hilfskreis h (M, r = MB) 5. Thaleskreis über MP Hilfskreis h B2, B3 6. Gesuchte Sehnen einzeichnen (Lösungen) (PB2 und PB3) Hier verwenden wir die Eigenschaft, dass alle Sehnen innerhalb eines Kreises Tangenten an einen kleineren Kreis (hier h) sind und nur gedreht wurden. Also reduzieren wir die Aufgabe nach dem Finden des Hilfskreises h auf die Grundkonstruktion MP verbinden und verlängern (Der Radius des neuen Kreises muss auf dieser Gerade liegen, da sich die Kreise ja berühren) 2. Lot auf MP durch P t (Diese Gerade ist die gemeinsame Tangenten des gegebenen Kreises und des gesuchten Kreises) 3. Winkelhalbierende t, g wh 1, wh2 4. wh 1 MP M 1 5. wh 2 MP M 2 6. Radius 1 und Radius 2 einzeichnen (Lot auf g durch M1, rsp. durch M2) 7. Lösung einzeichnen Diese Aufgabe lehnt an der Grundkonstruktion 3 aus dem Dossier an. Sobald man merkt, dass die Kreise in der Geraden t eine gemeinsame Tangente haben, ist man bei der Grundkonstruktion Kreisradius verlängern, rsp. verkürzen um den Radius des gesuchten Kreises (2.5cm) Hilfskreis h1 (M, r = r + 2.5cm) und Hilfskreis h2 (M, r = r 2.5cm) 2. Hilfskreis h3 (P, r = 2.5cm) 3. Schnittpunkte der Hilfskreise bestimmen (h1 h3 M1, M2) (h2 h3 M3, M4) Hier keine Schnittpunkte 4. Lösung einzeichnen Diese Aufgabe entspricht der weiteren Konstruktion 2 aus dem Dossier. LösungenDossierKreis2 A. Räz / Seite 3
4 Kreisradius verlängern, rsp. verkürzen um den Radius des gesuchten Kreises (1.3 cm) Hilfskreis h 1 (M, r = r + 1.3cm) und Hilfskreis h 2 (M, r = r 1.3cm) 2. Parallelenpaar g, g mit Abstand 1.3cm von g (Der Kreismittelpunkt der gesuchten Kreise muss in Abstand von 1.3cm von g liegen, da g Tangente an den Kreis sein muss) 3. h 1 g M 1, M 3, M 4, M 6 4. h 2 g M 2, M 5 5. Radien der Kreise einzeichnen (Lot auf g durch M 1, M 2, M 3, M 4, M 5, M 6) 6. Lösung einzeichnen (6 Lösungen) Diese Konstruktion nimmt Bezug auf die Punkmengen (Abstand von einer Gerade = Parallelenpaar) und an der weiteren Konstruktion 2 aus dem Dossier Mittelparallele von g und h p (Auf dieser Geraden muss der gesuchte Kreismittelpunkt liegen, da g und h Tangenten an den Kreis sein müssen) 2. Abstand von p zu g (oder zu h) = Gesuchter Radius des Kreises 3. Kreisradius um den Radius des gesuchten Kreises vergrössern, rsp. verringern. Hilfskreis i 1 (M, r = r + Radius) und Hilfskreis i 2 (M, r = r Radius) 4. i 1 p M 2, M 3 5. i 2 p M 1, M 4 6. Radien der Kreise einzeichnen, Berührungspunkte mit dem Kreis k einzeichnen: Gefundene Mittelpunkte M 1- M 4 je mit M verbinden) 7. Lösung einzeichnen (4 Lösungen) Diese Konstruktion enspricht der weiteren Konstruktion 3 aus dem Dossier. LösungenDossierKreis2 A. Räz / Seite 4
5 12 a Skizze: Lösungen Geometrie-Dossier Kreis 2 - Kreiskonstruktionen 1. A festlegen, α = 35 einzeichnen 2. B festlegen Hilfswinkel β = 60 einzeichnen a 3. Parallele zu c (AB) mit Abstand 1.5cm einzeichnen c (Die Seite c ist Tangente an den Inkreis, also ist der Inkreismittelpunkt auf der Parallele c ) 4. Winkelhalbierende von α einzeichnen (AC und AB sind Tangenten an den Inkreis, also ist 5. wh c Inkreismittelpunkt I 6. Inkreis k einzeichnen 7. Lot auf a durch I (Damit finden wir den Berührungspunkt der Seite a an den Inkreis) 8. Lösung einzeichnen b c Skizze: Skizze: 1. A festlegen, α = 60 einzeichnen 2. AC = b = 4cm C 3. Parallele zu c (AB) mit Abstand 1.5cm einzeichnen c (Die Seite c ist Tangente an den Inkreis, also ist der Inkreismittelpunkt auf der Parallele c ) 4. Winkelhalbierende von α einzeichnen (AC und AB sind Tangenten an den Inkreis, also ist 5. wh c Inkreismittelpunkt I 6. Inkreis i einzeichnen 7. Thaleskreis über IC (Siehe Grundkonstruktion 2). Berührungspunkt für die Seite CB mit dem Inkreis. 8. Lösung einzeichnen 1. Höhenstreifen ha 2. Punkt B festlegen, β = 35 einzeichnen Schnittpunkt mit Höhenstreifen A 3. Parallele zu a (BC) mit Abstand 1.5cm einzeichnen a (Die Seite a ist Tangente an den Inkreis, also ist der Inkreismittelpunkt auf der Parallele a ) 4. Winkelhalbierende von β einzeichnen (AB und BC sind Tangenten an den Inkreis, also ist 5. wh a Inkreismittelpunkt I 6. Inkreisradius einzeichnen (Lot auf AB durch I) 7. Inkreis i einzeichnen 8. Thaleskreis über AI (Siehe Grundkonstruktion 2). Berührungspunkt für die Seite AC mit dem Inkreis. 9. Lösung einzeichnen LösungenDossierKreis2 A. Räz / Seite 5
6 d Skizze: Lösungen Geometrie-Dossier Kreis 2 - Kreiskonstruktionen 1. Höhenstreifen hb (4cm) 2. Punkt A festlegen, AB mit Zirkel abtragen k (A, r = 5cm) B1, B2 3. Parallele zu c (AB) mit Abstand 1.2cm einzeichnen c 1, c 2 (Die Seite c ist Tangente an den Inkreis, also ist der Inkreismittelpunkt auf der Parallele c ) 4. Winkelhalbierende von α einzeichnen (AC und AC sind Tangenten an den Inkreis, also ist 5. wh 1 c 1 Inkreismittelpunkt I 1 wh 2 c 2 Inkreismittelpunkt I 2 6. Inkreisradius einzeichnen (Lot auf c durch I) 7. Inkreis i einzeichnen 8. Thaleskreis über BI 1, rsp. BI 2 (Siehe Grundkonstruktion 2). Berührungspunkt für die Seite BC mit dem Inkreis. 9. Lösungen einzeichnen (2 Lösungen) Quadrat konstruieren (s = 5cm) 2. Diagonale e einzeichnen (DB) 3. Winkelhalbierende d, e einzeichnen (Die Seite d und die Diagonale e sind Tangenten an den gesuchten Halbkreis, also ist der Kreismittelpunkt auf der Winkelhalbierenden) 4. wh a M 5. Lösung einzeichnen LösungenDossierKreis2 A. Räz / Seite 6
7 Seite 20 Aufgaben Kreisberechnungen 14 Berechnung 1. M 1R = 12a (24a : 2 = 12a) 2. PR = 5a (10a : 2 = 5a) 3. M 1P mit Pythagoras: M 1P= r = (12a) 2 + (5a) 2 = 144a a 2 = 169a 2 = 13a 4. Der gesuchte Umfang besteht aus zwei Halbkreisen mit Radius r, sowie zwei Strecken mit der gleichen Länge wie M 1M 2. Somit können wir den Umfang berechnen: 2 Halbkreis + 2 Strecke M 1M 2 2πr = a 2 = 2 π r + 48a = 2 π 13a + 48a = π 26a + 48a = 2a (13 π+24) a 15 Wenn wir PM verbinden, so entsteht mit dem Dreieck PMB ein halbes gleichseitiges Dreieck. Damit muss die Strecke PM = 2r sein (da BM die halbe Seite darstellt und BP die Höhe des gleichseitigen Dreiecks.) Mit Pythagoras folgt die Länge von PB BP= (2r) 2 + r 2 = 4r 2 + r = 5r 2 = r r 120 AMBP ist ein Viereck (Winkelsumme 360 ). Somit ist der Winkel bei M = 120 ( = 120 ) a) Umfang: Der Umfang besteht aus dem Streckenanteil BP und PA (beide gleich lang) und dem Kreisbogen. Dieser hat einen Zentriwinkel von 240 2πr 240 u = 2 r = 2r 5 + 2πr 2 3 = 2r ( 5 + 2π 3 ) 8.661r b) Fläche: Die Fläche besteht aus zwei rechtwinkligen Dreiecken und einem Kreissektor mit Zentriwinkel 240 A = 2 r 5 r 2 = r r2 π r2 π = r 2 ( 5 + 2π 3 ) 4.33r2 LösungenDossierKreis2 A. Räz / Seite 7
= = cm. = = 4.66 cm. = cm. Anschliessend: A = r 2 π = π = π =
Seiten 5 / 6 ufgaben Kreis 1 1 a) u Kreis r 15 30 cm ( 94.5 cm) Kreis r 15 5 cm ( 706.86 cm ) b) u Kreis r d 5.6 cm ( 17.59 cm) Kreis r.8 7.84 cm ( 4.63 cm ) c) u Kreis r 99 198 cm ( 6.04 cm) Kreis r 99
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