Weiteres über Simson-Geraden und Der Schmetterlingssatz. Max Goldbach Proseminar Elementargeometrie Technische Universität Dortmund

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1 Weiteres über Simson-Geraden und Der Schmetterlingssatz Max Goldbach Proseminar Elementargeometrie Technische Universität Dortmund

2 Inhaltsverzeichnis 1 Weiteres über Simson Geraden Satz Satz Der Schmetterlingssatz Satz Aufgaben Aufgabe 2.71 (1) Aufgabe 2.71 (2)

3 1 Weiteres über Simson Geraden 1.1 Satz 2.71 Der Winkel zwischen zwei Simson-Geraden, die zu zwei Punkten P und P gehören, welche auf dem Umkreis eines Dreiecks liegen, ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel zwischen P und P. Abb. 1 Beweis: Sei ABC ein beliebiges Dreieck, K der Umkreis dieses Dreiecks, M der Umkreismittelpunkt, P ein Punkt auf dem Kreisbogen von K, A 1, B 1, C 1 die Lotfußpunkte von P auf BC, CA, AB, U der Schnittpunkt von P A 1 mit K. Wir stellen zunächst fest: AP CB und P B 1 A 1 C sind Sehnenvierecke. Begrüngung: AP CB ist Sehnenviereck nach Konstruktion. P B 1 A 1 C ist ein Sehnenviereck, da die Lotfußpunkte von P auf die Dreiecksseiten A 1 C und B 1 C des Dreiecks A 1 B 1 C nach Konstruktion A 1 und B 1 sind. Da der Lotfußpunkt von P auf A 1 B 1 kollinear mit A 1 und B 1 sein muss folgt mit Satz 2.61, dass P auf dem Umkreis von A 1 B 1 C liegen muss. (Abbildung 2) Abb. 2 2

4 Betrachte nun einige Winkel: P UA und P CA sind Peripheriewinkel über der Kreissehne AP und somit gleich. P CA und P CB 1 sind gleich, da CA = CB 1. P CB 1 und P A 1 B 1 sind Peripheriewinkel über der Kreissehne P B 1 des Umkreises von P B 1 A 1 C und somit gleich. Es gilt also: P UA = P A 1 B 1 (Abbildung 3) und da P, A 1, U kollinear sind gilt AU A 1 B 1. Betrachte nun einen Punkt P auf K, A 2, B 2 die Lotfußpunkte von P auf BC, AC, U der Schnittpunkt von P A 2 mit K. A 2 B 2 ist dann die Simson-Gerade zu P. Abb. 3 Dann gilt mit voriger Überlegung auch AU A 2 B 2 Sei L der Schnittpunkt von A 1 B 1 und A 2 B 2. Wir wissen: AU A 1 B 1 und AU A 2 B 2 Abb. 4 Wir haben nun also zwei Geraden AU und AU konstruiert die Parallel zu unseren zwei Simson Geraden A 1 B 1 und A 2 B 2 liegen. Dann muss der Winkel UAU zwischen diesen beiden Geraden der gleiche sein wie zwischen den Simson-Geraden. Nach Peripheriewinkelsatz gilt UAU = 1 2 UMU. Nach Konstruktion gilt P U P U UU = P P Dann sind UMU und P MP kongruent. 3

5 UMU = P MP UAU = 1 P MP 2 Das war die Behauptung. 1.2 Satz 2.72 Die Simson-Gerade zu einem Punkt auf dem Umkreis eines Dreiecks halbiert die Strecke zwischen diesem Punkt und dem Höhenschnittpunkt des Dreiecks. Abb. 5 Beweis: Behalte die Bezeichnungen aus Abschnitt 1.1 bei und füge folgende hinzu: Sei H der Höhenschnittpunkt von ABC, sei D der Lotfußpunkt vona auf BC, sei D der Schnittpunkt von AD und K, sei Q der Schnittpunkt von P D und BC, sei V der Schnittpunkt von HQ und P U, sei L der Schnittpunkt von A 1 B 1 und P H. Wir wissen aus Buchabschnitt 2.43, das gilt: HD = DD mit SWS folgt dann DHQ = DD Q Dann ist HD Q ein Gleichschenkliges Dreieck. 4

6 Nach Konstruktion gilt AD P V Betrachte nun einige Winkel: P D H und D HV sind gleich, da HD Q Gleichschenklig ist. D HV und P V H sind Stufenwinkel und somit gleich. P D H und D P U sind Stufenwinkel und somit gleich. D P U und D AU sind Peripheriewinkel über der Kreissehne D U und somit gleich. Also: P D H = D HV = P V H = D P U = D AU Da D AU = D HV gilt: HV AU Wir wissen aus Abschnitt 1.1, dass AU A 1 B 1 Abb. 6 Also gilt auch HV A 1 B 1 P V H = P A 1 B 1 Wir stellen nun zwei Dinge Fest: 1. Der Punkt A 1 halbiert die Strecke P V, da P V Q gleiche Basiswinkel hat und somit Gleichschenklig und außerdem der Punkt A 1 nach Konstruktion der Lotfußpunkt von Q auf P V ist. 2. Die Dreiecke P V H und P A 1 L sind ähnlich, da sie sich den Winkel V P H teilen, und die Winkel P V H und P A 1 B 1 gleich sind. Hieraus folgt mit dem Strahlensatz die Behauptung, denn wir haben zwei von P ausgehende Strahlen durch die Punkte V und H und diese Strahlen werden von den Parallelen Geraden A 1 B 1 und HV geschnitten. Die Schnittpunkte der Strahlen mit A 1 B 1 sind A 1 und L, die Schnittpunkte der Strahlen mit HV sind H und V. Da wir wissen, dass A 1 die Strecke P V halbiert, muss dann auch L die Strecke P H halbieren. 5

7 2 Der Schmetterlingssatz 2.1 Satz 2.81 Sei P Q eine Kreissehne mit Mittelpunkt M, AB und CD zwei weitere Kreissehnen durch M. Sei X der Schnittpunkt von AD mit P Q, Y der Schnittpunkt von BC mit P Q. Dann ist M der Mittelpunkt von XY Abb. 7 Beweis: Seien X 1 und X 2 die Lotfußpunkte von X auf AB und CD. Seien Y 1 und Y 2 die Lotfußpunkte von Y auf AB und CD Wir stellen fest: XX 1 M und Y Y 1 M sind ähnlich, denn Sie haben nach Konstruktion beide einen rechten Winkel und XMX 1 sowie Y MY 1 sind Wechselwinkel und somit gleich. XX 2 M und Y Y 2 M sind ähnlich, denn Sie haben nach Konstruktion beide einen rechten Winkel und XMX 2 sowie Y MY 2 sind Wechselwinkel und somit gleich. XX 1 A und Y Y 2 C sind ähnlich, denn Sie haben nach Konstruktion beide einen rechten Winkel und XAX 1 sowie Y CY 2 sind Peripheriewinkel über der Kreissehne DB und somit gleich. XX 2 D und Y Y 1 B sind ähnlich, denn Sie haben nach Konstruktion beide einen rechten Winkel und XDX 2 sowie Y BY 1 sind Peripheriewinkel über der Kreissehne AC und somit gleich. Abb. 8 6

8 Da die Seitenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken gleich sind können wir nun folgern: XM MY = XX 1 = XX 2 Y Y 1 Y Y 2 XX 1 Y Y 2 XX 2 Y Y 1 Betrachte: = AX CY = XD Y B XM 2 MY = XX 1 XX 2 = XX 1 XX 2 AX XD = 2 Y Y 1 Y Y 2 Y Y 2 Y Y 1 CY Y B Hier machen wir uns zunutze, dass die Kreissehnen AD und BC die Kreissehne P Q in den Punkten X und Y schneiden und mit dem Sehnensatz gilt dann: AX XD CY Y B = P X XQ P Y Y Q = ( P M XM ) ( MQ + XM ) ( P M + MY ) ( MQ MY ) Es gilt nach Konstruktion P M = MQ und daher dann: ( P M XM ) ( MQ + XM ) ( P M + MY ) ( MQ MY ) P M 2 XM 2 P M 2 MY 2 Insgesamt erhalten wir also XM 2 MY = P M 2 XM 2 2 P M 2 MY 2 = ( P M XM ) ( P M + XM ) ( P M + MY ) ( P M MY ) = XM 2 ( P M 2 MY 2 ) = MY 2 ( P M 2 XM 2 ) XM 2 P M 2 XM 2 MY 2 = MY 2 P M 2 MY 2 XM 2 XM 2 P M 2 = MY 2 P M 2 XM 2 = MY 2 XM = MY Genau das war die Behauptung. 7

9 3 Aufgaben 3.1 Aufgabe 2.71 (1) Zeige: Die Simson-Geraden zweier diametraler Punkte auf dem Umkreis sind senkrecht zueinander und schneiden sich auf dem Neunpunktekreis. Das die Simson-Geraden senkrecht zueinander stehen müssen folgt sofort aus Satz 2.71, da Der Mittelpunktswinkel zwischen zwei diametral liegenden Punkten 180 beträgt und dieser nach dem Satz doppelt so Groß ist wie der Winkel zwischen den zugehörigen Simson-Geraden, welcher damit also 90 beträgt. Bleibt zu zeigen, dass der Schnittpunkt der Simson-Geraden auf dem Neunpunktekreis liegt. Einige Bezeichnungen: Sei ABC ein Dreieck mit Umkreismittelpunkt O, sei R der Radius des Umkreises, seien P und P zwei auf dem Kreisbogen diametral gegenüberliegende Punkte, sei H der Höhenschnittpunkt des Dreiecks, sei N der Mittelpunkt des Neunpunktekreises des Dreiecks, sei L der Schnittpunkt der zu P und P gehörenden Simson-Geraden. Wir wissen aus Abschnitt 1.91, dass N der Mittelpunkt der Strecke OH ist. Wir wissen außerdem aus Satz 2.72, dass Die Simson-Geraden die Strecken overlinep H und P H halbieren. Diese Schnittpunkte nenne Ich M und M. Mit Strahlensatz folgt, dass N der Mittelpunkt von MM ist, und das MM = 1 2 P P = R. Außerdem ist uns bekannt, dass der Durchmesser des NPK gleich R ist. Dann ist MM eine Kreissehne des NPK mit der länge des Durchmessers des NPK. Da MLM = 90 folgt mit Thales, dass L auf dem NPK liegt. Abb. 9 8

10 3.2 Aufgabe 2.71 (2) Es sei ABC ein Gleichseitiges Dreieck und P ein Punkt auf dem Umkreis, dessen Mittelpunkt O sei. Zeige: Dann halbiert die Simson Gerade von P den Radius OP. Sei H der Höhenschnittpunkt von ABC. Wir wissen aus 2.72, dass die Simson Gerade die Strecke HP halbiert. In einem Gleichseitigen Dreieck gilt H = O. Daraus folgt direkt die Behauptung. 9