Einleitung. Notation. In meiner Ausarbeitung nutze ich folgende Notationen:

Transkript

1 Inhaltsverzeichnis Einleitung 2 Notation 2 Satz Beweis 3 Satz Beweis 8 Satz Beweis 9 Weitere Eigenschaft des Dreiecks 10 Beweis 11 Aufgaben 13 Aufgabe 1 13 Aufgabe 2 14 Literaturverzeichnis 15 1

2 Einleitung Die folgende Ausarbeitung ist angelehnt an das Buch Zeitlose Geometrie von H.S.M. Coxeter und S.L. Greitzer. Ich beziehe mich auf die Seiten In den bereits vorangegangen Kapiteln sind wir bereits dem Umkreis eines Dreiecks begegnet. Diesem schenken wir nun eine weitere Betrachtung. Außerdem wird noch eine Interessante Eigenschaft des Höhenschnittpunktvierecks vorgestellt. Notation In meiner Ausarbeitung nutze ich folgende Notationen: 4ABC beschreibt das Dreieck ABC AB beschreibt die Strecke AB AB beschreibt den Abstand von Punkt A zu Punkt B ^ABC beschreibt den Winkel ABC 2

3 Satz 2.45 Die Potenzgerade zweier Kreise, deren Durchmesser zwei Ecktransversalen eines Dreiecks sind, geht durch den Höhenschnittpunkt. Beweis: Betrachten wir zunächst das 4ABC mit seinem Umkreis, die Höhen AD, BE und CF, sowie deren Verlängerungen, die den Umkreis in den Punkten D, E, F schneiden. H ist der Höhenschnittpunkt. Figur 1 Da beide Winkel komplementär zu ^ABC := sind, gilt: ^DAB = ^FCB Sei also :=^DAB = ^FCB So können wir festhalten, dass gilt: = 90 - Nach dem Peripheriewinkelsatz gilt: ^BCD = ^BAD =, da ^BAD o ensichtlich der gleiche ist wie der ^BAD. 3

4 Da gilt: ^D CD = = ^DCH ^CDD = ^HDC = 90 und DC 24HDC, sowie 24DD C Folgt aus dem Winkel-Seite-Winkel-Satz über die Kongruenz von Dreiecken: 4HDC 4DD C Aus der Kongruenz der beiden Dreiecke folgt nun: HD = DD Dies gilt analog o ensichtlich auch für: Nach Satz 2.11 gilt: HE = EE HF = FF HA 2 HD = HB 2 HE, da die beiden Geraden über AD 0 und BE 0 den Umkreis des 4ABC schneiden und durch den Höhenschnittpunkt H gehen. Analog gilt o ensichtlich auch: Daraus ergibt sich die Formel: HC 2 HF = HB 2 HE HA 2 HD = HB 2 HE = HC 2 HF Nach der Definition der Potenz aus Kapitel 2.1 folgt daraus, dass mit dieser Formel die Potenz des Höhenschnittpunktes H bezüglich des Umkreises des 4ABC beschrieben wird. 4

5 Fügen wir nun der Figur einen Kreis mit dem Durchmesser AB hinzu. Figur 2 Dieser Kreis geht nicht nur durch die Punkte A und B, sondern auch durch die Höhenfußpunkte D und E. Da nach dem Satz des Thales gilt, dass wenn das 4ABD bei D einen rechten Winkel hat, liegt D auf einem Kreis mit AB als Durchmesser. Analog für die weiteren Höhenfußpunkte. Nach Satz 2.11 folgt daraus wieder: HA HD = HB HE Diese Formel beschreibt nun die Potenz des Höhenschnittpunktes H bezüglich des Kreises mit dem Durchmesser AB. Analog gilt o ensichtlich auch für die Kreise über den Durchmessern BC und CA. Daraus ergibt sich die Formel: HA HD = HB HE = HC HF (1) Seien nun X,Y und Z beliebige Punkte jeweils auf den Seiten BC, CA und AB, so gehen die Kreise mit den Durchmessern AX, BY und CZ durch die entsprechenden Höhenfußpunkte D,E und F. Betrachten wir dazu das 4ABC, einen Kreis mit Durchmesser AX, einer beliebigen Ecktransversalen zu A, und den Höhenschnittpunkt H. Der Kreis verläuft sowohl durch die Punkte A und X, als auch durch den Höhenfußpunkt D. 5

6 Figur 3 Nach 2.1 kann die Potenz von H bezüglich des Kreises mit Durchmesser AX durch folgenden Term beschrieben werden: HA HD (= d 2 -R 2,d ˆ= dem Abstand des Punktes H vom Mittelpunkt, R ˆ= dem Kreisradius) Fügen wir nun der Figur einen Kreis mit dem Durchmesser BY,einer beliebigen Ecktransversalen zu B, hinzu. Figur 4 6

7 Nach 2.1 gilt wieder: HB HE Nach Formel (1) gilt hier: HA HD = HB HE Diese Formel beschreibt nun die Potenz des Höhenschnittpunktes H bezüglich beider Kreise über zwei Ecktransversalen. Daraus folgt, dass die Potenzgerade dieser beiden Kreise durch den Höhenschnittpunkt H verläuft. Figur 5 7

8 Satz 2.46 Der Potenzpunkt dreier nicht koaxialer Kreise deren Durchmesser Ecktransversalen eines Dreiecks sind, ist der Höhenschnittpunkt. Figur 6 Betrachten wir das 4ABC mit den Höhen bezüglich der Punkte A,B,C, welche in der Abb. 6 in blau markiert sind. Betrachten wir zudem den Höhenschnittpunkt H, die drei Kreise mit den Durchmessern der Ecktransversalen AX, BY, CZ und in rot die Potenzgeraden der drei Kreise. Beweis: Laut Satz 2.31 schneiden sich Potenzgeraden dreier nicht koaxialer Kreise in einem Punkt, dem Potenzpunkt. Laut Satz 2.45 verläuft die Potenzgerade zweier Kreise, deren Durchmesser Ecktransversalen eines Dreiecks sind, durch den Höhenschnittpunkt. Aus Satz 2.31 und Satz 2.45 folgt direkt, dass der Potenzpunkt dieser drei nicht koaxialer Kreise, deren Durchmesser Ecktransversalen eines Dreiecks sind, der Höhenschnittpunkt ist. 8

9 Satz 2.47 Schneiden sich vier Geraden gegenseitig in den sechs Punkten A,B,C,X,Y,Z und zwar so, dass X,B,C und Y,C,A und Z,A,B und X,Y,Z jeweils kollineare Punkte sind, dann sind die Kreise mit den Durchmessern AX, BY, CZ koaxial und die Höhenschnittpunkte der vier Dreiecke 4AYZ, 4BZX, 4CXY und 4ABC kollinear. Figur 7 Seien Beweis: H AY Z := Höhenschnittpunkt des 4AYZ H BZX := Höhenschnittpunkt des 4BZX H CXY := Höhenschnittpunkt des 4CXY H ABC := Höhenschnittpunkt des 4ABC Seien die Geraden BC, CA, AB gegeben, dann sind X,Y,Z kollineare Punkte auf den Geraden. XZ bildet die vierte Gerade. X,B,C seien kollineare Punkte auf den Seiten des 4AYZ Y,C,A seien kollineare Punkte auf den Seiten des 4BZX Z,A,B seien kollineare Punkte auf den Seiten des 4CXY Mit den Seiten sind entsprechend, die dadurch bestimmten Geraden mit Verlängerung gemeint. Da eine Ecktransversale auch eine Verbindungsstrecke zwischen einer Ecke des Dreiecks und einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite und dessen Verlängerung ist, bilden nun die Geraden AX, BY, CZ Ecktransversalen des 4ABC. 9

10 Nach Satz 2.45 gilt, dass die Potenzgeraden der Kreise über den Durchmessern AX, BY, CZ durch den Höhenschnittpunkt H ABC verlaufen. Da die Höhenschnittpunkte verschieden sind, fallen die Potenzgeraden zusammen. Die Höhenschnittpunkte liegen also alle auf der Potenzgerade und sind somit kollinear. Weitere Eigenschaft des Dreiecks Figur 8 Betrachten wir das 4ABC mit dem Höhenschnittpunkt H. Bei genauem Hinsehen fällt auf, dass: A Höhenschnittpunkt von 4HBC ist B Höhenschnittpunkt von 4HAC ist C Höhenschnittpunkt von 4HAB ist Die Figur ABCH heißt Höhenschnittpunktviereck. Diese hat viele interessante Eigenschaften, eine davon ist: Die vier Dreiecke, die durch je drei der Punkte eines Höhenschnittpunktvierecks bestimmt sind, haben gleiche Umkreisradien. Die vier Dreiecke sind in diesem Fall 4ABH, 4HBC, 4ABC und 4AHC. 10

11 Beweis: Betrachte die Figur mit dem Umkreis des 4HBC und des 4D BC Figur 9 In der Figur gilt: und 4HBC 4D CB HD = DD Da die 4HBC und 4D CB kongruent zueinander sind, müssen auch die Umkreise kongruent zueinander sein. Sie besitzen also den selben Umkreisradius. Da der Umkreis des 4ABC der selbe ist, wie der Umkreis des 4D BC, muss der Umkreis des 4ABC ebenso den selben Radius besitzen, wie der des 4HBC. 11

12 Analog gilt dies o enbar für die weiteren Dreiecke, da gilt: 4HAC 4E AC und 4HAB 4F BA Aus dieser Erkenntnis folgt, dass die Umkreisradien der vier Dreiecke des Höhenschnittpunktvierecks gleich sind. Figur 10 12

13 Aufgaben Aufgabe 1 Die Schnittpunkte der Verlängerungen der Höhen mit dem Umkreis bilden ein Dreieck, das dem Höhenfußpunktdreieck ähnlich ist. Figur 11 Betrachten wir das 4ABC, welches in blau dargestellt ist, das Höhenfußpunktdreieck 4DEF in grün und das 4D E F, welches das Dreieck der Verlängerungen des Höhenfußpunktdreiecks darstellt, in orange. Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, genau dann wenn die Verhältnisse der Dreiecksseiten übereinstimmen. Wir wissen: HA HD = HB HE = HC HF (1) Sei der Höhenschnittpunkt H nun Streckzentrum. Strecken wir das 4DEF von H aus, erhält man mit Streckfaktor 2 das 4D E F, da gilt: HE = EE, HF = FF und HD = DD Daraus folgt, dass die Seitenverhältnisse der Seiten der Dreiecke 4DEF und 4D E F übereinstimmen und die beiden Dreiecke somit ähnlich zueinander sind. 13

14 Aufgabe 2 Die Verlängerungen der Winkelhalbierenden von 4ABC schneiden den Umkreis in den Punkten L,M,N. Man berechne die Winkel des 4LMN in Abhängigkeit von den Winkel des 4ABC. Figur 12 Betrachten wir dazu das 4ABC, welches in blau dargstellt ist, das 4LMN, welches in orange dargestellt ist, sowie den Umkreis des 4ABC und die Winkelhalbierenden welche die Winkel des 4ABC halbieren. Wir definieren: ^CAB := ^ABC := ^BCA := Sei nun BL eine Sehne, dann gilt nach dem Peripheriewinkelsatz: ^LMB = ^LAB = 2 Sei ebenso BN eine Sehne, dann gilt nach dem Peripheriewinkelsatz: Analog folgt: ^BMN = ^BCN = 2 ) ^LMN = ^MNL = ^NLM =

15 Literaturverzeichnis Coxeter, Harold S.M.:Zeitlose Geometrie (1. Auflage-Stuttgart:Klett,1983) 15