2.2A. Das allgemeine Dreieck

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1 .A. Das allgemeine Dreieck Koordinatentransformation eines Dreiecks Jedes Dreieck läßt sich nach geeigneter Drehung und Verschiebung in ein Dreieck mit den Eckpunkten A = ( x, 0 ), B = ( y, 0 ), C = ( 0, z ) (x, y, z > 0) transformieren. Die Wahl dieser Koordinaten hat den Vorteil, daß eine Seite waagerecht liegt, und die darauf senkrecht stehende Höhe den Fußpunkt Hc = (0,0) hat. Ein solches (fast) allgemeines Dreieck wollen wir jetzt zeichnen. Höhe auf der Grundlinie Oder im stumpfwinkligen Fall:

2 Die Seitenvektoren des Dreiecks sind a = (y,-z), b = (x,z) und c = (x+y,0), mit a+b = c. Die Seitenlängen berechnen sich somit wie folgt: a = B C = y + z, b = C A = x + z, c = B A = x + y. Für den Spezialfall x = 5, y = 9, z = 1 liefert das die Seitenlängen a = 15, b = 13 und c = 14. Dass diese Seitenlängen alle ganzzahlig sind, ist ein glücklicher Zufall! Für den Spezialfall x = 1, y = 4, z = 5 bekommen wir a = 41, b = 13 und c = 16.

3 Die Höhen auf allen drei Seiten eingezeichnet: Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke A H H c und C B H c liest man ab: x z = h y, also h = x y z. Mit Hilfe des Skalarproduktes geht es noch schneller: Da die bei A startende Höhe senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite steht, haben wir ( x, h)( y, z) = x y h z =0, x y = h z. Der Höhenschnittpunkt H wird daher in Koordinaten beschrieben durch H = (0, h) = (0, x y z ). Der stumpfwinklige Fall ist vielleicht etwas gewöhnungsbedürftig, weil man sich zwei Seiten und alle drei Höhen verlängert denken muß:

4 Die Höhenfußpunkte H a und H b auf den Seiten a und b berechnen wir wie folgt: Wir betrachten die Höhenvektoren f = H a A, g = H b B, h = H c C und machen den vektoriellen Ansatz f + sa = c = a+b, d.h. H a = f + A = c - sa + A = ( y s y, s z). Da f senkrecht auf a steht, ergibt sich nach Multiplikation der Gleichung mit a: 0 + saa =(a+b)a, also s ( y + z ) = ( x + y ) y, d.h. ( x + y) y s =, und Einsetzen von s in H = y + z a ( y s y, s z )) führt auf y z x y ( x + y) y z H a = (, ). y + z y + z Analog erhält man für den anderen Höhenvektor y x x z ( x + y) x z H b = (, ). x + z x + z

5 Umkreis des Dreiecks Spiegelt man den Höhenschnittpunkt an der waagerechten Seite nach unten, so muß aufgrund der Gleichung x y = h z und des Sehnensatzes der Spiegelpunkt auf dem Umkreis des Dreiecks liegen. Aus Analogiegründen liegen auch die Spiegelpunkte an den anderen beiden Seiten auf dem Umkreis! Dessen Mittelpunkt hat die Koordinaten y x z h (, ), und sein Radius ist ( x + y ) + ( z h). Jetzt können wir den Umkreis und die drei Spiegelpunkte konstruieren:

6 Eine geniale Entdeckung des antiken Mathematikers HERON von Alexandria (ca. 100 n.chr.) war eine Formel, mit der man den Flächeninhalt eines Dreiecks aus den Seitenlängen a,b,c berechnen kann. Bezeichnet s den halben Umfang des Dreiecks, d.h. a + b + c s =, so ist der Flächeninhalt des Dreiecks F = s ( s a ) ( s b ) ( s c ). Zum Beispiel erhält man für ein Dreieck mit den Seitenlängen 13, 14 und 15: F = ( )( )( ) ( ) = 84, im Einklang mit der Formel "Fläche = Höhe mal halbe Grundlinie" (siehe oben): F = ( ) 1 = 84. Ein eleganter algebraischer Beweis für Herons Formel benutzt den Cosinussatz, die Gleichung x y = ( x + y ) ( x y ), und die Dreiecks-Flächenformel a b sin( γ) a h a =, wobei h a = b sin( γ ) die Länge der Höhe auf der Seite der Länge a ist. ( 4 F) = ( a b sin( γ) ) = ( a b ) ( 1 cos( γ) ) = ( a b ) ( a + b c ) = ( a b + a + b c ) ( a b a b + c ) = (( a + b) c )( c ( a b ) ) = ( a + b + c ) ( a + b c ) ( a b + c ) ( a + b + c ) = s ( s c ) ( s b ) ( s a ) Division durch 16 und Wurzelziehen ergibt die Behauptung! Beenden wir unsere Untersuchungen des allgemeinen Dreiecks mit einem der schönsten Sätze der ebenen Geometrie, der von LEONHARD EULER (1763) stammt: Eulerschen Gerade Der Höhenschnittpunkt H, der Umkreismittelpunkt M und der Schwerpunkt S eines Dreiecks liegen auf einer Geraden. Der Schwerpunkt teilt die Verbindungsstrecke der beiden anderen Punkte im Verhältnis :1. Der Höhenschnittpunkt H hat in der oben gewählten Position die Koordinaten x y 0 und h = z. Der Umkreismittelpunkt M hat die Koordinaten

7 y x z h und. Der Schwerpunktvektor S ist das arithmetische Mittel (A+B+C)/3 der Eckvektoren, hat also die Koordinaten y x und z 3 3 = ( h + ( z h) )/3. Somit wird die Strecke zwischen Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt tatsächlich vom Schwerpunkt im Verhältnis :1 geteilt. Maple bietet für die Konstruktion dieser geometrischen Objekte ein eigenes Programm EulerLine im Paket geometry. Wir betrachten wieder ein allgemeines Dreieck mit den Ecken A, B, C. Im Beispiel wählen wir A = (-x,0), B = (0,y) und C = (0,z). Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt des Dreiecks.

8 Die Mittelsenkrechten der drei Seiten schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Umkreises. Die Höhen schneiden sich ebenfalls in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt. Die Eulersche Gerade verläuft durch die Strecke zwischen Umkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt.

9 Alles zusammen im Bild: Legt man nicht einen Höhenfußpunkt, sondern den Umkreismittelpunkt in den Ursprung, so erhält man einen besonders kurzen Beweis für den Eulerschen Satz, der auch in beliebiger Lage funktioniert: Es ist dann M = 0 und A = B = C. Wegen ( 3 S C ) ( A B ) = ( A + B ) ( A B ) = A A B B = A B = 0 efüllt 3 S die Gleichung der Höhe auf der Seite AB, und ebenso die der Höhen auf AC und auf BC. Damit ist 3S der Höhenschnittpunkt H, d.h. 3 S = H + M (wegen M = 0).